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- 2021-05-10 发布
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2010 中考数学压轴题详解
1.（09 年福建龙岩）26．（14 分）如图，抛物线 nmxxy 2
2
1 与 x 轴交于 A、B 两点，
与 y 轴交于 C 点，四边形 OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点 D（5，2），
连结 BC、AD.
（1）求 C 点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90°后 再沿 x
轴对折得到
△BEF（点 C 与点 E 对应），判断点 E 是否落在抛物线
上，并说明理由；
（3）设过点 E 的直线交 AB 边于点 P，交 CD 边于点 Q. 问是否
存在点 P，使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积为 1∶3 两部分？若存在，求出 P 点坐标；
若不存在，请说明理由.
（09 年福建龙岩 26 题解析）解：（1）∵四边形 OBHC 为矩形，∴CD∥AB，
又 D（5，2），
∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2 分
∴
2552
1
2
2 nm
n
解得
2
2
5
n
m
∴抛物线的解析式为： 22
5
2
1 2 xxy …… 4 分
（2）点 E 落在抛物线上. 理由如下：……… 5 分
由 y = 0，得 022
5
2
1 2 xx .
解得 x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. …………………………… 6
分
∴OA=4，OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点 E 的坐标为（3，－1）. ……………………………………………… 7
分
把 x=3 代入 22
5
2
1 2 xxy ，得 1232
532
1 2 y ，
∴点 E 在抛物线上. …………………………………………………………
8 分
（3）法一：存在点 P（a，0），延长 EF 交 CD 于点 G，易求 OF=CG=3，PB=a
－1.
S 梯形 BCGF = 5，S 梯形 ADGF = 3，记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，
下面分两种情形：
①当 S1∶S2 =1∶3 时， 52)35(4
1
1 S ，
此时点 P 在点 F（3，0）的左侧，则 PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得
3
1
EG
EF
QG
PF ，则 QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
由 S1=2，得 22)163(2
1 aa ，解得
4
9a ；………………… 11 分
②当 S1∶S2=3∶1 时， 56)35(4
3
1 S
此时点 P 在点 F（3，0）的右侧，则 PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得 QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
由 S1= 6，得 62)163(2
1 aa ，解得
4
13a .
综上所述：所求点 P 的坐标为（
4
9 ，0）或（
4
13 ，0）……… 14 分
法二：存在点 P（a，0）. 记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，易求 S 梯形 ABCD = 8.
当 PQ 经过点 F（3，0）时，易求 S1=5，S2 = 3，
此时 S1∶S2 不符合条件，故 a≠3.
设直线 PQ 的解析式为 y = kx+b(k≠0)，则
0
13
bak
bk ，解得
3
3
1
a
ab
ak
，
∴
33
1
a
axay . 由 y = 2 得 x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 10 分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1， 742)163(2
1
1 aaaS .
下面分两种情形：
①当 S1∶S2 = 1∶3 时， 84
1S4
1
ABCD1 梯形S = 2；
∴4a－7 = 2，解得
4
9a ；…………………………………………… 12
分
②当 S1∶S2 = 3∶1 时， 684
3S4
3
ABCD1 梯形S ；
∴4a－7 = 6，解得
4
13a ；[来源:学#科#网]
综上所述：所求点 P 的坐标为（
4
9 ，0）或（
4
13 ，0）………… 14 分
[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出
4
9a 或
4
13a 两个答案，就给 6
分. ]
2.（09 年福建宁德）26．（本题满分 13 分）如图，已知抛物线 C1： 52 2 xay 的顶
点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平
移后的抛物线记为 C3，C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的
解析式；（4 分）
（3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得
到抛物线 C4．抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），
当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标．（5 分）
y
x
A
O
B
P
M
图 1
C1
C2 C3
图（1）
y
x
A
O
B
P
N
图 2
C1
C4
Q
E F
图（2）
（09 年福建宁德 26 题解析）解：（1）由抛物线 C1： 52 2 xay 得
顶点 P 的为（-2，-5） ………2 分
∵点 B（1，0）在抛物线 C1 上
∴ 5210 2 a
解得，a＝5
9
………4 分
（2）连接 PM，作 PH⊥x 轴于 H，作 MG⊥x 轴于 G
∵点 P、M 关于点 B 成中心对称
∴PM 过点 B，且 PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点 M 的坐标为（4，5） ………6 分
抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到，抛物线 C3 由 C2 平移得到
∴抛物线 C3 的表达式为 549
5 2 xy ………8 分
（3）∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到
∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称
由（2）得点 N 的纵坐标为 5
设点 N 坐标为（m，5） ………9 分
作 PH⊥x 轴于 H，作 NG⊥x 轴于 G
作 PK⊥NG 于 K
∵旋转中心 Q 在 x 轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点 F 坐标为（m+3，0）
H 坐标为（2，0），K 坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34 ………10 分
①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得 m＝44
3
，∴Q 点坐标为（19
3
，
0）
②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得 m＝10
3
，∴Q 点坐标为（2
3
，
0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
综上所得，当 Q 点坐标为（19
3
，0）或（2
3
，0）时，以点 P、N、F 为顶
点
的三角形是直角三角形． ………13 分
3.（09 年福建莆田）25．（14 分）已知，如图 1，过点 0 1E ， 作平行于 x 轴的直线l ，
y
x
A
O
B
P
N
图(2)
C1
C4
Q
E F
H G
K
抛物线 21
4y x 上的两点 A B、 的横坐标分别为1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点
A B、 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、 D ，连接CF DF、 ．
（1）求点 A B F、 、 的坐标；
（2）求证：CF DF ；
（3）点 P 是抛物线 21
4y x 对称轴右侧图象上的一动点，过点 P 作 PQ PO⊥ 交 x 轴于
点Q ，是否存在点 P 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似？若存在，请求出所有符合条件的
点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（09 年福建莆田 25 题解析）25．（1）解:方法一，如图 1，当 1x 时, 1
4y
当 4x 时, 4y
∴ 1A
1，4 ················································ 1 分
4 4B ， ························································2 分
设直线 AB 的解析式为 y kx b ·······················3 分
则
1
4
4 4
k b
k b
解得
3
4
1
k
b
∴直线 AB 的解析式为 3 14y x ······················ 4 分
当 0x 时, 1y
01F ， ················································································
方 法 二 : 求 A B、 两 点 坐 标 同 方 法 一 , 如 图 2, 作
FG BD , AH BD ,垂足分别为G 、 H ,交 y 轴于点 N ,则四边
形 FOMG 和四边形 NOMH 均为矩形,设 FO x ·····3 分
BGF BHA△ ∽△
E DC
AF
B
xO
y
l E DC
O
F
x
y
（图 1） 备用图
（第 25 题图）
E DC
AF
B
xO
y
l
（图 1）
E DC
AF
B
xO
y
l
（图 2）
G
H
M
BG FG
BH AH
4 4
1 54 4
x
············································································· 4 分
解得 1x
0F ，1 ·············································································· 5 分
(2)证明：方法一：在Rt CEF△ 中， 1, 2CE EF
2 2 2 2 21 2 5CF CE EF
5CF ··············································································6 分
在 Rt DEF△ 中， 4 2DE EF ，
2 2 2 2 24 2 20DF DE EF
2 5DF
由（1）得 1 1 4 1C D ， ， ，
5CD
2 25 25CD
2 2 2CF DF CD ·······························································7 分
90CFD °
CF DF⊥ ······································································· 8 分
方法二：由 （1）知
23 5 51 4 4 4AF AC
，
AF AC ········································································6 分
同理： BF BD [来源:Z|xx|k.Com]
ACF AFC
AC EF ∥
ACF CFO
AFC CFO ································································· 7 分
同理： BFD OFD
90CFD OFC OFD °
即CF DF⊥ ······································································ 8 分
（3）存在.
解：如图 3，作 PM x⊥ 轴，垂足为点 M 9 分
又 PQ OP ⊥ [来源:学科网]
Rt RtOPM OQP △ ∽ △
PM OM
PQ OP
PQ PM
OP OM
································10 分
设 21 04P x x x
， ，则 21
4PM x OM x ，
①当Rt RtQPO CFD△ ∽ △ 时，
5 1
22 5
PQ CF
OP DF
····························································11 分
21
14
2
xPM
OM x
解得 2x
1 21P ， ········································································· 12 分
②当Rt RtOPQ CFD△ ∽ △ 时，
2 5 2
5
PQ DF
OP CF
···························································· 13 分
21
4 2
xPM
OM x
解得 8x
2 816P ，
综上，存在点 1 21P ， 、 2 816P ， 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似.············14 分
4.（09 年福建泉州）28．（13 分）在直角坐标系中，点 A（5，0）关于原点 O 的对称点
为点 C.
(1)请直接写出点 C 的坐标；
E DC
O
F
x
y
图 3
M
P
l Q
（2）若点 B 在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点 B 关于原点 O 的对称点为点 D.
①试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由；
②现有一动点 P 从 B 点出发，沿路线 BA—AD 以每秒 1 个单位长的速度向终点 D
运动，另一动点 Q 从 A 点同时出发，沿 AC 方向以每秒 0.4 个单位长的速度
向终点 C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.
已知 AB=6，设点 P、Q 的运动时间为 t 秒，在运动过程中，当动点 Q 在以 PA
为直径的圆上时，试求 t 的值.
