人教版2020年秋季小学六年级数学上册全册教学设计教案 141页

人教版 2020 年秋季小学六年级数学上册 全册教学设计 目录 第一单元教材分析分数乘法.............................................................................................................2 第 1 课时分数乘法的意义（1）.......................................................................................................7 第 2 课时分数乘法的意义（2）.....................................................................................................10 第 3 课时分数乘分数（1）.............................................................................................................11 第 4 课时分数乘分数（2）.............................................................................................................13 第 5 课时分数乘小数.......................................................................................................................14 第 6 课时分数混合运算...................................................................................................................19 第 7 课时分数简便运算...................................................................................................................21 第 8 课时解决问题（1）.................................................................................................................23 第 9 课时解决问题（2）.................................................................................................................29 第 10 课时整理和复习.....................................................................................................................33 第一单元归纳总结（知识点小结）分数乘法.............................................................................. 34 第二单元教材分析位置与方向（二）...........................................................................................36 第 1 课时确定物体的位置...............................................................................................................38 第 2 课时标出物体的位置...............................................................................................................41 第 3 课时描述并绘制路线图...........................................................................................................42 第二单元归纳总结（知识点小结）位置与方向（二）.............................................................. 45 第三单元教材分析分数除法...........................................................................................................47 第 1 课时倒数的认识.......................................................................................................................53 第 2 课时分数除以整数...................................................................................................................55 第 3 课时一个数除以分数...............................................................................................................57 第 4 课时分数混合运算...................................................................................................................59 第 5 课时解决问题（1）.................................................................................................................61 第 6 课时解决问题（2）.................................................................................................................64 第 7 课时解决问题（3）.................................................................................................................66 第 8 课时解决问题（4）.................................................................................................................67 第 9 课时整理和复习.......................................................................................................................69 第三单元归纳总结（知识点小结）分数除法.............................................................................. 71 1 第四单元教材分析比.......................................................................................................................72 第 1 课时比的意义...........................................................................................................................74 第 2 课时比的基本性质...................................................................................................................76 第 3 课时比的应用...........................................................................................................................80 第四单元归纳总结（知识点小结）比...........................................................................................82 第五单元教材分析圆.......................................................................................................................83 第 1 课时圆的认识...........................................................................................................................85 第 2 课时圆的周长（1）.................................................................................................................87 第 3 课时圆的周长（2）.................................................................................................................89 第 4 课时圆的面积...........................................................................................................................91 第 5 课时圆环的面积.......................................................................................................................93 第五单元归纳总结（知识点小结）圆...........................................................................................95 第六单元教材分析百分数...............................................................................................................98 第 1 课时认识百分数.....................................................................................................................102 第 2 课时解决问题（1）...............................................................................................................104 第 3 课时解决问题（2）...............................................................................................................105 第 4 课时解决问题（3）...............................................................................................................107 第 5 课时解决问题（4）...............................................................................................................109 第 6 课时解决问题（5）...............................................................................................................111 第 7 课时整理和复习.....................................................................................................................113 第六单元归纳总结（知识点小结）百分数（一）.................................................................... 115 第七单元教材分析扇形统计图.....................................................................................................118 第 1 课时扇形统计图.....................................................................................................................121 第七单元归纳总结（知识点小结）扇形统计图........................................................................ 122 第八单元教材分析数学广角-数与形...........................................................................................123 第 1 课时数与形（1）...................................................................................................................126 第 2 课时数与形（2）...................................................................................................................128 第八单元归纳总结（知识点小结）数学广角-数与形.............................................................. 130 第 1 课时分数乘、除法和比.........................................................................................................131 第 2 课时百分数.............................................................................................................................134 第 3 课时图形与几何.....................................................................................................................136 第 4 课时统计.................................................................................................................................138 2 第一单元教材分析分数乘法 一、教学内容 1.分数乘法的意义 2.分数乘法的计算 3.利用分数乘法解决相关实际问题。 二、教学目标 1.使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法 的计算方法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算定律进行一些简 便计算。 2.使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实 际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展 初步的合情推理和演绎推理的能力。 3.使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流学习的能力， 建立学好数学的信心。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 1．进一步厘清分数乘法的意义。 分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展，二者在本质上完全一致，只是在表 述方式上有所区别。例如，如果脱离情境，在抽象的层面上讨论“5×3”，它既 可以表示 5 个 3 相加，用“倍”的语言来描述就是“3 的 5 倍”；也可以表示 3 个 5 相加，同样可以说成“5 的 3 倍”。类似地，如果以这样的方式来讨论“3×”， 它既可以表示 3 个相加，即“的 3 倍”；也可以表示“3 的”。从表面上看，“一 个数的几分之几”是一种全新的表述，但实际上，它只是省略了“3 的倍”中的 “倍”字，把“一个数的几倍”扩展到“一个数的几分之几”。从另一个角度看， “3 的”和“个 3”表示的意思完全相同，例如，一根绳子长 3m，“它的长多少 米”和“根绳子长多少米”说的是一个意思。因此，不管是整数乘法还是分数乘 法，其意义都可以归结为“几个几”，只不过，这里的两个“几”都既可以是整 数，也可以是分数。 根据这样的思路，教材编排了三道例题来教学分数乘法的意义和计算。例 1， 让学生计算 3 个 m 是多少,学生可以直接利用整数乘法的意义，转化成连加进行 3 计算。例 2，是例 3 的铺垫，让学生根据整数乘法中的数量关系“单位量×数量 =总量”列出“1 桶水 12L，桶是多少升”的算式是 12×，然后结合直观图和分 数的意义，发现 12×在这儿表示的就是 12L 的，进而得出“一个数乘几分之几 可以表示求这个数的几分之几是多少”的结论。在这一过程中，把“桶水”变成 “1 桶水的”，实现了从“量”到“率”的有效转换。有了例 2 的基础，例 3 中 求“公顷的”，算式列成×就“有据可依”了。 这样编排，有几个好处。一是在单元之始就把分数乘法意义的两种不同表述 方式都呈现出来，使学生对分数乘法的意义有比较全面、完整的认识。二是编排 逻辑更加清晰，先让学生理解分数乘法的意义，解决“如何列式”，再解决“如 何计算”。三是突破了过去教材中到“问题解决”部分才去解决“求一个数的几 分之几是多少”的限制，大大拓宽了本单元其他内容的素材选择范围。例如，既 可以出现“蜂鸟的飞行速度是千米/分，分钟飞行多少千米”的题材（分数是一 种具体量，带单位），也可以出现“一头鲸长 28m，一个人身高是鲸体长的。这 个人身高是多少米”的练习题（分数是一种“率”，不带单位）。 2．增加分、小数相乘的内容。 学生在未来的学习中会遇到许多分、小数相乘的情况，例如，解决“按 1： 5 的比配制一杯 1.2L 的稀释液，需要多少升浓缩液”的问题时，需要计算形如 1.2×的算式。如果学生不会直接约分，计算的繁琐程度和出错概率就会大大增 加。因此，教材新编了例 5，让学生分别计算 2.1×和 2.4×，让学生根据数据 的特点灵活选择计算方法，能直接约分的尽量直接约分。教学时，要使学生通过 2.4×=24×0.1×=×0.1×=0.6×的推导过程理解“为什么能直接约分”的原理。 3．调整了用分数乘法解决实际问题的类型。 如前所述，学生已经在“分数乘法的意义和计算”中解决了“求一个数的几 分之几是多少”的基本问题。这一基本数量关系的掌握对于解决更复杂的分数乘 法问题至关重要。 此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一类问题是 “求一个数的几分之几是多少”的延续，已知量和所求的量之间的关系没有直接 给出，而是通过一个“中间量”搭建起二者之间的“桥梁”。在解决这一类问题 时，需要学生把复杂的问题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”，并抓 住这一基本数量关系中的几个关键要素：单位“1”是谁？所求的量是谁？二者 4 之间是几分之几的关系？尤其要注意单位“1”与几分之几之间的对应关系。 对于“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”这类问题，与实验教材 相比，修订后的教材减轻了例题的份量，在例题中只出现不同量的情况（婴儿每 分钟心跳的次数比青少年多），对于同一量的情况（嗓音降低），则放在“做一做” 中让学生巩固掌握。 4．把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。 倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进行分数除法计算时，要用到“除 以一个数，等于乘上这个数的倒数”这一结论，因此，把“倒数”安排在“分数 除法”单元，更能体现出学习倒数的必要性。 （二）具体编排 1.例 1。 直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和 几个相同整数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘法转化为分数加法来探究 分数乘法的算理，掌握计算方法。 从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方 法。这一直观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生 利用已学的知识自主探索。此例中的分数带单位，是一个“量”，学生对于求几 个相同量之和的数量关系非常熟悉。先呈现加法计算，然后直接根据整数乘法的 意义列出两个乘法算式，说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。 计算时，先将分数乘法转化为几个相同分数相加，使学生明白分母不变、分 子相乘的道理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法，并指出有时可以先约分 再相乘的简便算法。 2.例 2。 让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法算式，结合 具体情境，使学生理解“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几”。这 是“求一个数的几分之几可以用这个数乘几分之几”的列式依据。 教材呈现了三幅图，都是已知 1 桶水的体积，分别要求 3 桶水、桶水、桶水 的体积。在这里，列式所依据的数量关系都是“每桶水的体积×桶数=水的体积”， 只是桶数可以由整数扩展到分数。接下来，结合情境，说明求桶水、桶水的体积 就是求 12L 的和 12L 的分别是多少。在此基础上，概括出“一个数乘几分之几， 5 可以表示这个数的几分之几是多少”。 3.例 3。 本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列式之后， 学习分数乘分数的计算方法。 教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分 数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合 的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。 要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数 是带单位的“量”，有些分数是不带单位的“率”，事实上，“量”与“率”也是 可以互相转化的。例如，公顷，实际上就是 1 公顷的；公顷的，就是 1 公顷的， 即公顷。 4.例 4。 本例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意义和算理有 了深刻的理解后，教学重点转入寻求便捷的算法。 在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意义的两种不 同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意义。其中，第（1）小题 是“求一个数的几分之几”，第（2）小题既可以根据“速度×时间=路程”列式， 也可以根据“几个相同分数相加”列式。 在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学 生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。 5.例 5。 本例是教学分数与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在日常生活中 以及未来的数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，因此，根据分、小数的 数据特点灵活选择计算策略，也是学生应该具备的一项技能。为此，教材在修订 时增加了这部分内容。 分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数）， 也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自 行解决。而当小数与分数的分母存在某种倍数关系时，可以直接“约分”。这种 约分虽然与以前学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。 6.例 6。 6 从“做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长方形画框 的周长计算引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法（除了教材上的两种方法， 还有可能用四条边相加的）计算，很自然地呈现各种形式的算式，有两级运算的， 有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让 学生自主解决。 教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下来正式教学 把整数乘法运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上，再通过观察、 计算，归纳得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用” 的结论。 7.例 7。 教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。 8.例 8。 本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一 个数的几分之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系， 在描述其中某两个量的数量关系时，单位“1”是在动态变化的。 教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解决问题的一 般步骤。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、题意的理解以及 整个问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论，显得越来越重要。 