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- 2021-05-10 发布
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2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷
一、选择题:本大题共6小题,每小题4分,满分24分
1.下列分数中,能化为有限小数的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A.a+a=a2 B.a2•a=2a3 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a5
3.如果=2a﹣1,那么( )
A.a B.a≤ C.a D.a≥
4.下列一组数据:﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是( )
A.0和2 B.0和 C.0和1 D.0和0
5.下列四个命题中真命题是( )
A.矩形的对角线平分对角 B.菱形的对角线互相垂直平分
C.梯形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线相等
6.如果圆O是△ABC的外接圆,AC=BC,那么下列四个选项中,直线l必过圆心O的是( )
A.l⊥AC B.l平分AB C.l平分∠C D.l平分
二、填空题:本大题共12小题,每小题4分,共48分
7.用代数式表示实数a(a>0)的平方根: .
8.在实数范围内因式分解:x3﹣2x2y+xy2= .
9.已知方程﹣=2,如果设y=,那么原方程转化为关于y的整式方程为 .
10.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则当x的取值范围是 时,能使kx+b>0.
11.某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务,在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个,因此提前了5天完成任务,如果设原计划x天完成,那么根据题意,可以列出的方程是: .
12.一台组装电脑的成本价是4000元,如果商家以5200元的价格卖给顾客,那么商家的盈利率为 .
13.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数,那么掷出的点数小于3的概率为 .
14.已知=, =,那么= (用向量、的式子表示)
15.已知,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,AD=2DB,BC=6,那么DE= .
16.将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组,情况如表格所示,则表中a的值应该是 .
第一组
第二组
第三组
频数
12
16
a
频率
b
c
20%
17.将等边△ABC沿着射线BC方向平移,点A、B、C分别落在点D、E、F处,如果点E恰好是BC的中点,那么∠AFE的正切值是 .
18.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P为BC边上一动点,如果以P为圆心,BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交,那么点P离开点B的距离BP的取值范围是 .
三、解答题:本大题共7小题,共78分
19.先化简,再求值:﹣﹣,其中x=.
20.解方程组:.
21.已知:在平面直角坐标系xOy中,过点A(﹣5,2)向x轴作垂线,垂足为B,连接AO,点C在线段AO上,且AC:CO=2:3,反比例函数y=的图象经过点C,与边AB交于点D.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求△BOD的面积.
22.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶,全长68km.现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:≈1.4,≈1.7)
23.已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CP平分∠ACB交边AB于点P,点D在边AC上.
(1)如果PD∥BC,求证:AC•CD=AD•BC;
(2)如果∠BPD=135°,求证:CP2=CB•CD.
24.已知点A(2,﹣2)和点B(﹣4,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上.
(1)求a的值及点B的坐标;
(2)点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形,求点P的坐标;
(3)将抛物线y=ax2(a≠0)向右并向下平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形ABB′A′为正方形,求此时抛物线的表达式.
25.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.
(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;
(2)当EA∥BM时(如图2),求四边形AEBD的面积;
(3)联结CE,当△ACE是等腰三角形时,求点B、C间的距离.
2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共6小题,每小题4分,满分24分
1.下列分数中,能化为有限小数的是( )
A. B. C. D.
【考点】有理数的除法.
【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算,即可求出结果.
【解答】解:A∵=0.3…故本选项错误;
B、∵=0.2故本选项正确;
C、=0.142857…故本选项错误;
D、=0.1…故本选项错误.
故选B.
2.下列运算正确的是( )
A.a+a=a2 B.a2•a=2a3 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a5
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】A、根据合并同类项的法则计算;
B、根据同底数幂的乘法法则计算;
C、根据同底数幂的除法计算;
D、根据幂的乘方计算.
【解答】解:A、a+a=2a,此选项错误;
B、a2•a=a3,此选项错误;
C、a3÷a2=a,此选项正确;
D、(a2)3=a6,此选项错误.
故选C.
3.如果=2a﹣1,那么( )
A.a B.a≤ C.a D.a≥
【考点】二次根式的性质与化简.
【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数,即可求出a的范围.
【解答】解:∵ =|1﹣2a|=2a﹣1,
∴1﹣2a≤0,
解得:a≥.