（09 年福建泉州 28 题解析）28.（本小题 13 分）
解:（1）C（-5，0）………………………（3 分）
（2）①四边形 ABCD 为矩形，理由如下：
如 图 ， 由 已 知 可 得 ： A 、 O 、 C 在 同 一 直 线 上 ， 且
OA=OC；B、O、D 在同一直线上，且 OB=OD，∴四边形 ABCD 是
平行四边形.…………………………………（5 分）
∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即 AC=2OA=2OB=BD
∴四边形 ABCD 是矩形.…………………（7 分）
②如图，由①得四边形 ABCD 是矩形
∴∠CBA=∠ADC=90°……………（8 分）
又 AB=CD=6，AC=10
∴由勾股定理，得 BC=AD=
= 2222 610 ABAC =8…………………………………（9 分）
∵ 254.0
10 ， 141
86 ，∴0≤t≤14.……………………（10 分）
当 0≤t≤6 时，P 点在 AB 上，连结 PQ.
∵AP 是直径，∴∠PQA=90°…………………………………（11 分）[来源:Z,xx,k.Com]
又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB
∴
AB
AQ
CA
PA ，即
6
4.0
10
6 tt ,解得 t=3.6…………………………（12 分）
当 6＜t≤14 时，P 点在 AD 上，连结 PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴
AD
AQ
CA
PA ，即
8
4.0
10
6 tt t-6,解得 t=12.
综上所述，当动点 Q 在以 PA 为直径的圆上时，t 的值为 3.6 或 12.……（13 分）
5.（09 年福建厦门）26．(11 分)已知二次函数 y＝x2－x＋c．
(1)若点 A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上，求此二次函
数的最小值；
(2)若点 D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上，
且 D、E 两点关于坐标原点成中心对称，连接 OP．当 2 2≤OP≤2＋ 2时，试
判断直线 DE 与抛物线 y＝x2－x＋c＋ 3
8
的交点个数，并说明理由．
（09 年福建厦门 26 题解析） (1)解：法 1：由题意得
n＝2＋c，
2n－1＝2＋c.
……1 分
解得 n＝1，
c＝－1.
……2
分
法 2：∵ 抛物线 y＝x2－x＋c 的对称轴是 x＝1
2
，
且 1
2
－(－1) ＝2－1
2
，∴ A、B 两点关于对称轴对称.
∴ n＝2n－1 ……1分
∴ n＝1，c＝－1. ……2 分
∴ 有 y＝x2－x－1 ……3
分
＝(x－1
2
)2－5
4
.
∴ 二次函数 y＝x2－x－1 的最小值是－5
4
. ……4
分
(2)解：∵ 点 P(m，m)(m＞0)，
∴ PO＝ 2m.
∴ 2 2≤ 2m ≤ 2＋2.
∴ 2≤m≤1＋ 2. ……5 分
法 1： ∵ 点 P(m，m)(m＞0)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上，
∴ m＝m2－m＋c，即 c＝－m2＋2m.
∵ 开口向下，且对称轴 m＝1，
∴ 当 2≤m≤1＋ 2 时，
有 －1≤c≤0. ……6
分
法 2：∵ 2≤m≤1＋ 2，
∴ 1≤m－1≤ 2.
∴ 1≤(m－1)2≤2.
∵ 点 P(m，m)(m＞0)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上，
∴ m＝m2－m＋c，即 1－c＝(m－1)2.
∴ 1≤1－c≤2.
∴ －1≤c≤0. ……6 分
∵ 点 D、E 关于原点成中心对称，
法 1： ∴ x2＝－x1，y2＝－y1.
∴ y1＝x12－x1＋c，
－y1＝x12＋x1＋c.
∴ 2y1＝－2x1， y1＝－x1.
设直线 DE：y＝kx.
有 －x1＝kx1.
由题意，存在 x1≠x2.
∴ 存在 x1，使 x1≠0. ……7 分
∴ k＝－1.
∴ 直线 DE： y＝－x. ……8 分
法 2：设直线 DE：y＝kx.
则根据题意有 kx＝x2－x＋c，即 x2－(k＋1) x＋c＝0.
∵ －1≤c≤0，
∴ (k＋1)2－4c≥0.
∴ 方程 x2－(k＋1) x＋c＝0 有实数根. ……7 分
∵ x1＋x2＝0，
∴ k＋1＝0.
∴ k＝－1.
∴ 直线 DE： y＝－x. ……8 分
若
y＝－x，
y＝x2－x＋c＋3
8
.则有 x2＋c＋3
8
＝0.即 x2＝－c－3
8
.
① 当 －c－3
8
＝0 时，即 c＝－3
8
时，方程 x2＝－c－3
8
有相同的实数根，
即直线 y＝－x 与抛物线 y＝x2－x＋c＋3
8
有唯一交点. ……9
分
② 当 －c－3
8
＞0 时，即 c＜－3
8
时，即－1≤c＜－3
8
时，
方程 x2＝－c－3
8
有两个不同实数根，
即直线 y＝－x 与抛物线 y＝x2－x＋c＋3
8
有两个不同的交点. ……10
分
③ 当 －c－3
8
＜0 时，即 c＞－3
8
时，即－3
8
＜c≤0 时，
方程 x2＝－c－3
8
没有实数根，
即直线 y＝－x 与抛物线 y＝x2－x＋c＋3
8
没有交点. ……11
分
6.（09 年福建福州）22．（满分 14 分）
已知直线 l：y=－x+m（m≠0）交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，点 C、M 分别在
线段 OA、AB 上，且 OC=2CA，AM=2MB，连接 MC，将△ACM 绕点 M
旋转 180°，得到△FEM，则点 E 在 y 轴上, 点 F 在直线 l 上;取线段 EO 中
点 N,将 ACM 沿 MN 所在直线翻折，得到△PMG，其中 P 与A 为对称点.记：
过点 F 的双曲线为 1C ，过点 M 且以 B 为顶点的抛物线为 2C ，过点 P 且以 M
为顶点的抛物线为 3C .
(1) 如图 10，当 m=6 时，①直接写出点 M、F 的坐标，
②求 1C 、 2C 的函数解析式；
（2）当 m 发生变化时， ①在 1C 的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？请说明理由。
②若 2C 、 3C 中的 y 都随着 x 的增大而减小,写出 x 的取值范围。
（09 年福建福州 22 题解析）解：（１）①点Ｍ的坐标为（２，４），点Ｆ的坐标为
（－２，８）．……………………2 分
2 设 1C 的函数解析式为
x
ky （ )0k ．
∵ 1C 过点Ｆ（－２，８）
图 10
∴ 1C 的函数解析式为
xy 16 ．
∵ 2C 的顶点Ｂ的坐标是（０，６）
∴设 2C 的函数解析式为 2 6( 0)y ax a ．
∵ 2C 过点 M（2，4）
∴ 464 a
2
1a ．
∴ 2C 的函数解析式为 62
1 2 xy ．……………………6 分
（2）依题意得，A（m，０），B（０，m），
∴点Ｍ坐标为（ mm 3
2,3
1 ），点Ｆ坐标为（ m3
1 ， m3
4 ）．
①设 1C 的函数解析式为 ky x
（ )0k ．[来源:Z。xx。k.Com]
∵ 1C 过点Ｆ（ m3
1 ， m3
4 ）
∴ 2
9
4 mk ．
∵ 0m
∴ 0k
∴在 1C 的每一支上，y 随着 x 的增大而增大．
②答：当 m ＞０时，满足题意的 x 的取值范围为 0＜x＜ m3
1 ；
当 m ＜０时，满足题意的 x 的取值范围为 m3
1 ＜x＜０．…………14 分
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（三）
8.（09 年甘肃定西）28．如图 14（1），抛物线 2 2y x x k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3 ）．［图
14（2）、图 14（3）为解答备用图］
（1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）设抛物线 2 2y x x k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存
在，请说明理由；
（4）在抛物线 2 2y x x k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．
（09 年甘肃定西 28 题解析）解：（1） 3k ，···················1 分
A（-1，0），····················································· 2 分
B（3，0）．·······················································3 分
（2）如图 14（1），抛物线的顶点为 M（1，-4），连结 OM．
·····························································4 分
则 △AOC 的面积=
2
3 ，△MOC 的面积=
2
3 ，
△MOB 的面积=6，·············································· 5 分
∴ 四边形 ABMC 的面积
=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．····································6 分
说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面
积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和．
（3）如图 14（2），设 D（m， 322 mm ），连结 OD．
图 14（1） 图 14（2） 图 14（3）
则 0＜m＜3， 322 mm ＜0．
且 △AOC 的面积=
2
3 ，△DOC 的面积= m2
3 ，
△DOB 的面积=-
2
3 （ 322 mm ），····················································· 8 分
∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积
= 62
9
2
3 2 mm
[来源:Z+xx+k.Com]
=
8
75)2
3(2
3 2 m ．········································································· 9 分
∴ 存在点 D 3 15( )2 4
， ，使四边形 ABDC 的面积最大为
8
75 ．··························10 分
（4）有两种情况：
如图 14（3），过点 B 作 BQ1⊥BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C．
∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴ 点 E 的坐标为（0，3）．
∴ 直线 BE 的解析式为 3y x ．··························································· 12 分
由 2
3
2 3
y x
y x x
，
解得 1
1
2
5
x
y
，
；
ì =-ïïíï =ïî
2
2
3
0.