在“分析与解答”环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图 形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。 另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红 萝卜地的面积；也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地 的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。 “回顾与反思”让学生自己完成。检验的角度很多，比如，看看直观图画得 是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正确。检验的方法也是多 样化的。例如，可以看到萝卜地的面积是红萝卜地的 4 倍，而大棚面积是萝卜地 的 2 倍。用红萝卜地的 60m2 乘 4，得到萝卜地是 240m2，再乘 2，是 480m2，与 题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。 9.例 9。 本例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。虽然 7 还是研究两个量间的关系，但由于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几”， 需要先求出一个量比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个 量的几分之几。 教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”的意思， 对于学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。 教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少 次，这就需要先解决“75 次的是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心 跳次数是青少年的几分之几，这就需要先解决“比一个数多的数是这个数的几分 之几”的问题。 “回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到画线段图这 一策略对于解决问题的重要作用。同时，列举了一种检验结果的方法，引导学生 用不同的方法加以检验。 四、教学建议 1.在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。 2.通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方法。 3.紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式， 解决实际问题。 第 1 课时分数乘法的意义（1） 教学内容:教材第 2 页例 1。 教学目标: 知识与技能：在学生已有的分数加法及分数基本意义的基础上，结合生活实例，通 过对分数连加算式的研究，使学生理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法， 能够应用分数乘整数的计算法则，比较熟练地进行计算。 过程与方法：通过观察比较，指导学生通过体验，归纳分数乘整数的计算法则， 培养学生的抽象概括能力。 情感、态度与价值观：引导学生探求知识的内在联系，激发学生学习兴趣。 通过演示，使学生初步感悟算理，并在这过程中感悟到数学知识的魅力，领略到 美。 重点难点: 8 重点：理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法。 难点：总结分数乘整数的计算法则。 教学过程: 情景导入: （一）探索分数乘整数的意义 1.教学例 1（课件出示情景图） 师：仔细观察，从图中能得到哪些数学信息？这里的“ 个”表示什么？你 能利用已学知识解决这个问题吗？（学生独立思考） 师：想一想，你还能找出不一样的方法验证你的计算结果吗？ 2.小组交流，汇报结果 预设：（1） （个）；（2） （个）；（3） （个）；（4）3 个 就是 6 个 就是 ，再约分得到 （个）。（根据学生发言依 次板书） 3.比较分析 师：我们先来比较第（1）和第（2）两种方法，请分别说说你是怎么想的？ 预设： 生 1：每个人吃 个，3 个人就是 3 个 相加。 生 2：3 个 相加也可以用乘法表示为 。 提出质疑：3 个 相加的和可以用乘法计算吗？为什么？ 预设：乘法是求几个相同加数的和的简便计算，只是这里的相同加数是一个 分数。 引导说出：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。（板书） 师：我们再来比较第（2）和第（3）两种方法，这样算可以吗？为什么？ 引导说出：这两个式子都可以表示“求 3 个 相加是多少”。 9 师：再来看这里的第（4）种方法，你能理解它表示的意思吗？结合图形把 你的想法跟同桌进行交流。 4.归纳小结 通过刚才的学习，我们知道了这三个算式解决的是同一个问题。并且知道了 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。接下来我们再看看它们的计算方法有 什么联系和区别。 设计意图：呈现生活情景，引导学生观察思考“一共吃了多少个？”，使学 生迅速进入学习状态。以原有的知识和经验为基础，经历独立思考、自主计算并 验证、小组交流等环节，鼓励学生大胆地呈现个性化的方法，兼顾了不同层次的 学习状态。采用因势利导的方式，通过比较分析沟通新旧知识间的联系，引导学 生自主得出结论，加深了对分数乘整数意义的理解。: （二）分数乘整数的计算方法 1.不同方法呈现和比较 师：刚才的第（4）种方法用语言描述得出计算结果的过程，结合自己的解 题方法回顾一下， 的计算过程用式子该如何表示？预设： 生 1：按照加法计算 = （个）。 生 2： （个）。 师：比较一下，这两种方法计算结果相同吗？它们的相同点在哪里？（分母 都是 9）不同之处又是什么？（根据学生回答分别打上方框）这里的 2+2+2 和 2 ×3 都是在求什么？预设：有多少个 。 2.归纳算法 师：你觉得哪一种方法更简单？那么这种方法是怎样计算的呢？ 引导说出：用分子与整数相乘的积作分子，分母不变。（板书） 3.先约分再计算的教学 师：刚才我看到有一位同学是这样计算的。与这里的第二种算法又有什么不 同呢？ 10 预设：一种算法是先计算再约分，另一种是先约分再计算。 师：比较一下，你认为哪一种方法更简单？为什么？ 小结：“先约分再计算”的方法，使参与计算的数字比原来小，便于计算。 但是要注意格式，约得的数与原数上下对齐。 设计意图：通过比较，明确了自主探索的方向，使得对算法的感知上升到理 解。教学过程中有意识地留给学生充足的思考时间，最大程度地发挥学生的主体 性。“为什么分母不变，只用分子与整数相乘”这是教学的难点，通过多次追问， 适度引导转化，促进学生的理解。对于“先约分再计算”这种方法的教学，充分 利用课堂生成资源，引导学生经历观察与思考的过程，从而使学生“知其然”， 更“知其所以然”。: 二、巩固练习，强化新知 1.例 1“做一做”第 1 题 师：说出你的思考过程。 2.例 1“做一做”第 2 题 师：在计算时要注意什么？（强化算法，突出能约分的要先约分，再计算。） 第 2 课时分数乘法的意义（2） 教学目标： 知识与技能：结合具体情境理解一个数乘分数的意义就是“求一个数的几分 之几是多少”。 过程与方法：通过组织学生进行迁移、类推、归纳、交流等数学活动，培养 学生的类推、归纳能力。 情感态度与价值观：通过一个数乘以分数应用的广泛性事例，对学生进行学 习目的性教育，激发学生学习动机和兴趣。 教学重点：使学生理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法。 教学难点：推导算理，总结法则。 教学准备：根据例题制作的挂图、投影片或多媒体课件。 教学过程： 11 新知探究: 一、探索一个数乘分数的意义 教学例 2（课件出示情景图） （1）师：根据提供的信息你能提出什么问题？该怎样计算？说说你的想法。 预设 1：求 3 桶共多少升？就是求 3 个 12L 的和是多少。 预设 2：还可以说成求 12L 的 3 倍是多少。 预设 3：单位量×数量=总量，所以 12×3=36(L)。 （2）师：我们再来看这个问题，你能列出算式吗？（学生思考，自主列式。） 交流：是根据什么列式的？引导说出思考的过程并板书：“求 12L 的一半， 就是求 12L 的 是多少。” （3）出示第 2 小题 学生自练。引导说出：“12× 表示求 12L 的 是多少。”在这里都是把 12L 看作单位“1”。 （4）师：依据单位量×数量=总量，你还能提出类似的问题并解决吗？（学 生练习，交流。） 归纳小结：在这里，我们依据单位量×数量=总量的关系式可以得出：一个 数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少。 设计意图：尊重学生，培养学生的学习探索能力是很重要的。本节课的教学 除了有之前所学分数的意义作为基础之外，学生还在前一课时明确了整数乘分数 可以用来表示一个数的几分之几是多少，因此在本堂课中完全可以放手让学生们 自己去思考、学习、尝试，教师只要起到一定的点拨作用就可以了。: 二、巩固练习，强化新知 例 2“做一做” 第 3 课时分数乘分数（1） 教学内容:教材第 3-4 页例 3。 教学目标: 知识与技能：结合具体情境理解一个数乘分数的意义就是“求一个数的几分 12 之几是多少”。 过程与方法：通过组织学生进行迁移、类推、归纳、交流等数学活动，培养 学生的类推、归纳能力。 情感、态度与价值观：通过一个数乘以分数应用的广泛性事例，对学生进行 学习目的性教育，激发学生学习动机和兴趣。 重点难点: 重点：理解一个数乘分数的意义，掌握分数乘分数的计算方法。 难点：推导算理，总结法则。 新知探究: 明确算理，探究算法 出示例 3 情境图，说说从图上你获得了哪些信息，可以解决什么问题？（根 据学生的回答板书两个问题并请学生先看第一个问题） （一）探究几分之一乘几分之一的算理算法 1.求种土豆的面积是多少公顷，我们可以怎么列式？你是怎么想的？（如果 学生有困难，可以从上节课的整数乘分数的意义进行类推） 求一个数的几分之几，我们可以用乘法来计算。 2. 等于多少呢？说说你的想法，并把你的想法在纸上写下来。 3.学生进行尝试(可引导学生用画图的方式来解释自己的想法)。 4.进行交流反馈 重点反馈描画涂色的想法，并在学生讲解后，教师再利用课件进行讲解巩固： 把 1 个正方形看作 1 公顷，先平均分成 2 份，每份表示 公顷，再把 公顷 平均分成 5 份，取其中的一份。也就是把 1 公顷平均分成（2×5）份，取其中的 一份，就是 公顷。 5.得出结果 根据大家的想法， 。我们再来看看本节课开始的图形，是不是也 可以用乘法算式来表示？ 13 6.猜想计算方法 观察这几个算式，说说你发现了什么？你觉得几分之一乘几分之一可以怎样 计算？这个方法可以推广到所有分数乘分数的计算中吗？ 第 4 课时分数乘分数（2） 教学内容:教材第 5 页例 4。 教学目标: 知识与技能：掌握分数乘法计算过程中的约分方法，能正确熟练进行分数乘 法计算，提高学生的计算能力。 过程与方法：在观察、迁移、尝试练习、交流反馈等活动中，培养学生的推 理能力及思维的灵活性。 情感、态度与价值观：创设开放、民主、有趣的自主探究空间，鼓励学生大 胆猜测，培养他们勇于实践的思维品质。 重点难点: 重点：掌握分数乘法计算过程中的约分方法。 难点：熟练掌握分数的约分方法，提高学生的计算能力。 新知探究: 一、出示例4：无脊椎动物中游泳最快的是乌贼，它的速度是 千米/分。 （1）李叔叔的游泳速度是乌贼的 。李叔叔每分钟游多少千米？ （2）乌贼 30 分钟可以游多少千米？ 1.读题，独立列式并解答。 2.反馈： （1）题（1）展示不同的计算过程：A、先计算再约分；B、先约分再计算。 （2）题（2）明确整数与分数相乘，可以在计算时直接将整数和分母约分， 结合学生的情况说明约分的书写格式。 （3）对比体会得出结论：在计算时，先仔细观察数的特征，能约分的先约 分再乘，会比较简单。 3.练习： 14 例 4 做一做 1。 设计意图：培养简便计算的意识对于提高学生计算的准确性和速度至关重要。 让学生通过计算和对比体会到在分数乘法中先约分再计算比较简单，对培养学生 的简算意识很有帮助。: 二、练习巩固 1.基础练习 （1）先看数再计算（练习一 6、7 两题） 反馈校对、纠错。 在反馈时通过对比、纠错让学生明白先观察数的特征，可以约分的先约分再 计算，这样能又对又快地得到结果。 预计错题，估计错例：由于 4 和 的分子相同，学生有可能会将整数 4 与分 子 4 相约分，在计算 时，结果错算成 。应该使学生明确：整数与分数相 乘，可将整数与分母约分（也就是把整数看成分母是 1 的分数），再进行计算。 设计意图：将练习一的 6、7 两题并在一起，并将题目的考查形式改成先看 数再计算，有助于学生形成计算的审题习惯。让学生发现通过观察可以感知数的 特征并进行约分，这样可以让计算变得更加简单，正确率也可以得到更大的提升。 第 6 题不以改错的方式出现，而直接以计算题的方式出现，是出于不强加错的思 考，来自于学生的错例，学生更易于记在心上。: 三、总结 这节课我们学习了什么？我们是怎样得出这些结论的？ 没错，“猜想——举例——验证——得出结论”是我们学习数学很有效的方 法，在以后的学习中，同学们可以用这样的思路去学习更多的数学知识。 设计意图：在对本节课的小结中，对猜想——举例——验证——得出结论的 数学学习方法进行回顾，对于六年级的学生来说很重要。: 第 5 课时分数乘小数 教学目标： 1．让学生掌握分数乘小数的计算方法，提高学生根据实际情况灵活选择合 15 适的计算方法的能力。 2．在学生自主探索的基础上，引导学生自由地表达自己的想法，培养学生 合作交流的能力。 3．通过解决日常生活中的实际问题，让学生体验数学的意义和价值。 教学重点：掌握分数乘小数的计算方法。 教学难点：提高学生根据实际情况灵活选择合适的计算方法的能力。 教学准备：课件 教学过程： 一、复习铺垫，引入新课 1．计算下面各题： ； ； 2．通过计算引导学生回忆分数乘整数和分数乘分数的计算方法，并强调能 约分的先约分再计算会更简便。（让学生自由回答，教师加以引导与整理。） 3．教师导语：前几节课我们学习了分数乘整数和分数乘分数的计算方法， 今天，我们继续学习分数乘法的有关知识。 设计意图：通过复习分数乘整数和分数乘分数的计算方法，激活学生的学习 经验与学习技能，为学习分数乘小数埋下伏笔。同时，简明扼要地导入新课，让 学生迅速地进入学习状态。: 二、引导探究，学习新知 （一）阅读理解 1．出示呈现例 5 情境图（数学信息），从图中你得到了哪些数学信息？根据 这些数学信息你想解决什么数学问题？（学生自主提出问题，教师选择问题板书。） （1）松鼠欢欢的尾巴有多长？ （2）松鼠乐乐的尾巴有多长？ 设计意图：由孩子们喜欢的小动物的知识引出例 5，激发了学生学习的兴趣。 了解题目中有哪些数学信息是解决问题的第一步，可以帮助学生更好地解决数学 问题。: （二）探究解答：例 5（1） 1．自主解答 16 松鼠欢欢的尾巴有多长？怎样列式？你能计算出来吗？在练习本上试一试。 （板书： ，学生尝试计算，教师巡视，请不同做法的学生板演。） 2．交流探讨，体会不同算法 先在小组内交流计算方法，再全班交流，一一展示，分析出现的不同计算方 法。 （1）可以把 2.1 化成分数 ，再跟 相乘，结果是 ，化成带分数 。 （dm） （2）可以把 化成小数 0.75，再跟 2.1 相乘，结果是 1.575。 2.1× =2.1×0.75=1.575（dm） 设计意图：本环节的交流分为两个层次，一个是在小组内交流，给每个学生 参与的机会，使交流活动不至于成为个别学生的专场展示，尽可能让每个学生都 说出自己的解题思路；二是全班交流，使全体学生在理解自己算法的同时，知道 解决同一道题目还有不同的思路，享受不同算法带来的快乐，并掌握自己未考虑 到的计算方法，逐步提高综合运用所学知识解决实际问题的能力。: 3．师小结：同学们说得都很不错，这道分数乘小数的题目我们主要采用两 种方法来计算，既可以把小数化成分数再计算，也可以把分数化成小数再计算， 这两种方法用到了我们学过的分数乘分数和小数乘小数的知识。 设计意图：教师的这段简单小结以旧引新，促进知识迁移，巩固掌握新知识， 实现了有意识的学法指导。: （三）探索简便方法：例 5（2） 1．自主解答 刚才例 5 第（1）题大家完成得很不错，下面第（2）题有没有信心做对呢？ （出示课件，学生尝试独立解答。） 2．交流反馈 （1）可以把 2.4 化成分数 ，再跟 相乘，结果是 。 17 （dm） （2）可以把 化成小数 0.75，再跟 2.4 相乘，结果是 1.8。 2.4× =2.4×0.75=1.8（dm） 3．自学课本 （1）除了上面两种计算方法，这道题还有另一种算法。同学们打开课本第 8 页，看一看，有没有不明白的地方？（学生看书自学。） （2）这种算法你看懂了吗？引导学生说计算过程。（课件逐步出示第三种算 法。） 小数 2.4 和分数 的分母先约分得到 0.6，0.6 再跟分子 3 相乘，结果是 1.8。 4．对比思考。 为什么可以这样约分？你觉得这样约分计算简便吗？ 设计意图：让学生独立完例 5 第（2）题，既复习了分数乘小数的两种计算 方法，起到巩固练习的作用，又通过自主阅读教材学习先约分再计算的方法，不 仅可以让学生准确掌握计算方法，更使学生深刻地体会到分数乘小数先约分再乘 比较简便。: （四）回顾反思 1．既然先约分再计算这种方法这么简便，为什么第（1）题没用这种简便方 法计算呢？ 2．师小结：先约分再计算虽然简便，但只在小数与分数分母有共同因数的 情况下适用，如果小数与分数分母没有共同的因数，就不能直接约分，只能采用 把小数化成分数或把分数化成小数再计算的方法。所以在实际计算过程中，我们 18 要特别注意观察算式中小数与分数分母的特征，明确小数与分数分母是否有共同 的因数，然后再选择合适的算法进行计算。 设计意图：在这个环节中，通过思考“为什么第（1）题没用这种简便方法 计算呢？”，让学生体会到先约分再计算的局限性，从而引导学生在解决问题的 过程中灵活选择合适的算法。: 三、巩固练习，深化提高 （一）对比练习 1.学生独立完成。 2.反馈：计算 时你更喜欢哪种算法？ 设计意图：在前面学习分数乘整数的过程中，学生已经充分感受了先约分再 计算的简便性，在这个练习中，学生会进一步感受到这种算法不仅在分数乘整数 中可以让计算更简便，在分数乘小数中同样适用，培养学生简便计算的意识。: （二）基本练习 教材第 8 页做一做： 1．学生先观察每一道题的特征，思考:每道题可以用几种方法来做？哪种方 法更简便？然后选择合适的方法进行计算。 2．反馈交流时提问：哪几题可以先约分再计算？（ 、 、 ）。 可以把分数化成小数计算吗？ 设计意图：这个环节通过四道题的对比练习，让学生发现不仅先约分再计算 有局限性，分数化小数这种算法也有一定的局限性。在引导学生比较各种方法的 优缺点的同时，进一步感受计算方法的灵活性与合理性。最终在学生充分理解的 基础上共同归纳出结论，以丰富学生体验知识获得结论的过程，加深记忆。: （三）提高练习 19 教材第 10 页“练习二”第 2 题：美国人均淡水资源量约为 1.38 万立方米， 我国人均淡水资源量仅为美国的 。我国人均淡水资源量是多少万立方米？ 1．学生独立完成，一生板演。 2．反馈计算过程，强调能约分的先约分再乘。并适时补充我国的水资源知 识，进行节约用水教育。 （四）拓展练习（多余条件）（机动） 教材第 10 页“练习二”第 4 题：蜂蜜最主要的成分是果糖和葡萄糖，果糖 和葡萄糖的质量占蜂蜜总质量的 以上。有一种蜂蜜，果糖和葡萄糖的质量占蜂 蜜总质量的 。如果有 2.5kg 的这种蜂蜜，其中的果糖和葡萄糖共有多少千克？ 1．学生独立完成。 2．交流汇报。 3．教师点拨：在解决含多余条件的实际问题时，要先弄清楚题意，看问题 所需的条件是什么，选择恰当的条件，找出多余条件，然后分析数量关系，列出 算式，最后检验结果是否正确。 设计意图：这道题隐含了一个多余条件，增加了学生的审题难度，所以 要引导学生在解决问题的过程中找准题目中的关键条件，提高学生的审题能力， 掌握解决含多余条件的实际问题的一些基本策略。: 四、回顾全课，总结提升 今天我们学习了什么内容？（板书课题：分数乘小数） 分数乘小数怎么计算？计算时应该注意什么？ 设计意图：通过让学生自主回顾本课所学知识，指导学生把新旧知识联 系起来，形成知识结构，既帮助学生理清思路、把握学习重难点，又巩固新知识、 强化记忆。: 五、布置作业 完成教材第 10 页“练习二”第 1 题和第 3 题。 第 6 课时分数混合运算 20 教学内容:教材第 8~9 页例 6、例 7。 教学目标: 知识与技能：1、理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用。2、能应用 这些定律进行一些简便计算。 过程与方法：熟练掌握运算定律，灵活、准确、合理地进行计算，进一步培 养、发展观察推理能力。 情感、态度与价值观：善于交流合作，对学习有兴趣。 重点难点: 重点：理解整数乘法运算定理对于分数的适用。 难点：运用运算定律进行简便计算。 教学过程: 知识回顾: 1、在整数乘法的运算中，我们学过了哪些运算定律？ 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c 2、简便计算。25×7×40.36×101 自主预习: 3 大胆猜测整数乘法的运算定律是否适用于分数乘法？ 自学第 8 页例 6、第 9 页的例 6 并补充完整。看有什么发现。 新知探究: 1、通过利用例 6 的三组算式，小组讨论、计算，得出两边式子的关系，来 验证自己的猜测。 2、 56 1 5 3  ，先独立计算，然后全班交流，说一说应用了什么运算定律？（应 用乘法交换律） 3、小组计算 10 1( ＋ )4 1 ×4 ，说说这道题适用哪个运算定律，为什么？ 4、运用规律进行简便计算。 ⑴出示例题 7。 21 ⑵让学生思考怎样计算比较简便，然后独立完成，如果遇到困难可以在小组 里讨论交流。 指名板演： ）（ 56 1 5 3  12)4 1 6 5(  交流时，让学生汇报自己的想法，分别说一说运用了哪种运算定律使计算简 便。 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 我发现整数乘法的运算定律同样适用于（）乘法，分数混合运算的顺序和整 数的运算顺序（）。应用乘法交换律、结合律和分配律，可以使一些计算简便， 在计算时，要仔细观察已知数有什么特点，想想应用什么定律可以使计算简便。 随堂练习: 1、拆数练习 4 5 =98 9 =19 20 =35 6 =31 32 = 通过练习，你有什么想说的吗？你认为拆数的目的是什么？ 2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？ （1）25×16 7 ×7 8 =（）×（×）（2）253 4 ×4=□×□+□×□ （3）7×7 8 =□×□〇□×□（4）54×(8 9 -5 6 )=□×□〇□×□ 3、怎样简便就怎样算。 （ 7 12 -1 5 ）×604 7 × 6 13 +3 7 × 6 13 253 8 ×8 2 27 ×(15×27 28 )× 2 15 4、练习二的相关题目 第 7 课时分数简便运算 教学内容:教材第 8~9 页例 6、例 7。 22 教学目标: 知识与技能：1、理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用。2、能应用 这些定律进行一些简便计算。 过程与方法：熟练掌握运算定律，灵活、准确、合理地进行计算，进一步培 养、发展观察推理能力。 情感、态度与价值观：善于交流合作，对学习有兴趣。 重点难点: 重点：理解整数乘法运算定理对于分数的适用。 难点：运用运算定律进行简便计算。 教学过程: 知识回顾: 1、在整数乘法的运算中，我们学过了哪些运算定律？ 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c 2、简便计算。25×7×40.36×101 自主预习: 3 大胆猜测整数乘法的运算定律是否适用于分数乘法？ 自学第 8 页例 6、第 9 页的例 6 并补充完整。看有什么发现。 新知探究: 1、通过利用例 6 的三组算式，小组讨论、计算，得出两边式子的关系，来 验证自己的猜测。 2、 56 1 5 3  ，先独立计算，然后全班交流，说一说应用了什么运算定律？（应 用乘法交换律） 3、小组计算 10 1( ＋ )4 1 ×4 ，说说这道题适用哪个运算定律，为什么？ 4、运用规律进行简便计算。 ⑴出示例题 7。 ⑵让学生思考怎样计算比较简便，然后独立完成，如果遇到困难可以在小组 23 里讨论交流。 指名板演： ）（ 56 1 5 3  12)4 1 6 5(  交流时，让学生汇报自己的想法，分别说一说运用了哪种运算定律使计算简 便。 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 我发现整数乘法的运算定律同样适用于（）乘法，分数混合运算的顺序和整 数的运算顺序（）。应用乘法交换律、结合律和分配律，可以使一些计算简便， 在计算时，要仔细观察已知数有什么特点，想想应用什么定律可以使计算简便。 随堂练习: 1、拆数练习 4 5 =98 9 =19 20 =35 6 =31 32 = 通过练习，你有什么想说的吗？你认为拆数的目的是什么？ 2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？ （1）25×16 7 ×7 8 =（）×（×）（2）253 4 ×4=□×□+□×□ （3）7×7 8 =□×□〇□×□（4）54×(8 9 -5 6 )=□×□〇□×□ 3、怎样简便就怎样算。 （ 7 12 -1 5 ）×604 7 × 6 13 +3 7 × 6 13 253 8 ×8 2 27 ×(15×27 28 )× 2 15 4、练习二的相关题目 第 8 课时解决问题（1） 教学内容： 教材第 13～14 页例 8 及相关练习。 24 教学目标： 1．使学生理解和掌握连续求一个数的几分之几是多少的问题的数量关系， 掌握分数连乘法的计算方法，并能正确计算。 2．让学生在“用数学”活动中，学会收集、选择和加工信息，在共同探讨 中培养学生的合作意识以及分析问题、解决问题的能力。 教学重点： 理解掌握连续求一个数的几分之几是多少的问题的数量关系，掌握解题的基 本方法。 教学难点： 在用分数连乘的方法解决实际问题的过程中，理解单位“1”“分率”与所对 应的量的相对性。进而帮助学生深刻理解单位“1”“分率”与具体数量之间的一 一对应关系。 教学准备： 课件、学具。 教学过程： 一、复习引入，唤醒旧知 1.找一找，谁是表示单位“1”的量： （1）足球的个数是篮球的 ； （2）女生人数与男生人数的 相等。 2.你能解决这两个问题吗？ （1）篮球有 35 个，足球的个数是篮球的 ，足球有多少个？ （2）六（1）班有男生 25 人，女生人数与男生人数的 相等，六（1）班有 女生多少人？ 3.揭题：这节课我们就继续利用单位“1”的量，来解决更多的问题。 设计意图：复习环节中两个练习题的设计，有层次、有梯度地复习了有关单 位“1”的知识内容，目的是让学生熟悉单位“1”、分率与具体量之间的一一对 25 应关系，为学习新知做好铺垫。: 二、自主探究，思辨交流 （一）阅读与理解 出示例 8 情境图：这个大棚共 480m2，其中一半种各种萝卜，红萝卜地的面 积占整块萝卜地的 。红萝卜地有多少平方米？ 你获取了哪些数学信息呢？ 整个大棚的面积是（）。 萝卜地的面积占整个大棚面积的（）。意思是说以（）为单位“1”，（）是（） 的（）。 红萝卜地的面积占萝卜地面积的（）。意思是说以（）为单位“1”，（）是（） 的（）。 要求的是（）的面积。 设计意图：审题是解决问题的第一步，引导学生了解题目中有哪些数学信息， 有助于提高学生收集、处理、分析有效的数学信息的能力，继而提高学生提出问 题、分析问题的能力。真正将课标提出的“四基能力”落实在课堂之中。: （二）分析与解答 1.分析：如果我们用一张长方形的纸来表示整个大棚，你能折出或画出红萝 卜地的面积吗？ 学生动手操作。 2.解答：看着这张图，你能解决这个问题吗？（学生尝试解决。） 3.交流：谁来说说你是怎么解决的？ （1）先求萝卜地的面积，算式是 480× =240（m2）； 26 再求红萝卜地的面积，算式是 240× =60（m2）。 思辨：求萝卜地的面积时，谁是表示单位“1”的量？（整个大棚面积） 求红萝卜地的面积时，谁是表示单位“1”的量？（萝卜地面积） 利用上述图例，引导学生整理、思考上述思辨问题，并得出：连续两步求一 个数的几分之几是多少，这两步中表示单位“1”的量是不同的。 （2）先求红萝卜地占大棚面积的几分之几。（老师问：你能在图上指出红萝 卜地占大棚面积的几分之几吗？）算式是 × = 。 再求红萝卜地的面积，算式是 480× =60（m2）。 思辨：这两种方法有什么相同点和不同点，你能发现什么？ 学生充分发表意见。 师小结：今后解题时一定要认真分析题意，想好先算什么，再算什么，既可 以用分步算式计算，也可以列综合算式计算，这就是我们这节课要学习的连续求 一个数的几分之几是多少的问题。 