故选D
4.下列一组数据:﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是( )
A.0和2 B.0和 C.0和1 D.0和0
【考点】方差;算术平均数.
【分析】先求出这组数据的平均数,再根据方差公式S2= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2]进行计算即可.
【解答】解:这组数据:﹣2、﹣1、0、1、2的平均数是(﹣2﹣1+0+1+2)÷5=0;
则方差= [(﹣2﹣0)2+(﹣1﹣0)2+(0﹣0)2+(1﹣0)2+(2﹣0)2]=2;
故选A.
5.下列四个命题中真命题是( )
A.矩形的对角线平分对角 B.菱形的对角线互相垂直平分
C.梯形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线相等
【考点】命题与定理.
【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【解答】解:矩形的对角线不能平分对角,A错误;
根据菱形的性质,菱形的对角线互相垂直平分,B正确;
梯形的对角线不互相垂直,C错误;
平行四边形的对角线平分,但不一定相等,D错误.
故选B.
6.如果圆O是△ABC的外接圆,AC=BC,那么下列四个选项中,直线l必过圆心O的是( )
A.l⊥AC B.l平分AB C.l平分∠C D.l平分
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.
【解答】解:∵圆O是△ABC的外接圆,
∴点O在三边的垂直平分线上.
∵AC=BC,
∴当l平分∠C时,l也是AB边的垂直平分线.
故选C.
二、填空题:本大题共12小题,每小题4分,共48分
7.用代数式表示实数a(a>0)的平方根: .
【考点】平方根.
【分析】根据开方运算,可得一个数的平方根.
【解答】解:用代数式表示实数a(a>0)的平方根为:,
故答案为:.
8.在实数范围内因式分解:x3﹣2x2y+xy2= x(x﹣y)2 .
【考点】实数范围内分解因式;提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】这个多项式含有公因式x,应先提取公因式,然后运用完全平方公式进行二次分解.
【解答】解:x3﹣2x2y+xy2,
=x(x2﹣2xy+y2)…(提取公因式)
=x(x﹣y)2.…(完全平方公式)
9.已知方程﹣=2,如果设y=,那么原方程转化为关于y的整式方程为 3y2﹣6y﹣1=0 .
【考点】列代数式.
【分析】由设出的y,将方程左边前两项代换后,得到关于y的方程,去分母整理即可得到结果.
【解答】解:设y=,
方程﹣=2变形为y﹣=2,
整理得:3y2﹣6y﹣1=0.
故答案为:3y2﹣6y﹣1=0
10.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则当x的取值范围是 x<2 时,能使kx+b>0.
【考点】一次函数的图象.
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答.
【解答】解:因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(2,0),
由函数的图象可知x<2时,y>0,即kx+b>0.
11.某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务,在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个,因此提前了5天完成任务,如果设原计划x天完成,那么根据题意,可以列出的方程是: ﹣=5 .
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】根据原计划时间﹣实际时间=5,列出方程即可.
【解答】解:∵根据原计划时间﹣实际时间=5,
∴﹣=5.
故答案为﹣=5.
12.一台组装电脑的成本价是4000元,如果商家以5200元的价格卖给顾客,那么商家的盈利率为 30% .
【考点】有理数的混合运算.
【分析】根据利润率的公式:利润率=利润÷成本×100%进行计算.
【解答】解:÷4000×100%=30%.
答:商家的盈利率为30%.
13.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数,那么掷出的点数小于3的概率为 .
【考点】概率公式.
【分析】点数小于3的有2种情况,除以总个数6即为向上的一面的点数小于3的概率.
【解答】解:∵共有6种情况,点数小于3的有2种,
∴P(点数小于3)=.
故答案为
14.已知=, =,那么= ﹣ (用向量、的式子表示)
【考点】*平面向量.
【分析】根据+=,即可解决问题.
【解答】解:∵ +=,
∴=﹣.
故答案为﹣.
15.已知,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,AD=2DB,BC=6,那么DE= 4 .
【考点】相似三角形的判定与性质;平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.
【解答】解:∵AD=2DB,
∴AD:AB=2:3,
∵DE∥BC,
∴=,∵BC=6,
∴=,
∴DE=4.
故答案为4.
16.将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组,情况如表格所示,则表中a的值应该是 7 .