x
y
，ì =ïïíï =ïî
∴ 点 Q1 的坐标为（-2，5）．·····························································13 分[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
如图 14（4），过点 C 作 CF⊥CB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2．
∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴ 点 F 的坐标为（-3，0）．
∴ 直线 CF 的解析式为 3y x ．···························································14 分
由 2
3
2 3
y x
y x x
，
解得 1
1
0
3
x
y
，
；
ì =ïïíï =-ïî
2
2
1
4
x
y
，
．
ì =ïïíï =-ïî
∴点 Q2 的坐标为（1，-4）．······································································ 15 分
综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角
形．······································································································ 16 分
说明：如图 14（4），点 Q2 即抛物线顶点 M，直接证明△BCM 为直角三角形同样得 2 分．
9.（09 年甘肃兰州）29.（本题满分 9 分）如图①，正方形 ABCD 中，点 A、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），
点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动，
同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为 t 秒．[来源:学科网 ZXXK][来源:Zxxk.Com]
(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标x（长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图②所示，请写
出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；
(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；
(3)在（1）中当 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；
(4)如果点 P、Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时，OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合
条件的 t 的值；若不能，请说明理由．
图 14（2）
图 14（3） 图 14（4）
（09 年甘肃兰州 29 题解析）解：（1） Q （1，0）············································································ 1 分
点 P 运动速度每秒 钟 1 个单位长度．····························································································2 分
（2） 过点 B 作 BF⊥y 轴于点 F ， BE ⊥x轴于点 E ，则 BF ＝8， 4OF BE ．
∴ 10 4 6AF ．
在 Rt△AFB 中， 2 28 6 10AB 3 分
过点 C 作 CG ⊥x轴于点 G ，与 FB 的延长线交于点 H ．
∵ 90 ,ABC AB BC ∴△ABF≌△BCH．
∴ 6, 8BH AF CH BF ．
∴ 8 6 14, 8 4 12OG FH CG ．
∴所求 C 点的坐标为（14，12）． 4 分
（3） 过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，PN⊥x轴于点 N，
则△APM∽△ABF．
∴ AP AM MP
AB AF BF
．
10 6 8
t AM MP ．
∴ 3 4
5 5AM t PM t ， ． ∴ 3 410 ,5 5PN OM t ON PM t ．
设△OPQ 的面积为 S （平方单位）
∴ 21 3 47 3(10 )(1 ) 52 5 10 10S t t t t （0≤ t ≤10） ················································· 5 分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵ 3
10a <0 ∴当
47
4710
3 62 ( )10
t
时， △OPQ 的面积最大．·························· 6 分
此时 P 的坐标为（ 94
15
， 53
10
） ．······································································ 7 分
（4） 当 5
3t 或 295
13t 时， OP 与 PQ 相等．················································· 9 分
对一个加 1 分，不需写求解过程．
10.（09 年甘肃庆阳）29．（12 分）如图 18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 5 的等腰直角三角板 ABC 放在第
二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为（ 1 ，0），点 B 在抛物线 2 2y ax ax 上．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）抛物线的关系式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为 D，求△DBC 的面积；
（4）将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90°，到达 AB C △ 的位置．请判断点 B、C 是否在（2）中的抛
物线上，并说明理由．
（09 年甘肃庆阳 29 题解析）解： （1）A（0，2）， B（ 3 ，1）．·························· 2 分
（2） 21 1 22 2y x x ．··········································································· 3 分
（3）如图 1，可求得抛物线的顶点 D（ 1 17
2 8
， ）．······································· 4 分
设直线 BD 的关系式为 y kx b ， 将点 B、D 的坐标代入，求得 5
4k ， 11
4b ，
∴ BD 的关系式为 5 11
4 4y x ．······························································· 5 分
设直线 BD 和 x 轴交点为 E，则点 E（ 11
5
，0），CE= 6
5
．
∴ △DBC 的面积为 1 6 17 15
2 5 8 8
（1 ） ．·················································7 分
[来源:Z。xx。k.Com]
（4）如图2，过点B作B M y ⊥ 轴于点M，过点B 作BN y⊥ 轴于点N，过点C 作C P y ⊥ 轴于点 P．8 分
[来源:学|科|网]
在 Rt△AB′M 与 Rt△BAN 中，
∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．···········································································9 分
∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1， 1 ）．············································· 10 分
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点 C′（2，1）；···················11 分
将点 B′、C′的坐标代入 21 1 22 2y x x ，可知点 B′、C′在抛物线上．··············12 分
（事实上，点 P 与点 N 重合）
图 1
E
D
C′
x
A
B′
B
C O
y
P
图 2
M
NB C′
x
A
B′
C O
y
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（四）
11.（09年广东佛山）25．一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分
类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图
形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路．
当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．
已知：四边形 ABCD 中， AB DC ，且 ACB DBC ．
（1）借助网格画出四边形 ABCD 所有可能的形状；
（2）简要说明在什么情况下四边形 ABCD 具有所画的形状．
（09年广东佛山25题解析）（1）四边形可能的形状有三类：图 ① “矩形”、图 ② “等腰梯形”、图 ③ 的“四边
形 1ABCD ”．
注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分；
等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分．
注2：如果在类似图 ③ 或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）．
(2) （i）若 BAC 是直角（图 ② ），则四边形为等腰梯形；································· 6分
（ii）若 BAC 是锐角（图 ③ ），存在两个点 D 和 1D ，得到等腰梯形 ABCD 和符合条件但不是梯形的四边形
1ABCD ；·······································································································8分
其中，若 BAC 是直角（图 ① ），则四边形为矩形．·········································· 9分
（iii）若 BAC 是钝角（图④），存在两个点 D 和 1D ，得到等腰梯形 ABCD 和符合条件但不是梯形的四边形
1ABCD ；···································································································· 11分
注：可用 AC 与 BD 或者 BAC 与 CDB 是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分．
12.（09 年广东广州）25．（本小题满分 14 分）
如图 13，二次函数 2y x px q （ 0p ）的图象与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴交于点 (0 1)C ， ， ABC△ 的
面积为 5
4
．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 y 轴上的一点 (0 )M m， 作 y 轴的垂线，若该垂线与 ABC△ 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D ，使四边形 ACBD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，
请说明理由．
（09 年广东广州 25 题解析）解：（1）设点 1( 0)A x， ， 2( 0)B x ， ，其中 1 2x x ．
∵抛物线 2y x px q 过点 (0 1)C ， ，
∴ 21 0 0P q ．
∴ 1q ．
∴ 2 1y x px ．
∵抛物线 2y x px q 与 x 轴交于 A B、 两点，
∴ 1 2x x， 是方程 2 1 0x px 的两个实根．
求 p 的值给出以下两种方法：
方法 1：由韦达定理得： 1 2 1 2 1x x p x x ， ．
∵ ABC△ 的面积为 5
4
，
∴ 1 5
2 4OC AB · ，即 2 1
1 51 ( )2 4x x ．
∴ 2 1
5
2x x ．
∴ 2
2 1
25( ) 4x x ．
图 13
y
xBA
C
O
∵ 2 2
2 1 2 1 1 2( ) ( ) 4x x x x x x ，
∴ 2
2 1 1 2
25( ) 4 4x x x x ．
∴ 2 25( ) 4 4p ．
解得 3
2p ．
∵ 0p ，
∴ 3
2p ．
∴所求二次函数的关系式为 2 3 12y x x ．
方法 2：由求根公式得
2
1
4
2
p px ，
2
2
4
2
p px ．
2 2
2
2 1
4 4 42 2
p p p pAB x x p ．
∵ ABC△ 的面积为 5
4
，
∴ 1 5
2 4OC AB · ，即 2 1
1 51 ( )2 4x x ．
∴ 21 51 42 4p ．
∴ 2 254 4p ．