设计意图：在本环节的教学中，主要采取自主探究的形式,让学生根据信息 进行积极思考、尝试解决、思辨交流，调动全体学生参与学习活动的积极性。: （三）回顾与反思 我们求出的红萝卜地的面积是 60m2，这个答案是否正确呢？你能用自己喜 欢的方法检验一下吗？ 生：红萝卜地的面积是 60m2，60÷240= ，确实是占萝卜地面积的 。 萝卜地的面积是 240m2，240÷480= ，正好是整个大棚面积的一半。 生：从折纸中，我们可以很清晰地看出，红萝卜地、萝卜地和整个大棚的面 积之间的数量关系符合题意。 设计意图：让学生对自己的探索过程进行回顾与反思，是对自己的学习活动 进行的有效自我调节，是智慧成熟的标志。可以培养学生反思的意识，使学生养 成反思的习惯，提高学生反思的能力，进而使学生调整学习过程，改善学习策略， 促进自主学习能力的提高。: 27 三、巩固练习，强化认知 1.教材第 14 页做一做：咱们班 36 人， 的同学长大后想成为老师，想成为 科学家的人数是想当老师人数的 ，多少名同学想成为科学家？ 你能用几种方法计算呢？ 说说你的分析思路，第一步是先求什么？ 2.解答教材第 16 页练习三的第 1～3 题。 （1）人体血液在动脉中的流动速度是 50 厘米/秒，在静脉中的流动速度是 动脉中的 ，在毛细血管中的流动速度只有静脉中的 。血液在毛细血管中每 秒流动多少厘米？ 第一种方法先求什么？再求什么？ 先求血液在静脉中的流动速度，再求血液在毛细血管中的流动速度。 算式是 50× × = （厘米）。 第二种方法先求什么？再求什么？ 先求血液在毛细血管中的流动速度是在动脉中的流动速度的几分之几，再求 在毛细血管中的流动速度。 算式是 50× = （厘米）。 （2）海象的寿命大约是 40 年，海狮的寿命是海象的 ，海豹的寿命是海狮 的 。海豹的寿命大约是多少年？ 第一种方法先求什么？再求什么？ 先求海狮的寿命，再求海豹的寿命大约是多少年。 算式是 40× × =20（年）。 第二种方法先求什么？再求什么？ 先求海豹的寿命是海象的几分之几，再求海豹的寿命大约是多少年。 28 算式是 40× =20（年）。 （3）芍药的花期是 32 天，玫瑰的花期是芍药的 ，水仙的花期是玫瑰的 。 水仙的花期是多少天？ 第一种方法先求什么？再求什么？ 先求玫瑰的花期，再求水仙的花期是多少天。 算式是 32× × =15（天）。 第二种方法先求什么？再求什么？ 先求水仙的花期是芍药的花期的几分之几，再求水仙的花期是多少天。 算式是 32× =15（天）。 设计意图：提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，从而加深对连续求 一个数的几分之几是多少的问题的认识。练习的设计以趣味性和层次性为原则， 分别安排了“基础性练习”“拓展性练习”等练习形式，检验学习效果，培养学 生运用所学知识解决实际问题的能力，把教学目标真正落实到位。: 四、全课总结，提升认识 （一）师生共同小结：本节课我们学习了哪些内容？ （二）师小结： 1．连续求一个数的几分之几是多少，相当于把两个“求一个数是多少” 的问题整合在一起。要先想清楚第一步求什么，特别要注意第一步计算和第二步 计算中表示单位“1”的量是不同的。 2．我们可以借助折纸或画图的方法理解数量关系。 设计意图：通过小结，让学生自主回顾本课所学知识并进行简单的梳理，同 时通过教师的归纳与提炼，让学生理解连续求一个数的几分之几是多少的问题， 渗透“数形结合”的数学思想。: 五、布置作业，课外延伸 在实际生活中，我们遇到过需要“连续求一个数的几分之几是多少”的问题 吗？请你课后去收集一下吧。 29 设计意图：用数学的眼光看生活，用学过的数学知识去解决实际生活中的问 题，可以体现知识的价值，提升学生学习数学的积极性，获得学习数学的成功感。: 第 9 课时解决问题（2） 教学内容： 教材第 14～15 页例 9 及做一做，练习三第 4～7 题。 教学目标： 1．让学生在解决“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法基本问题的基 础上，尝试自己学会解决较复杂的“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少” 的分数乘法问题。初步构建分数乘法问题的知识结构。 2．培养学生的阅读理解分析能力，以及合作意识和相互沟通的能力。养成 良好的解决问题的检验习惯。 目标解析：“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的分数乘法问题 较复杂，是在解决“求一个数的几分之几是多少”这类分数乘法基本问题的基础 上发展引申出来的，教师可以放手让学生在旧知识的基础上自主学习，大胆探 究。: 教学重点： 让学生在解决简单的分数乘法问题的基础上，学会解决较复杂的“求比一个 数多（或少）几分之几的数是多少”的分数乘法问题。 教学难点： 初步构建分数乘法问题的知识结构。 教学过程： 一、情境引入，阅读思考 （一）课件出示信息 人心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约 75 次，婴儿每分钟 心跳的次数比青少年多 。 （二）阅读信息，思考问题 1.请学生认真阅读信息，思考：根据这些信息你能提出哪些问题？ 预设：（1）婴儿每分钟心跳比青少年多多少次？ 30 （2）婴儿每分钟心跳的次数是青少年的几分之几？ （3）婴儿每分钟心跳多少次？ 2.这些问题中，哪些你能解答出来？ 对于前两个问题，学生根据自己学过的知识就能解答。解答完第一个问题时， 说说怎样解决“求一个数的几分之几是多少”的问题。 设计意图：一方面复习解决分数乘法基本问题的方法，对解决分数乘法问题 中表示数量关系的句子进行深入理解，为后续学习做好准备；另一方面，让学生 学会收集、选择和加工信息。: 二、由浅入深，探索新知 （一）改题 在课件上补充前述问题（3）：“婴儿每分钟心跳多少次？”，呈现例 9。 （二）探索解决稍复杂分数乘法问题的方法 1.认真阅读例 9，理解题意。 阅读课本第 14 页例 9 及下面的“阅读与理解”和“分析与解答”的线段图， 并思考： （1）你从题目中读懂了什么？把“阅读与理解”栏目的内容填写完整。 （2）从“分析与解答”的线段图中你又读懂了什么？说说每一条线段的意 义。 （3）你认为该怎样解决这个问题？尝试自己做一下。 2.同桌讨论。 （1）说说题意和图意。 （2）把你的解题思路说给同桌听。 3.集体讨论。 （1）说说你是怎样理解题意的？（可直接读题理解，也可通过线段图理解。 对于遇到困难的同学，可以再次出示线段图辅助理解，尤其是对第二种解法的理 解）。 31 （2）你是怎样解答的？说说解题思路。 方法一： 方法二： （3）你能用自己的方法检验两位同学的解答是否正确吗？如果有困难可以 提示一下（算算 135 次比 75 次多几分之几？）。 4.回顾小结。 你是通过哪些途径来理解题意的？（反复阅读，画线段图，找准表示单位“1” 的量等，特别强调画线段图在理解题意中的作用。） 设计意图：通过学生阅读例题、画线段图等活动培养学生的阅读能力和自主 探究的能力。又通过讨论、小结，使每位同学都学有所得，同时培养学生的合作 意识和沟通能力。: 三、课堂练习，强化新知 1.P15 做一做。反复阅读，仔细分析。独立完成后，同桌讨论解题思路和方 法。 2.理解“分率句”专项训练： （1）六（1）男生人数占全班人数的 。 把看作单位“1”，是的 ，女生人数占全班人数的。 女生人数=全班人数×。 （2）电视机的数量比洗衣机多 。 电视机=洗衣机×。 3.独立作业（部分可选作本节的课后作业） （1）昆虫飞行时经常振动翅膀。蜜蜂每秒能振动翅膀 236 次，蝗虫每秒振 动次数比蜜蜂少 。蝗虫每秒能振动多少次？ 先求什么？再求什么？你有几种解题方法？ 32 （2）鸡的孵化期是 21 天，鸭的孵化期比鸡长 。鸭的孵化期是多少天？ 你能通过画线段图的方式分析题目的意思吗？ （3）严重的水土流失致使每年大约有 16 亿吨的泥沙流入黄河，其中 的泥 沙沉积在河道中，其余被带到入海口。有多少亿吨泥沙被带到入海口？ 跟同桌交流一下你的思考过程。 （4）磁悬浮列车运行速度可达到 430 千米/时，普通列车比它慢 。普通 列车的速度是多少？ 同桌之间互相说说用不同方法解答的思考过程。 设计意图：留给学生充分的练习时间，让学生进一步理解、巩固这节课所学 知识。教师也可以在巡视过程中及时发现问题、解决问题。: 四、课堂小结，归纳提升 1.这节课我们学习了什么内容？ 怎样解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。 2.它与前一节课所学的知识有什么共同之处和不同之处？ 归纳得出：求一个数的几分之几是多少，都是用这个数去乘几分之几。这里 的几分之几有时候可以直接从题目中获取，有时候要根据题意自己计算出来。 解法一： A．确定单位“1”的量。 B．根据求一个数的几分之几是多少，先求出中间问题。 C．再计算题中所求的问题。 解法二： A．确定单位“1”的量。 B．先求出所求问题相当于单位“1”的几分之几。 C．根据求一个数的几分之几是多少，求出答案。 设计意图：此处的课堂总结有利于学生构建分数乘法问题的知识结构。: 五、互动游戏，适度拓展 33 师：这堂课同学们都学得很好，现在还有时间，为了奖励大家，我们一起来 做一个游戏。 我这里有 2 个盒子和 30 个乒乓球。现在老师拿几个乒乓球放到一个盒子中， 但是不给你们看到底拿了多少个，看哪位同学猜得准。 师：我只告诉你们一个条件：“1 号盒子里乒乓球的个数是总个数的 。”你 能说出 1 号盒子里有几个乒乓球吗？ 师：如果 1 号盒子里乒乓球的个数是总个数的 ，你能说出 2 号盒子里现在 有几个乒乓球吗？ 师：你没有看见，怎么会知道另一个盒子里有 25 个乒乓球呢？ 设计意图：在课堂最后安排了有趣的数学游戏，使学生在轻松愉快的氛围中 回顾分数乘法的学习内容。 第 10 课时整理和复习 教学内容:教材第 17 页。 教学目标: 1、使学生掌握分数乘法的计算方法，并能运用这个方法进行相关计算。 2、使学生能分辨清楚先乘后加减的运算顺序，并能熟练地应用乘法运算定 律进行简便计算。 3、引导学生准确地找到单位“1”，并能熟练地解答一步和二步的乘法应用 题。 重点难点: 重点：引导学生找准单位“1”，分析应用题的数量关系。 难点：让学生正确、独立地分析应用题的数量关系。 教学过程: 一、复习分数乘法 1、学生独立计算 P17 第 1 题，并思考式子的意义及计算法则。 2、分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义是什么？（表示几个相同加数的和或表示一个数的 34 几倍是多少） （2）一个数乘分数的意义是什么？（表示一个数的几分之几是多少） 3、分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数：把能约分的先约分，然后把整数与分子相乘，分母不变。 （2）分数乘分数：同样把能约分的先约分，然后用分子乘分子，分母乘分 母。 4、练习：练习四第 1 题。 二、复习计算及简便计算 1、复习乘加乘减的运算顺序：先算二级运算，再算一级运算，有括号的要 先算小括号里面的，再算中括号里面的。 2、复习乘法的运算定律： 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c 观察 P17 第 2 题，说说这三题适合运用什么运算定律？为什么？然后学生独 立完成。 练习：练习四第 4 题。 三、复习分数乘法应用题 1、复习解答分数乘法应用题的步骤： （1）找到题目中的分率句，确定单位“1”。 （2）根据题目中的数量关系，求出所要求的部分量。 2、P17 第 3 题 （1）读题，分别找到两道题的单位“1”，并说说这两道题有何不同？ （2）根据题意分析数量关系，然后列式计算，全班讲评。 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 随堂练习: 练习四第 5 题。 第一单元归纳总结（知识点小结）分数乘法 一、分数乘法 35 （一）分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运 算。 例如： 9 8 ×5 表示求 5 个 9 8 的和是多少？ 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 例如： 9 8 × 4 3 表示求 9 8 的 4 3 是多少？ （二）、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母 约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 （三）、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。 一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。 （四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 （五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：（a+b）×c=ac+bcac+bc=（a+b）×c 二、分数乘法的解决问题 （已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 1、画线段图： （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 2、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面 3、求一个数的几倍：一个数×几倍； 36 求一个数的几分之几是多少：一个数× 几 几 。 4、写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=” （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量 （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1  分率）=分率对应 量 三、倒数 1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存 在。 （要说清谁是谁的倒数）。 2、求倒数的方法： （1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 （2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。 （3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 （4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。 3、1 的倒数是 1；0 没有倒数。因为 1×1=1；0 乘任何数都得 0， 0 1 （分母 不能为 0） 4、对于任意数 ( 0)a a  ，它的倒数为 1 a ；非零整数a 的倒数为 1 a ；分数 b a 的 倒数是 a b ； 5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。 第二单元教材分析位置与方向（二） 一、教学内容 用方向和距离描述平面上两个点的相对位置关系并在此基础上描述简单的 路线图。 二、教学目标 37 1．使学生会根据平面上一个点的位置说出它相对于观测点的方向和距离； 会根据一个点相对于观测点的方向和距离确定这个点的具体位置；会描述简单的 路线图。 2．通过让学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，培养空间观念。 3.使学生通过用方向和距离来表示平面上的位置，初步感受坐标法的思想。 4．使学生通过生活实例学习位置与方向的知识，感受数学与生活的紧密联 系，学会在生活中应用数学。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 “用数对确定位置”和“用方向和距离确定位置”是直角坐标和极坐标思想 在小学的初步渗透。在上一轮教材的实验过程中，教师普遍反映“用方向和距离 确定位置”的教学难度要大于“用数对确定位置”。因此，此次修订，根据各方 意见，把实验教材六年级上册的“用数对确定位置”移至五年级上册，把实验教 材四年级下册的“用方向和距离确定位置”移至本册。 （二）具体编排 在具体编排上，也更加注重体现层次性。教材选择台风移动这一学生相对熟 悉的现实素材作为一个大背景，用“情境串”的形式引出 3 个例题。 1.例 1。 教材以电视播报台风警报作为情境引入，具有很强的生活气息，使学生充分 感受生活和数学的紧密联系。 教材直接给出标出台风中心和 A 市的方位图，让学生利用图示理解台风中心 “位于 A 市东偏南 30°方向、距离 A 市 600km”所表示的含义。 确定一个位置，需要方向和距离两个条件，教材先通过小精灵提问的方式， 让学生思考东偏南 30°表示什么意思，这也是本例的重点。使学生看到东偏南 30°表示的是一条射线上的所有点，如果只有这一条件，还无法判断台风中心的 确切位置，由此引出距离。“东偏南 30°”与“南偏东 60°”含义完全相同，只 是生活中更习惯于选择小于 45°的角度来描述。图示中用一条线段表示 100km， 由于学生还没学习比例尺，只要能说出这样的 6 条线段表示 600km 就可以了，不 必涉及比例尺。 最后小精灵问“台风大约多少小时后到达 A 市”，主要目的是为了在解决实 38 际问题的过程中，与例 2 进行很自然的情境连接。 2.例 2。 本例在学生通过例 1 了解了方向与距离的含义之后，让学生根据给出的某个 点相对于参照点的方向和距离，在方位图上找到该点的位置。延续了例 1 的情境， 情节连贯，随着现实情境的发展，自然地引出数学问题。 教材给出了两类定位的情形，一类是非正东、正南、正北、正西的，一方面 需要确定角度，另一方面需要确定距离；另一类的正东、正南、正北、正西的， 只需要确定距离即可。 教材采取小组合作的方式，提示学生应该如何根据方向和距离确定位置。先 确定方向再确定距离和先确定距离再确定方向这两种方法都可以用，但学生通过 尝试，一般会主动选择先确定方向，然后在该方向所在射线上根据相应的距离找 到该位置。 3.例 3。 教材呈现了台风从生成地出发、经过四次方向改变的大致路径，让学生用数 学的语言来描述简单的路线图。路线图中包括了例 1 和例 2 中台风的移动路线， 体现了情境的整体性和知识的综合性。 路线图描述的不仅仅是两个点的静态关系，而是物体在多个点之间的运动关 系。除了整条路线的起点和终点之外，其他点都既是某一段路线的终点，也是下 一段路线的起点。教材通过学生对话的方式，给出了分段描述的示范，使学生明 白方向与距离的描述是具有相对性的，并掌握在描述每一段路线时要注意的几个 关键点：起点在哪儿？终点在哪儿？沿着什么方向？移动了多少距离？ 四、教学建议 1.注意联系学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索新知，发展空间 观念。 2.以问题为载体，鼓励学生通过自主探究、合作交流，克服教学重难点，初 步建立坐标观念。 第 1 课时确定物体的位置 教学内容： 教材第 19、20 页相关内容及练习题 39 教学目标： 知识与技能：通过解决问题，体会确定位置在生活中的应用，了解确定位置 的方法。 情感态度价值观：１．体会到数学知识与实际生活紧密联系，感受到生活中 处处有数学。２．培养学生合作交流的能力以及学习数学的兴趣和自信心。 教学重难点： 重难点：能根据任意方向和距离确定物体的位置。 教学方法： 合作交流、共同探讨 教、学具准备： 教师：多媒体课件，直尺、量角器等。 学生：直尺、量角器。 教学过程： 一、情景导入 １．交流例题１中有关台风的消息。 ⑴同学们听说过台风吗？你对台风有什么印象？ ⑵播放有关台风的消息：目前台风中心位于Ａ市东偏南 30°方向、距离Ａ 市 600km 的洋面上，正以 20 千米／时的速度沿直线向 A 市移动。 师：听到这侧消息，你有什么感想？ 启发学生交流，引导学生关注台风的位置和动态。 2．导入新课 现在台风的确切位置在哪里呢？今天这节课，我们就来学习确定物体位置的 知识。 [板书课题：描述物体的位置] 设计意图:通过交流台风的相关信息，引导学生关注到确定位置的数学知识， 从而激发学生的学习兴趣，为教学的展开作铺垫。 二、探究新知 教学题例１ １．投影出示例题１。学生观察情境图，交流从图中信息？ （启发学生观察时关注以下几方面的信息：东、南、西、北四个方向在哪里； 40 以哪里为观测点；图中台风中心的个体位置在哪里。） ２．交流确定台风中心具体位置的方法。 ⑴让学生尝试说说台风中心的具体位置。 ⑵教师结合学生的汇报情况进行引导。 提问：东偏南 30°是什么意思？ （东偏南 30°表示的是台风中心位置相对于 A 市所在的方向，也就是台风 中心位置与 A 市的连线和正东方向的夹角是 30°，即正东方向往南偏 30°。） ⑶小结确定位置的方法。 提问：如果只有一个条件，能够确定台风中心的具体位置吗？ 引导学生得出：要确定台风中心的具体位置必须知道两个条件，即物体所在 的方向和物体在这个方向上距离观察点的距离，简单地说就是要用“方向＋距离” 的方法来确定物体所在的具体位置。 ３．组织计算。 师：现在我们知道台风中心所在的具体位置了，那台风大约多少小时后到达 Ａ市呢？ 学生独立计算，组织交流。 600÷20＝30（小时） 设计意图:教学过程中应注重学生观察能力的培养，给学生足够的探索时间 和空间，体会在图上确定位置的方法，让学生感受到数学源于生活，高于生活， 用于生活的价值和魅力。 三、巩固练习 教材第 20 页“做一做”。 这道题物体所在的具体方向和距离都没有直接给出，需要学生自己测量和计 算。 ⑴让学生独立进行测量、计算、填空。 ⑵组织交流。 让学生说说是怎样测量方向的，怎样计算距离的。 四、课堂小结 今天这节课我们知道要确定物体的位置，关键需要方向和距离两个条件。在 平面图上标明物体位置的方法是先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定 41 距离。 第 2 课时标出物体的位置 教学目标： 1、进一步熟悉表示物体的位置的方法。 2、能较熟练地在方格纸上确定物体的位置，初步体会坐标的思想。 教学重点： 能较熟练地用数对表示具体情境中物体的位置关系的相对性。 教学难点：画平面图的方法。 教学过程： 教学例题２ 1、投影出示例题２。 提问：在例题１的图中，Ｂ市、Ｃ市的具体位置应该标在哪里呢？请你在例 题１的图中标出Ｂ市、Ｃ市的具体位置。 2、尝试画图。 ⑴学生独立思考怎样标出Ｂ市、Ｃ市的具体位置。 ⑵小组交流作图的方法。 ⑶尝试画图。教师巡视交流，参与部分小组讨论，辅导有困难的学生。 3、组织全班交流。投影展示学生完成的作品。 组织交流和评议，通过交流明白在图上标出Ｂ市、Ｃ市位置的方法。 Ｂ市：先确定方向，用量角器量出Ａ市的北偏西 30°（量角器中心点与Ａ 市重合，量角器０刻度线与正北方向重合，往西量出 30°）；再表示距离，用１ cm 表示 100km，Ｂ市距离Ａ市 200km，在图上也就是２cm。 Ｃ市：先确定方向，直接在图上找到Ａ市的正北方向，再表示距离，用１cm 表示 100km，Ｃ市距离Ａ市 300km，在图上也就是 3cm。 4、算一算。 台风到达Ａ市后，移动速度变为 40 千米／时，几小时后到达Ｂ市？ 200÷40＝5（小时） 5、总结画图的基本步骤。 交流：你们认为在确定物体在图上的位置时，应注意什么？怎样确定？ 42 二、总结： 确定平面图中东、西、南、北的方向。 确定观测点。 （3）根据所给的度数定出所画物体所在的方向。 （4）根据比例尺，定出所画物体与观测点之间的图上距离。 设计意图:教学过程中应注重学生观察能力的培养，给学生足够的探索时间 和空间，体会在图上确定位置的方法，让学生感受到数学源于生活，高于生活， 用于生活的价值和魅力。 三、巩固练习 教材第 21 页“做一做”。 ⑴学生独立进行画图。 ⑵投影展示，组织评议。 ⑶交流画图的方法。 四、课堂小结： 今天这节课我们知道要确定物体的位置，关键需要方向和距离两个条件。在 平面图上标明物体位置的方法是先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定 距离，最后画出物体的具体位置，标出名称。 五、板书设计： 确定观测点 确定物体在观测点的什么位置 确定物体距离观测点的距离 第 2 单元位置与方向（二） 第 3 课时描述并绘制路线图 教学内容: 教材第 22 页相关内容及练习题 教学目标: 知识与技能：能用语方描述简单的路线图，并能根据描述画出具体的路线示 意图。 过程与方法：在学习过程中培养学生的观察分析和交流合作的能力。 43 情感态度价值观：１．体会到数学知识与实际生活紧密联系，感受到生活中 处处有数学。２．培养学生合作交流的能力以及学习数学的兴趣和自信心。 教学重难点： 重点：能用语方描述简单的路线图，并能根据描述画出具体的路线示 意图。 难点：能根据观测点的变化灵活描述路线。 教学方法: 合作交流、共同探讨 教、学具准备：教师：多媒体实物投影仪、量角器、三角尺、中国地图等。 学生：量角器、三角尺、中国地图等。 教学过程： 复习导入: １．复习。 同学们，在上节课的学习过程中，我们知道了要确定一个物体的位置，需要 哪几个条件？ 分别让学生说一说。 （确定物体相对于观测点的方向；确定物体相对于观测点的距离。） ２．导入。 今天这节课我们继续学习位置与方向的相关知识。 [板书课题：描述并绘制路线图] 设计意图:简单的知识回顾，帮助学生回忆学习过的有关知识，为学习新课 做准备，让学生能快速地进入学习状态。 探过新知: ㈠教学例题３。 １．出示台风的大致路径图。 （１）让学生在路径图上分别找一找：台风生成地、Ａ市、Ｂ市、路径图上 的方向标。 （２）指名汇报。 ２．提出问题。 你能用自己的语言说说台风的移动路线吗？ 44 如果学生有困难，可以进行如下适当启发： 台风生成以后，先是沿正西方向移动 km，然后改变方向，向西偏北方向移 动了 km，到达Ａ市。接着，台风又改变了方向，向偏 30 度方向移动了 km，到达 Ｂ市。 ３．组织交流。 指名汇报，其他学生进行补充。 通过交流活动让学生明白台风到达一个新的位置后，要以新的位置作为观测 点来判断台风运行的方向。 ４．小结描述路线的方法。 描述路线时要讲清楚“从哪里出发”“沿什么方向”“移动多少距离”“到达 哪里”。 （二）出示教材第 22 页“做一做”。 １．提出要求。 根据下面的描述画出路线示意图。 ２．小组讨论画图方法。 ⑴学生小组讨论怎么样画图。 教师巡视，参与个别小组讨论。 ⑵组织交流汇报。 通过交流，让学生明白画图的步骤： ①定下出发时的位置。 ②标出示意图的方向标。 ③用量角器量出方向。 ④确定比例尺，计算出图上距离，量出图上距离。 ３．学生独立画路径图。 教师巡视，辅导有困难的学生。 ４．展示汇报，交流评议。 交流时分别让学生说一说自己是如何画的。 教师要适时指导学生，特别是如何确定比例尺，也就是图上每一格代表实际 的距离是多少。 设计意图:教学过程中让学生通过观察分析、独立思考、合作交流等方式， 45 亲历问题分析、解决过程，更好地理解物体之间的相对位置关系。 巩固练习: 教材第 26 页“练习五”第 9 题。 （１）先根据描述，把公共汽车行驶的路线图画完整。通过这个小题，让学 生巩固画路线图的方法。 （２）再根据路线图，说一说公共汽车沿原路返回时行驶的方向和路。通过 这个小题，感受物体位置方向的相对性。 课堂小结: 师生通过交流总结：知道了如何描述路线图，并根据路线图画出示意图，知 道了物体的位置方向是相对的。 板书设计:; 描述并绘制路线图 描述路线：从哪里出发→沿什么方向→移动多少距离→到达哪里 定下出发的位置。 ↓ 标出示意图的方向标。 ↓ 画路线图的方法：用量角器量出方向。 ↓ 确定比例，计算出图上距离，量出图上距离。 第二单元归纳总结（知识点小结）位置与方向（二） 1.辩认东、南、西、北四个方向的方法：先确认一个方向，再根据 这个方向辨认出其他的方向。（平时所说的“前”是指我们面对的方向，而 “后”是指背对的方向：通常用来写字的手所在一侧为“右”，另一侧就是“左”。） 2.确认一个方向的方法；可借助工具确认方向，也可以借助身边的事物确认 方向。 3.根据一个确定的方向找其他三个方向的方法；面南背北，左东右西；面北 背南，左西右东；面东背西，左北右南；面西背东，左南右北。 4.地图通常是按“上北下南，左西右东”绘制的。 46 5.绘制简单示意图的方法；先选好观察点，把选好的观察点画在平面图的中 心位置，再确定好各物体的方向，在纸上按“上北下南，左西右东”来绘制，用 箭头标出北方。 6.看路线图时，首先要确定好自已所处的位置，以自已所处的位置为中心， 再根据上北下南，左西右东的规则来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根 据目的地的方向和路程来确定所要走的路线。 温馨提示北极星在北方。背对北极星时，则前面是南，后面是北，左面是东， 右面是西；面向北极星时，则前面是北，后面是南，左面是西，右面是东 7.辩认东北、东南、西北、西南四个方向的方法；（1）利用指南针辩认。（2） 借助身边事物辩认，只要知道东、南、西、北中一个方向，其余的七个方向便可 确认。 8.正西和正北之间的方向是西北方向；正东和正北之间的方向是东北方向； 正西和正南之间的方向是西南方向；正东和正南之间的方向是东南方向。