中考数学专题复习练习：平行四边形及其性质 14页

典型例题一 例01．O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______. ‎ 解答：ABCD中，，. ‎ ‎∴ 的周长 ‎ ‎ ‎∴ . ‎ 在ABCD中，. ∴‎ 的周长－的周长 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ABCD的周长 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差. ‎ 典型例题二 例02．已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积. ‎ 解答：设. ‎ ‎∵ 四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴ . ‎ 又∵四边形ABCD的周长为36，∴ ①‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ②‎ 解由①，②组成的方程组，得. ‎ ‎∴. ‎ 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. ‎ 典型例题三 例03．如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，已知平行四边形的周长为，而的周长比的周长多. ‎ 求AB和AD的长. ‎ 分析：求平行四边形的对边相等可知，，，所以实际上给出的是，又由平行四边形的对角线互相平分有，，所以的周长比的周长多，实际上就是CD即AB比AD多. 那么由给出条件可求出AB和AD的长. ‎ 解答：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ （平行四边形的对边相等）. ‎ 又∵四边形的周长为，‎ ‎∴ . ‎ 又∵（平行四边形的对角线互相平分），‎ 而的周长为即，的周长为，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 典型例题四 例04．如图，已知：ABCD中，于E，于F，若，，. ‎ 求：AB、BC的长和ABCD的面积. ‎ 分析：由已知条件，在四边形AECF中，可求出. 从而可知，所以. 因此，在直角三角形ABE和直角三角形ADF中，可分别求出AB、AD长，从而也可求出AE、AF的长，则容易求出ABCD的面积. ‎ 解答：在四边形AECF中，‎ ‎（垂直定义），（已知），‎ ‎∴ . ‎ 在ABCD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 同理，可求出. ‎ 在中，根据勾股定理，‎ ‎∴‎ 典型例题五 例05．已知：如图，在ABCD中，，延长AB到F，使，延长BA到E，使，连结CE和DF，交AD，BC于G，H. ‎ 求证：. ‎ 证法1：， ‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ ‎∴ . ‎ 同理 ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 证法2：∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 同理 ‎ ‎∴‎ 说明 本题主要考查利用平行四边形的性质及三角形的有关知识证明两条直线互相垂直. 解题关键是结合三角形的有关知识进行证明. ‎ 典型例题六 例06．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点的直线EF交AD、BC于E、F. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证，只需证含有OE、OF的两个三角形全等即可，也就是说证明或证. 这一点由平行四边形的性质容易证得. ‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴（平行四边形的对角线互相平分）‎ ‎∴‎ 在与中，‎ ‎∴ ∴‎ 说明：此题利用了平行四边形对角线互相平分的性质，通过证明三角形全等，证明了. 那么由此题可以看出过平行四边形对角线交点的任一直线被一组对边所截得的线段，被对角线的交点平分. ‎ 典型例题七 例07．如图，已知ABCD周长为，，于E，于F，，‎ 求AE和AF的长. ‎ 解答：∵ABCD周长为，，‎ ‎∴，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ，. ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 同理 . ‎ 说明 本题综合考查了平行四边形的性质及勾股定理，解题关键是求出. ‎ 典型例题八 例08．求证：平行四边形的对角线的平方之和等于各边的平方之和. ‎ 已知：如图，在ABCD中，AC和BD是对角线. ‎ 求证：. ‎ 证明：过A作于E，过D作的延长线于F. ‎ ‎∵，‎ ‎∴. ∴‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎ ‎∴ ‎ 说明：本题综合考查平行四边形的性质和勾股定理，易错点是不先写已知求证. ‎ 解题关键是作出辅助线. ‎ 典型例题九 例09．如图，已知：在ABCD中，E、F分别是AC，CA的延长线上的点，且. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证，只需证明即可. 这一点可由证明或证得. 我们这里证明，这由已知条件容易得到. ‎ 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ （平行四边形的对边平行且相等）‎ ‎∴ （两直线平行，内错角相等）. ‎ ‎∴（等角的补角相等）. ‎ 在和中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴（全等三角形的对应角相等）‎ ‎∴ （内错角相等，两直线平行）. ‎ 说明：平行四边形的对边平行，可以看作是平行四边形的性质. ‎ 典型例题十 例10．如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，E为CD上一点，F为AD上一点，且，AE、CF相交于点P. ‎ 求证：BP平分. ‎ 分析：要证BP平分，即要证明. 一般的方法是通过证明三角形全等来证明它，那么由给出的条件来看，证明图形中的任何两个三角形全等都比较困难. 所以我们换个角度考虑. 由到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上可知，我们只要能够证明B点到两边的距离相等，即B点到CF，B点到AE的距离相等就可以了. 