解得 3
2p ．
∵ 0p ，
∴ 3
2p ．
∴所求二次函数的关系式为 2 3 12y x x ．
（2）令 2 3 1 02x x ，解得 1 2
1 22x x ， ．
∴ 1 02A
， ， (2 0)B ， ．
在 Rt AOC△ 中，
2
2 2 2 21 512 4AC AO OC
，
在 Rt BOC△ 中， 2 2 2 2 22 1 5BC BO OC ，
∵ 1 52 2 2AB
，
y
∴ 2 2 25 2554 4AC BC AB ．
∴ 90ACB °．
∴ ABC△ 是直角三角形．
∴ Rt ABC△ 的外接圆的圆心是斜边 AB 的中点．
∴ Rt ABC△ 的外接圆的半径 5
2 4
ABr ．
∵垂线与 ABC△ 的外接圆有公共点，
∴ 5 5
4 4m ≤ ≤ ．
（3）假设在二次函数 2 3 12y x x 的图象上存在点 D ，使得四边形 ACBD 是直角梯形．
①若 AD BC∥ ，设点 D 的坐标为 2
0 0 0
3 12x x x
， ， 0 0x ，
过 D 作 DE x⊥ 轴，垂足为 E ，如图 1 所示．
求点 D 的坐标给出以下两种方法：
方法 1：在 Rt AED△ 中，
2
0 0
0
3 12tan 1
2
x xDEDAE AE x
，
在 Rt BOC△ 中， 1tan 2
OCCBO OB
，
∵ DAE CBO ，
∴ tan tanDAE CBO ．
∴
2
0 0
0
3 1 12
1 2
2
x x
x
．
2
0 04 8 5 0x x ．
解得 0
5
2x 或 0
1
2x ．
∵ 0 0x ，
∴ 0
5
2x ，此时点 D 的坐标为 5 3
2 2
， ．
而 2 2 2 245
4AD AE ED BC ，因此当 AD BC∥ 时在抛物线 2 3 12y x x 上存在点 5 3
2 2D
， ，使得四边
形 DACB 是直角梯形．
方法 2：在 Rt AED△ 与 Rt BOC△ 中， DAE CBO ，
∴ Rt RtAED BOC△ ∽ △ ．
∴ DE OC
AE OB
．
25 题（3）图 1
y
xBA
C
O E
D
y
xBA O
D
F
∴
2
0 0
0
3 1 12
1 2
2
x x
x
．
以下同方法 1．
②若 AC BD∥ ，设点 D 的坐标为 2
0 0 0
3 12x x x
， ， 0 0x ，
过 D 作 DF x⊥ 轴，垂足为 F ，如图 2 所示．
在 Rt DFB△ 中，
2
0 0
0
3 12tan 2
x xDEDBF FB x
，
在 Rt COA△ 中， 1tan 21
2
OCCAO OA
，
∵ DBF CAO ，
∴ tan tanDBF CAO ．
∴
2
0 0
0
3 12 22
x x
x
．
2
0 02 10 0x x ．
解得 0
5
2x 或 0 2x ．
∵ 0 0x ，
∴ 0
5
2x ，此时 D 点的坐标为 5 92
， ．
此时 BD AC ，因此当 AC BD∥ 时，在抛物线 2 3 12y x x 上存在点 5 92D
， ，使得四边形 DACB 是直角
梯形．
综上所述，在抛物线 2 3 12y x x 上存在点 D ，使得四边形 DACB 是直角梯形，并且点 D 的坐标为 5 3
2 2
， 或
5 92
， ．
13.（09 年广东茂名）25．（本题满分 10 分）
已 知 ： 如 图 ， 直 线 l ： 1
3y x b ， 经 过 点 10 4M
， ， 一 组 抛 物 线 的 顶 点
1 1 2 2 3 3(1 ) (2 ) (3 ) ( )n nB y B y B y B n y， ， ， ， ， ， ， ， （ n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与 x 轴正
半轴的交点依次是： 1 1 2 2 3 3 1 1( 0) ( 0) ( 0) ( 0)n nA x A x A x A x ，， ，， ，， ， ， （ n 为正整数），设 1 0 1x d d （ ）．
（1）求 b 的值； （2 分）
（2）求经过点 1 1 2A B A、 、 的抛物线的解析式（用含 d 的代数式表示） （4 分）
（3）定义：若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物
线”．
探究：当 0 1d d （ ）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的 d 的
值． （4 分）
（09 年广东茂名 25 题解析）解：（1）∵ 10 4M
， 在 1
3y x b 上，∴ 1 1 04 3 b ，∴ 1
4b ． 2 分
（2）由（1）得： 1 1
3 4y x ， ∵ 1 1(1 )B y， 在l 上，
∴当 1x 时， 1
1 1 713 4 12y ，∴ 1
71 12B
， ．····································3 分
解法一：∴设抛物线表达式为： 2 7( 1) ( 0)12y a x a ，····································4 分
又∵ 1x d ， ∴ 1( 0)A d， ，∴ 2 70 ( 1) 12a d ，∴ 2
7
12( 1)a d
，··············5 分
∴经过点 1 1 2A B A、 、 的抛物线的解析式为： 2
2
7 7( 1)12( 1) 12y xd
．···········6 分
解法二：∵ 1x d ，∴ 1( 0)A d， ， 2 (2 0)A d ， ，
∴设 ( ) ( 2 )( 0)y a x d x d a ，································································4 分
把 1
71 12B
， 代入： 7 (1 ) (1 2 )12 a d d ，得 2
7
12( 1)a d
，························ 5 分
∴抛物线的解析式为 2
7 ( ) ( 2 )12( 1)y x d x dd
．·····································6 分
（3）存在美丽抛物线．··················································································· 7 分
由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角
（第 25 题图）
y
O
M
xn
l
1 2 3
…1B
2B
3B
nB
1A 2A 3A 4A nA 1nA
形斜边上的高等于斜边的一半，又∵ 0 1d ，∴等腰直角三角形斜边的长小于 2，∴等腰直角三角形斜边上的高
必小于 1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．
∵当 1x 时， 1
1 1 71 13 4 12y ，
当 2x 时， 2
1 1 112 13 4 12y ，
当 3x 时， 3
1 1 13 1 13 4 4y ，
∴美丽抛物线的顶点只有 1 2B B、 ．····································································· 8 分
①若 1B 为顶点，由 1
71 12B
， ，则 7 51 12 12d ；·············································· 9 分
②若 2B 为顶点，由 2
112 12B
， ，则 11 111 2 112 12d
，
综上所述， d 的值为 5
12
或 11
12
时，存在美丽抛物线．············································ 10 分
14.（09 年广东梅州）23．本题满分 11 分．
（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）
如图 12，已知直线 L 过点 (01)A ， 和 (1 0)B ， ， P 是 x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交 L 于点Q ，交 x 轴于
点 M ．
（1）直接写出直线 L 的解析式；
（2）设OP t ， OPQ△ 的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系式；并求出当 0 2t 时， S 的最大值；
（3）直线 1L 过点 A 且与 x 轴平行，问在 1L 上是否存在点C ， 使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形？
若存在，求出点 C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．
（09 年广东梅州 23 题解析）（1） 1y x ·························································· 2 分
y
O
M
xn
l
1 2 3
…1B
2B
3B
nB
1A 2A 3A 4A nA 1nA
L
A
O M P B x
y
L1
图 12
Q
（2）∵OP t ，∴Q 点的横坐标为 1
2 t ，
①当 10 12 t ，即 0 2t 时， 11 2QM t ，
∴ 1 112 2OPQS t t △ ．················································································· 3 分
②当 2t ≥ 时， 1 11 12 2QM t t ，
∴ 1 1 12 2OPQS t t △ ．
∴
1 11 0 22 2
1 1 1 2.2 2
t t t
S
t t t
， ，
， ≥
··········································································· 4 分
当 10 12 t ，即 0 2t 时， 21 1 1 11 ( 1)2 2 4 4S t t t
，
∴当 1t 时， S 有最大值 1
4
．··········································································· 6 分
（3）由 1OA OB ，所以 OAB△ 是等腰直角三角形，若在 1L 上存在点 C ，使得 CPQ△ 是以 Q 为直角顶点的
等腰直角三角形，则 PQ QC ，所以OQ QC ，又 1L x∥ 轴，则C ，O 两点关于直线 L 对称，所以 1AC OA ，
得 (11)C ， ．···································································································· 7 分
下证 90PQC °．连CB ，则四边形OACB 是正方形．
法一：（i）当点 P 在线段OB 上， Q 在线段 AB 上
（Q 与 B C、 不重合）时，如图–1．
由对称性，得 BCQ QOP QPO QOP ， ，
∴ 180QPB QCB QPB QPO °，
∴ 360 ( ) 90PQC QPB QCB PBC ° °．······································· 8 分
（ii）当点 P 在线段OB 的延长线上， Q 在线段 AB 上时，如图–2，如图–3
∵ 1 2QPB QCB ， ， ∴ 90PQC PBC °． ····················· 9 分
（iii）当点Q 与点 B 重合时，显然 90PQC °．
综合（i）（ii）（iii）， 90PQC °．
L
A
O P B x
y
L1
23 题图-1
Q
C
∴在 1L 上存在点 (11)C ， ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形．·········· 11 分
法二：由 1OA OB ，所以 OAB△ 是等腰直角三角形，若在 1L 上存在点 C ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的
等腰直角三角形，则 PQ QC ，所以OQ QC ，又 1L x∥ 轴，则C ，O 两点关于直线 L 对称，所以 1AC OA ，
得 (11)C ， ． ···································································································7 分
延长 MQ 与 1L 交于点 N ．
（i）如图–4，当点Q 在线段 AB 上（Q 与 A B、 不重合）时，
∵四边形OACB 是正方形，
∴四边形OMNA 和四边形 MNCB 都是矩形， AQN△ 和 QBM△ 都是等腰直角三角形．
∴ 90NC MB MQ NQ AN OM QNC QMB ， ， °．
又∵OM MP ， ∴ MP QN ，
∴ QNC QMP△ ≌△ ，
∴ MPQ NQC ，
又∵ 90MQP MPQ °，
∴ 90MQP NQC °．
∴ 90CQP °． ······················································································ 8 分
（ii）当点Q 与点 B 重合时，显然 90PQC °． ···································· 9 分
（iii）Q 在线段 AB 的延长线上时，如图–5，
∵ BCQ MPQ ，∠1=∠2
∴ 90CQP CBM °
综合（i）（ii）（iii）， 90PQC °．
∴在 1L 上存在点 (11)C ， ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ······ 11 分
L
A
O PB x
L1
23 题图-2
Q
C
2
1
y
y
L
A
O PB x
L1
23 题图-3
Q
C
2
1
L
A
O P B x
y
L1
23 题图-1
Q
C
法三：由 1OA OB ，所以 OAB△ 是等腰直角三角形，若在 1L 上存在点 C ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的