所以说 一共有八个方向；东、南、西、北、东北、东南、西北、西南。 9.描述行走路线的方法；以出发点为基准，先确定要到达的地点所处的方向， 再看哪一条路通向目的地，最后把行旧走的路线描述出来。 10.位置是相对的。东与西相对、南与北相对；东北与西南相对，东南与西 北相对。 温馨提示风向与物体倾斜的方向相反。（比如；刮风时，树枝偏向西北方， 说明刮的是东南风。） 11.画平面图时，应先找准以谁为中心，再以中心物体为标准，根据方向找 准其他场所的位置。 例 1 同学们排成正方形方阵做体操表演，小明的东、南、西、北方向各有 4 名同学，这个正方形方阵一共有多少同学？ 分析如果将南北方向确定为方阵的列，东西方向确定为行，那么小明的南、 北方向各有 4 名同学，再上小明，说明方阵有 9 行；同理，小明的东、西方向各 有 4 名同学，再上小明，说明方阵有 9 列。这个方阵有 9 行 9 列，用乘法可以算 出这个方阵的人数。 解（4+4=1）X（4+4+1）=9X9=81（名） 答；这个正方形方阵一共有 81 名同学。 47 第三单元教材分析分数除法 一、教学内容 1.倒数的认识 2.分数除法的计算 3.问题解决 二、教学目标 1．使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。 2．使学生体会分数除法的意义，理解并掌握分数除法的计算方法，会进行 分数除法计算。 3．使学生会解决一些和分数除法相关的实际问题。 4．使学生体会数学与生活的密切联系，体会并掌握模型、方程、数形结合 等数学思想。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 除了把“倒数”从“分数乘法”单元移过来和把“比”的内容另设单元以外， 本单元还有两个较大的变化。 1.删去“分数除法意义”的相关例题。 考虑到学生对整数乘、除法之间的关系已经非常熟悉，修订后的教材不再单 独设置有关“分数除法意义”的例题，只在相关练习中进一步巩固分数乘、除法 之间的关系。 2.增加两类“问题解决”。 第一类是和倍、差倍问题（两个量之间的“倍数关系”是以“几分之几”的 形式出现的）。在这类问题中，有两个未知量，这两个未知量之间的数量关系也 有两个。例如，第 41 页例 6 中，两个未知量分别是“上半场得分”和“下半场 得分”，两个数量关系分别是“上半场和下半场共得 42 分”和“下半场得分是上 半场的一半”。解决时，可以设其中一个未知量为 x，利用其中的一个数量关系， 用代数式表示出另一个未知量，再利用另一个数量关系列出方程。设的未知数不 同，列代数式和列方程所依据的数量关系不同，列出的方程也完全不同。例如， 本例就可以列出如下一些方程。 48 设 其 中 一 个未知量为 x 如果设上半场：x 分 如果设下半场：x 分 用 代 数 式 表示出 另 一 个 量 下 半 场 ： (42-x)分 （依据“全 场得 42 分”） 下半场：x 分 （依据“下 半 场 得 分 是 上 半场的一半”） 上 半 场 ： (42-x)分 （依据“全 场得 42 分”） 上半场：2x 分 （依据“下 半 场 得 分 是 上 半场的一半”， 即“上半场得分 是 下 半 场 的 2 倍”） 列出方程 42-x=x 或 x=2(42-x) (依据“下 半 场 得 分 是 上 半场的一半”或 “ 上 半 场 得 分 是 下 半 场 的 2 倍”) x+x=42 （依据“全 场得 42 分”） x=(42-x) 或 42-x=2x (依据“下 半 场 得 分 是 上 半场的一半”或 “ 上 半 场 得 分 是 下 半 场 的 2 倍”) 2x+x=42 （依据“全 场得 42 分”） 虽然这些方程之间可以通过变形互相转化，但其背后的思考角度是各不相同 的。教学时，要注意引导学生说一说解决问题的完整过程，并通过不同解法的交 流，养成多角度地思考问题的习惯。 第二类是可用抽象的“1”来解决的实际问题。教材利用修路这一“工程问 题”来引入，使学生经历发现和提出问题、分析和解答问题的过程。例如，学生 会认为题中缺少解题的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？学生会回答： 不知道公路长多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具体的长 度，把新问题转化为旧问题，加以解决。通过学生之间的交流，发现虽然假设的 公路具体长度不同，得到的结果却是相同的，使学生产生探究原因的欲望。通过 分析，发现不管公路总长是多少，两队每天修的长度分别占总长度的和是不变的， 这也是能得到相同结果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示 公路总长。 49 教学此例时，要注意以下几点。 第一，这里不是要系统地教学各类“工程问题”，教学时不要对“工程问题” 多变式、深挖掘、广训练。 第二，不必要求学生死记硬背“工作总量÷工作效率=工作时间”等数量关 系，只要会用具体的语言描述出来就可以，如“公路的总长÷每天修的长度=需 要修的天数”。 第三，最重要的不是让学生记住结论，尤其不要把列出“1÷（+）”这一最 简形式的算式作为教学的终极目标，形成“解题套路”，而是要让学生经历问题 解决的全过程，掌握问题解决的技能和策略。例如，假设的方法是解决此类问题 的重要策略，也是数学学习中常用的有效方法。如果学生认为把公路总长假设成 一个具体的量来解决更易于理解，要允许学生继续采用这种一般性的解题思路。 把公路总长假设成“1”（而不是 1km），需要学生具有更抽象的数学思维。 第四，要结合问题解决，使学生体会和运用基本的数学思想和方法，积累基 本的活动经验。在此例的教学中，要注意体现变中有不变的思想、抽象的思想、 模型的思想。为了让学生进一步体会模型化的思想，教材特意在练习中编排了运 输问题、行程问题、泄洪问题、种树问题，使学生发现：虽然这些问题的现实背 景各不相同，但其背后的数量关系是相同的。数学教学的一个重要任务就是让学 生学会透过纷繁芜杂的现实情境的表象，找出体现数量之间本质关系的数学模型。 （二）具体编排 1．倒数的认识 （1）例 1。 教材编排了几组乘积为 1 的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨论等活动， 归纳出它们的共同规律，引出倒数的定义，并用实例突出“互为倒数”的含义。 然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点；如果两个数都是分数，那么这 两个数的分子、分母交换位置；如果一个是整数，那么另一个分数的分子是 1， 分母就是该整数，为例 1 的学习打下基础。 例 1 教学求倒数的方法。教材先安排找倒数的活动，初步体验找倒数的方法： 调换分子、分母的位置。在总结求倒数的方法时，要分三种情况：求分数的倒数； 求整数的倒数；1 和 0 的倒数的问题。对于 1 和 0 的倒数问题，因为 1×1=1，所 以 1 的倒数是 1；因为 0 与任何数相乘都不可能是 1，所以 0 没有倒数。 50 2.分数除法 （1）例 1。 例 1 以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生理解分数除以整数的 算理。教材分两个层次编排：先解决分数的分子能被整数整除的特殊情况；再引 出分子不能被整数整除的情况。第一个问题是分子能被整数整除的情况，有两种 思考方法，方法一是利用整数除法的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计 算；方法二是利用分数的意义，将问题转化为求的来理解和计算。在此基础上提 出第二个问题，凸显方法一的局限性和方法二的一般适用性。 教材体现了让学生经历由特殊到一般的探索过程，进而理解把一个数平均分 成几份，求其中的 1 份，就是求这个数的几分之一是多少，渗透转化的数学思想。 （2）例 2。 例 2 研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情 况。在解决“谁走得快些”这一实际问题的过程中，自然地列出两个算式，列式 的依据是“路程÷时间＝速度”的数量关系，和以前所不同的是路程、时间由整 数换成了分数。由于学生对这一数量关系比较熟悉，所以列出分数除法算式不会 感到困难，有利于把教学重点集中于计算方法的探索与理解。 理解“2÷”的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方式呈现推算 的思路：由于 1 小时里有 3 个小时，所以可以先求出小时走了多少千米，即先求 出小时走的 2km 的一半（即）。由于有了直观图的支持，降低了学生对 2××3 中 每一部分含义的理解难度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘上这个分数的倒 数”的转化。 通过求小红平均每小时走多少路程引出分数除以分数的算式。由于有了整数 除以分数的算理的铺垫，教材在这儿没有呈现线段图，而是通过提问“为什么写 成×”，引导学生通过迁移类推，自行阐述算理。 以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算法，使学生看到，不管被除 数是整数还是分数，不管除数是整数还是分数，只要除数不为 0，都可以转化成 乘上除数的倒数来计算。并启发学生用自己的方式表示这一算法。 （3）例 3。 本例以学生熟悉的生活情境为素材引出分数混合运算。分数混合运算的顺序 问题已在“分数乘数”单元解决了，学生在此学习分数混合运算，既是分数四则 51 运算的综合应用，也为后面学习利用分数四则运算解决实际问题打下基础。 教材提供了两种不同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再 列综合算式解答。对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按步骤 计算，也可以直接转化为分数连乘后同时约分计算。 （4）例 4。 本例是让学生解决简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实 际问题。这类问题是分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。 教材通过问题解决的三大步骤让学生经历问题解决的全过程。其中，“阅读 与理解”让学生自行分析题意，弄清楚条件和问题，选取有效信息。在这里，成 人体内水分与体重的关系是一个多余条件，需要学生加以辨别。 这类问题如果用算术方法解，较难理解，学生往往难以判断谁是单位“1”， 数量关系也较复杂。因此，教材根据分数乘法的意义，利用已有知识画线段图， 找到数量关系，列出方程，并解出方程。这样思考问题的思路与相应的分数乘法 问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已。 “回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系的二次应用。 同时，对有效信息的选取的反思，以及对列方程方法价值的体会，也是反思的重 点。 （5）例 5。 本例是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向问题，是以例 4 为基础，把条件稍作改变，形成稍复杂的问题。 用算术方法解决这样的实际问题，不仅需要逆向思考，还要把“比一个数多 （少）几分之几”，转化为“是一个数的几分之几”，比较抽象，思维难度大。用 方程方法解决，可以列出形如的方程，也可以列出形如的方程，前者仍然要经历 从“多（少）几分之几”到“是几分之几”的转化，后者只要根据一个数加（减） 增加部分等于增加（减少）后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易 理解。因此，教材选择符合学生顺向思维的思路，给出多样化的解题方法。 为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示， 为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后得出不同的等量关系，并据此列 方程解答。 回顾与反思的目的在于反思问题解决的过程是否合理，检验解答是否正确， 52 方法可以多样化。 （6）例 6。 本例中包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两种关系，要求学 生根据这样的关系列方程解答。由于这两种关系中，一种是两个量之间的倍数关 系，另一种是两个量之间的和或差的关系，因此，这样的问题过去被称为“和倍 问题”“差倍问题”。 教材以篮球比赛上、下场得分为素材，引出含有两个未知数的实际问题。这 样的问题如果用算术方法解决，需要逆向思考，比较抽象，思维难度大，容易出 错，列方程来解决更符合顺向思维。 教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后利用两个量的数 量关系，用代数式表示出另一个量。除了教材上的示例以外，还有其他的列方程 方法。 （7）例 7。 本例是一类特殊的实际问题，使学生通过尝试、分析，找到本质的数量关系， 进而解决问题。 本例采用的素材是“工程问题”，但并不是要求学生解决形形色色的“工程 问题”，而是要借此让学生经历利用自主探究解决问题的过程，掌握用假设、验 证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。 例题的呈现顺应学生的思维过程。“阅读与理解”部分在引导学生从题目中 获取已知条件和问题的同时，在学生利用已有经验解题时很自然地产生疑问：道 路的总长未知，怎么办？接下来就在“分析与解答”部分，提出思考的方向：如 果道路总长是已知的，这个问题就转化成以前学过的旧问题了。那是否可以假设 一个长度呢？这就是一个猜想、尝试的过程，学生在这一过程中经历了发现问题、 提出问题。通过假设，可以把抽象问题具体化，使复杂的数量关系明显化或简单 化。不同的学生假设的长度不同，又体现了解决问题方法的开放性和多样化。 四、教学建议 1．加强直观教学，结合实际操作和直观图形，帮助学生理解算理，掌握方 法。 2.加强分数乘、除法的沟通与联系，促进知识正迁移，提高解决实际问题的 能力。 53 第 1 课时倒数的认识 教学内容: 教科书第 28、29 页及相应习题 教学目标: 知识与技能：通过体验、研究、类推等实践活动，理解倒数的意义。 过程与方法：经历提出问题、自探问题、应用知识的过程，自主总结出求倒 数的方法。 情感、态度与价值观：培养学生观察、归纳能力。 教学重难点: 重点：理解倒数的意义和怎样求倒数 难点：掌握求倒数的方法 教学过程: 自主预习: 1、口算： （1） 8 3 × 3 2 15 7 × 7 5 6× 3 1 80 1 ×40 （2） 8 3 × 3 8 15 7 × 7 15 3× 3 1 80 1 ×80 2、今天我们一起来研究“倒数”，看看他们有什么秘密？出示课题：倒数的 认识 3、自学书上第 28 页的例题,思考下面的问题: (1)什么是倒数? （2）“互为”是什么意思？ （3）互为倒数的两个数有什么特点？ 4、怎样求倒数． 新知探究: 小组讨论求倒数的方法。 1、写出 5 3 的倒数：求一个分数的倒数，只要把分子、分母调换位置。 54 ２、写出 6 的倒数：先把整数看成分母是 1 的分数，再交换分子和分母的位 置。 6＝ 1 6 6 1 ３、1 有没有倒数？怎么理解？（因为 1×1＝1，根据“乘积是 1 的两个数 互为倒数”，所以 1 的倒数是 1。） ４、0 有没有倒数？为什么？（因为 0 与任何数相乘都不等于 1，所以 0 没 有倒数） 5、小组交流汇报：（ ）为１的两个数互为倒数。求倒数的方法就是 将（ ）和（ ）调换位置。１的倒数是（ ），０（ ） 倒数。 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 随堂练习: 1、巩固练习：课本 28 页“做一做” （1）独立解答。 （2）汇报求倒数的方法。 2、练习六第 3 题：同桌互说倒数。 3、判断对错。 (1)1 的倒数就是 1。 （ ） (2)0 的倒数就是 0。 （ ） (3)真分数的倒数都比原数大。（ ） (4)假分数的倒数都比原数小。（ ） (5)假分数的倒数都比 1 小。 （ ） 4、发展练习。 （1）填空：0.4 的倒数是( )。 （2）( )×5=( )×6=7×( )= 8 3 ×( )=1 55 （3） 2 1 ×( )=( )×9=( )× 5 2 = 3 5 ×( )=1 5、第 29 页第 4、5 题。 6、开放性训练。 7 4 ×（ ）＝（ ）×13 5 ＝（ ）×（ ） 7、王琳今年 8 岁了，爸爸的年龄是王琳年龄的倒数的 320 倍，王琳的爸爸 今年多少岁了？ 第 2 课时分数除以整数 教学内容: 教材第 30 页例 1，练习七第 1、2、3、4 题。 教学目标: 知识与技能：借助已有的经验理解分数除法的意义并掌握分数除法的计算方 法，能正确计算分数除以整数。 过程与方法：通过富有启发性的问题情景和探索性的学习活动，培养自己主 动参与、独立思考、合作交流，形成计算技能。 情感、态度与价值观：在教学中渗透转化的思想，充分感受转化的美妙与魅 力。 教学重难点: 重点：理解分数除法的意义 难点：分数除以整数的计算 教学过程: 自主预习: 1、口算练习： 5 4 × 2 1 =10 3 × 5 1 = 4 5 ×10 7 = 8 9 × 3 2 = 2、根据算式 30×25＝750 写出两道除法算式。 3、自学教材 P30 页的内容并回答下面的问题： （1）观察比较上面３道算式，说一说它们分别是已知什么，求什么？ （2）回忆一下整数除法的意义是什么？联系整数除法的意义说说分数除法 56 的意义是什么？ 4、完成例 1 下面的做一做，填在课本上，并说一说是怎样填的。 合作探究: 1、探索分数除以整数的计算方法。 2、出示例 2：把一张纸的 5 4 平均分成２份，每份是这张纸的几分之几？自 己试着折一折，算一算。 （1）明确题意，小组合作折一折，涂一涂，算一算。 （2）汇报交流各自的折纸方法、计算过程及其算理。 两种折纸方法与相应的算法： ① 5 4 ÷2＝ 5 24 ＝ 5 2 把 5 4 平均分成（）份，就是把（）个 5 1 平均分成 2 份， 每份就是（）个 5 1 ，就是 5 2 。 ② 5 4 ÷2＝ 5 24 ＝ 5 2 把 5 4 平均分成 2 份，每份就是 5 4 的()，也就是 5 4 × 2 1 。 （3）如果把这张纸的 5 4 平均分成 3 份，每份是这张纸的几分之几？你会用 哪一种方法去计算呢？ 把 5 4 平均分成 3 份，每份就是 5 4 的（），也就是 5 4 × 3 1 。 5 4 ÷3= 5 4 × 3 1 =15 4 知识梳理: 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中 的一个因数，求另一个因数的运算。 2.比较两种算法，说说哪一种算法适用范围更广，为什么？ 当分子能被整数整除时用第（）种方法才方便，当分子不能被整数整除时用 第（）种方法简单，并且在一般情况下都可以进行计算，可普遍使用。 3.根据上面的折纸实验和算式，你能发现什么规律？ 分数除以整数（0 除外），用分数乘以这个整数的（）。 57 随堂练习: 1、书中第 30 页“做一做”。 2、口算。 15 4 ÷3＝ 8 9 ÷3＝10 3 ÷6＝ 7 5 ÷15＝ 3、把 5 3 平均分成 4 份，每份是多少；什么数乘 6 等于 20 3 ？ 4、完成练习七的 1.2.题.（做书上） 5、完成练习七的 3 题。 芳芳将 5 4 m 长的丝带剪成同样长的 8 段，每段丝带有多长？ 第 3 课时一个数除以分数 教学内容: 教材 31、32 页例 2 及练习七。 教学目标: 知识与技能：1、通过画线段图分析并归纳一个数除以分数的计算法则。2、 能运用法则，正确迅速地计算分数除法。 过程与方法：培养抽象思维能力。 情感、态度与价值观：通过探索知识，从而获得知识，体验成功的乐趣，树 立学习的自信心。 教学重难点: 重点：一个数除以分数等于这个数乘以除数的倒数 难点：一个数除以分数的计算法则的推导。 教学过程: 自主预习: 1、计算： 6 5 ÷10＝ 5 3 ÷3＝16 15 ÷20＝ 40 39 ÷26＝ 2、胜利路长 1000 米，东东走完全程用了 20 分钟，东东平均每分钟行多少 58 米？根据什么进行计算？（）÷（）=（） 3、自学教材 31、32 页并填写下面的空。 （1）已知（），求（）？求谁走得快些？就是比较（） (2)你能根据题意列出算式吗？ 合作探究: 除数是分数的除法计算方法的探究： 1、 3 2 里有（）个 3 1 ， 3 2 小时走了 2km，能不能求出 3 1 小时走（）千米 2、2km÷2 得到的 1km,有什么具体的含义？是线段图上的哪一段？ 3、1 小时里有（）个 3 1 小时，能求 1 小时行多少千米了吗？ 2÷ 3 2 =2× 2 1 ×3=2× 2 3 =3 4、已知12 5 小时行 6 5 千米，求12 1 小时行（）千米，该怎么算？ 5、 6 5 ÷5，还可以写成什么算式？（ 6 5 × 5 1 ） 6、12 1 小时行“ 6 5 × 5 1 （千米）”，求 1 小时行多少千米，又怎么样？（ 6 5 × 5 1 ×12） 7、 6 5 ×12 中的"×12"是什么意思？ 8、所以 6 5 ÷12 5 = 6 5 × 5 12 =2 9、请观察：2÷ 3 2 =2× 2 1 ×3=2× 2 3 =3 6 5 ÷12 5 = 6 5 × 5 12 =2 a.这儿把除法转化成（）运算来计算，除以 3 2 =（ ）除以12 5 ＝（ ） b.请你观察上面的算式，怎样把除法转化成为乘法来进行计算？你能说出转 化的要点吗？ 59 ①（）没有变化； ②（）号变（）号； ③除数变成了它的（）。 c.你能用自己的语言叙述整数除以分数的计算方法吗？想一想，甲数除以乙 数（0 除外），等于甲数乘乙数的（）。 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 随堂练习: 1、填空：32 页做一做的第 1 题。 2、判断，并说明理由。 甲数除以乙数，等于甲数除以乙数的倒数。 3、完成 32 页做一做的第 2 题。 4、完成教材练习七的第 5 题第二排。 5、把 4 3 L 橙汁分装在容量是 4 1 L 的小瓶里，可以装几瓶？ 6、某饮料厂使用一种自动检测仪来检测饮料瓶是否有缺陷，检测一个瓶子 所用的时间为 25 1 秒。1 分钟可以检测多少个瓶子？ 第 4 课时分数混合运算 教学内容: 教材第 33 页例 3。 教学目标: 1.掌握分数四则运算的运算顺序。 2.正确计算分数四则运算，提高计算能力。 3.培养学生的迁移类推能力。 教学重难点: 重点：掌握分数四则运算的运算顺序。 难点：正确地计算分数四则运算。 教学过程: 60 一、复习准备 1.出示下面的计算题。 （1）（9+11）×6（2）75+20÷5 （3）100-10×4（4）80÷（60-40） 教师：学生计算前提问，上面的每道题含有哪些运算？应该先算哪一步？ 教师：指名四人板演，全班齐练，集体订正。 2.引导学生回答整数四则混合运算的顺序是怎样的？ 二、自主探究（一） 1.出示例 3。 （1）让学生读题，获取信息。 （2）同桌交流，集体汇报展示有价值的信息。 （3）分组交流，展示思路（2 种）。 （4）根据思路怎样列式？ （5）分组交流，这道算式应该怎样计算。 （6）学生试算，指名板演。 （7）集体订正。 2.完成教材第 33 页“做一做”。 学生自己解决，对有困难的少数学生，可小组内交流。 3.师生共同小结分数四则运算的运算顺序。 引导学生说一说，计算时应该注意什么问题？ 三、自主探究（二） 1.出示÷9÷。 （1）引导学生观察算式，你发现了什么？ （2）学生讨论分数连除怎样计算呢？ （3）学生试算，教师巡视。 （4）选择有代表性的算法让学生板演。 可能有以下几种： a.÷9÷b.÷9÷c.÷9÷ =×÷=×=× =÷== 61 =× = （5）根据具体情况进行评讲。 （6）师生共同归纳总结分数连除的计算方法。 2.出示×÷。 （1）分组讨论，这道题应该怎样计算？ （2）汇报讨论结果。 （3）学生试算，教师巡视，个别指导。 （4）指名板演，集体订正。 （5）讨论：以怎样简算这道题？ 3.出示÷（15×）。 （1）讨论，这道题的运算是怎样的？ （2）学生独立完成计算过程。 （3）指名口述计算过程，教师板书。 （4）学生对照检查。 （5）师生共同归纳分数四则运算的计算方法。 四、实践应用 1.完成教材练习七第 9 题。 2.完成教材练习七第 14 题。 （1）尝试完成。 （2）反馈，并说出解方程的依据。 五、课堂小结 教师：这节课你有什么收获？谈一谈。 六、课堂作业 教材练习七第 15、16 题。 第 5 课时解决问题（1） 教学内容:教材 37 页例 4 及练习八的 1-5 题 教学目标: 知识与技能：1．使学生学会掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个 62 数”的应用题的解答方法，能熟练地列方程解答这类应用题。 过程与方法：2．进一步培养学生自主探索问题解决的能力和分析、推理和 判断等思维能力，提高解答应用题的能力。 情感、态度与价值观：3．培养学生良好的学习习惯。 教学重难点: 重点：能熟练地列方程解答这类应用题 难点：提高解答应用题的能力。 教学过程: 自主预习: 1、下面各题中应该把哪个量看作"1"。 ⑴小军的体重是爸爸体重的 8 3 ；⑵故事书的本数占图书总数的 5 3 ； ⑶棉田的面积占全村耕地面积的5 2 ；⑷汽车的速度相当于飞机速度的3 2 。 2、填空 ⑴白兔的只数占总只数的 3 2 ，总只数× 3 2 =（）； ⑵男生人数的 5 2 恰好和女生同样多，（）× 5 2 =（）； ⑶甲数正好是乙数的 8 3 ，（）×（）=（）。 3、一个儿童体重 35 千克，他体内所含的水分占体重的 5 4 。他体内的水分有 多少千克？ 请写出它的数量关系并解答。 4、请把上题改为一道除法应用题。 5、自学教材 37 页的内容。 合作探究: 小组讨论交流,说说自己的想法: 1、说一说占体重的 5 4 这句话是什么意思？并根据题意判断把哪个量看作单 63 位“1”？ 2、请用线段图表示题中的条件和问题。请结合自己画的线段图分析解答。 ① 5 4 是哪个数量的 5 4 ？以哪个数量为标准把它看作单位“1”？单位“1”是 已知的还是未知的？ ②哪个数量占体重的 5 4 ？换句话说，体重的 5 4 是什么？可以用怎样的数量关 系式表示？ ③要求这个儿童的体重可以用什么方法解答？ A、用方程的方法 B、还可以用算术方法 3、比较例 1 和自学题（小组讨论） ①这两道题在结构上的异同点，相同点：题中给出的数量（），数量间的关 系也（）；不同点：已知条件和问题不同。 ②这两道题在解法上的异同点，相同点：都要先确定单位“1”；不同点：自 学题中的单位“1”是已知的，用乘法算；例 1 中的单位“1”是未知的，可以用 方程（或除法）解答。 ③解答分数应用题的一般步骤： A、要认真审题，确定好单位“1”.B、分析它是已知的还是未知的. C、正确找出题中的数量关系。D、根据数量关系确定方法并解答。 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 随堂练习: 1、完成 37 页“回顾与反思”。 2、文字题 ⑴56 米的 8 5 是多少？⑵一个数的 4 3 是 2 1 ，这个数是多少？ 3、王新买了一本书和一枝钢笔。书的价格是 4 元，正好是钢笔价格的 5 2 。 钢笔的价格是多少元？ 4、练习八的 1-5 题。 64 第 6 课时解决问题（2） 教学内容:教材第 38 页例 5。 教学目标: 1.使学生在理解数量关系的基础上学会列方程，解答稍复杂的分数应用题。 2.使学生能用列方程的方法解决一些简单的实际问题。 3.培养学生的分析、判断和推理能力。 教学重难点: 重点：找数量关系。 难点：分析数量关系。 教学过程: 一、复习准备 1.根据题意，看图写出代数式。 （1）苹果有 akg，西瓜的质量比苹果轻。 西瓜比苹果轻（）kg，西瓜重（）kg。 （2）鸡有 b 只，鸭的只数比鸡少。 鸭比鸡少（）只，鸭有（）只。 指名汇报，并让其他的学生指出应把什么看作单位“1”。 2.根据题意先写出数量关系式，再列出方程。 （1）六（1）班有 15 人参加了合唱队，占全班人数的。六（1）班有多少人？ （2）小明的体重是 35kg,是爸爸体重的，爸爸体重多少千克？ 二、自主探究 1.创设情境，引出例 5。（将上题中第（2）题第二个条件变为“他的体重比 爸爸的体重轻”，其他不变，即为例 5） 2.审题。 （1）看例题的插图，获取信息。独立填写“阅读与理解”， 复述题意，说说知道了什么，要求什么。 65 （2）分析题意，说说你对“小明的体重比爸爸的体重轻”的理解。 （3）理解数量关系，让学生自己试着画图表示父子两人体重的数量关系。 3.分析、解答。 （1）出示线段图。 （2）说说数量关系。 （3）学生根据得到的数量关系列方程解答。 （4）交流各自的解法。 （5）阅读课本例 5 的“分析与解答”过程。 4.改变例 5。 “回顾与反思”：看看小明的体重是否比爸爸轻，怎样检验？ 课件出示，爸爸体重 75 千克，小明的体重比爸爸轻，小明的体重是多少千 克？ （1）根据题意改变线段图。 （2）根据图意解答。 （3）启发学生与例 5 进行比较，说说你发现了什么？ （4）教师小结：上面用方程解答例 5 的思路与分数乘法问题的思路是统一 的，我们应该好好理解、运用它。 