湖南省岳阳市中考数学试卷及答案 7页

岳阳市2015年初中毕业学业考试 数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎（ ）1．实数﹣2015的绝对值是 ‎ A．2015 B．﹣2015 C．±2015 D．‎ ‎（ ）2．有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是 ‎ ‎ ‎（ ）3．下列运算正确的是 ‎ A．a﹣2=﹣a2 B．a+a2=a3 C．+= D．（a2）3=a6‎ ‎（ ）4．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是 ‎ A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1‎ ‎（ ）5．现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为170cm，方程分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则两个队的队员的身高较整齐的是 ‎ ‎ A．甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定 ‎ ‎（ ）6．下列命题是真命题的是 ‎ A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ‎ B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 ‎ C．四条边相等的四边形是菱形 ‎ ‎ D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ‎ ‎（ ）7．岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是 ‎ A． = ‎ B． = ‎ C． = ‎ D． = ‎ ‎（ ）8．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是 ‎ A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎9．单项式﹣x2y3的次数是 　．‎ ‎10．分解因式：x2﹣9=　 　．‎ ‎11．据统计，2015年岳阳市参加中考的学生约为49000人，用科学记数法可将49000表示为　 　 ．‎ ‎12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　 　．‎ ‎13．在一次文艺演出中，各评委对某节目给出的分数是：9.20，9.25，9.10，9.20，9.15，9.20，9.15，这组数据的众数是　 　．‎ ‎14．一个n边形的内角和是1800°，则n=　 　．‎ ‎15．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3=　 　．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共64分）‎ ‎17．（6分）计算：（﹣1）4﹣2tan60°+ +．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=．‎ ‎19．（8分）如图，直线y=x+b与双曲线y=都经过点A（2，3），直线y=x+b与x轴、y轴分别交于B、C两点．‎ ‎（1）求直线和双曲线的函数关系式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ ‎20．（8分）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）‎ ‎21．（8分）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：‎ 运动项目 频数（人数）‎ 频率 篮球 ‎30‎ ‎0.25‎ 羽毛球 m ‎0.20‎ 乒乓球 ‎36‎ n 跳绳 ‎18‎ ‎0.15‎ 其它 ‎12‎ ‎0.10‎ 请根据以上图表信息解答下列问题：‎ ‎（1）频数分布表中的m=　 　，n=　 　；‎ ‎（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为　 　；‎ ‎（3）从选择“篮球”选项的30名学生中，随机抽取3名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是　 　．‎ ‎22．（8分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．‎ ‎（1）求证：△ABM∽△EFA；‎ ‎（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．‎ ‎23．（10分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．‎ ‎（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　PA=PB　．‎ ‎（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．‎ ‎24．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ A D D C B C B D 二、填空题（共8个小题，每小题4分，共32分）‎ 题 号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答 案 ‎5‎ ‎（x+3）（x﹣3）‎ ‎4.9×104‎ ‎9.20‎ ‎12‎ ‎20°‎ ‎③④‎ 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎17. 解：原式=1﹣2=2‎ ‎18. 解：（1﹣）÷===．‎ 当x=时，原式==1+．‎ ‎19. 解：（1）∵线y=x+b与双曲线y=都经过点A（2，3），‎ ‎∴3=2+b，3=， ∴b=1，m=6， ∴y=x+1，y=，‎ ‎ ∴直线的解析式为y=x+1，双曲线的函数关系式为y=； ‎ ‎ （2）当y=0时，0=x+1，x=﹣1，∴B（﹣1，0），∴OB=1．‎ ‎ 作AE⊥x轴于点E，∵A（2，3），∴AE=3．∴S△AOB==．‎ 答：△AOB的面积为．‎ ‎20. 解：在Rt△ABD中，tan∠ADC=tan64°==2， CD= ①．‎ 在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==， BE=AB ②．‎ BE=CD，得===AB， 解得AB=70cm，‎ AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm ‎21. （1）24，0.3；（2）108°；（3）．‎ ‎22. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，‎ ‎ 又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；‎ ‎（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，‎ ‎ ∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，‎ ‎ ∵△ABM∽△EFA，∴， 即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．‎ ‎23. 解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，‎ ‎ 又∵点P为线段CD的中点，∴PA=PB．‎ ‎ （2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：‎ ‎ 如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，‎ ‎ ∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，‎ ‎ 又∵点P为线段CD的中点，∴PC=PD，∴PC=PE；‎ ‎ ∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，‎ ‎ ∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，‎ ‎ 又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，‎ ‎ 在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB．‎ ‎ ‎ ‎ （3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，‎ ‎ ∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，‎ ‎ ∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，‎ ‎ 又∵AP=PF，∴BF=AB；‎ ‎ 在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，‎ ‎ ∴，∴AF•BP=AE•BF，‎ ‎ ∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．故答案为：PA=PB．‎ ‎24. 解：（1）由已知得解得．‎ ‎ 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．‎ ‎ （2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，‎ ‎ ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，‎ ‎ ∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，‎ ‎ ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），‎ ‎ ∴OA=1，OC=3，BC==5，‎ ‎ ∴OC+OA+BC=1+3+5=9；‎ ‎ ∴抛物线对称轴上存在点P，使得四边形PAOC周长最小，四边形PAOC周长最小值为9．‎ ‎ （3）∵B（4，0）、C（0，3），∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，‎ ‎ ①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），‎ ‎ ∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，‎ ‎ ∵MQ∥y轴，∴△MQB∽△COB，‎ ‎ ∴=，即=，解得b=，‎ ‎ 代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=，∴M（，）；‎ ‎ ②当∠QMB=90°时，如图3，‎ ‎ ∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，‎ ‎ 设CM=MQ=m，∴BM=5﹣m，‎ ‎ ∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，∴△BMQ∽△BOC，∴=，解得m=，‎ ‎ 作MN∥OB，∴==，即==，∴MN=，CN=，‎ ‎ ∴ON=OC﹣CN=3﹣=，∴M（，），‎ ‎ 综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，‎ ‎ 点M的坐标为（，）或（，）．‎ ‎ ‎