等腰直角三角形，则 PQ QC ，所以OQ QC ，又 1L x∥ 轴，
则C ，O 两点关于直线 L 对称，所以 1AC OA ，得 (11)C ， ． ··················· 9 分
连 PC ，∵ |1 |PB t ， 1
2OM t ， 1 2
tMQ ，
∴ 2 2 2 2 2(1 ) 1 2 2PC PB BC t t t ，
2 2 2
2 2 2 2 2 1 12 2 2
t t tOQ OP CQ OM MQ t
．
∴ 2 2 2PC OP QC ，∴ 90CQP °．························································· 10 分
∴在 1L 上存在点 (11)C ， ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ········· 11 分
15.（09 年广东清远）28．如图 9，已知一个三角形纸片 ABC ，BC 边的长为 8，BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都
为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 A B、 不重合），过点 M 作 MN BC∥ ，交 AC 于点 N ，在 AMN△ 中，
设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ．
（1）请你用含 x 的代数式表示 h ．
（2）将 AMN△ 沿 MN 折叠，使 AMN△ 落在四边形 BCNM 所 在平面，
设点 A 落在平面的点为 1A ， 1A MN△ 与四边形 BCNM 重叠部分的 面 积 为
y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值为多少？
（09 年广东清远 28 题解析）解：（1） MN BC ∥
AMN ABC△ ∽△
6 8
h x
3
4
xh ······················································· 3 分
（2） 1AMN A MN△ ≌△
1A MN△ 的边 MN 上的高为 h ，
① 当点 1A 落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时，
23 题图-4
L
A
O M P B x
y
L1
Q
CN
y
L
A
O PB x
L1
23 题图-5
Q
C
2
1
B C
NM
A
图 9
1A MNy S △ = 21 1 3 3
2 2 4 8MN h x x x · · （0 4x ≤ ）·············································4 分
② 当 1A 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4 8)x ，
设 1A EF△ 的边 EF 上的高为 1h ，
则 1
32 6 62h h x
1 1EF MN A EF A MN ∥ △ ∽△
1 1A MN ABC A EF ABC△ ∽△ △ ∽△
1
2
1
6
A EFS h
S
△
△ABC
1 6 8 242ABCS △
2
2
3 6 32 24 12 246 2EF
x
S x x
1△A
1 1
2 2 23 3 912 24 12 248 2 8A MN A EFy S S x x x x x △ △
所以 29 12 24 (4 8)8y x x x ·····························································6 分
综上所述：当 0 4x ≤ 时， 23
8y x ，取 4x ， 6y 最大
当 4 8x 时， 29 12 248y x x ，
取 16
3x ， 8y 最大
8 6
当 16
3x 时， y 最大， 8y 最大 ·····································································8 分
16.（09 年广东汕头）24．（本题满分 12 分）正方形 ABCD 边长为 4，M 、N 分别是 BC 、
CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，
（1）证明： Rt RtABM MCN△ ∽ △ ；
（2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN
面积最大，并求出最大面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求 x 的值．
（09 年广东汕头 24 题解析）解：（1）在正方形 ABCD 中， 4 90AB BC CD B C ， °，
AM MN ，
M N
CB E F
A
A1
N
DA
C
D
B
M
第 24 题图
90AMN °，
90CMN AMB °．
在 Rt ABM△ 中， 90MAB AMB °，
CMN MAB ，
Rt RtABM MCN △ ∽ △ ．············································ 3 分
（2） Rt RtABM MCN △ ∽ △ ，
4
4
AB BM x
MC CN x CN
， ，
2 4
4
x xCN ，··········································································5 分
2
2 21 4 1 14 4 2 8 ( 2) 102 4 2 2ABCN
x xy S x x x
梯形 ，
当 2x 时， y 取最大值，最大值为 10．···································································7 分
（3） 90B AMN °，
要使 ABM AMN△ ∽△ ，必须有 AM AB
MN BM
，···················································· 9 分
由（1）知 AM AB
MN MC
，
BM MC ，
当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM AMN△ ∽△ ，此时 2x ．····························· 12 分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）[来源:学。科。网]
17.（09 年广东深圳）23．（本题 10 分）已知：Rt△ABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在
平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0，n>0），连接 DP 交 BC 于点 E。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点 E 的坐标。（3 分）
②又连接 CD、CP（如图 13），△CDP 是否有最大面积？若有，求
出△CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。（3
分）
（09 年广东深圳 23 题解析）
（1） 由 Rt△AOC∽Rt△COB 易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4
N
DA
C
D
B
M
答案 24 题图
图 11
图
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
E1
E3
E2C
D B
A
O
图
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
M
C
D BA O
P
∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为 y=a(x+1)(x-4),将点 C(0,2)代入，可求 a= 1
2
∴ 21 3 22 2y x x 为所求
（2） 1
1(3, )2E ； 2
4 8( , )5 5E 3
4 2(4 5, 5)5 5E 提示：直线 BC 的解析式为 1 22y x 设 ( , )E x y ，利用勾股
定理和点 ( , )E x y 在直线 BC 上，可得两个方程组
2 2 2
1 22
(2 ) 2
y x
x y
2 2 2
1 22
(4 ) 2
y x
x y
分别可求 2E 和
3E
（3） 过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，易求 PC 的解析式为 2 2ny xm
，且 2 4(2, 2)nM m
，故
2
2
1 ( )( )2
1 1 2 4( 2) 22 2
1 3( 2) 22 2
1 5
2 2
CDP CDM DMP P C M D
P M
S S S x x y y
nx y m m nm
m m m
m m
故，当 5
2m 时， 25
8CDPS 最大值 ， 5 21( , )2 8P
18.（09 年广东湛江）28．已知矩形纸片OABC 的长为 4，宽为 3，以长OA 所在的直线为 x 轴，O 为坐标原点建
立平面直角坐标系；点 P 是OA 边上的动点（与点O A、 不重合），现将 POC△ 沿 PC 翻折
得到 PEC△ ，再在 AB 边上选取适当的点 D，将 PAD△ 沿 PD 翻折，得到 PFD△ ，使得
直线 PE PF、 重合．
（1）若点 E 落在 BC 边上，如图①，求点 P C D、 、 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ， ，当 x 为何值时， y 取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点 P C D、 、 三点的抛物线上是否存在点Q，使 PDQ△ 是以 PD 为直角边的直角三角形？
若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标
（09 年广东湛江 28 题解析）解：（1）由题意知， POC PAD△ 、△ 均为等腰直角三角形，
可得 (3 0) (0 3) (41)P C D，、 ，、 ， ············································································2 分
C
y
E B
F D
AP xO
图①
A
B
D
F
E
C
O P x
y
图②
第 28 题图C
y
E B
F D
B
D
F
E
C
y
设过此三点的抛物线为 2 ( 0)y ax bx c a ，则
3
9 3 0
16 4 1
c
a b c
a b c
1
2
5
2
3
a
b
c
过 P C D、 、 三点的抛物线的函数关系式为 21 5 32 2y x x ·······························4 分
（2）由已知 PC 平分 OPE PD ， 平分 APF ，且 PE PF、 重合，则 90CPD °
90OPC APD °，又 90APD ADP °
OPC ADP ．
Rt RtPOC DAP △ ∽ △ ．
OP OC
AD AP
，即 3
4
x
y x
············································································6 分
2 21 1 4 1 4(4 ) ( 2) (0 4)3 3 3 3 3y x x x x x x
当 2x 时， y 有最大值 4
3
．········································································ 8 分
（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当 90DPQ °时，由题意可知 90DPC °，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为（0，3）
·······················································································································9 分
②当 90DPQ °时，过点 D 作平行于 PC 的直线 DQ ，假设直线 DQ 交抛物线于另一点Q，点 (3 0) 0 3P C，、 ( ，)，
直线 PC 的方程为 3y x ，将直线 PC 向上平移 2 个单位与直线 DQ 重合，直线 DQ 的方程为 5y x
······················································································································10 分
由 2
5
1 5 32 2
y x
y x x
得 1
6
x
y
或 4
1
x
y
又点 (41) ( 1 6)D Q ，， ，．
故该抛物线上存在两点 (0 3) ( 1 6)Q ，、 ， 满足条件．················································· 12 分
[来源:学。科。网]
说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分．
19．（09 年广东肇庆）25．（本小题满分 10 分）
如图 9， O⊙ 的直径 2 AB AM ， 和 BN 是它的两条切线， DE 切 O⊙ 于 E，交 AM 于 D，
交 BN 于 C．设 AD x BC y ， ．
（1）求证： AM BN∥ ；
（2）求 y 关于 x 的关系式；
（3）求四边形 ABCD 的面积 S，并证明： 2S ≥ ．
（09 年广东肇庆 25 题解析）（1）证明：∵AB 是直径，AM、BN 是切线，
∴ AM AB BN AB⊥ ， ⊥ ，∴ AM BN∥ ．··············· （2 分）
解：（2）过点 D 作 DF BC⊥ 于 F，则 AB DF∥ ．
由（1） AM BN∥ ，∴四边形 ABFD 为矩形.