三、实践应用 1.看图口头编实际问题。 组织学生观察分析线段图，然后独立做，最后指名尝试编，集体订正。 2.完成教材练习八第 10 题（先尝试解答，后反馈并比较（1）、（2）和（3）、 （4）的对比分析：为什么它的解法不同？有什么共同点？） 四、课堂小结 今天我们学习了用方程解答稍复杂的分数应用题，在解题时应注意哪些问 题？解题关键是什么？ 五、课堂作业 教材练习八第 7、8、9 题。 66 第 7 课时解决问题（3） 教学内容:教材第 41 页例 6。 教学目标: 1.使学生在理解数量关系的基础上学会列方程解答稍复杂的分数应用题。 2.能运用方程方法解决实际生活中的问题。 3.培养学生的分析、判断和推理能力。 教学重难点: 重、难点：分析数量关系，运用方程解决问题。 教学过程: 一、复习准备 1.根据题意，看图写代数式。 苹果有 akg,西瓜质量比苹果重。 西瓜重 （） kg。 2.根据信息，找出数量关系式。 （1）体积相等的冰的质量比水的质量少。 （2）今年比去年增产。 （3）一条公路，已修了。 二、自主探究 1.创设情境，引出例 6。 2.审题。 （1）看例题图，获取信息。 (2)反馈：说说已知的条件与要求的问题。 3.分析题意：说说你对“下半场得分只有上半场的一半”的理解。 （1）同桌讨论，（2）小组交流，（3）全班反馈。 出示：下半场得分=上半场得分×或上半场得分=下半场得分×2。 下半场得分+上半场得分=全场得分。 67 4.尝试解答。（可提示：设什么为未知数的量，则另一个量怎么表示？） 说理由。展示两种不同解法，你更喜欢哪种解法？（只要理由充分都行） 5.回顾与反思：如何检验结果是否正确？（可算一下检验：下半场得分是否 是上半场的一半？） 1.看图口头编应用题。 2.完成教材练习九第 1 题。（先说说对关键句的理解，能说出数量关系式吗？ 再尝试解答，反馈） 3.完成教材练习九第 5 题。（先说说对关键句的理解，再说出数量关系式， 最后尝试解答，反馈） 四、课堂小结 今天我们研究了什么？解题时应注意什么？ 解题的关键是什么？ 五、课堂作业 教材练习九第 2、3、4 题。 第 8 课时解决问题（4） 教学内容: 教材 42——43 页例 7 及练习九的 5-9 题 教学目标: 知识与技能：使学生理解“工程问题”的特点、数量关系；掌握解题方法， 并能正确解答。 过程与方法：培养学生观察、类推能力，初步的探究知识、合作解决问题的 能力。 情感、态度与价值观：结合生活实际，让学生感受到数学的使用价值 教学重难点: 重点：工程问题数量关系特征及解题方法。 难点：工作总量用单位“1”表示及工作效率所表示的含义。 68 一、复习 师：同学们，我们回忆一下，以前学过的做工问题涉及到哪三种量三种量？ 生：工作总量、工作效率、工作时间。师：那它们的关系又如何呢？ 二、导入新课，揭示课题。师：如果不给出具体的工作总量，该怎么解决呢？ 这就是我们今天要学习的工程问题。（师板书：工程问题） 教学过程: 1.出示例 7。 2.一项工程，由甲工程队单独需 12 天完成，由乙工程队单独做需 18 天完成， 两队合做需多少天完成？师：那怎样理解什么是独做？什么是合做？我们先来演 示一下，我们就以同学的课桌的长度为一项工程，以笔的运作为工作效率，同桌 分别扮演甲乙工程队，独做就是一个同学从左运作到右，另一个同学从右运作到 左。合做就是两个同学相向运作，直到相遇表示这项工程完成了。同学们看看， 完成一项工程是独做的快还是合做的快？ 3、师：同学们再动动脑筋，看哪个小组又对又快地讨论出下面的问题？（播 放轻松的音乐，学生在音乐声中讨论。教师巡视，对个别组辅导） 学生以四人小组为单位进行讨论。（课件出示） 1）题目里没有具体的工作总量，可用什么来表示工作总量？ 2）甲队每天完成工程的几分之分？ 3）乙队每天完成工程的几分之几？ 4）两队合做，每天完成工程的几分之几？5）两队合做，需几天完成？ 4.准备题: 修一段 600 米长的公路，甲工程队单独做 20 天完成，由乙工程队单独做 30 天完成，两队合作多少天完成？ 师：谁能说说工程问题的特点是什么？ 生：工作总量可用单位“1”来表示，工作效率用单位“1”的几分之一来表 示。 随堂练习: 完成下面两题，要求先写出数量关系然后再解答。 1.一批零件，王师傅单独做要 15 小时完成，李师傅单独做要 20 小时完成， 两人合做，几小时能加工完这批零件的？ 69 2.一项工作，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成。甲、乙合做几 天可以完成这项工作的 80％？(浙江温岭市) 3.一项工程，甲独做要 12 天完成，乙独做要 18 天完成，二人合做多少天可 以完成这件工程的 2/3？ 4.一项工程，甲独做要 18 天，乙独做要 15 天，二人合做 6 天后，其余的由 乙独做，还要几天做完？ 5.修一条路，甲单独修需 16 天，乙单独修需 24 天，如果乙先修了 9 天，然 后甲、乙二人合修，还要几天？ 练习九的 6-9 题。（请先画线段图分析题意，然后再解答。） 第 9 课时整理和复习 教学内容: 教材 46——47 页及练习十。 教学目标: 知识与技能：会利用画线段的方法来帮助理解题意，弄清楚要求的部分是单 位”1”的几分之几，整体与部分之间的数量关系，会列式解答。 过程与方法：通过合作、交流等学习活动，培养学生合作的意识、探索的精 神。掌握分析分数应用题的方法，会分析关系句，找准单位“1”。 情感、态度与价值观：培养分析、解决问题的能力，以及知识迁移的能力， 培养良好的审题习惯。 教学重难点: 重点：理解稍复杂的分数乘法问题----整体与部分的数量关系，弄清 单位“1”的量，分析数量关系。 难点：分析题目中的等量关系。 教学过程: 自主预习: 1、小红家买来一袋大米，重 48 千克，吃了 8 5 ，还剩多少千克？（写出数量 关系并解答） 2、下面各题中应把哪个量看作单位“1”？ 70 ⑴黑兔只数是白兔的 3 2 。 ⑵黑兔只数的 4 3 相当于白兔。 ⑶白兔只数的 7 6 是黑兔。 3、自学教材 46 页。 4、尝试完成小红家买来一袋大米，吃了 8 5 ，还剩 15 千克。买来大米多少千 克？ 新知探究: （小组讨论交流,说说自己的想法） 1.提问：要解决这个问题需要知道什么？从信息中你都能知道什么？ 2.反馈：学生充分交流后，感受到： 3.以图促思。试画图，表示出总数和已清理数。怎样表示出未清理数，哪一 段表示未清理数？ 4.提问：要求未清理数，可以先算什么？ （学生通过画图后，很容易想到，要求未清理数，可以先算出已清理数，再 用总数减去（1）应该把哪个数量看作单位“1”？ 5.集体批改。 6.完成“练习十”第 1 题 7.完成“练习十”第 2 题 引导学生弄清题意。 8.完成“练习十”第 3 题 （1）指名两位学生板演，其余在自备本上完成。 （2）组织交流。 （3）集体反馈， 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 用方程解答稍复杂的分数应用题的关键是什么？ 71 关键是找准单位“1” 解答稍复杂的分数应用题的步骤： ⑴一读（读懂题意）。 ⑵二找（找准单位“1”）。 ⑶三写（写数量关系）。 ⑷四做（列正确的算式并解答）。 ⑸五检（检查并验算）。 随堂练习: 练习十的第题。 五、课堂小结: 通过这节课的学习你有什么收获？与同学们交流一下吧。 第三单元归纳总结（知识点小结）分数除法 分数除法 1、分数除法的意义： 乘法：因数×因数=积除法：积÷一个因数=另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数， 求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 规律（分数除法比较大小时）： （1）、当除数大于 1，商小于被除数； （2）、当除数小于 1（不等于 0），商大于被除数； （3）、当除数等于 1，商等于被除数。 “ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算 小括号里面的，再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题 （未知单位“1”的量（用除法）：已知单位“1”的几分之几是多少，求单 位“1”的量。） 1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： 72 （1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量 （2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1  分率）=分率对应 量 2、解法：（建议：最好用方程解答） （1）方程：根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。 （2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数÷另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量÷单位“1”的 量或： ①求多几分之几：大数÷小数–1 ②求少几分之几：1-小数÷大数 第四单元教材分析比 一、教学内容 1.比的意义 2.比的基本性质 3.比的应用 二、教学目标 1．使学生理解比的意义，知道比与分数、除法的关系。 2．使学生理解并掌握比的基本性质，会求比值、化简比，能解答按比分配 的实际问题。 3．使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本 性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间 的内在联系，把握数学知识的本质。 4．使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在 日常生活中的应用价值。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 这一单元的内容与编排与实验教材基本一致。把这部分内容分拆出来另成单 元，主要是为了突出“比和比例”的独立性、重要性。比不仅与分数除法有联系， 73 与分数、除法等知识的联系更加紧密和重要。比的知识是学习比例相关知识的必 要基础，把比单独设单元，能使学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而 不仅仅从运算的角度去理解比，有利于学生代数思想的培养。 （二）具体编排 1.比的意义、各部分名称。 教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，既富有教育意义，又 能比较自然地引出比的两种情形。例 1 的素材也是从中选取的，凸显情境的连续 性和整体性。 教材先给出两面长方形小旗的数据，引导学生讨论长与宽的关系。除了可以 用减法表示出它们之间的相差关系，还可以用除法表示它们的倍数关系。在此基 础上直接指出：可以用比来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。如果仅 从形式上看，比是除法关系的另一种表示方式，这为学生认识比和除法、分数之 间的关系奠定了基础。 接下来，教材介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞船进入轨道后的 速度。在此基础上，直接指出还可以用比来表示路程和时间的关系，引出非同类 量的比。使学生进一步认识比的意义以及比和除法的关系。 教材在教学了可以用比来表示两个同类量或不同类量相除的关系的基础上， 直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相除。这一意义是后面求比值、推 导比的基本性质的直接保证。 接下来，给出比的写法、各部分名称以及比值的概念，并根据分数和除法的 关系，给出比的分数形式的写法。并根据小精灵的问题，进一步沟通比和除法、 分数的联系。 2.比的基本性质。 教材在前面“做一做”第 3 题对商不变性质和分数的基本性质进行了回顾， 在此基础上，启发学生根据比和除法、分数的关系思考：“在比中有什么样的规 律？”首先通过比较比值，直接看出 6：8 和 12：16 这两个比相等，同时也能看 出这两个比和 3：4 也是相等的。接下来，让学生探究两个比相等的内在原因。 教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让学生根据比和分数的关系自主 探究。在此基础上，概括出比的基本性质。 3.例 1。 74 本例教学运用比的基本性质化简比。第（1）题仍采用“神舟”五号的题材， 给出两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简整数比。其中 15∶10 的化简 给出了完整的过程并启发学生思考为什么这样化简；180∶120 的化简则让学生 自己完成。化简的过程便于学生感悟化简的必要性，即能使量与量之间的关系更 加简明、清晰。两个最简整数比相等，也渗透了图形按比例缩放的相似变换思想。 第（2）题的两个比中的前、后项分别出现了分数和小数。教材同样提出了启发 学生思考比的化简方法的问题，把前、后项不是整数的情况首先转化为前、后项 都是整数的情况，再利用第（1）题的方法自行完成。 4.例 2。 本例让学生解决按比分配的实际问题，这一类问题与“和倍问题”实质相同。 教材创设了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂稀释液的问题情境，便于学生 理解。 教材按问题解决的三个步骤编排，旨在使学生经历问题解决的完整过程，尤 其是养成审题和反思的习惯。在问题情境图中和解答过程中都采用直观图帮助学 生清楚地看到量与量之间的关系，理解稀释瓶上标明的比表示的含义。 教材介绍了两种解法。一种是把比看成份数之比，先求出每份是多少，再求 几份是多少。即把此问题转化为整数的“归一问题”来解决。另一种是根据直观 图和比的意义，算出浓缩液和水分别占总体的几分之几，把问题转化为求一个数 的几分之几是多少，用分数乘法来解决。 “回顾与反思”阶段，重新借助比的意义，看浓缩液与水的体积之比化简后 是否与题目中所给信息相符。 四、教学建议 1．联系生活实际，使学生在情境中学习比的意义。 2．加强比与除法、分数的联系，促进知识的融会贯通。 第 1 课时比的意义 教学内容: 教材 48、49 页及练习十一的 1-3 题 教学目标: 知识与技能： 75 1．理解并掌握比的意义，会正确读写比。 2．记住比各部分的名称，并会正确求比值。 3．理解并灵活掌握比与分数、除法之间的联系与区别。 过程与方法： 培养比较、分析和抽象概括能力。 情感、态度与价值观 培养学生合作交流表达等能力。 教学重难点: 重点：比的意义 难点：比和除法、分数的关系。 教学过程:： 自主预习: 1．分数和除法有什么联系？ 2．除数能否为零？分数的分母能否为零？ 3、自学教材 43、44 页的内容并回答问题。 （1）什么是比？比是什么？什么叫比？谁和谁比？ （2）长是宽的几倍，宽是长的几分之几？ 15÷10 求的是什么？是这面旗的什么和什么比较？ 长是多少？宽是多少？ 长和宽比也就是几和几比？ 新知探究: 小组讨论交流,说说自己的想法: 1、用除法可以来表示两个量之间的关系，我们也可以用“比”来表示。也 就是说一个量是另一个量的几倍或几分之几也可以说成两个量的比。 2、一辆汽车 2 小时行 90 千米 这里已知哪两个数量？可以求出哪个数量？怎样求？ 说明：90÷2＝45（千米）用除法求出了这辆车的速度，它表示路程和时间 之间的关系。我们还可以用（）来表示路程和时间之间的关系，把它说成路程和 时间的比是（）比（）。 90÷2 表示什么？还可以怎么说？ 76 3、讨论①除法中的运算符号是“除号”，表示比的符号是什么呢？写作什么？ ②5 比 3 写作什么？各部分的名知称是什么？ ③试写 3 比 5、90 比 2，并说出比的前项、后项。 ④比的前项和后项之间有什么关系？（相除的关系） ⑤什么是比值？如何求？比值可以是什么数？ 4、我们在写比时，要注意谁和谁比，谁是比的前项，谁是比的后项，次序 不能颠倒。 2、求比值的方法是：用（）除以（）所得的商是（），它可以是（），也可 以是（），还可以是（）。 3、观察，你能发现比、除法、分数三者之间的联系吗？ 4、比的后项能为“0”吗？为什么？ 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 随堂练习: 1、用分数的形式表示下面两个比。 3∶5＝90∶2＝ 2．完成教材的做一做。 3．求出下面各比的比值。 0.375∶0.875＝0.25∶0.75＝2.6∶3.9＝ 4、完成教材练习十一的 1-3 题。 第 2 课时比的基本性质 教学内容: 教材 50、51 页及练习十一的 4-8 题 教学目标: 知识与技能： 1．理解比的基本性质． 2．正确应用比的基本性质化简比． 过程与方法： 培养抽象概括能力； 77 情感、态度与价值观； 渗透转化的数学思想。 教学重难点: 重点：理解比的基本性质，正确的化简比。 难点：正确应用比的基本性质化简比。 教学过程: ⊙复习铺垫 1．什么叫两个数的比？(两个数的比表示两个数相除) 2．比与分数、除法有什么关系？(引导学生明确：比相当于分数、相当于除 法；比的前项相当于……可以结合算式或表格回答) 3．商不变的性质和分数的基本性质各是什么？[商不变的性质：被除数和除 数同时乘或除以相同的数(0 除外)，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分 母同时乘或除以相同的数(0 除外)，分数的大小不变] 设计意图：回顾比的意义和商不变的性质以及分数的基本性质，理清比与分 数、除法的关系，为探究比的基本性质做好铺垫。 ⊙探究新知 1．导入新课。 (1)课件出示： (2)这三个分数的大小相等吗？为什么？(相等，因为它们的分数值都是 0.75) (3)还有其他方法可以证明它们的大小相等吗？怎样证明？(有，根据分数的 基本性质，和都可以化成，所以它们的大小相等；根据分数和除法的关系以及商 不变的性质也可以证明这三个分数的大小相等) (4)在除法中有商不变的性质，在分数中有分数的基本性质，那么在比中是 否也有类似的性质呢？这节课我们就来探究一下比的基本性质。(板书课题) 2．探究比的基本性质。 (1)把改写成比的形式。(引导学生汇报并用课件展示：＝3∶4；＝6∶8；＝ 12∶16) (2)探讨这三个比之间的关系，用算式表示出来，并说明理由。(3∶4＝6∶8 ＝12∶16，比值都是 0.75) 78 (3)观察、比较、发现。 观察每个比的前项和后项的变化过程及规律。(结合学生的汇报，用课件展 示相关内容) 6÷8＝(6×2)÷(8×2)＝12÷16 ↓↓↓ 规律：比的前项和后项同时乘相同的数，比值不变。 6∶8＝(6÷2)∶(8÷2)＝3∶4 ↓↓↓ 6÷8＝(6÷2)÷(8÷2)＝3÷4 规律：比的前项和后项同时除以相同的数，比值不变。 (4)归纳总结。 ①试用一句话概括上面三个比的变化规律。(比的前项和后项同时乘或除以 相同的数，比值不变) ②讨论：同时乘或除以的相同的数可以是 0 吗？为什么？(不可以是 0，因 为除以 0 没有意义) ③归纳总结比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 设计意图：先提出问题，调动学生思考问题的积极性，再由提出的问题，引 发横向思维，建立各知识点间的联系，最后通过观察、比较、思考、发现，逐渐 完善比的基本性质，帮助学生养成比较完善的思维习惯。 3．应用比的基本性质。 (1)探究整数比的化简方法。 ①PPT 课件出示教材 50 页例 1(1)小题：“神舟”五号搭载了两面联合国旗， 一面长 15cm，宽 10cm，另一面长 180cm，宽 120cm，这两面联合国旗长和宽的最 简单的整数比分别是多少？ ②明确什么是最简单的整数比。[前项和后项是互质数(只有公因数 1)的比 叫最简单的整数比] ③探究 15∶10 和 180∶120 的化简方法。 除以前项和后项的最大公因数： 15∶10 79 ＝(15÷5)∶(10÷5) ＝3∶2 180∶120 ＝(180÷60)∶(120÷60) ＝3∶2 小结：化简整数比，可以把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。(板 书：整数比的化简) (2)探究分数比和小数比的化简方法。 ①PPT 课件出示教材 51 页例 1(2)小题：把下面各比化成最简单的整数比。 0.75∶2 ②探究分数比的化简方法。(引导学生说出：要根据比的基本性质，把它的 前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数 18，才能化成最简单的整数比) A．用乘最小公倍数的方法 B.用求比值的方法 ＝3∶4＝3∶4 ③探究小数比的化简方法。(引导学生说出：要根据比的基本性质，把它的 前项和后项同时乘相同的数，使它们转化成整数比。如果这时还不是最简单的整 数比，要再除以前项和后项的最大公因数，化成最简单的整数比) 先化成整数比，再化简。 0.75∶2 ＝(0.75×100)∶(2×100) ＝75∶200 ＝(75÷25)∶(200÷25) ＝3∶8 小结：用求比值的方法化简分数比时，要注意化简比与求比值的不同，无论 是分数比的化简还是小数比的化简，化简比的结果仍要写成比的形式，而不能写 成小数或整数的形式。(板书：分数比的化简，小数比的化简) (3)总结。 化简比的依据是比的基本性质，化简比的方法不是唯一的，要注意的是，化 简后仍是比的形式。 80 设计意图：在弄清比的基本性质的基础上，引导学生探索各类比的化简方法， 结合实例，总结出各类比的化简方法，培养学生的概括能力。 ⊙巩固练习 1．判断。 (1)比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。( ) (2)4∶0.25 化简后的结果是 16。( ) (3)从学校走到图书馆，小明用了 8 分钟，小红用了 10 分钟，小明和小红的 速度比是 4∶5。( ) 2．填空。 16∶200＝( )∶( )＝( )∶( )＝ ( )∶( )＝( )∶( )＝( )∶( )。 (独立尝试后交流，汇报时说明理由，第 2 题答案不唯一，只要和 16∶200 的比值相等就是正确的) 3．完成教材 51 页“做一做”。 ⊙课堂总结 本节课你有什么收获？ ⊙布置作业 教材 53 页 4、5 题。 板书设计 比的基本性质 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 第 3 课时比的应用 教学内容: 第 54——56 页“比的应用”及练习十二。 教学目标: 过程与方法：能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题。 情感、态度与价值观：进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用， 提高解决问题的能力。 知识与技能：培养学生运用数学解决生活中问题的能力。 81 教学重难点: 重点：利用比的知识解决相关实际问题。 难点：根据题中所给的比，掌握各部分量占总数量的几分之几，能 熟练地用乘法求各部分量。 教学过程: 自主预习: 1、我们在教学中学过平均分，平均分的结果有什么特点？在日常生活中， 为了分配的合理，往往需要把一个数量分成不等的几部分，即把一个数量按照一 定的比来进行分配。这种方法通常叫按比例分配。 ２、一瓶 500ml 的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是 100ml 和 400ml， __________？（补充问题并解答） ___________________________________________________________ 新知探究: 1、阅读例 2 主题图，再用自己的话表述题意，说说稀释液是怎么配制的？ 想一想“浓缩液和水的体积 1：4”，是什么意思？ 就是说在 500ml 的稀释液，浓缩液占 1 份，水的体积占 4 份，一共是 5 份， 浓缩液占稀释液的 5 分之 1，水的体积占稀释液的 5 分之 4。 2、自己动笔，尝试用不同的方法解决问题，你想出了几种？每一种的解题 思路是什么？ 3、对照课本，比较两种解法的联系与区别，你更喜欢哪一种？并把例题解 答过程中的空白处填完整。 4、对得数进行检验，并思考：这道题中完整的检验包含几个方面？ 检验的方法有两种： 一是把求得的浓缩液和水的体积相加，看是不是等于稀释液的总体积； 二是把求得的浓缩液和水的体积写成比的形式，看化简后是不是等于 1：4 5、练一练：P55 练习十二题 1、2、3 题。 6、学校把栽 280 棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班。一班 有 47 人， 二班有 45 人，三班有 48 人。三个班各应栽树多少棵？ ___________________________________________________________ 82 知识梳理: 本节课你学习了哪些知识？ 随堂练习: 1、完成练习十二的第 4、8 题 2、练习十二的第 7 题 第四单元归纳总结（知识点小结）比 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的 后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15：10=15÷10= 2 3 （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） ∶∶∶∶ 前项比号后项比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的 比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系： 比 前项 比 号 “：” 后项 比值 除法 被 除 数 除 号 “÷” 除数 商 分数 分子 分数线 “—” 分母 分 数 值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个 83 数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。 体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个 数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外）， 分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是 最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： ①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （1）②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整 数比的方法来化简。 ③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。 （2）用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。 如：15∶10=15÷10= 2 3 =3∶2 5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做 按比例分配。 如：已知两个量之比为 :a b ，则设这两个量分别为 ax bx和 。 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间 比则为 5：4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 （如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3） 第五单元教材分析圆 依 据 比 的 基 本 性 84 一、教材分析： 这部分内容是在学生已经学过直线围成的平面图形的基础上学习的。 本单元学习的主要内容有：认识圆，圆的周长，圆的面积。 本单元教材编写力图体现以下特点： 1.更注重经历周长、面积计算公式的探索过程，相关的计算例题减少。 2.轴对称图形的知识放到图形变换中编排，此单元中只涉及到圆的轴对称性 并加以应用。 3、加强了圆环面积的计算教学，更加注重知识的应用。 4、综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础 上设计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆形田径场跑道的结构，学会确定跑 道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。 二、教学目标： 1.认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规画 圆。 2.理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，会用实验的方法探索圆的周长 与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。 3.初步学会用转化的思想推导圆的面积计算公式。 