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- 2021-05-10 发布
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因动点产生的面积问题
例1 2015年河南省中考第23题
如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0),联结PD、PE、DE.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15河南23”,拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,“使△PDE的面积为整数” 的点P共有11个.
思路点拨
1.第(2)题通过计算进行说理.设点P的坐标,用两点间的距离公式表示PD、PF的长.
2.第(3)题用第(2)题的结论,把△PDE的周长最小值转化为求PE+PF的最小值.
满分解答
(1)抛物线的解析式为.
(2)小明的判断正确,对于任意一点P,PD-PF=2.说理如下:
设点P的坐标为,那么PF=yF-yP=.
而FD2=,所以FD=.
因此PD-PF=2为定值.
(3)“好点”共有11个.
在△PDE中,DE为定值,因此周长的最小值取决于FD+PE的最小值.
而PD+PE=(PF+2)+PE=(PF+PE)+2,因此当P、E、F三点共线时,△PDE的周长最小(如图2).
此时EF⊥x轴,点P的横坐标为-4.
所以△PDE周长最小时,“好点”P的坐标为(-4, 6).
图2 图3
考点伸展
第(3)题的11个“好点”是这样求的:
如图3,联结OP,那么S△PDE=S△POD+S△POE-S△DOE.
因为S△POD=,S△POE=,S△DOE=12,所以
S△PDE===.
因此S是x的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-6.
如图4,当-8≤x≤0时,4≤S≤13.所以面积的值为整数的个数为10.
当S=12时,方程的两个解-8, -4都在-8≤x≤0范围内.
所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个.
图4
例2 2014年昆明市中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒时△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求点K的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14昆明23”,拖动点P从A向B运动,可以体验到,当P运动到AB的中点时,△PBQ的面积最大.双击按钮“△PBQ面积最大”,再拖动点K在BC
下方的抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,有两个时刻面积比为2.5.
思路点拨
1.△PBQ的面积可以表示为t的二次函数,求二次函数的最小值.
2.△PBQ与△PBC是同高三角形,△PBC与△CBK是同底三角形,把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,所以y=a(x+2)(x-4).
所以-8a=-3.解得.
所以抛物线的解析式为.
(2)如图2,过点Q作QH⊥x轴,垂足为H.
在Rt△BCO中,OB=4,OC=3,所以BC=5,sinB=.
在Rt△BQH中,BQ=t,所以QH=BQsinB=t.
所以S△PBQ=.
因为0≤t≤2,所以当t=1时,△PBQ的面积最大,最大面积是。
(3)当△PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P(1, 0),BQ=1。
如图3,因为△PBC与△PBQ是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1。
当S△CBK∶S△PBQ=5∶2时,S△PBC∶S△CBK=2∶1。
因为△PBC与△CBK是同底三角形,所以对应高的比为2∶1。
如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K,那么PB∶DB=2∶1。
因为点K在BC的下方,所以点D在点B的右侧,点D的坐标为.
过点K作KE⊥x轴于E.设点K的坐标为.
由,得.整理,得x2-4x+3=0.
解得x=1,或x=3.所以点K的坐标为或.
图2 图3 图4
考点伸展
第(3)题也可以这样思考:
由S△CBK∶S△PBQ=5∶2,S△PBQ=,得S△CBK=.
如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F.设点K的坐标为.
由于点F在直线BC:上.所以点F的坐标为.
所以KF=.
△CBK被KF分割为△CKF和△BKF,他们的高的和为OB=4.
所以S△CBK=.解得x=1,或x=3.
图5
例3 2013年苏州市中考第29题
如图1,已知抛物线(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).
(1)b=______,点B的横坐标为_______(上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.
请打开超级画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.
思路点拨
1.用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB=2OC.
2.当C、D、E三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD.
3.求△PBC面积的取值范围,要分两种情况计算,P在BC上方或下方.
4.求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值,再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.
满分解答
(1)b=,点B的横坐标为-2c.
(2)由,设E.
过点E作EH⊥x轴于H.
由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.
所以.因此.所以.
当C、D、E三点在同一直线上时,.所以.
整理,得2c2+3c-2=0.解得c=-2或(舍去).
所以抛物线的解析式为.
(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.
直线BC的解析式为.
设,那么,.
所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=.
因此当P在BC下方时,△PBC的最大值为4.
当P在BC上方时,因为S△ABC=5,所以S△PBC<5.
综上所述,0<S<5.
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).
当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.
例4 2012年菏泽市中考第21题
如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
请打开超级画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
思路点拨
1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,可以转化为四边形PB′OB的面积是
△A′B′O面积的3倍.
2.联结PO,四边形PB′OB可以分割为两个三角形.
3.过点向x轴作垂线,四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.
满分解答
(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2).
因为抛物线与x轴交于A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),
代入B′(0, 2),得a=1.
所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2.
(2)S△A′B′O=1.
如果S四边形PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3 S△A′B′O=3.
如图2,作PD⊥OB,垂足为D.
设点P的坐标为 (x,-x2+x+2).
.
.
所以.
解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1.
所以点P的坐标为(1,2).
图2 图3 图4
(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.
考点伸展
第(2)题求四边形PB′OB的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.
.
.
所以.
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.
例 5 2012年河南省中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当C是AB的中点时,PD达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9∶10,也可以是10∶9.
思路点拨
1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.
2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.
3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.
满分解答
(1)设直线与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).
在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以.所以.
因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此.
将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得
解得,.
(2)由,,
得.
所以.
所以PD的最大值为.
(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,;
当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.
图2
考点伸展
第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高
DN与BM的比.
而,
BM=4-m.
①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,.解得.
②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.解得.
例 6 2011年南通市中考第28题
如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,1).过点
(p>1)作x轴的平行线分别交曲线(x>0)和(x<0)于M、N两点.
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,当直线MN经过(0,2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形;△AMN和△AMP是两个同高的三角形,MN=4MP存在两种情况.
思路点拨
1.第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中.
2.第(3)题把S△AMN=4S△AMP转化为MN=4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.
满分解答
(1)因为点B(2,1)在双曲线上,所以m=2.设直线l的解析式为,代入点A(1,0)和点B(2,1),得 解得 所以直线l的解析式为.
(2)由点(p>1)的坐标可知,点P在直线上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).
由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.
由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.
所以△PMB∽△PNA.
图2 图3 图4
(3)△AMN和△AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.
当S△AMN=4S△AMP时,MN=4MP.
①如图3,当M在NP上时,xM-xN=4(xP-xM).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
②如图4,当M在NP的延长线上时,xM-xN=4(xM-xP).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
考点伸展
在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?
情形一,如图5,∠AMN=90°,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).
情形二,如图6,∠MAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.
不存在∠ANM=90°的情况.
图5 图6
例7 2010年广州市中考第25题
如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10广州25”,拖动点D由C向B运动,观察S随b变化的函数图象,可以体验到,E在OA上时,S随b的增大而增大;E在AB上时,S随b的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点D由C向B运动,可以观察到,E在OA上时,重叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.
思路点拨
1.数形结合,用b表示线段OE、CD、AE、BE的长.
2.求△ODE的面积,要分两种情况.当E在OA上时,OE边对应的高等于OC;当E在AB边上时,要利用割补法求△ODE的面积.
3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.
4.图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.
满分解答
(1)①如图2,当E在OA上时,由可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=.
②如图3,当E在AB上时,把y=1代入可知,点D的坐标为(2b-2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入可知,点E的坐标为,AE=,BE=.此时
S=S矩形OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD
=
.
(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.
作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.
设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为,如图7所示.
图5 图6 图7