∴ 2DF AB ， BF AD x ．····························（3 分）
∵DE、DA，CE、CB 都是切线，
∴根据切线长定理，得
DE DA x ，CE CB y ．······························· （4 分）
在 Rt DFC△ 中， 2DF DC DE CE x y CF BC BF y x ， ， ，
∴ 2 2 2( ) 2 ( )x y y x ，··································································（5 分）[来源:学科网 ZXXK]
化简，得 1 ( 0)y xx
．············································································ （6 分）
y
xA
BEC
Q
O P
DF
（Q）
第 28 题图
O
A D
E
M
CB N
图 9
O
A D
E
M
CB N
图 9
F
第22题图
N
M
D
C
B
A
（3）由（1）、（2）得，四边形的面积 1 1 1( ) 22 2S AB AD BC x x
，
即 1 ( 0)S x xx
．················································································ （8 分）
∵
21 1 12 2 0x x xx x x
≥ ，当且仅当 1x 时，等号成立．
∴ 1 2x x
≥ ，即 2S ≥ ．········································································ （10 分）
20.（09 年广东）22. 正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM
和 MN 垂直，
（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；
（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么
位置时，四边形 ABCN 的面积最大，并求出最大面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM ∽Rt△AMN，[来源:学科网 ZXXK]
求此时 x 的值.
（09 年广东 22 题解析）（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+
∠BAM=90°
∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN
∴Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ AB =MC
BM
CN
，即 4
4-
x
x CN
解得： (4 )
4
x xCN
∵ 1= CN+AB BC2S梯形 ∴ 1 (4 )y= 4 42 4
x x
,
即： 1 2 82y x x
又∵ 221 1 12 8=- 4 4 4 8 2 102 2 2y x x x x x
∴当 x=2 时，y 有最大值 10.
∴当 M 点运动到 BC 的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积是 10.
（3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ AB BM
AM MN
，即
2 2
2
4
16 44 4
x
x x xx
化简得： 2 16 2 0x x ，解得：x=2
∴当 M 点运动到 BC 的中点时 Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时 x 的值为 2.
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（五）
21.（09 年广西来宾）26．（本小题满分 12 分）
当 x＝2 时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 取得最小值－1，并且抛物线与 y 轴交于点 C（0，3），与 x 轴交于点 A、B．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）若点 M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小；
（3）D 是线段 AC 的中点，E 为线段 AC 上一动点（A、C 两端点除外），过点 E 作 y 轴的平行线 EF 与抛物线
交于点 F．问：是否存在△DEF 与△AOC 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，则说明理由．[来源:Z|xx|k.Com]
（09 年广西来宾 26 题解析）解：（1）由题意可设抛物线的关系式为 y＝a(x－2)2－1 …………1 分
因为点 C（0，3）在抛物线上[来源:Zxxk.Com]
所以 3＝a(0－2)2－1，即 a＝1 …………………………2 分
所以，抛物线的关系式为 y＝(x－2)2－1＝x2－4 x＋3 ……3 分
AB
C
D
O x
y
E
F
3
（第 26 题图）
（2）∵点 M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上
∴y1－y2＝（x2－4 x＋3）－[(x＋1) 2－4(x＋1)＋3]＝3－2 x …………4 分
当 3－2 x＞0，即
2
3x 时，y1＞y2 ………………………………5 分
当 3－2 x＝0，即
2
3x 时，y1＝y2 ………………………………6 分
当 3－2 x＜0，即
2
3x 时，y1＜y2 ………………………………7 分
（3）令 y＝0，即 x2－4 x＋3＝0，得点 A（3,0），B（1,0），线段 AC 的中点为 D（
2
3 ,
2
3 ）
直线 AC 的函数关系式为 y＝－x＋3 ………………………………8 分
因为△OAC 是等腰直角三角形，所以，要使△DEF 与△OAC 相似，△DEF 也必须是等腰直角三角形．由于
EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF 中只可能以点 D、F 为直角顶点．
①当 F 为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF 所在直线为
2
3y
由
2
3342 xx ，解得
2
104 x ， 32
104 x （舍去） ……9 分
将
2
104 x 代入 y＝－x＋3，得点 E（
2
104 ，
2
102 ） …………10 分
②当 D 为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点 D 为线段 AC 的中点，因此，DF 所在直线过
原点 O，其关系式为 y＝x．
解 x2－4 x＋3＝x，得
2
135 x ， 32
135 x （舍去） …………11 分
将
2
135 x 代入 y＝－x＋3，得点 E（
2
135 ，
2
131 ） …………12 分
22.（09 年广西崇左）25．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 (0 2)A ， ，点 ( 1 0)C ， ，
如图所示：抛物线 2 2y ax ax 经过点 B ．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使 ACP△ 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求
所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
AB
C
D
O x
y
E
F
3
（第 26 题图⑴）
AB
C
D
O x
y
E
F
3
（第 26 题图⑵）
B
A
y
（0，2）
（09 年广西崇左 25 题解析）（1）过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ，
90 90BCD ACO ACO CAO °， °
BCD CAO ；···········································1 分
又 90BDC COA CB AC °； ，
BCD CAO△ ≌△ ，········································· 2 分
1 2BD OC CD OA ， ····························· 3 分
点 B 的坐标为 ( 31) ， ；······································ 4 分
（2）抛物线 2 2y ax ax 经过点 ( 31)B ， ，则得到1 9 3 2a a ，·····················5 分
解得 1
2a ，所以抛物线的解析式为 21 1 22 2y x x ；········································7 分
（3）假设存在点 P ，使得 ACP△ 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形：
① 若以点C 为直角顶点；
则延长 BC 至点 1P ，使得 1PC BC ，得到等腰直角三角形 1ACP△ ，······················· 8 分
过点 1P 作 1PM x 轴，
1 1 1 90CP BC MCP BCD PMC BDC ， ， °；
1MPC DBC△ ≌△ ······················································································10 分
12 1CM CD PM BD ， ，可求得点 1P(1，-1)；·····································11 分
② 若以点 A 为直角顶点；
则过点 A 作 2AP CA ，且使得 2AP AC ，得到等腰直角三角形 2ACP△ ，············ 12 分
过点 2P 作 2P N y 轴，同理可证 2AP N CAO△ ≌△ ；····································13 分[来源:学科网 ZXXK]
2 2 1NP OA AN OC ， ，可求得点 2 (21)P ， ；·········································· 14 分
经检验，点 1(1 1)P ， 与点 2 (21)P ， 都在抛物线 21 1 22 2y x x 上．························ 16 分
23.（09 年广西桂林）26．（本题满分 12 分）如图，已知直线 3: 34l y x ，它与 x 轴、 y 轴的交点
分别为 A、B 两点．
（1）求点 A、点 B 的坐标；
（2）设 F 是 x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P 经过点 B 且与 x 轴相切于点 F（不写作法和证明，保
B
A
D C O M
N
x
y
P1
P2
留作图痕迹）；
（3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为 P（ x y， ），求 y 与 x 的函数关系式； [来源:Z。xx。k.Com]
（4）是否存在这样的⊙P，既与 x 轴相切又与直线l 相切于点 B，若存在，求出圆心 P 的坐标；若不存在，请说
明理由．
（09 年广西桂林 26 题解析）解（1）A（ 4 ，0），B（0，3）······ 2 分（每对一个给 1 分）
（2）满分 3 分．其中过 F 作出垂线 1 分，作出 BF 中垂线 1 分，找出圆心并画出⊙P 给 1 分．
（注：画垂线 PF 不用尺规作图的不扣分）
（3）过点 P 作 PD⊥ y 轴于 D，则 PD= x ，BD= 3 y ，········· 6 分
PB=PF= y ，∵△BDP 为直角三形，
∴ 2 2 2PB PD BD
∴ 2 2 2BP PD BD ························· 7 分
即 2 2 23y x y
即 2 2 2(3 )y x y
∴ y 与 x 的函数关系为 21 3
6 2y x ································································ 8 分
（4）存在
解法 1：∵⊙P 与 x 轴相切于点 F，且与直线l 相切于点 B
∴ AB AF ································································································· 9 分
∵ 2 2 2 25AB OA OB
∴ 2 25AF
∵AF= 4x ， ∴ 2 2( 4) 5x ··································································10 分
∴ 1 9x x 或 ···························································································11 分
把 1 9x x 或 代入 21 3
6 2y x ，得 5 153y y 或
[来源:学|科|网]
∴点 P 的坐标为（1， 5
3
）或（9，15）····························································12 分
24.（09 年广西河池）26． (本小题满分 12 分)
如图 12，已知抛物线 2 4 3y x x 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，
点 B 的坐标为（ 1 ，0）．
x
A
B
V
FO ·
y
第 26 题图
y
xO
A
B
D P
F
（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；
（2）在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点 P 的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在点 M，使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积
相等的两部分？若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请说明理由．
（09 年广西河池 25 题解析）（1）① 对称轴 4 22x ·································（2 分）
② 当 0y 时，有 2 4 3 0x x
解之，得 1 1x ， 2 3x
∴ 点 A 的坐标为（ 3 ，0）．··························································（4 分）
（2）满足条件的点 P 有 3 个，分别为（ 2 ，3），（2，3），（ 4 ， 3 ）．······（7 分）
（3）存在．····························································································· （8 分）
当 0x 时， 2 4 3 3y x x ∴ 点 C 的坐标为（0，3）[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
∵ DE∥ y 轴，AO3，EO2，AE1，CO3
∴ AED△ ∽ AOC△ ∴ AE DE
AO CO
即 1
3 3
DE ∴ DE1············（9 分）
∴ DEOCS 梯形
1 (1 3) 22
4
在 OE 上找点 F，使 OF
4
3
，此时 COFS △
1 4 32 3
2，直线 CF 把四边形 DEOC
分成面积相等的两部分，交抛物线于点 M．·················································（10 分）
设直线 CM 的解析式为 3y kx ，它经过点 4 03F
， ．
则 4 3 03 k ···············································································（11 分）
解之，得 9
4k ∴ 直线 CM 的解析式为 9 34y x （12 分）
25.（09 年广西贺州）28．(本题满分 10 分)如图，抛物线 21 24y x x 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B．
（1）求点 A、点 B 的坐标．
（2）若点 P 是 x 轴上任意一点，求证： PA PB AB ≤ ．