第一组
第二组
第三组
频数
12
16
a
频率
b
c
20%
【考点】频数与频率.
【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和,然后求出数据总数,从而求出a的值.
【解答】解:∵1﹣20%=80%,
∴(16+12)÷80%=35,
∴a=35×20%=7.
故答案为:7.
17.将等边△ABC沿着射线BC方向平移,点A、B、C分别落在点D、E、F处,如果点E恰好是BC的中点,那么∠AFE的正切值是 .
【考点】等边三角形的性质;锐角三角函数的定义.
【分析】根据题意画出图形,利用等边三角形的性质解答即可.
【解答】解:连接AE,如图:,
∵将等边△ABC沿着射线BC方向平移,点E恰好是BC的中点,
∴设等边三角形的边长为a,
∴AE=,AE⊥BF,
∴∠AFE的正切值=,
故答案为:
18.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P为BC边上一动点,如果以P为圆心,BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交,那么点P离开点B的距离BP的取值范围是 ≤BP≤9 .
【考点】圆与圆的位置关系.
【分析】过点A作AD⊥BC,利用等腰三角形的性质得出CD的长,利用圆与圆的位置关系解答即可.
【解答】解:①过点A作AD⊥BC,过O作OH⊥BC,如图
∵在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,
∴CD=BD=6,
∴AD=,
设BP=r时,两圆相外切,则PO=r+5,PH=BC﹣r﹣CH
又易求OH=4,CH=3;
则有勾股定理(r+5)2=(9﹣r)2+42,解得r=
②当两圆内切时,过点A作AD⊥BC,过O作OH⊥BC,如图
易知OP=r﹣5,PH=9﹣r,OH=4
同理由勾股定理求得r=9
故答案为:≤BP≤9.
三、解答题:本大题共7小题,共78分
19.先化简,再求值:﹣﹣,其中x=.
【考点】分式的化简求值.
【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=﹣﹣
=
=
=
=,
当x=﹣2时,原式==1+.
20.解方程组:.
【考点】高次方程.
【分析】先将原方程组进行变形,利用代入法和换元法可以解答本题.
【解答】解:,
由①,得
③,
将①③代入②,得
,
设x2=t,
则,
即t2﹣10t+9=0,
解得,t=1或t=9,
∴x2=1或x2=9,
解得x=±1或x=±3,
则或或或,
即原方程组的解是:或或或.
21.已知:在平面直角坐标系xOy中,过点A(﹣5,2)向x轴作垂线,垂足为B,连接AO,点C在线段AO上,且AC:CO=2:3,反比例函数y=的图象经过点C,与边AB交于点D.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求△BOD的面积.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的性质.
【分析】(1)由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标,将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值,从而得出反比例函数的解析式;
(2)AB⊥x轴于B,于是得到OB=5,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:(1)∵AC:CO=2:3,点A(﹣5,2),
∴C点的坐标为(﹣3,),
将点C(﹣3,),代入到反比例函数y=中得:
=,解得:k=﹣.
∴反比例函数的解析式为y=﹣;
(2)∵AB⊥x轴于B,
∴OB=5,
∴△BOD的面积=×5×=3.
22.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶,全长68km.现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:≈1.4,≈1.7)
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】首先过点C作CD⊥AB,垂足为D,设CD=x,即可表示出AC,BC的长,进而求出x的值,再利用锐角三角函数关系得出AD,BD的长,即可得出答案.
【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,设CD=x.
在Rt△ACD中,sin∠A=,AC==2x,
在Rt△BCD中,sin∠B=,BC==x,
∵AC+BC=2x+x=68
∴x=≈=20.
在Rt△ACD中,tan∠A=,AD==20,
在Rt△BCD中,tan∠B=,BD==20,
AB=20+20≈54,
AC+BC﹣AB=68﹣54=14.0(km).
答:隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走14.0千米.
23.已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CP平分∠ACB交边AB于点P,点D在边AC上.
(1)如果PD∥BC,求证:AC•CD=AD•BC;
(2)如果∠BPD=135°,求证:CP2=CB•CD.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠CPD=∠PCA,得出PD=CD,然后证得△APD∽△ABC,根据相似三角形的性质即可证得结论;
(2)根据三角形内角和定理求得∠B=∠CPD,即可证得△PCB∽△PDC根据相似三角形的性质即可证得结论.