因为已有条件，所以我们可借助于面积来证明这一点. ‎ 证明：连结BF，BE，‎ 则，‎ 即. ‎ 又∵ ，‎ ‎∴AE和CF边上的高相等，‎ 即点B到AE和CF的距离相等. ‎ ‎∴B在的角平分线上. ‎ ‎∴BP平分 说明 （l）本题巧妙把证明角平分线转化成了等积问题，利用等积来证明等高，利用等高来证明是角平分线．（2）根据等底等高（或同底同高），在平行四边形任意一边上的任意一点，和它所对的边的两个顶点所连成的三角形面积是平行四边形面积的一半．‎ 选择题 ‎1．从平行四边形的一个锐角的顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角为135°，则此四边形的四个角分别是（ ）‎ A．45°，135°，45°，135° B．50°,135°，50°，135°‎ C．45°，45°，135°，135° D．都不对 ‎2．ABCD的两条对角线交于O点，则其中全等的三角形的对数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．平行四边形具有一般四边形不具有的性质是（ ）‎ A．内角和为360° B．外角和为360°‎ C．不稳定 D．对角线互相平分 ‎4．ABCD中，，则的度数是（ ）‎ A．95°，85°，95°，85° B．85°，95°，85°，95°‎ C．105°，75°，105°，75° D．75°，105°，75°，105°‎ ‎5．如图，AE、CF分别是ABCD的两条高，则图中全等的三角形共有（ ）‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎6．如图，ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若，则边AB长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积是（ ）‎ A． B． C．4 D．6‎ ‎8．如图，ABCD中，AE平分，则等于（ ）‎ A．100° B．80° C．60° D．40°‎ ‎9．如图，在平行四边形ABCD中，CE是的平分线，F是AB的中点，，则为（ ）‎ A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2‎ 参考答案：‎ ‎1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 填空题 ‎1．平行四边形的周长为40，两邻边的比为3：5，则四边长分别为________. ‎ ‎2．在ABCD中，，则 ‎3．在ABCD中，两邻角的比为1：2，则各角的度数分别为_______. ‎ ‎4．在ABCD中，，则 ‎5．已知ABCD中，，则 ‎6．ABCD中，，垂足分别是，则 ‎7．如图，已知O是ABCD的对角线交点，，那么的周长等于_______. ‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1． ‎ ‎2．120° ‎ ‎3．60°，120°，60°，120° ‎ ‎4．60°，30°，120° ‎ ‎5．110° ‎ ‎6．60°，120°，6cm，9cm ‎ ‎7．45mm ‎ 解答题 ‎1 如图，已知ABCD和EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上，‎ 求证：. ‎ ‎2．如图，ABCD的周长是，AB的长是，于E，交CB的延长线于点F. DE的长是3，‎ 求：（1）的大小；（2）DF的长. ‎ ‎3．已知：在ABCD中，自钝角顶点A作于F，对角线BD交AF于E，‎ 求证 ‎4．如图，AB，BD是ABCD的对角线，AC，BD交于O，过O的直线EF交AB于E，交CD于F. ‎ 求证：. ‎ ‎5．已知：如图，ABCD中，对角线交于点O，作，垂足分别为E、F，‎ 求证：‎ ‎6．已知：如图，ABCD中，，垂足分别为E、F，‎ 求证：‎ ‎7．已知：如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，且 求证：‎ ‎8．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两个点，且 求证：‎ ‎9．如图，ABCD中，对角线AC长为，，AB长为，‎ 求ABCD的面积. ‎ ‎10．如图，ABCD中，为DC的中点，‎ 求证：. ‎ ‎11．在ABCD中，于E，交BA的延长线于F. 若，‎ 求的长. ‎ ‎12．如图，ABCD中，的平分线分别交BC于，求EF. ‎ ‎13．ABCD中，，求ABCD的面积. ‎ ‎14．如图，ABCD中，D在AB的中垂线DE上，若ABCD的周长为38cm，的周长比ABCD的周长少10cm，求ABCD一组邻边的长. ‎ ‎15．如图，在平行四边形ABCD中，与CF交于点O，连结OB. ‎ 求证：‎ ‎16．己知：如图，在ABCD中，与是等边三角形，且分别为垂足. ‎ 求证：‎ ‎17．如图，ABCD中，分别是 的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程. ‎ ‎（要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件. ）‎ 参考答案：‎ ‎1．证明：连结BD，交AC于点O. ‎ ‎∵ 四边形ABCD，EBFD是平行四边形. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ ，即. ‎ ‎2．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴. ‎ ‎∵ABCD的周长是，‎ ‎∴‎ 又∵于E，，‎ ‎∴. ‎ ‎∴，即为等腰直角三角形. ‎ ‎∴. ‎ ‎（2）∵交CB的延长线于F. ‎ ‎∴‎ ‎∴. ‎ ‎3．取DE的中点M，连AM，可证 ‎4．证法1：在ABCD中，‎ ‎∵，∴. ‎ ‎∴ ∴‎ 证法2：在ABCD中 ,‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴， ∴‎ ‎5．证或 ‎ ‎6．证或 ‎7．证 ‎8．证 ‎9．解：过点C作，交AB的延长线于点H. ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎10．证 ‎ ‎11．‎ ‎12．2 ‎ ‎13．60cm2 ‎ ‎14．10cm，9cm ‎15．连，∴点B到的距离相等. ∴. ‎ ‎16．证 ‎17．（1）由题设条件可得出：是直角三角形. ‎ 证明如下：在平行四边形ABCD中，‎ 又分别平分 是直角三角形. ‎ ‎（2）由题设条件可得出：证明略. ‎