（3）当 PBPA 最大时，求点 P 的坐标．
O
D
B
C
A x
y
E
图 12
B
O
A·
x
y
（09 年广西贺州 28 题解析）解：（1）抛物线 21 24y x x 与 y 轴的交于点 B，
令 x=0 得 y=2．
∴B（0，2） ······································· 1 分
∵ 2 21 12 ( 2) 34 4y x x x
∴A（—2，3）······································3 分
（2）当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时，
ABPBPA ．········································5 分
当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时，
在点 P、A、B 构成的三角形中， ABPBPA ．
综合上述： PA PB AB ≤ ······································································7 分
（3）作直线 AB 交 x 轴于点 P，由（2）可知：当 PA—PB 最大时，点 P 是所求的点 ····8 分
作 AH⊥OP 于 H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴ AH HP
BO OP
························································································9 分
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，
∴OP=4，故 P（4，0） ········································································ 10 分
注：求出 AB 所在直线解析式后再求其与 x 轴交点 P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分．
26.（09 年广西柳州）26．（本题满分 10 分）
如图 11，已知抛物线 baxaxy 22 （ 0a ）与 x 轴的一个交点为 ( 1 0)B ， ，与 y 轴的负半轴交于点 C，顶点
为 D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标；
（2）以 AD 为直径的圆经过点 C．
①求抛物线的解析式；
②点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 EFAB ，，， 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点
F 的坐标．
（09 年广西柳州 26 题解析）解：（1）对称轴是直线： 1x ，
点 A 的坐标是（3，0）．···················································· 2 分
B
O
A·
x
y
第 28 题图
PH
O x
y
AB
C
D
图 11
（说明：每写对 1 个给 1 分，“直线”两字没写不扣分）
（2）如图 11，连接 AC、AD，过 D 作 轴 yDM 于点 M，
解法一：利用 AOC CMD△ ∽△
∵点 A、D、C 的坐标分别是 A （3，0），D（1， ba ）、
C（0， b ），
∴AO＝3，MD=1．
由
MD
OC
CM
AO 得
1
3 b
a
∴ 03 ab ···············································································3 分
又∵ baa )1(2)1(0 2 ·······················································4 分
∴由
03
03
ba
ab 得
3
1
b
a
························································ 5 分
∴函数解析式为： 322 xxy ···············································6 分
解法二：利用以 AD 为直径的圆经过点 C
∵点 A、D 的坐标分别是 A （3，0） 、D（1， ba ）、C（0， b ），
∴ 29 bAC ， 21 aCD ， 2)(4 baAD
∵ 222 ADCDAC
∴ 03 ab …① ···································································· 3 分
又∵ baa )1(2)1(0 2 …② ············································· 4 分
由①、②得 1 3a b ， ························································· 5 分
∴函数解析式为： 322 xxy ··················································· 6 分
（3）如图所示，当 BAFE 为平行四边形时
则 BA ∥ EF ，并且 BA ＝ EF ．
∵ BA =4，∴ EF =4
由于对称为 1x ，
∴点 F 的横坐标为 5．········································7 分
将 5x 代入 322 xxy 得 12y ，
∴F（5，12）． ················································ 8 分
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点 F，使得四边形
BAEF 是平行四边形，此时点 F 坐标为（ 3 ，12）． ·········· 9 分
当四边形 BEAF 是平行四边形时，点 F 即为点 D，
此时点 F 的坐标为（1， 4 ）． ····························· 10 分
综上所述，点 F 的坐标为（5，12）， （ 3 ，12）或（1， 4 ）．
（其它解法参照给分）
27.（09 年广西南宁）26．如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80
米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为
x 米．
（1）用含 x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例
y
xO AB
C D
图 11
E F
系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最
少？最少费用是多少万元？
（09 年广西南宁 26 题解析）解：（1）横向甬道的面积为： 2120 180 150 m2 x x ··· 2 分
（2）依题意： 2 1 120 1802 80 150 2 808 2x x x ········································ 4 分
整理得： 2 155 750 0x x
1 25 150x x ， （不符合题意，舍去）······························································ 6 分
甬道的宽为 5 米．
（3）设建设花坛的总费用为 y 万元．
2120 1800.02 80 160 150 2 5.72y x x x x
·······································7 分
20.04 0.5 240x x
当 0.5 6.252 2 0.04
bx a
时， y 的值最小．····················································8 分
因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米，
6x 当 米时，总费用最少．···········································································9 分
最少费用为： 20.04 6 0.5 6 240 238.44 万元············································10 分
28.（09 年广西钦州）26．（本题满分 10 分）
如图，已知抛物线 y＝ 3
4 x2＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点 C 的
直线 y＝ 3
4t x－3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH⊥OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1．
（1）填空：点 C 的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；
（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）；
（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有 t 的
值；若不存在，说明理由．
图 14
（09 年广西钦州 26 题解析）解：（1）（0，－3），b＝－ 9
4
，c＝－3．························ 3 分
（2）由（1），得 y＝ 3
4 x2－ 9
4 x－3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得 B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由 y＝ 3
4t x－3 与 x 轴交于点 Q，得 Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．··············································································· 4 分
①当 H 在 Q、B 之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．························································ 5 分
②当 H 在 O、Q 之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．························································ 6 分
综合①，②得 QH＝｜4－8t｜；······················································· 6 分
（3）存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似．················ 7 分
①当 H 在 Q、B 之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 4 8
3
t ＝ 3
4
t
t
，
∴t＝ 7
32
．················································································7 分
若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 3
3
t ＝ 4 8
4
t
t
，
即 t2＋2t－1＝0．
∴t1＝ 2 －1，t2＝－ 2 －1（舍去）．···········································8 分
②当 H 在 O、Q 之间时，QH＝8t－4．[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 8 4
3
t ＝ 3
4
t
t
，
∴t＝ 25
32
．················································································9 分
若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 3
3
t ＝ 8 4
4
t
t
，
即 t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．·································································10 分
综上所述，存在t 的值，t1＝ 2 －1，t2＝ 7
32
，t3＝ 25
32
．····················· 10 分
29.（09 年广西梧州）26．（本题满分 12 分）
如图（9）-1，抛物线 2 3y ax ax b 经过 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）两点，与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另
一点 B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分，求 k 的值；
（3）如图（9）-2，过点 E（1，1）作 EF⊥ x 轴于点 F，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°得△MNQ（点 M、N、Q
分别与点 A、E、F 对应），使点 M、N 在抛物线上，作 MG⊥ x 轴于点 G，若线段 MG︰AG＝1︰2，求点 M，N 的
坐标．
O BA x
y
E
F
G
O BA x
y
（09 年广西梧州 26 题解析）（1）解：把 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）代入抛物线 2 3y ax ax b 得
299
0)1(3)1( 2
baa
baa ······································································ 1 分
整理得
2
04
b
ba ……………… 2 分 解得
2
2
1
b
a ………………3 分
∴抛物线的解析式为 22
3
2
1 2 xxy ·························································· 4 分
（2）令 022
3
2
1 2 xx 解得 1 21 4x x ，
∴ B 点坐标为（4，0）
又∵D 点坐标为（0， 2 ） ∴AB∥CD ∴四边形 ABCD 是梯形．
∴S 梯形 ABCD ＝ 82)35(2
1 ························ 5 分
设直线 )0(1 kkxy 与 x 轴的交点为 H，
与 CD 的交点为 T，
则 H（
k
1 ，0）， T（
k
3 ， 2 ）················6 分
∵直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分
∴S 梯形 AHTD ＝
2
1 S 梯形 ABCD＝４
∴ 42)311(2
1
kk ································ 7 分
∴
3
4k ···················································· 8 分
（3）∵MG⊥ x 轴于点 G，线段 MG︰AG＝1︰2
∴设 M（m，
2
1 m ），··································· 9 分
∵点 M 在抛物线上 ∴ 22
3
2
1
2
1 2 mmm
解得 1 23 1m m ， （舍去） ························ 10 分
∴M 点坐标为（3， 2 ）·········································································· 11 分
根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，
∴N 点坐标为（1， 3 ） ·········································································12 分
E
F
M
N
G
O BA x
y
图(9) -2
Q
D
O BA x
y
C
y=kx+1
图(9) -1
H
T
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（六）