4、认识轴对称图形，知道轴对称的含义，能找出轴对称图形的对称轴。 5、通过介绍圆周率的史料，使学生受到爱国主义教育。 三、重点难点： 1、认识圆和轴对称图形； 2、掌握圆的周长和面积的计算公式。 3、理解圆周率“π”；圆面积计算公式的推导以及画具有定半径或直径的圆。 四、教学措施： 1、结合生活实际体会圆的特征。使学生感受到了圆在生活中的应用，同时 加深了对圆的特征的认识，同时可以培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。 2、让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生 认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。 3、引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。 4、指导学生动手操作，通过滚动、围一围、测量、验证等多种方式，理解 85 圆周率“π” 五、教学课时：6 课时 第 1 课时圆的认识 教学目标 1．认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称，会用字母表示各部分名 称。 2．掌握用圆规画圆的方法，会用圆规画圆。 3．培养自己的观察、分析、综合、概括及动手操作能力。 教学重点 通过动手操作，理解直径与半径的关系，认识圆的特征。会用圆规画圆。 教学难点 认识圆的特征 学具准备： 准备一个圆形纸片 教学过程 先自学教材 P57-P58 页，然后自主完成导学案的自主与合作学习部分，找出 疑难问题，准备与组内同学交流。展示时要结合文字、图形和学具熟练地介绍圆 的有关特征。带★的可以选做。 知识储备：我们以前学过的平面图行有哪些？（画在下面的空白处）这些图 形都是由什么围成的？这些图形各自的特征（同学之间互相说说）。 自主与合作学习 认识圆 圆是由什么围成的，生活中哪些地方或哪些物体上有圆形？（列举出 2—4 个） 想办法在纸上画一个圆。 把在纸上画好的圆剪下来，对折，打开，再换个方向对折，再打开，反复折 几次。 4.折过几次后，将折痕用笔描出来。你发现了什么？（小组合作动手做一做， 互相说说各自的发现） 86 5.结合发现把下面的内容补充完整。 这些折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做（），一般用字母（）表示；连 接圆心和圆上任意一点的线段叫做（），一般用字母（）表示；通过（）并且两 端都在圆上的线段叫做（），一般用字母（）表示。 用圆规画圆 1.自学教材 58 页，用圆规画两个大小不同的圆（画在下面的空白处），然后 组内交流画法。 第一步：先点个点，把有（）的一只脚固定在这一点上作为（）； 第二步：张开圆规两脚，定好两脚间的距离作为（）； 第三步：让装有（）的一只脚旋转一周； 第四步：用字母标示出（）、（）和（）。 温馨提示：用圆规画圆要注意：圆的位置和大小分别由（）和（）决定，所 以画圆时有针尖的一端不能动，圆规两脚间的距离不能变。 用圆规画几个不同大小的圆，剪下来，沿着直径折一折，画一画，量一量， 会有什么发现？ 我发现： 三、认识圆的对称性 1.我们学过的长方形、正方形等是轴对称图形，圆是轴对称图形吗？为什 么？ （把圆形纸片动手折一折） 2.在准备的圆形纸片上画对称轴（对称轴用虚线表示），能画（）条，由此 可知圆有（）条对称轴。 3.我们学过的平面图形中哪些是轴对称图形，各有几条对称轴？（列举在下 表中） 图形 … … 对称轴 （条） … … 达标测评 1.填空 87 （1）从圆心到圆上任意一点的线段都（）。（2）两端都在圆上的线段，（） 最长。 （3）圆心决定圆的（），半径决定圆的（）。（4）经过一点可以画（）个圆。 （5）在同一个圆里，所有的半径都（），所有的直径都（），并且半径是直 径的（），直径是半径的（）。 （6）如果一个图形沿着（）对折，两侧的部分能够（），这个图形就是轴对 称图形。折痕所在的这条直线叫做（）。圆有（）条对称轴。 2.我是小裁判。 （1）所有的直径都相等，所有的半径都相等。（） （2）圆的半径增加 3cm，它的直径也增加 3cm。() （3）2 个半圆可以拼成一个整圆。（） （4）两端都在圆上的线段就是直径。() 3.我会填： 半 径（r） 2 分米 1 8 厘 米 1.42 厘米 直 径(d) 6 米 0.24 米 ★4．一个圆没有标明圆心、半径和直径，请你想办法找到它的圆心，并标 明半径和直径。 第 2 课时圆的周长（1） 教学目标 1.通过测量、计算、猜测和验证理解并掌握圆的周长计算方法。 2.在对圆周率的值的探索中培养自己的逻辑思维能力。 教学重点 通过测量、计算、猜测和验证理解并掌握圆的周长计算公式。 教学难点 理解圆周长公式的推导过程。 学具准备： 88 每个小组准备 3-5 个圆形物品,直尺和细线。 教学过程 1．小组合作测量、计算、猜测和验证圆周率的值，理解并掌握圆的周长计 算方法，结合探究结果阅读教材 P62、63 页的内容。 2．把在合作探究过程中还存在的疑问提交小组共同解决。 自主与合作学习 一．探究圆的周长计算公式。 1．什么是圆的周长?（结合准备的学具感知圆的周长） 2．小组合作用直尺或细线等学具，测量手中圆形纸片的周长。 提示：绳测法指用线绕圆一周，从这一点开始，再到这一点，多余部分剪掉 后拉直，这条线的长度就是圆的周长。滚动法指让圆滚动一周，从直尺的 0 刻度 到滚动一周的终点，这段距离是圆的周长。 3．探究圆的周长和它的直径有什么关系。 （1）把小组合作测量出的圆的周长和直径填入下表，并计算出周长与直径 的比值。 物 品 名 称 周长 直径 周长 直径 的比值（保 留两位小数） （2）从测量和计算的结果我发现圆的周长总是直径的（）倍多一些。 4．阅读教材 P63 的内容，结合上面的探究填写下面的内容。 圆的周长和它的直径的比值是一个固定数，我们把它叫做（），用字母（） 表示，它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…实际生活中一般只取它的 近似值，即 π≈（）。 5.归纳公式：如果用 C 表示圆的周长，那么：C=（）或 C=（）。 89 二．圆的周长的应用(教材 P64 例 1) （1）这辆自行车轮子的半径大约是 33 厘米,它转 1 圈，大约可以走多远? （结果保留整米数） 小明家离学校 1 千米，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈? 达标检测 1.填空 （1）圆的半径是 7 厘米，它的周长是（ ）厘米；圆的直径是 13 米，它的 周长是（ ）米。圆的周长是 75.36 分米，它的半径是（ ）分米。 （2）圆的半径和直径的比是（ ），圆的周长和直径的比是（ ）。 （3）小圆的半径是 6 厘米，大圆的半径是 9 厘米。小圆直径和大圆直径的 比是（），小圆周长和大圆周长的比是（）。 2．求下面各圆的周长 3.解决问题 （1）一个圆形喷水池的半径是 5 米，它的周长是多少米？ （2）一个圆形的铁环，直径是 40 厘米，做这样一个铁环需要用多长的铁条？ （3）一只挂钟的分针长 20 厘米，经过 30 分钟后，分针的尖端所走的路程 是多少厘米？经过 45 分钟呢？ ★4.看图计算出圆的周长和长方形的周长（单位：cm） 课外延伸：阅读教材 P63 的“你知道吗？” 第 3 课时圆的周长（2） 教学目标 1.通过练习，巩固对圆的周长公式的理解和掌握，熟练运用圆的周长公式解 决问题。 2.进一步培养自己运用公式解决问题的能力。 学习重难点： 90 灵活运用圆的周长公式解决问题。 学法指导： 1.自主完成学案上的问题，把有疑问的内容做上记号，待到课上共同解决。 2．带★的可以选做。 知识储备： 什么是圆周率？圆的周长计算公式是什么？ 2.完成下列口算练习（先口算出结果，再熟记） 3.14×1=3.14×2=3.14×3=3.14×4= 3.14×5=3.14×6=3.14×7=3.14×8= 3.14×9=3.14×10=3.14×11=3.14×100= 3.14×25=3.14×12=3.14×45=3.14×30= 自主与合作学习 1.用字母表示下面公式。 已知圆的直径求周长：已知圆的半径求周长： 已知圆的周长求直径：已知圆的周长求半径： 已知直径求圆周长的一半： 已知半径求圆周长的一半： 2.在一个周长为 100 ㎝的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径 是多少厘米？ （1）这个圆的半径和正方形有什么联系?要先算什么？再算什么？ （2）列式解答 3.肖萌家要用篱笆围一个半径 10 米的半圆形花圃，需要多长的篱笆？ （1）需要多长的篱笆就是要算一个（）图形的（） （2）列式解答 半圆周长的计算方法： 如果知道 r，C=()；如果知道 d,C=()。 达标检测 1．判断 （1）圆的半径扩大 4 倍，圆的周长也扩大 4 倍。（） 91 （2）小圆半径是大圆半径的1 2 ，那么小圆周长也是大圆周长的1 2 （ ） （3）半圆的周长就是这个圆周长的一半。（ ） （4）在同一个圆内，两条半径就是一条直径。（） （5）圆的周长总是它直径的π倍。（） 2.填空 （1）两个圆的半径的比是 2:3,它们直径的比是（），周长的比是（）。 （2）一个圆的直径扩大到原来的 2 倍，它的半径就扩到到原来的（）倍， 它的周长就扩大到原来的（）倍。 （3）一张长方形的纸，长是 18 ㎝，宽是 12 ㎝。用这张长方形纸剪一个最 大的圆，这个圆的半径是（）㎝，周长是（）㎝。 （4）一种压路机滚筒的直径为 2 米，滚筒的长也是 2 米，如果每分钟转 6 圈，开动 10 分钟后，压路机前进了（）米。 3.解决问题 （1）用一根长 1.6 米的铁丝做一个铁圈，接头处的长是 0.3 分米，这个铁 圈的直径是多少分米？ （2）一辆自行车轮胎的外直径是 70 厘米，如果每分钟转 100 圈，通过一座 1099 米的大桥，大约需要几分钟？ ★4.下面图形的周长是多少厘米？你是怎样计算的？ 第 4 课时圆的面积 教学目标 1.理解圆的面积计算公式的推导过程,掌握求圆的面积的方法并能正确计算。 2.通过动手操作，培养自己运用转化的方法解决问题的能力。 教学重点 掌握求圆的面积的方法并能正确计算。 92 教学难点 理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学过程 在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，把这些近似于等 腰小三角形的小纸片按 P67 的方法拼一拼，课上小组合作探究拼成的图形的各部 分和圆之间的联系，推导出圆的面积计算公式带★的可以选做。 知识储备 1.计算下面各题（组内比一比，看谁算得快） 72=92=102=82=62=52= 42=32=22=112=122=202= 2.小组合作回忆平行四边形的面积公式推导过程（组内交流后完成下面的填 空） 我们在推导平面图形的面积时多数是用（）的方法，即把所学的图形进行分 割、拼摆转化成学过的图形，用旧知识解决问题，今天我们仍用这种方法探究圆 的面积计算公式。 自主与合作学习 1．什么是圆的面积？圆的面积大小由什么决定。 2．小组合作动手操作，推导圆的面积计算公式。 拿出课前把圆分成若干（偶数份）等份剪开后的图形，把这些近似于等腰小 三角形的小纸片按 P67 的方法拼一拼，再思考： （1）拼成的图形是（），等分的份数（偶数份）越多，拼出的图形更接近（） 形。 （2）拼成的近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么联系？面积呢？ （结合拼成的图形组内交流并展示） 3.结合拼摆、推导的过程整理圆的面积计算公式。 （1）从拼摆的图中可以看出圆的半径是 r，长方形的长是（），宽是（）。 （2）因为长方形的面积=（）×（） 所以圆的面积=（）×（）=（） （3）如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是（）。 93 4．运用圆的面积计算公式解决问题。 （1）圆形草坪的直径是 20 米，每平方米草皮 8 元，铺满草皮需要多少钱？ 分析：已知圆的直径，求面积的方法是先算出圆的（），再算（），最后算（）。 列式解答： （2）一个圆形蓄水池的周长是 25.12 米，这个蓄水池的占地面积是多少？ 分析：已知圆的周长，求面积的方法：先算出圆的（），再算（），最后算（）。 列式解答： 达标检测 1.填空 （1）把一个圆平均分成若干等份（偶数份），剪开拼成一个近似的长方形。 这个长方形的长相当于（），长方形的宽就是圆的（）。因为长方形的面积是（）， 所以圆的面积是（）。 （2）用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是 7 厘米，画出的这个圆 的周长是（ ）厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 （3）要在一个边长为 10 厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，圆的面积 是（ ）。剩下部分的面积是（）。 2．判断 （1）半径是 2 ㎝的圆，它的面积和周长相等。（） （2）半圆面积是它的整个圆面积的一半。（） （3）两个圆的半径之比是 1：2，面积之比也是 1：2。（） （4）圆的周长越长，圆的面积就越大。（） 3．解决问题 （1）一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是 4 米，这只羊最多可以吃到 多少平方米的草？ ★（2）在一张长 30 厘米，宽 20 厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，还剩 下多少平方厘米的纸没用？ 第 5 课时圆环的面积 教学目标 1.掌握圆环和“外方内圆”、“外圆内方”图形的面积的计算方法，并能正确 94 计算圆环的面积。 2.运用圆的面积计算公式解决一些实际问题，培养自己主动探索解决问题的 能力。 学习重难点： 掌握圆环面积的计算方法。 学具准备： 旧光盘、古建筑图片。 教学过程 自学教材 P68、69 的内容，然后结合学具和组内成员一起探究圆环的面积计 算方法，把在合作探究过程中还存在的疑问提交全班共同解决。带★的可以选做。 知识储备 1．填空 （1）一个圆的面积扩大 9 倍，周长扩大（）倍。 （2）将一个半径是 5 厘米的圆，平均分成 32 等份，通过剪拼等活动，摆成 一个近似的长方形，这个长方形的长是（）厘米，宽是（）厘米。 （3）周长相等的正方形和圆比较，（）的面积大。 （4）有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的 4 倍，小圆与大圆周长的比是 （ ），小圆与大圆面积的比是（ ）。 2．一个圆形喷水池的周长是 62.8 米，这个水池的占地面积是多少平方米？ 自主与合作学习 （一）自学教材 P68 的内容。 （二）拿出准备的光盘观察， 1．光盘的面积是()的面积，求它的面积的方法是（）。 2．解决问题 光盘银色部分是一个圆环，内圆半径是 2 厘米，外圆半径是 6 厘米，它的面 积是多少平方厘米？ （1）自主列式解答 （2）组内展示自己的方法后，归纳总结圆环的面积计算方法： 3．一个环形铁片，内圆半径是 6 厘米，环宽是 4 厘米，求这个环形铁片的 面积？ 95 外圆半径是（）厘米，根据圆环的面积计算方法列式计算为： 自学教材 P69 例 3 的内容，然后结合学具和组内成员一起探究“外方内圆”、 “外圆内方”的面积计算方法。 问：图中的两个圆半径都是 1 米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？ 阅读理解：“外方内圆”求的是（）比（）多的面积。 “外圆内方”求的是（）比（）多的面积。 分析解答： 左图右图 达标检测 1．判断 （1）在同一个圆内，两条半径就是一条直径。（） （2）在一个大圆内剪去一个小圆就形成了一个圆环。（） （3）任意一个圆环，都有无数条对称轴。（） （4）大小不同的两个圆，它们的周长与它们的直径的比值相（） （5）周长相等的两个圆，它们的面积比是 1：1。（） （6）如内圆直径是 4 厘米，环宽 1 厘米，则外圆直径为 5 厘米。（） 2．解决问题 （1）街心花园里有一个半径为 6 米的圆形花坛，要在其周围修 2 米宽的水 泥路，这条水泥路的面积是多少？ （2）一个环形铁片，外圆直径是 8 厘米，环宽 1 厘米，这个铁片的面积是 多少？ （3）一个环形机垫，外圆直径是 8 分米，内圆周长是 18.84 分米，这个机 垫的面积是多少？ ★（4）求左图阴影部分的周长和右图阴影部分的面积（单位：㎝） 周长：面积： 第五单元归纳总结（知识点小结）圆 96 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫 做圆心。一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都 相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的 1/2。 用字母表示为：d=2r 或 r=d/2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重 合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称 图形。 10、只有 1 条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有 2 条对称轴的图形是：长方形;只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形;只有 4 条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 11、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子(三角板)画出虚线，这条虚线两端 要超出图形一点。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。 2、圆周率实验：(滚动法)在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在 直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是 圆的周长(测绳法)。 发现，圆周长与它直径的比值(圆周长除以直径)是一个固定数即 3 倍多一点， 我们把它叫做圆周率用字母π表示。 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把 97 它叫做圆周率。用字母π(pai)表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国 的数学家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是 3.14 倍。 4、圆的周长公式：圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示 C=πd (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d=C÷π或圆的周长等于 2 乘圆周率乘半径，用字母表示 C=2πr (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的 2 倍， 用字母表示 r=C÷2π(r=C/2π) 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个 长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)、周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2πr÷2 即 C 半=πr (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：半圆的周长 =5.14r(推导过程 C 半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=5.14r) 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S 表示。 2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成 的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆 的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的`长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积=长×宽 所以：圆的面积=圆周长的一半×圆的半径 即 S 圆=C÷2×r=πr×r=πr 圆的面积公式：S 圆=πr→r=S 圆÷π 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母 R 表示，内圆的半径用字母 98 r 表示。(R=r+环的宽度.) S 环=πR-πr 或环形的面积公式：S 环=π(R-r)(建议用这个公式)。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面 积扩大 3 的平方倍得到 9 倍。 6、两个圆：半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是 2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是 2∶3， 而面积比是 4∶9 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方 形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最 短。 9、常用各π值结果：π=3.14;2π=6.28;5π=15.7 10、外方内圆(内切圆)公式 S=0.86r 推导过程：S=S 正-S 圆=d-πr=2r×2r- πr=4r-πr=r×(4-π)=0.86r 11、外圆内方(外切圆)公式 S=1.14r 推导过程：S=S 圆-S 正=πr-dr/2×2=2r ×r/2×r=πr-2r=r×(π-2)=1.14r(把正方形看成两个面积相等的三角形，三角 形的底就是直径，高是半径) 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆 心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 13、S 扇=S 圆×n/360;S 扇环=S 环×n/360 14、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。 15、常见半径与直径的周长和面积的结果。 第六单元教材分析百分数 一、教学内容 1．百分数的意义 2．百分数与分数、小数的互化 3．百分数的一般性应用 99 二、教学目标 1．使学生理解百分数的意义，会正确地读、写百分数，会运用百分数表述 生活中的一些数学现象。 2．使学生掌握小数、分数和百分数之间互化的方法。 3．使学生在理解、分析数量关系的基础上，正确解决有关百分数的实际问 题。 4．使学生学会把分数的有关知识和技能迁移到百分数，体会类比的数学思 想。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 除了前文提到的把“百分数”内容分成两段，分别安排在六年级上册和下册 以外，本册教材在编排百分数与分数、小数的互化时进行了新的尝试。教材结合 “求一个数是另一个数的百分之几”（如求命中率）教学如何把分数、小数化成 百分数，结合“求一个数的百分之几是多少”教学如何把百分数化成分数或小数。 因为在求一个数是另一个数的百分之几时，求出的结果或者是分数的形式，或者 是小数的形式，而题目要求以百分数的形式呈现结果，就自然产生了把分数和小 数化成百分数的需要；在求一个数的百分之几是多少时，只有把百分之几化成分 数或小数，才能继续计算。这样编排，一是更能体现将百分数与分数、小数进行 互化的必要性；二是大大缩减了例题的容量。 （二）具体编排 1.百分数的意义。 教材呈现程序格式化进度、服装面料和里料的成分、汽车销售情况的百分数， 旨在突出百分数在生活中的广泛运用。教材呈现的三个实例中的百分数包括百分 号前面的数的是整数的、小数的，小于 100 的、等于 100 的、大于 100 的，使学 生认识各种情形的百分数。让学生说说还在什么地方见过这样的数，激活学生的 生活经验，引导学生建立起新知与生活的联系。 教材直接给出百分数的意义，并让学生根据此意义描述实例中百分数的实际 含义。引导学生找出相比的量是哪两个，这两个量之间有什么样的关系。这与分 数教学中强调“量率对应”的思想是一致的。 由于百分数只能表示两个量之间的一种比的关系，在生活中也叫百分率或百 100 分比，如“出勤率”“发芽率”等。由于百分数是一种比，因此也可以从比的角 度解释相关概念。 接下来，教材呈现了前面所引出的三个百分数的读写，具有一定的代表性， 分子分别是整数、小数和大于 100 的数。 2.例 1。 本例有两个教学目标：一是会解决求一个数是另一个数的百分之几的问题， 二是在解决问题的过程中学会把分数、小数化成百分数的方法。这样编排，既凸 显了转化的必要性，又把分数化成百分数、小数化成百分数整合在一起。 教材通过求投篮命中率的情境引入，并直接给出命中率的概念，使学生明白： 要把最终结果化成百分数，再进行比较。根据“求一个数是另一个数的几分之几”， 列出除法算式 3÷5 和 4÷6。两种不同的运算，产生了小数和分数的结果，很自 然地产生“如何把小数和分数化成百分数”的需求。 教材选取的数据具有典型性。3÷5，4÷6 这两个算式，3÷5 能得到有限小 数，也能直接将分数结果化成分母是 100 的分数；4÷6 则无法除尽，需取近似 值，且无法直接将分数结果化成分母是 100 的分数。这四种情况基本涵盖了小数、 分数化成百分数的所有可能性。 在此基础上，再让学生理解生活中其他一些“百分率”的含义，水到渠成。 3.例 2。 例 2 也有两个教学目标：一是会解决求一个数的百分之几是多少的问题，二 是在解决问题的过程中学会把百分数化成分数、小数的方法。这样编排，既凸显 了转化的必要性，又把百分数化成分数、百分数化成小数整合在一起。 教材注重将新知与原有知识进行沟通和联系，提示“求一个数的百分之几” 和“求一个数的几分之几”意义相同，引导在已有知识基础上寻找数量关系，正 确列式。利用两种不同的计算方法，体现把百分数化成分数或小数的必要性。由 于百分数无法直接参与运算，需要利用它和分数、小数的关系，把它“等值转化” 成分数或小数，再进行计算。 百分数化成小数，先把百分数改写成分数是 100 的分数，再根据小数的意义 （或进行除法计算），改写成小数。在此基础上，观察到只要把百分数小数点左 移两位，去掉百分号即可，这是小数化成百分数的逆过程。百分数化成分数，也 是把百分数先改写成分数是 100 的分数，再约分化简。 101 4.例 3。 本例是求比一个数增加（或减少）百分之几，是求一个数是另一个数的百分 之几的延伸和发展，其数量关系和求一个数比另一个数多（或少）几分之几是一 致的。教材呈现了两种解决问题的方法，拓宽学生的解题思路：①先求出实际比 原计划增加的公顷数，再求出增加的公顷数是原计划的百分之几。②先求出实际 造林的公顷数是原计划的百分之几，再减去 100%，就是实际造林比原计划增加 了百分之几。为了帮助学生理解数量关系，教材利用线段图直观表示出量与量之 间的关系，清晰地展示出谁和谁比，以谁为标准。 接下来，教材指出：在实际生活中，人们常用“增加百分之几”“减少百分 之几”“节约百分之几”来表示增加、减少的幅度。使学生理解：这些生活中的 表述都可以归结为数学上的“求一个数比另一个数多（少）百分之几”。 5.例 4。 例 4 是解决求比一个数多（或少）百分之几的数是多少的问题，这类问题的 数量关系与求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题相同。由于有了相 关知识基础，学生对解决此类问题不会感到困难。 教材提供了两种基本的解法，体现不同的解题思路，使学生看到每种解法中 先算什么，再算什么，着重理解“增加了 12%”是增加了谁的 12%。 6.例 5。 例 5 选取了“某种商品 4 月的价格比三月降了 20%，5 月的价格比 4 月又涨 了 20%，这件商品的价格是涨了还是降了”这样一个既有趣又有挑战性的数学问 题。问题中没有提供商品的具体价格，有利于激发学生的探究兴趣。 教材注重让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程。 在“阅读与理解”时发现按照“要求涨幅或降幅，就要知道前后的价格”的常规 思路，遇到了“原来价格未知”的障碍，由此产生假设原有价格的的需要。 在学生提出问题的基础上，自主发现可以假设商品原来的价格为某个具体数 值，比如 100 元。这就将新的问题转化为已学过的问题，利用旧知加以解决。教 材以商品原价 100 元为例，给出具体解法。