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- 2021-11-12 发布
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投影与视图
本章总结提升
问题1 投影的应用
什么是中心投影、平行投影?什么是正投影?当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时,它的正投影有什么性质?
例1 图3-T-1是住宅区内的两幢楼的示意图,它们的高AB=CD=30 m,两楼间的距离AC=30 m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况.
(1)当太阳光与水平面的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1 m,≈1.73);
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,此时太阳光与水平面的夹角为多少度?
图3-T-1
【归纳总结】投影的应用:
投影有平行投影与中心投影,由于平行投影的光线是平行的,因此它常与平行、相似等知识综合考查.中心投影是从一点发出的光线所形成的投影,可以构成位似图形.
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问题2 简单物体的三视图
什么是三视图?它是怎样得到的?画三视图要注意什么?
例2 画出如图3-T-2所示的立体图形的三视图.
图3-T-2
【归纳总结】简单物体的三视图:
画一个几何体的三视图时,要从三个方向观察几何体,具体画法如下:
(1)确定主视图的位置,画出主视图;(2)在主视图的正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”;(3)在主视图的正右方画出左视图,注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.几何体因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
问题3 由三视图描述几何体
例3 在平整的地面上有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体,如图3-T-3所示.
(1)请画出这个几何体的三视图;
(2)如果此时在这个几何体的表面喷上黄色的漆,则在所有的小正方体中,有________个正方体只有一个面是黄色,有________个正方体只有两个面是黄色,有________个正方体只有三个面是黄色;
(3)若现在还有一些相同的小正方体,如果保持俯视图和左视图不变,最多可以再添加几个小正方体?
图3-T-3
【归纳总结】由三视图描述几何体:
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由三视图想象几何体的形状可从如下途径分析:
(1)根据主、俯、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高.
(2)由实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线.
问题4 直棱柱、圆锥的侧面展开图
例4 阅读材料:
图3-T-4
如图3-T-4,将一个直角三角形AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆锥.
圆锥的底面是以OB为半径的一个圆形.
圆锥的侧面展开图是一个以点A为圆心,斜边AB的长为半径的扇形,Rt△AOB的斜边AB称为圆锥的一条母线,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.
S圆锥表面=S圆锥的侧面+S圆锥的底面.
阅读后,请解答下面的问题:
从卡纸上剪下半径是30 cm(母线长l=30 cm)的扇形,做一个圆锥形纸盒,圆锥的底面⊙O的直径是20 cm(如图3-T-5所示).
(1)求圆锥的底面⊙O的周长;
(2)求剪下的扇形的圆心角的度数;
(3)求圆锥的表面积.
图3-T-5
【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”:
(1)分析清楚几何体表面的构成;
(2)弄清圆锥与其侧面展开图(扇形)各元素之间的对应关系;
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(3)圆锥的母线长l,底面圆的半径r和圆锥的高h的关系为l2=r2+h2;
(4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和.
问题5 三视图在实际生活中的应用
根据三视图求物体的表面积和体积的关键是什么?如何根据三视图描述几何体?
例5 图3-T-6是一个物体的三视图,根据设计图纸上标明的尺寸(单位:mm)计算物体的表面积和体积.
图3-T-6
【归纳总结】三视图在实际生活中的应用:
根据设计图纸中三视图及尺寸求零件的表面积和体积,这是三视图在实际生活中的主要应用,也是日常生产中经常遇到的问题.解决这类问题的方法是首先由三视图想象出几何体的形状,再画出其表面展开图,然后根据图中尺寸利用相应公式进行计算.
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教师详解详析
【整合提升】
例1 [解析] (1)如图,通过投影的知识,结合题意构造Rt△BEF,设BF=x m,解此直角三角形可得x的值;由此可得EC的长,即甲楼的影子在乙楼上的高度.
(2)要使甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,易得△ABC为等腰三角形,且AC=30 m,容易求得当太阳光与水平面夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上.
解:(1)如图所示,延长QB交DC于点E,过点E作EF⊥AB,交AB于点F,则EF=AC=30 m.
在Rt△BEF中,
∵∠FEB=30°,
∴BE=2BF.
设BF=x m,则BE=2x m.
根据勾股定理,得BE2=BF2+EF2,
∴(2x)2=x2+302,
∴x1=10 ,x2=-10 (舍去),
∴x≈17.3.
因此,EC≈30-17.3=12.7(m).
即甲楼的影子在乙楼上的高度约为12.7 m.
(2)如图,当甲楼楼顶的影子刚好落在点C处时,△ABC为等腰三角形,
因此,当太阳光与水平面的夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上.
例2 [解析] 该几何体的主视图是长方形中间挖去一个小长方形,左视图是长方形(中间带一条虚线),俯视图是圆(中间有两条实线).
解:如图所示.
[点评] 画一个物体的三视图,其位置规定:主视图在左上方,它正下方是俯视图,左视图放在主视图的右边.
例3 [解析] (2)只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个,共1个;有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个,共2个;只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个,第二列最前面那个,第三列最底层那个,共3个.
解:(1)如图所示:
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(2)1 2 3
(3)最多可以再添加4个小正方体.
例4 解:(1)由题意可得,圆锥的底面⊙O的周长是20π cm.
(2)设剪下的扇形的圆心角是n°,由题意,得=20π,解得n=120,即剪下的扇形的圆心角的度数是120°.
(3)由题意可得,圆锥的表面积是π×+=400π(cm2),即圆锥的表面积是400π cm2.
例5 [解析] 由三视图可看出:物体是由上、下两个半径不同的圆柱组成的,其立体图形如图所示.
解:物体形状如图所示.上面小圆柱的底面直径为4 mm,高为2 mm,下面大圆柱的底面直径为8 mm,高为8 mm.
物体体积V=π××8+π××2=136π(mm3),
物体表面积S表=8π×8+4π×2+2×π×=104π(mm2).
即物体的表面积为104π mm2,体积为136π mm3.
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