【解答】(1)证明:如图,∵PD∥BC,
∴∠PCB=∠CPD,
∵∠PCB=∠PCA,
∴∠CPD=∠PCA,
∴PD=CD,
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ABC,
∴=,
∴AC•PD=AD•BC,
∴AC•CD=AD•BC;
(2)证明:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,CP平分∠ACB交边AB于点P,
∴∠PCB=∠PCA=45°,
∵∠B+45°+∠CPB=180°,
∴∠B+∠CPB=135°,
∵∠BPD=135°,
∴∠CPB+∠CPD=135°,
∴∠B=∠CPD,
∴△PCB∽△PDC,
∴=,
∴CP2=CB•CD.
24.已知点A(2,﹣2)和点B(﹣4,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上.
(1)求a的值及点B的坐标;
(2)点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形,求点P的坐标;
(3)将抛物线y=ax2(a≠0)向右并向下平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形ABB′A′为正方形,求此时抛物线的表达式.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-平移.
【分析】(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a,再把点B代入抛物线解析式即可解决问题.
(2)求出直线AB解析式,再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式,过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题.
(3)先求出点A′坐标,确定是如何平移的,再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题.
【解答】解:(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a=﹣,
∴抛物线为y=﹣x2,
∴x=﹣4时,y=﹣8,
∴点B坐标(﹣4,﹣8),
∴a=﹣,点B坐标(﹣4,﹣8).
(2)设直线AB为y=kx+b,则有,解得,
∴直线AB为y=x﹣4,
∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12,与y轴交于点P(0,﹣12),
过点A垂直AB的直线为y=﹣x,与y轴交于点P′(0,0),
∴点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形时.点P坐标为(0,0),或(0,﹣12).
(3)如图四边形ABB′A′是正方形,过点A作y轴的垂线,过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F.
∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12,∴△ABF,△AA′E都是等腰直角三角形,
∵AB=AA′==6,
∴AE=A′E=6,
∴点A′坐标为(8,﹣8),
∴点A到点A′是向右平移6个单位,向下平移6个单位得到,
∴抛物线y=﹣x2的顶点(0,0),向右平移6个单位,向下平移6个单位得到(6,﹣6),
∴此时抛物线为y=﹣(x﹣6)2﹣6.
25.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.
(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;
(2)当EA∥BM时(如图2),求四边形AEBD的面积;
(3)联结CE,当△ACE是等腰三角形时,求点B、C间的距离.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H,先证明BF⊥DE,EF=DF,再利用△ABH∽△DBF,得=,求出DF即可解决问题.
(2)先证明四边形ADBE是平行四边形,根据S平行四边形ADBE=BD•AH,计算即可.
(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC,利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形,求出DH、CH即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H.
在RT△ABH中,∵∠AHB=90°,
∴sin∠ABH==,
∴AH=3,BH==4,
∵AB=AD,AH⊥BD,
∴BH=DH=4,
在△ABE 和△ABD中,
,
∴△ABD≌△ABE,
∴BE=BD,∠ABE=∠ABD,
∴BF⊥DE,EF=DF,
∵∠ABH=∠DBF,∠AHB=∠BFD,
∴△ABH∽△DBF,
∴=,
∴DF=,
∴DE=2DF=.
(2)如图2中,作AH⊥BD于H.
∵AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE,
∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC,
∵AE∥BD,
∴∠AEB+∠EBD=180°,
∴∠EBD+∠ADC=180°,
∴EB∥AD,
∵AE∥BD,
∴四边形ADBE是平行四边形,
∴BD=AE=AB=5,AH=3,
∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15.
(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC.
如图3中,
∵∠ACD=∠AEB(已证),
∴A、C、B、E四点共圆,
∵AE=EC=AB,
∴=,
∴=,
∴∠AEC=∠ABC,
∴AE∥BD,
由(2)可知四边形ADBE是平行四边形,
∴AE=BD=AB=5,
∵AH=3,BH=4,
∴DH=BD﹣BH=1,
∵AC=AD,AH⊥CD,
∴CH=HD=1,
∴BC=BD﹣CD=3.
2016年6月3日