在解决的过程中，学生可以发现降价 的 20%和涨价的 20%是相对于不同的量而言的，因此，虽然降价和涨价的相对比 率相同，降价和涨价的绝对数值却不同。 不同的假设，却可以得到相同的结果，这说明原价是多少并不会影响结论。 102 在此基础上，提出可以把商品的原价假设成抽象的“1”。这个“1”不是“1 元”， 但可以代表“1 元”“100 元”“1000 元”……是一个高度抽象的概念。 在“回顾与反思”阶段，引导学生进一步讨论：如果用更为一般的假设方法， 把商品原价假设为 a 元。此时 5 月的价格是 0.96a，和 3 月价格 a 相比，（a-0.96a） ÷a=4%，结论不变，进一步验证了假设法的合理性和有效性。 四、教学建议 1．引导学生充分利用分数的相关知识进行迁移类推。 2．紧密结合生活实例，引导学生理解百分数的意义以及利用百分数解决实 际问题。 第 1 课时认识百分数 教学内容: 教材 82~83 页内容。 教学目标: 知识与技能：1.理解百分数的概念，正确读、写百分数，解释生活中常见的 百分数。 2、会表述百分数的意义。 过程与方法：让学生在交流合作体会到学习的乐趣 情感、态度与价值观：体验数学与日常生活的联系，树立学好数学的信心。 教学重难点: 重点：理解和掌握百分数的意义 难点：正确理解百分数和分数的区别。 教学过程: 知识回顾: 我们以前学习了哪些分数？ 情景导入: 同学们一件事情我百分之百知道，是什么意思？ 新知探究: 1、百分数的意义 小组合作完成，说出书中各图百分数的具体含义并写下来。比如：小学生的 103 近视率为 18%，也就是说小学生中近视的人数占全体小学生人数的100 18 。 各小组展示写的结果，进行评比。 请各小组讨论下面分数意义的异同。 ①一块木头的质量是一块铁的质量的100 57 。 ②一块铁的质量是100 57 千克。 2、尝试归纳百分数的读写法。 ①、百分数的读法： ②、百分数的写法： 三、拓展归纳: 百分数的意义与写法 1、像 18%、50%、64.2%...........这样的数叫做（），百分数表示 （ ），也叫做（）或（）。 2、百分数的写法： 注意百分号的两个小圆圈要写得小一些。 3、百分数的读法： 不能读成“一百分之几”而读成“百分之几”。 知识梳理: 这节课我学习了什么知识？ 随堂练习: 1．一条路修好了 85%，这句话中（）是单位“1”，（）是（）的 85%。 2．今年小麦总产量比去年增产 8%，今年小麦总产量是去年总产量的（）%。 3．梨树比杏树少 10%，梨树是杏树的（）%。 4、读出下面各百分数。 1%：6.5%：5%：100%：245%： 5．写出下面各百分数。 百分之二：百分之零点四五： 百分之五十点三：百分之三百： 104 第 2 课时解决问题（1） 教学内容: 教材第 84 页例 1。 教学目标: 1.理解并掌握小数、分数化成百分数的方法。 2.会解决求一个数是另一个数的百分之几的问题。 3.培养学生探究的意识和归纳总结的能力。 教学重难点: 重点：掌握小数、分数化成百分数的方法。 难点：利用旧知自主探究新知。 教学过程: 一、复习准备 1.先把下面的小数化成分数，再说一说小数化成分数的方法。 0.451.20.367 学生说后教师板书： 先化成分母是 10、100、1000 的分数，再约分 2.先把下面的分数化成小数，再说一说分数化成小数的方法。 学生说后教师板书： 用分子除以分母 二、自主探究 1.教学例 1。 （1）读题找信息。 （2）讨论：如何理解“命中率”？ （3）怎样列式？ （4）引导探究：3÷5 如何化成百分数？可以分几步进行？ （5）交流反馈：教师引导学生得出方法：把小数化成百分数，要先把小数 化成分母是 100 的分数，然后把这个分数改写成百分数。把分数化成百分数，可 以先把分数化成分母是 100 的分数，再化成百分数，也可以先把分数化成小数， 再把小数化成百分数。 小数 分数 小数 分数 105 思考除不尽时如何保留近似数。 （6）回顾整理小数化百分数的方法及分数化百分数的方法。小数化成百分 数，只要把小数的小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 分数化成百分数，可以先把分数化成小数，再把小数化成百分数，除不尽时， 一般百分号前保留一位小数。 2.看教材整理教材上两种方法，并阅读第 84 页下面关于百分率的内容，试 着填写空缺处。 三、实践应用 1.完成教材第 85 页“做一做”第 1 题（上一排）。（将小数或分数化成百分 数） 独立练习，做完后在全班交流自己的收获。 2.完成教材第 85 页“做一做”第 2 题。 学生独立完成，做后集体订正。 3.完成教材练习十八第 6 题（先填后反馈）。 四、课堂小结 这节课你有什么收获？谈一谈。 五、课堂作业 教材练习十八第 5 题。 第 3 课时解决问题（2） 教学内容:教材第 85 页例 2。 教学目标: 1.理解并掌握百分数化成小数或分数的方法，能正确熟练地进行百分数与小 数和分数的互化。 2.会解决求一个数的百分之几是多少的问题。 3.培养学生归纳总结的能力和迁移解决问题的能力。 教学重难点: 重点：百分数化成小数、分数的方法。 难点：理解用百分数乘法列式的算理。 教学过程: 106 一、复习准备 1.把下面各数化成百分数。 0.371.450.996 2.把分数化成百分数。 以上每题先由学生独立完成，做后集体订正，并请学生说一说转化的过程。 3.什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数不能化成有限小数？ 学生回顾后，指名口答，集体订正。 二、自主探究 1.教学第 85 页例 2。 （1）理解题意，择取信息。 （2）求一个数的百分之几和求一个数的几分之几定义一样吗？为什么？ （3）怎样列式？ （4）如何计算？讨论交流 （5）学生探究尝试。 （6）交流小结方法： 小数（观察：怎样转化？） 百分数分母是 100 的分数 最简分数 （7）根据刚才的讨论和计算，说一说如何把百分数化成分数或小数 学生回答，教师板书： 化成分母是 100 的分数，能约分的要约分 只要小数点向左移动…… （8）完成教材第 85 页“做一做”第 1 题（下一排）,指名练习，集体订正。 三、实践应用 1.完成教材练习十八第 8 题。(先填后说算法) 2.完成教材练习十八第 7 题。（先填，后观察相等的分数、小数与百分数的 关系） 百分数 分数 百分数 小数 107 3.完成教材练习十八第 12 题。（交流讨论） 4.完成教材练习十八第 14 题。（先计算，后比较） 5.完成教材练习十八第 15 题。（尝试后说出你的思路） 四、课堂小结 这节课你有什么收获？谈一谈。 五、课堂作业 教材练习十八第 9、10 题。 第 4 课时解决问题（3） 教学内容:89 页 教学目标: 知识与技能：1、能正确分析“求一个数比另一个数多（或少）百分之几” 的应用题。2、掌握求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题的解答方法。 过程与方法：在合作交流中提高迁移类推和分析、解决问题的能力。 情感、态度与价值观。 体会求百分率的用处和必要性。 教学重难点: 重点：掌握解决此类问题的方法。 难点：理解题中的数量关系。 教学过程: 知识回顾: 解答“一个数是另一个数的百分之几”的应用题，关键是什么？ 同桌相互交流 情景导入: 只列式不计算。 ○1 5 是 4 的百分之几？○2 4 是 5 的百分之几？ 一个乡去年原计划造林 12 公顷，实际造林 14 公顷。实际造林时原计划的百 分之几？ 题中有（）和（）两个量是关键量，是从（）句中找到的，标准量是（）、 比较量是（）。 108 新知探究: 例 3：一个乡去年原计划造林 12 公顷，实际造林 14 公顷，实际造林比原计 划增加了百分之几？ ○1 读完题后，与练习题比较有什么异同。 ○2 我会根据题意画线段图做图。 ○3 题中是哪两个量在比较，哪个量是单位“1”，哪个量是比较量？ ○4 题中“求实际造林原计划增加百分之几？”实际上就是求（）是（）的百 分之几？ ○5 讨论列式计算。根据以上分析，必须先算什么？再算什么？ ○6 想一想：此题还有其他解法吗？小组合作讨论，汇报结果。 2、将例 2 中的问题改为“原计划造林比实际少百分之几”？用“1”的几个 步骤进行分析解答。汇报结果。 归纳 求“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的应用题（为了方便把一个 数换为甲，另一个数换为乙）可用两种方法解： 1、○1 找准标准量：乙（即单位“1”）；比较量：甲比乙多（或少）的部分 ○2 再用比较量即（甲比乙多（或少）的部分）÷标准量×100% 2、直接用甲除以乙减去单位“1”即：乙 甲 ×100%-1 知识梳理: 本节课你学习了什么知识？ 随堂练习: 1、分析数量关系： （1）求今年小麦的产量是去年的百分之几，是把（）看作单位“1”，是（） 和（）相比，所以用（）÷（） （2）求今年小麦的产量比去年增产百分之几，是把（）看作单位“1”，是 （）和（）比，所以用（）÷（） （3）求女生人数比男生人数少百分之几，是把（）看作单位“1”，是（） 和（）比，所以用（）÷（） 109 2、冰化成水，体积会减少11 1 。水结成冰，体积会增加百分之几？ 3、操场上有男生 25 人，女生 20 人。○1 女生人数比男生人数少百分之几？○2 男生人数比女生人数多百分之几? 4、一辆自行车原价 312 元，现价 144 元。降价了百分之几？ 5、一件上衣现价 200 元，降价了 50 元。降价了百分之几？ 第 5 课时解决问题（4） 教学内容: 教材第 90 页例 4、例 5。 教学目标: 1.理解比求一个数多（或少）百分之几的数是多少的应用题的数量关系，掌 握这类应用题的分析和解答的方法。 2.理解先降低百分之几后又提高百分之几类问题的数量关系，并能分析解答。 3.培养学生类推、迁移的能力。 教学重难点: 重点：沟通百分数应用题与相应的分数应用题的联系，并能正确地解 答。 难点：单位“1”前后不一致时，百分数应用题数量关系的分析。 教学过程: 一、创设情境，引入课题 1.用投影仪显示下列一组信息： （1）学校图书室原有图书 1400 册。 （2）今年图书册数增加了。 2.学生口述上述信息，并根据这两条信息，能提出哪些数学问题？ （1）从学生提出的问题中，选择“现在图书室有多少册图书？”与上述两 条信息组成一道完整的应用题。 （2）学生独立解答此题，解答后订正，并提问：为什么要用乘法计算？ （3）教师：“今年图书册数增加了”，这句话还可以怎么说？（屏幕上闪动 110 这句话） 学生回答后，屏幕上将变为 12%。 （4）教师：这就是我们今天要学习的百分数应用题。 二、自主探究 1.投影出示例 4。 （1）学生完整读题，获取信息。 （2）讨论：这道题与刚才的复习题有哪些相同？哪些不同？如何解这道题？ （3）学生分组讨论，教师参与、引导： a.这道题的条件是什么？问题是什么？ b.数量关系变了吗？ c.12%是谁的 12%？ （4）先自己独立解答，再和同学说一说自己是怎样想的，教师适时把学生 的回答进行板书。 解法一：400+1400×12%解法二：1400×（1+12%） =1400+168=1400×112% =1568（册）=1568（册） （5）比较归纳：通过这道题的学习，你明白了什么？ 2.补充练习。 一个县去年有在校小学生 80000 人，今年比去年减少了 0.5%。这个县今年 有在校小学生多少人？ （1）引导比较。 与例 4 比较，什么变了？什么没变？ （2）自己独立解答。想出几种方法就用几种方法解答。 （3）交流欣赏，教师适时板书： 解法一：80000-80000×0.5%解法二：80000×（1-0.5%） =80000-400=80000×99.5% =79600（人）=79600（人） （4）通过观察比较，你又发现了什么？ 3.教学例 5。 （1）阅读与理解：引导理解，要求……原来的价格未知，怎么办？ 111 （2）分析与解答。 ①可假设商品 3 月的价格是 100 元。 ②你能分别求出降低 20%后的价格和又涨 20%后的价格吗？学生尝试解答。 ③也可以直接假设商品 3 月的价格是 1，你又怎么求？ （3）回顾与反思：想一想怎么验证结论。 三、实践应用 1.完成教材第 91 页“做一做”第 1~3 题。 独立练习，小组互相检查。 2.完成教材练习十九第 11 题。 （1）先交流思路，（2）后尝试解答。 四、课堂小结 通过今天的学习，你有什么收获和疑问吗？ 五、课堂作业 教材练习十九第 5 题。 第 6 课时解决问题（5） 教学内容: 教材第 90 页例 4、例 5。 教学目标: 1.理解比求一个数多（或少）百分之几的数是多少的应用题的数量关系，掌 握这类应用题的分析和解答的方法。 2.理解先降低百分之几后又提高百分之几类问题的数量关系，并能分析解答。 3.培养学生类推、迁移的能力。 教学重难点: 重点：沟通百分数应用题与相应的分数应用题的联系，并能正确地解 答。 难点：单位“1”前后不一致时，百分数应用题数量关系的分析。 教学过程: 一、创设情境，引入课题 112 1.用投影仪显示下列一组信息： （1）学校图书室原有图书 1400 册。 （2）今年图书册数增加了。 2.学生口述上述信息，并根据这两条信息，能提出哪些数学问题？ （1）从学生提出的问题中，选择“现在图书室有多少册图书？”与上述两 条信息组成一道完整的应用题。 （2）学生独立解答此题，解答后订正，并提问：为什么要用乘法计算？ （3）教师：“今年图书册数增加了”，这句话还可以怎么说？（屏幕上闪动 这句话） 学生回答后，屏幕上将变为 12%。 （4）教师：这就是我们今天要学习的百分数应用题。 二、自主探究 1.投影出示例 4。 （1）学生完整读题，获取信息。 （2）讨论：这道题与刚才的复习题有哪些相同？哪些不同？如何解这道题？ （3）学生分组讨论，教师参与、引导： a.这道题的条件是什么？问题是什么？ b.数量关系变了吗？ c.12%是谁的 12%？ （5）先自己独立解答，再和同学说一说自己是怎样想的，教师适时把学生 的回答进行板书。 解法一：400+1400×12%解法二：1400×（1+12%） =1400+168=1400×112% =1568（册）=1568（册） （5）比较归纳：通过这道题的学习，你明白了什么？ 2.补充练习。 一个县去年有在校小学生 80000 人，今年比去年减少了 0.5%。这个县今年 有在校小学生多少人？ （1）引导比较。 与例 4 比较，什么变了？什么没变？ 113 （2）自己独立解答。想出几种方法就用几种方法解答。 （3）交流欣赏，教师适时板书： 解法一：80000-80000×0.5%解法二：80000×（1-0.5%） =80000-400=80000×99.5% =79600（人）=79600（人） （4）通过观察比较，你又发现了什么？ 3.教学例 5。 （1）阅读与理解：引导理解，要求……原来的价格未知，怎么办？ （2）分析与解答。 ①可假设商品 3 月的价格是 100 元。 ②你能分别求出降低 20%后的价格和又涨 20%后的价格吗？学生尝试解答。 ③也可以直接假设商品 3 月的价格是 1，你又怎么求？ （3）回顾与反思：想一想怎么验证结论。 三、实践应用 1.完成教材第 91 页“做一做”第 1~3 题。 独立练习，小组互相检查。 2.完成教材练习十九第 11 题。 （1）先交流思路，（2）后尝试解答。 四、课堂小结 通过今天的学习，你有什么收获和疑问吗？ 五、课堂作业 教材练习十九第 5 题。 第 7 课时整理和复习 教学内容:94 页 教学目标: 知识与技能： 1、通过复习进一步理解百分数的意义，掌握百分数的写法。 2、掌握百分数和小数、百分数和分数互化的方法，熟练解答求一个数是（比） 另一个数（多或少）百分之几的应用题以及百分比应用题。 114 过程与方法：让学生在合作交流中体会学习的乐趣。 情感、态度与价值观：体会数学知识来源于生活。 教学重难点: 重点：掌握百分数和小数、百分数和分数互化的方法，熟练解答求一 个数是（比）另一个数（多或少）百分之几的应用题以及百分、 比应用题。 难点：掌握百分数和小数、百分数和分数互化的方法，熟练解答求一 个数是（比）另一个数（多或少）百分之几的应用题以及百分 比应用题。 随堂练习: 一、基本练习 1、完成下面表格。 小 数 0. 16 分 数 百 分数 24 .5% 0. 9% 2、只列式，不计算。 （1）40 占 50 的几分之几？（2）50 是 40 的百分之几？ （3）5 比 8 少百分之几？（4）8 比 5 多百分之几？ 二、知识梳理 1、百分数和分数在意义上有什么不同？百分数写法有什么特点？ 2、说一说百分数和小数互化的方法，百分数和分数互化的方法？ 3、求一个数是另一个数的百分之几的应用题用什么方法解答？ 115 如：甲数是 200，乙数是 150。 （1）甲数是乙数的百分之几，算式：_____________，把________看作单位 “1”。 （2）乙数是甲数的百分之几，算式：_____________，把________看作单位 “1”。 （3）甲数比乙数多百分之几，算式：_____________，把________看作单位 “1”。 （4）乙数比甲数少百分之几，算式：_____________，把________看作单位 “1”。 三、深化练习： 1、李师傅加工一批零件，其中合格率是 95%，这里的 95%表示什么？ 2、一条水渠已修的比未修的长 25%，这里的 25%表示什么？未修的比已修的 短百分之几？ 第六单元归纳总结（知识点小结）百分数（一） 一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。 百分数和分数的主要联系与区别： 联系：都可以表示两个量的倍比关系。 区别： ①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所 以不能带单位； 116 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带 单位。 ②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数； 分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。 4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来 表示。 二、百分数和分数、小数的互化 （一）百分数与小数的互化： 1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。 （二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数： 先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100 的分数，能约分要约 成最简分数。 2、分数化成百分数： ①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成 百分数形式。 ②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分 数。 （三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 2 1 =0.5=50% 5 1 =0.2=20% 8 5 =0.625=62.5% 4 1 =0.25=25% 5 2 =0.4=40% 8 1 =0.125=12.5% 4 3 =0.75=75% 5 3 =0.6=60% 8 3 =1.375=37.5% 16 1 =0.0625=6.25% 5 4 =0.8=80% 8 7 =0.875=87.5% 25 1 =0.04=4﹪ 25 2 =0.08=8﹪ 25 3 =0.12=12﹪ 25 4 =0.16=16﹪ 三、用百分数解决问题 117 （一）一般应用题 1、常见的百分率的计算方法： ①合格率= %100产品总数 合格产品数 ②发芽率= %100种子总数 发芽种子数 ③出勤率= %100总人数 出勤人数 ④达标率= %100学生总人数 达标学生人数 ⑤成活率= %100总数量 成活的数量 ⑥出粉率= %100出粉物的重量 粉的重量 ⑦ 烘 干 率 = %100烘干前的重量 烘干后的重量 ⑧ 含 水 率 = %100 烘干前的重量 烘干后的重量烘干前的重量 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油 率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、 80%，出油率在 30、40%。） 2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题： 数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： （1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量 （2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1  分率）=分率对应 量 3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单 位“1”。 解法：（建议：最好用方程解答） （1）方程：根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。 （2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题： 两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或： 求多百分之几：（大数÷小数–1）×100% ②求少百分之几：（1-小数÷大数）×100% （二）、折扣 118 1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。 几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折= 10 8 =80﹪,六折五 =0.65=65﹪ 2、 一成是十分之一，也就是 10%。三成五就是十分之三点五，也就是 35% （三）、纳税 1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人 收入的一部分缴纳给国家。 2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款 发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。 3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。 4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 5、应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率 （四）利息 1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来， 这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一 些收入。 3、本金：存入银行的钱叫做本金。 4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 5、利率：利息与本金的比值叫做利率。 6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间 7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则： 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税 率） 第七单元教材分析扇形统计图 一、教学内容 扇形统计图 选择合适的统计图 119 二、教学目标 1．使学生了解扇形统计图的特点与作用，知道扇形统计图可以直观地反映 部分数量占总数的百分比。 2．使学生能读懂扇形统计图，从中获取必要的信息，进一步体会统计在现 实生活的作用。 3．使学生知道对于同样的数据可以有多种分析的方法，能根据需要选择合 适的统计图，直观、有效地描述数据，进一步发展数据分析观念。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 到本单元为止，学生已经学完了条形统计图、折线统计图、扇形统计图这三 种统计图。因此，本单元除了让学生认识扇形统计图（例 1）之外，又新增了一 道让学生根据不同的统计目的选择不同统计图的例题（例 2），使学生从整体上 认识三种统计图各自的特点，理解这三种统计图在使用上各有什么优越性和局限 性。 （二）具体编排 1.例 1。 教材联系学生的生活实际，创设了学生在校园参加各种体育活动的情境，为 引出有关统计数据提供现实背景。通过统计表中的数据提出对数据的进一步处理 要求：你能算出喜欢每种运动人数各占全班人数的百分之几吗？以百分数意义的 理解引出扇形统计图的教学。 教材让学生将统计表中的数据填入未完成的扇形统计图，让学生经历用不同 大小的扇形表示各部分数量占总数百分比的过程，初步了解扇形统计图的特点。 在完成了扇形统计图后通过三个问题的思考，进一步引导学生在观察的基础 上得出扇形统计图的特点：用扇形可以清楚地表示出最喜欢的各种运动项目的人 数占全班总人数的百分比。 2.例 2。 条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点各异，在实际应用中的适用条 件也不一样，例 2 以三组校园树木数量相关数据，通过不同的统计内容让学生选 择合适的统计图，在统计图的多样化与优化中进一步认识各统计图的特点。同时 体会相同的统计对象，当需要表达的信息不同时，选择的统计图也不同，让学生 120 进一步感受统计的价值，发展数据分析观念。 第（1）小题统计的是树木总量在 2007～2011 年之间的变化情况。既可用条 形统计图，也可以用折线统计图。这一题对比的意图在于让学生体会条形统计图、 折线统计图的特点，突出选择折线统计图的一般条件，即表示数据变化趋势时用 折线统计图更直观。 第（2）小题统计的是各种树木占树木总量的百分比，既可以用扇形统计图， 也可以用条形统计图表示。条形统计图只是直观呈现了各种树木数量占总数的百 分之几，而扇形统计图能更直观、有效地看出校园树木数量的分布情况，突出选 择扇形统计图的一般条件：当需要了解整体与部分之间的关系时，选择扇形统计 图更合适。 第（3）小题统计的是各种树木的数量，教材中只出现条形统计图，引导学 生思考“为什么不用其他的统计图”，在对比三种统计图特点的基础上突出选择 条形统计图的一般条件：当只需要表示各项目的数据时，用条形统计图就可以了。 四、教学建议 1．结合生活中的统计实例进行教学，使学生充分感受统计的现实价值。 2．使学生通过比较，认识各种统计图的适用性和局限性。 节约用水 一、教学内容 通过对水龙头漏水情况的调查，了解水资源浪费情况，提出节约用水的具体 建议并落实在行动中。 二、教学目标 1．通过测量等操作活动，让学生经历收集、整理、分析数据的过程。 2．使学生综合运用所学的数学知识、技能和方法科学地认识日常生活中水 资源浪费的问题。 3．使学生加强环保意识，并把节约用水落实到行动上。 三、具体编排 本活动包含以下环节。 （1）收集信息。 通过板报的形式给出地球水资源的一些统计信息，通过这些信息让学生认识 到我国水资源匮乏，帮助学生认识到节约用水的重要意义。在此基础上让学生收 121 集相关的信息：（1）观察生活中浪费水的现象，实际调查一下学校或家里漏水水 龙头的数量。（2）选择其中一个漏水的水龙头，测量出它一定时间漏水的量。（3） 通过多种途径收集节约用水的资料。 （2）分析数据。 小组同学合作对收集到的一定时间水龙头漏水的量进行测量分析，计算出水 龙头每分钟漏水的速度。然后，对各组的分析结果进行比较，并针对比较的结果 进行小组讨论：“收集到的水龙头漏水速度不一样，怎样表示全班同学调查到的 水龙头漏水的一般水平比较恰当？” （3）解决问题。 在上述数据分析的基础上，通过把有限样本得出的结论进一步类推到更大的 样本，解决教材提出的问题，帮助学生对生活中浪费水的现象有一个客观而量化 的认识。 （4）提出方案。 对课前收集的节约用水的资料进行讨论交流，提出具体的节约用水的方案， 加强学生的环保教育。 四、教学建议 1．要体现活动的综合性，在活动过程中有机融合各部分数学知识和技能。 2．要体现活动的实践性，要通过具体操作收集数据，感受统计过程的真实 性，并最终把节约用水落实在学生的日常行为中。 第 1 课时扇形统计图 教学内容:96-97 页 教学目标: 知识与技能： 1、通过实际问题认识扇形统计图的含义和特点 2、能从扇形统计图中获取正确的信息，并能作出合理的解释和推断。 过程与方法：在合作交流中体会学习的乐趣。 情感、态度与价值观：通过观察、操作、推理、想象获取丰富的数学活动经 验，提高数学活动的能力。 教学重难点: 122 重点：看懂并能简单地分析扇形统计图所反映的情况。 难点：结合统计图正确进行数据分析，为决策服务。 教学过程: 知识回顾: 1、我们学过的统计图有()和();条形统计图的优点是(),折线统计图的优点 是(). 情景导入: 除上面这两种统计图外，还有其它统计图吗？ 新知探究: 1、仔细观察 16--97 页中扇形统计图,在这个图中，整个圆的面积表示的是 什么？各个扇形分别表示的是什么？和同桌说说自己的发现。 2、从扇形统计图中，我得到的信息有()。 3、我还可以提出以下问题： 4、比较扇形统计图和条形统计图的异同。 5、小结： 扇形统计图的特点是什么？ 拓展归纳 我们一共学过了（）种统计图，分别是（）、（）、（）；它们各自的特点是什 么？ 知识梳理: 本节课学习了什么知识？ 随堂练习: 97 页“做一做” 第七单元归纳总结（知识点小结）扇形统计图 一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表 示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫 百分比图)。 二、常用统计图的优点： 1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。 123 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增 减变化情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统 计图上写出百分率） 三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大 小有关，圆心角越大，扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是 该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。) 四、应用：1.会观察统计图。 2、你得到什么数学信息？ 回答、***占总体的百分之几； **占的百分比最多，**占的百分比最少； 3、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几。 第八单元教材分析数学广角-数与形 一、教学内容 利用数与形的关系解决问题。 二、教学目标 1．使学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。 2．在解决问题的过程中培养学生的发现模式、应用模式的能力，提高推理 能力。 3．在解决问题的过程中掌握和体会数形结合、极限等数学思想。 三、主要变化与具体编排 （一）主要变化 本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形。 数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有的时候，是图形 中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例 1 以及相关 的练习就属于这种情况。例如，第 109 页第 2 题（如下图），使学生通过观察， 发现第 2 个图比第 1 个图增加 2 个圆片，第 3 个图比第 2 个图增加 3 个圆片，第 4 个图比第 3 个图增加 4 个圆片……这样依次下去，各个图的圆片个数分别是 1， 3，6，10，…，即 1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，如果是第 n 个图，圆片的个 124 数是 1+2+3+4+…+n，等将来学习了等差数列的知识，就知道圆片个数是。 有的时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人 一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮 助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生 理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、 完全平方公式等。 还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形” 来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具， 互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这 样的思想。 （二）具体编排 1．例 1 本例让学生计算从 1 开始的连续若干个奇数之和。 在计算时，即使不借助图形，也可以通过 1=1、1+3=4、1+3+5=9……发现规 律：从 1 开始，连续 n 个奇数之和，就是 n 的平方。但把图与式对应起来，更具 直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个 大的正方形，第 n 个正方形图中每行、每列都有 n 个小正方形，因此，小正方形 总数是 n2）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正 方形数分别是 1，3，5，7，…)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第 n 个图 中的等式就是 1+3+5+…+（2n-1）=n2。 2．例 2 本例让学生计算的得数。 学生在计算的过程中发现，，……加数有规律，即后一个加数是前一个加数 的；和也有规律，每次相加所得的和等于 1 减去最后一个加数；加数的项数越多， 和越接近 1。 这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于 1。但这个无限接近于 1 的数 到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线 段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为 1。 即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为 1 这一事实不能理解，这 也是非常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为 1-，教 125 师可以追问：如果再加上一项呢？即加上，和就变成了 1-，不管你找到一个怎 样接近 1 的数，总还能再加一项，求出一个比它更接近 1 的和，这恰恰是极限思 想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理： 四、重难点突破 一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问 题，并学会应用所发现的规律 突破建议： 1．引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。形的问题中包含着数的规律， 数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形 的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数 的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系， 互相印证结果，感受数学的魅力。例如，教学例 1 时，可从形引入，先让学生说 一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生 容易得出小正方形数为 12，22，32，…的结论；也可以使学生看到三个图中的 小正方形数还可以分别表示成 1，1+3，1+3+5，…的结论。也可以从数引入，让 学生通过计算，发现 1+3=4，1+3+5=9，…有的学生可能很快发现 4=22，9=32，… 此时老师可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看 到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么。从而 对规律形成更为直观的认识。 2．充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观 性与简捷性。例 2 中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学 过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可 以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些 加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数为形”的 直观、形象、简捷特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方 法帮助学生理解。 二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想 突破建议： 1．在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数 学思想。本单元教学通过数与形的比照，引导学生从不同角度探索规律。例如， 126 通过观察与计算 1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…既能发现加数的规律，又能发现 和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学生 把规律应用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既是学生自 主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化 的过程体会与领悟推理和数形结合的思想。 2．在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数 学思想。例如，在例 2 教学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于 1，感受 什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律 进行“无穷无尽”类推，使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。 第 1 课时数与形（1） 教学内容:107 页 教学目标: 知识与技能： 1、会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法 则验证所探索的规律。 2、培养学生的观察能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高 其分析问题和解决问题的能力。 过程与方法： 1、经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算验证规律的过程。 2、在解决问题的过程中体验类比、转化等思维方法，培养学生良好的思维 品质。 情感、态度与价值观：认识知识来源于生活，体会数学就在身边，激发学生 的探究热情，体验数学活动的探索性及创造性，培养学生实事求是的科学态度。 教学重难点: 重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律。 难点：用字母、运算符号表示一般规律。创设问题情境，激发学生的 求知欲，让学生主动的从事观察，实验，猜测，验证，推理与 交流，并归纳总结 教学过程: 127 知识回顾: 猜测填数字 ①2、4、6、8、____、____ ②–1、2、–3、4、____、____ ③2、4、8、16、32、____、____ 情景导入: 日历图中的套色方框中９个数之和与该方框中间的数有什么关系？ 新知探究: 观察上面图形把下面算式补充完整 1=（）2 1+3=（）2 1+3+5=()2 利用规律写一写 1+3+5+7=(4)2 1+3+5+7+9+11+13=（7）2 —————————————————=（9）2 知识梳理: 本节课你学习了什么知识？ 随堂练习: 1、填空 3，5，7，（ ），11，13，（ ）； 6，10，14，（ ），22，26，（ ）； 2，4，8，（ ），32，64，（ ）； 1，4，9，（ ），25，36，（ ）； 1，8，27，（ ），125，（ ）； 1，3，6 ，10，（ ），21，（ ）； 2，4，7， 11，（ ），22，（ ）； 128 …… （2） （3） （4） （n）（1） 3、请你根据例 1 结论算一算 1+3+5+7+5+3+1=（） 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1= 第 2 课时数与形（2） 教学内容:107—108 页 教学目标: 知识与技能： 1、培养学生的观察能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高 其分析问题和解决问题的能力。 2、经历探索数量关系，通过验算验证规律的过程。 过程与方法：在解决问题的过程中，培养学生良好的思维品质。 情感、态度与价值观：体验数学活动的探索性及创造性，培养学生实事求是 的科学态度。 教学重难点: 重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律。 难点：创设问题情境，激发学生的求知欲，让学生主动的从事观察，实验， 猜测，验证，推理与交流，并归纳总结 教学过程: 知识回顾: 请你根据例 1 结论算一算 129 1+3+5+7+5+3+1=（） 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（） 情景导入:  12 1 6 1 2 1 新知探究: 投影题目 学生自主预习 你能发现什么规律？ 总结：从第二个数开始，每个数是前一个数的 2 1 计算后回答：我一个一个加下去，等号右边的分数越来越接近 1 提示：可以画一个圆或一条线段表示“1” 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 知识梳理: 本节课你学习了什么知识？ 随堂练习: 1、一条马路长 200 米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从以路的起 点出发，当小亮走到一半时，小狗已到达终点。然后小狗返回与小亮相向而行， ........64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1  ......... 16 15 16 1 8 7 8 7 8 1 4 3 4 3 4 1 2 1    1........64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1  130 遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…直到小亮到达终点。 小狗从出发开始一共跑了多少米？ 2、小林、小强、小芳、小兵、和小刚 5 人进行象棋比赛，每 2 人之间都要 下一盘。小林已经下了 4 盘，小强下了 3 盘，小芳下了 2 盘，小兵下了 1 盘。 请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？ 第八单元归纳总结（知识点小结）数学广角-数与形 1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可 以用平方数的形式来表示。1+3=221+3+5=321+3+5+7=42 得出：从 1 起连续奇数 的和等于奇数个数的平方。 2、从 2 起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等 于偶数个数乘比偶数个数大 1 的数即 n×（n+1）。 补充内容（位置） 1、我们用数对（数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。 括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”）确定点的位置。如数对(3， 5)表示：(第三列，第五行) 竖排叫列(从左往右看)横排叫行(从前往后看)，先数列再数行。 2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述，平移时图形 的现状不变。 3、图形左、右平移：行不变；图形上、下平移：列不变 补充内容（“鸡兔同笼”问题） 一、“鸡兔同笼”问题的特点： 题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。 二、“鸡兔同笼”问题的解题方法 1、假设法（1）假如都是兔（2）假如都是鸡； （一般假设都是大数（脚多的），再求出两个脚的相差量，用大的相差量除 以小的相差量得到小数（脚少的）最后再用总的头减小数得到大数。（我们称为 设大得小，设小得大） 例，有 34 个同学去划船，大船每船坐 4 人，小船每船坐 2 人，租 12 条船刚 好坐满，问大船和小船各租了几条。 131 假设法： 假设全部是大船则坐 12×4=48(人) 那么实际人数与大船做的人数相差 48-34=14(人)， 实际一条大船比一条小船多坐 4-2=2(人) 大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的数量），14÷2=7（条） 总的船减小的船得到大的船 12-7=5（条）。(要注意单位) 2、列方程法：例有 34 个同学去划船，大船每船坐 4 人，小船每船坐 2 人， 租 12 条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条。 解：设大船有 X 条，则小船有 12-X 条 4X+2×(12-X)=344X 是大船坐的人数，4 是大船每船坐 4 人，2×(12-X)是小 船坐的人数，小船每船坐 2人，有(12-X)条船，相加就得到总人数 34 人。2×(12-X) 用乘法分配律计算得到 24-2X.。 所以 4X+2×(12-X)=34 4X+2×12-2×X=34 4X+24-2X=34 2X+24=34 2X=34-24 2X=10 X=5 12-5=7（条） 答：租大船 5 条，小船 7 条。 第九单元总复习 第 1 课时分数乘、除法和比 学习内容: 教材第 113 页第 1、2 题和第 3 题中的第（1）、（2）、（6）小题。 学习目标: 1．通过复习，进一步体会分数乘、除法的意义，理解并掌握分数乘、除法 的计算方法，能正确计算，并能正确解答简单的分数乘、除法的实际问题；理解 倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。 132 2．在运用分数相关知识解决实际问题的过程中，进一步培养分析、比较、 抽象、概括、归纳、推理的能力，增强数感，发展数学思考。 3．进一步体会分数在生活中的应用，增强自主探索和合作交流意识，提高 学好数学的信心。 学习重点: 掌握分数乘、除法计算方法，能正确计算以及解决实际问题。 学习难点: 掌握分数乘、除法计算方法，能正确计算以及解决实际问题。 学习过程:： 一、自主预习: 本学期，我们学习了分数乘、除法，这些运算能帮助我们解决很多问题。这 节课，我们先一起来复习分数乘、除法的有关内容。（板书课题） 1、计算练习。 （1）学生独立完成课本第 113 页的第 1 题。 （2）指名学生说说口算过程，教师及时了解学生口算情况。 （3）出示第 2 题的下面三题，学生独立计算。 讲评学生计算情况，请学生说说比与分数、除法有什么关系，指出每个比的 前项、后项，并求出比值。 小结：怎样计算分数乘法？（包括分数乘分数和分数乘整数两种情况）怎样 计算分数除法？如何结合倒数来计算分数除法。（包括分数除以分数和分数除以 整数及整数除以分数） 2、先找出单位“1”的量，再把数量关系补充完整。 （1）女生人数占全班的 5 2 。（2）今年小麦产量比去年增加 8 1 。 （3）柳树棵数的 3 2 和杨树棵数相等。（4）已经修了水渠全长的 7 3 。 请学生同桌之间进行练习，说说每句话中的单位“1”的量并说说数量关系 式。 二、合作探究: 出示下列题目： 133 （1）一台拖拉机每小时耕地 2 1 公顷， 4 1 小时耕地多少公顷？耕地 12 公顷需 要多少小时？ （2）一台节能冰箱每天耗电 4 3 千瓦时，学校食堂有 3 台这样的冰箱，一个 月（按 30 天计算）一共耗电大约多少千瓦时？ （3）六年级同学向灾区捐款，六（1）班捐了 150 元，六（2）班比六（1） 班多捐了 5 1 ，六（1）班捐的钱是六（3）班的 4 3 ，六（2）班和六（3）班各捐款 多少元？ （4）甲、乙两站相距 150 千米，一辆汽车从甲站出发开往乙站，已行了全 程的 5 3 。这辆汽车离甲地有多少千米？离乙地呢？它离甲乙两站全程的中点有多 少千米？ （5）某天下雪，双联公司有 1/9 的职工迟到，第二天仍然下雪，迟到的人 数是第一天的 4 3 。第二天准时上班的职工是全公司职工的几分之几？ （6）吴叔叔在家铺地砖， 2 5 小时铺了 4 3 平方米，平均 1 分钟能铺多少平方 米？铺 1 平方米要多少小时？ （7）一套服装，上衣 120 元，是这套服装价钱的 5 3 ，裤子多少元？ （8）一瓶油，连瓶共重 11 千克，用掉 5 3 的油后连瓶共重 4.7 千克，瓶中原 有油多少千克？ 学生逐一完成以上问题，交流时重点分析数量关系，教师多给予学习困难生 发言交流的机会。 三、拓展归纳: 四、达标测评: 1、完成练习二十三的 1、4、5—11 题。 五、课堂小结: 通过这节课的学习，你有什么收获？与大家交流一下。 134 第 2 课时百分数 学习内容: 教材第 113 页第 3 题中的第（3）、（4）、（5）小题以及第 114 页的第 5 题。 学习目标: 进一步了解体会分数和百分数在生活中的应用，增强自主探索和合作交流意 识，提高学好数学的信心。 学习重点: 明确百分率，掌握百分数的意义以及它与分数的联系与区别。 学习难点: 能灵活的利用分数、小数和百分数之间的互化来解决有关百分数的实际问题。 学习过程: 自主复习: 1、学生独立完成教材第 113 页第 3 题中的第（3）、（4）、（5）小题以及第 114 页的第 5 题。使学生进一步理解百分数应用题的数量关系和解题方法是基本 一致的，能熟练解答百分数三种应用题。 合作探究: 1、下面的每句话中，哪个量为单位“1”，另一量相当于单位“1”的百分之 几？ (1)上半月完成了月计划产量的 58％。 (2)今年耕地面积比去年大 20％。 (3)经检验，这批产品的合格率是 99．8％。 2、画出线段图。 一本书已看了 80 页，还剩全书的 40％没有看。 3、下面的句子中，哪些数能用百分数表示的化成百分数，哪些不能用百分 数表示，为什么？ （1） 一块花布长 3／4 米。 （2） 另一块红布长 0．6 米。 （3） 花布长度是红布长度的 11／4 倍。 （4） 红布长度是花布的 4／5。 135 二、复习求一个数是另一个数的百分之几，求百分率的应用题。 1、把下面的应用题补充完整后再列出算式。 一本书，已看了 25 页，还有 20 页没有看。求＿＿＿＿＿＿百分之几？ 可以做下列补充： （1） 已看的页数是未看的百分之几？ （2） 未看的页数是已看的百分之几？ （3） 已看的页数比未看的多百分之几？ （4） 未看的页数比已看的少百分之几？ （5） 已看的面数是全书的百分之几？ （6） 未看的页数是全书的百分之几？ 2、提问：这几道题都是哪一种应用题？它的解题思路、方法和哪一种应用 题是相同的？解题的思路、方法是什么？它与这种应用题又有什么不同？ 3、用 3020 千克的油菜籽可以榨油 1208 千克，油菜籽的出油率是多少？ 三、复习百分数乘除法应用题。 1、根据条件与问题的关系，选择正确的算式。 学校九月份办公费开支是 1200 元。 （1） 十月份办工费用是九月份的 80％，十月份是多少元？ （2） 是十月份办公费用的 80％，十月份是多少元？ （3） 九月份比十月份多开支 80％，十月份多少元？ （4） 十月份比九月份节约开支 80%元？ （5） 九月份比十月份节约开支，十月份多少元？ （6） 十月份比九月份多开支 80％，十月份多少元？ 2、练习。 一本书，第一天看了全书了 1／6，第二天看了全书的 25％。 （1） 两天共看了如指掌 50 页，全书共有多少？ （2） 还剩下 140 页未看，全书共有多少？ （3） 第一天比第二天少看 30 页，全书共多少？ （4） 未看的比已看的多 60 页，全书共多少页？ （5） 第二天看了 90 页，第一天看了多少页？ 拓展归纳: 136 练习后比较这几道题为什么用除法计算？为什么列式又不同？ 达标测评: 完成练习二十三的 12、题.（做书上） 课堂小结: 通过这节课的学习，你有什么收获？与大家交流一下。 第 3 课时图形与几何 学习内容: 教材第 113 页第 4 题。 学习目标: 1.进一步学习确定物体的位置，用数对确定物体的位置；理解和掌握圆和轴 对称图形的有关概念，圆的周长和面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与 面积。 2、经历扇形统计图的认识过程，体验直观观察，分析问题的学习方法；经 历空间与图形知识的整理运用过程，体验应用知识，归纳概括的方法。 学习重点: 掌握物体的位置，圆的特征、特性；掌握圆的周长和面积的计算。 学习难点: 学会利用圆的相关公式进行解决问题。 学习过程: 一、自主预习: 1、确定位置与方向 2、师；我们已经学习了有关圆的知识，你知道哪些知识呢？ 组织学生在小组中交流、讨论，相互说一说，教师根据学生的汇报板书： （1）、圆的认识。圆心。用字母 O 表示，确定圆的位置。 半径。用字母 r 表示，从圆心到圆上任意一点的线段叫半径。决定圆的大小。 直径。用字母 d 表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 半径与直径的关系。在同一个圆里，所有半径都相等，所有直径都相等。 直径等于半径的 2 倍，即 d=2r 或 r= 2 d 137 （2）、轴对称图形及对称轴 等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、菱形、等腰梯形、圆都是轴对 称图形，它们各有 1 条、3 条、2 条、4 条、2 条、1 条、无数条对称轴。 （3）、圆的周长 圆周率。圆的周长与直径的比值叫圆周率。用字母∏表示，是一个无限不循 环小数。 圆的周长的计算公式。C=πd 或 C=2πr。 （4）、圆的面积 知道半径求圆的面积。S=πr2 知道直径求圆的面积。S=π（ 2 d ）2 知道周长求圆的面积。S=π（ 2 c π）2 知道近似长方形的宽求圆的面积。 知道近似长方形的长求圆的面积。 （5）、环形的面积 环形的面积=大圆面积—小圆面积 =πR2—πr2=π（R2—r2） 二、合作探究: 1、看图填空。 （1）学校在红玲家（）偏（）（）°的方向上；图书馆在红玲家（）偏（） （）°的方向上。 （2）成穗从家里出发去红玲家玩，要走（）米，如果每分钟走 80 米，要走 （）分钟。 138 2、圆形花坛的直径是 20m，它的周长是多少米?小自行车车轮的直径是 50m， 绕花坛一周车轮大约转动多少周？ 3、只列式不计算。 （1）一个圆形铁板的半径是 5 分米，它的面积是多少平方分米？ （2）一个圆形的铁板的直径是 6 分米，它的面积是多少平方分米？ （3）一个圆形铁板的周长是 28.26 分米，它的面积是多少平方分米？ 4、一个圆形环岛的直径是 50m，中间是一个直径为 10m 的圆形花坛，其他 地方是草坪。草坪的占地面积是多少？ 三、拓展归纳: 四、达标测评: 1、完成练习二十三的 14、15、16 题。 五、课堂小结: 通过这节课的学习，你有什么收获？与大家交流一下。 第 4 课时统计 学习内容: 教材第 114 页第 6 题。 学习目标: 1、经历扇形统计图的认识过程，体验直观观察，分析问题的学习方法。 2、进一步体会分数在生活中的应用，增强自主探索和合作交流意识，提高 学好数学的信心。 学习重点: 139 了解扇形统计图的作用;，知道它的特点和所表示的意义，学会观察扇形统 计图，能根据扇形统计图提出数学问题并解决问题。 学习难点: 会根据统计图分析数据，会根据统计图解决问题。 学习过程:： 一、自主预习: 1、统计在生产生活中有哪些应用？组织学生在小组中议一议，然后指名说 一说。 2、扇形统计图有什么特点？扇形统计图能够清楚地表示出部分与整体的关 系。 二、合作探究: 1、出示某企业职工的文化程度情况扇形统计图 引导学生观察统计图，获取信息。 问：该企业职工中，哪种文化程度占的比重最多？ 以下说法正确的是（） A 该企业大学文化程度的职工占 1/4。 B 该企业职工中，中专生与初中生之和多于高中生。 C 该企业职工中没有文盲。D 以下说法都对。 在该企业职工中，哪两种文化程度的人数相等？ 若该企业有职工 1000 人，那么小学文化程度的职工有多少人？ 该企业职工中，有大学文凭的人比有高中文凭的人少多少？ 你还能提出什么问题？组织学生在小组中讨论并相互交流，然后指名汇报。 2、请你用扇形统计图表示出下面的信息，然后回答问题。 超市一天的销量中，服装类占 35%，烟酒类占 30%，文化用品类占 20%，糖 果类占 10%，药类用品占 5%。如果超市一天的收益是 5500 元，算一算，一类用 品分别收少元？ 三、拓展归纳: 四、达标测评: 1、完成练习二十三的 17 题。 五、课堂小结: 140 通过这节课的学习，你有什么收获？与大家交流一下。