30.（09 年贵州黔东南州）26、（12 分）已知二次函数 22 aaxxy 。
（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。
（2）设 a<0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得△PAB 的面积为
2
133 ，
若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由。
（09 年贵州黔东南州 26 题解析）解（1）因为△= 04)2()2(4 22 aaa
所以不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。…………（2 分）[来源:Z§xx§k.Com]
（2）设 x1、x2 是 022 aaxxy 的两个根，则 axx 21 ， 221 axx ，因两交点的距离是 13 ，
所以 13)(|| 2
2121 xxxx 。…………（4 分）
即： 13)( 2
21 xx
[来源:学科网 ZXXK]
变形为： 134)( 21
2
21 xxxx ……………………………………（5 分）
所以： 13)2(4)( 2 aa
整理得： 0)1)(5( aa
解方程得： 15 或a
又因为：a<0
所以：a=－1
所以：此二次函数的解析式为 32 xxy …………………………（6 分）
（ 3 ） 设 点 P 的 坐 标 为 ),( 0yxo ， 因 为 函 数 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 间 的 距 离 等 于 13 ， 所 以 ：
AB= 13 ……………………………………………………………………（8 分）
所以：S△PAB=
2
13||2
1
0 yAB
所以：
2
13
2
||13 0 y
即： 3|| 0 y ，则 30 y …………………………………（10 分）
当 30 y 时， 332
0 oxx ，即 0)2)(3( 0 oxx
解此方程得： 0x =－2 或 3
当 30 y 时， 332
0 oxx ，即 0)1(0 oxx
解此方程得： 0x =0 或 1……………………………………（11 分）
综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。…（12 分）
31.（09 年贵州安顺）27、（本题满分 12 分）
如图，已知抛物线与 x 交于 A(－1，0)、E(3，0)两点，与 y 轴交于点 B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积；
（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
（09 年贵州安顺 27 题解析）解：（1）(5′) ∵抛物线与 y 轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为 )0(32 abxaxy (1′)
根据题意，得
0339
03
ba
ba ，解得
2
1
b
a
[来源:Zxxk.Com]
∴抛物线的解析式为 322 xxy (5′)
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） （2′)
设对称轴与 x 轴的交点为 F
∴四边形 ABDE 的面积= ABO DFEBOFDS S S 梯形
= 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF
= 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2
=9 （5′）
（3）(2′)相似
如图，BD= 2 2 2 21 1 2BG DG ；∴BE= 2 2 2 23 3 3 2BO OE
DE= 2 2 2 22 4 2 5DF EF ∴ 2 2 20BD BE , 2 20DE
即： 2 2 2BD BE DE ,所以 BDE 是直角三角形
∴ 90AOB DBE ,且 2
2
AO BO
BD BE
,[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
∴ AOB ∽ DBE (2′)
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（七）
32.（09 年黑龙江大兴安岭地区）28．（本小题满分 10 分）直线 )0( kbkxy 与坐标轴分别交于 A 、 B 两
点，OA 、OB 的长分别是方程 048142 xx 的两根（ OBOA ），动点 P 从O 点出发，沿路线O → B → A 以
每秒 1 个单位长度的速度运动，到达 A 点时运动停止．
（1）直接写出 A 、 B 两点的坐标；
（2）设点 P 的运动时间为t (秒)， OPA 的面积为 S ，求 S 与t 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范
围）；[来源:学科网 ZXXK]
（3）当 12S 时，直接写出点 P 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 M ，使以O 、 A 、 P 、 M 为顶点
的四边形是梯形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（09 年黑龙江大兴安岭地区 28 题解析）(1) )6,0(),0,8( BA ……………………….各 1 分
(2)∵ 8OA ， 6OB ，∴ 10AB
当点 P 在OB 上运动时， tOP 1 ，
ttOPOAS 482
1
2
1
1 ；..............1 分
当点 P 在 BA 上运动时，作 OADP 2 于点 D ，
有
AB
AP
BO
DP 22
∵ ttAP 161062 ，∴
5
348
2
tDP ………………………1 分
∴
5
192
5
12
5
34882
1
2
1
2 ttDPOAS ……………………1 分
（3）当 124 t 时， 3t ， )3,0(1P ，………………………………1 分
此 时 ， 过 AOP 各 顶 点 作 对 边 的 平 行 线 ， 与 坐 标 轴 无 第 二 个 交 点 ， 所 以 点 M 不 存
在；……………………………………………………………………………1 分[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
当 125
192
5
12 t 时， 11t ， )3,4(2P ，……………………1 分
此时， )3,0(1M 、 )6,0(2 M ………………………………………各 1 分
注: 本卷中各题, 若有其它正确的解法,可酌情给分.
33.（09 年黑龙江哈尔滨）28．(本题 10 分）
如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），
点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设
△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角
的正切值．
（09 年黑龙江哈尔滨 28 题解析）
34.（09 年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分 8 分）
如图， ABCD 在平面直角坐标系中， 6AD ，若OA 、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 2 7 12 0x x 的
两个根，且OA OB ．
（1）求 sin ABC 的值．
（2）若 E 为 x 轴上的点，且 16
3AOES △ ，求经过 D 、 E 两点的直线的解析式，并判断 AOE△ 与 DAO△ 是否
相似？
（3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A 、C 、 F 、 M 为顶点的四边形为菱
形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（09 年黑龙江牡丹江 28 题解析）解：（1）解 2 7 12 0x x 得 1 24 3x x ，
OA OB
x
y
A D
B O C
28 题图
4 3OA OB ， ···············································································1 分
在 Rt AOB△ 中，由勾股定理有 2 2 5AB OA OB
4sin 5
OAABC AB
········································································· 1 分
（2）∵点 E 在 x 轴上， 16
3AOES △
1 16
2 3AO OE
8
3OE
8 80 03 3E E
， 或 ， ·········································································1 分
由已知可知 D（6，4）
设 DEy kx b ，当 8 03E
， 时有
4 6
80 3
k b
k b
解得
6
5
16
5
k
b
6 16
5 5DEy x ················································································· 1 分
同理 8 03E
， 时， 6 16
13 13DEy x ························································ 1 分
在 AOE△ 中， 890 4 3AOE OA OE °， ，
在 AOD△ 中， 90 4 6OAD OA OD °， ，
OE OA
OA OD
AOE DAO△ ∽△ ······································································ 1 分[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
（3）满足条件的点有四个
1 2 3 4
75 22 42 44(3 8) ( 3 0) 14 7 25 25F F F F
，； ，； ， ； ， ······························4 分
说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分.
35.（09 年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分 10 分）
直线 3 64y x 与坐标轴分别交于 A B、 两点，动点 P Q、 同时从O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿
线段OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线O → B → A 运动．
（1）直接写出 A B、 两点的坐标；
（2）设点 Q 的运动时间为t 秒， OPQ△ 的面积为 S ，求出 S 与t 之间的函数关系式；
（3）当 48
5S 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O P Q、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标．
B
y
（09 年黑龙江齐齐哈尔 28 题解析）（1）A（8，0）B（0，6）··································1 分
（2） 8 6OA OB ，
10AB
点Q 由O 到 A 的时间是 8 81
（秒）
点 P 的速度是 6 10 28
（单位/秒）·· 1 分
当 P 在线段OB 上运动（或 0 3t≤ ≤ ）时， 2OQ t OP t ，
2S t ···········································································································1 分
当 P 在线段 BA 上运动（或3 8t ≤ ）时， 6 10 2 16 2OQ t AP t t ， ,
如图，作 PD OA 于点 D ，由 PD AP
BO AB
，得 48 6
5
tPD ，······························ 1 分
21 3 24
2 5 5S OQ PD t t ········································································1 分
（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）
（3） 8 24
5 5P
， ····························································································· 1 分
1 2 3
8 24 12 24 12 24
5 5 5 5 5 5I M M
， ， ， ， ， ·····················································3 分
注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．
36.（09 年黑龙江绥化）28．(本小题满分 lO 分)
（09 年黑龙江绥化 28 题解析）[来源:学。科。网]
2009 年全国中考
数学压轴题精选
精析（八）
37.（09 年海南）24.（满分 13 分）如图 12，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为 (2,4)；
矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形 ABCD 以每秒1 个单位长度的速度从图 12 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P
也以相同的速度．．．．．从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB 与 该 抛物线的
交点为 N（如图 13 所示）.
① 当 t=
2
5 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若
不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
[来源:Zxxk.Com]
（09 年海南 24 题解析）（1）因所求抛物线的顶点 M 的坐标为(2,4)，
故可设其关系式为 22 4y a x ………………(1 分)
又抛物线经过 O(0,0)，于是得 20 2 4 0a ， ………………(2 分)
解得 a=-1 ………………(3 分)
∴ 所求函数关系式为 22 4y x ，即 2 4y x x . ……………(4 分)
（2）① 点 P 不在直线 ME 上. ………………(5 分)
根据抛物线的对称性可知 E 点的坐标为(4,0)，
又 M 的坐标为(2,4)，设直线 ME 的关系式为 y=kx+b.
于是得
42
04
bk
bk ，解得
8
2
b
k
所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. ……(6 分)
由已知条件易得，当 t
2
5 时，OA=AP
2
5 ，
2
5,2
5P ……………(7 分)
∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]
∴ 当 t
2
5 时，点 P 不在直线 ME 上. ………………(8 分)
② S 存在最大值. 理由如下： ………………(9 分)
∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t.
∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …(10 分)
（ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为 AD，∴
S=
2
1 DC·AD=
2
1 ×3×2=3. ………………(11 分)
（ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S=
2
1 (CD+PN)·AD=
2
1 [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3=
4
21
2
3 2
t
其中(0＜t＜3)，由 a=-1，0＜
2
3 ＜3，此时
4
21最大S . …………(12 分)
综上所述，当 t
2
3 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积有最大值，
这个最大值为
4
21 . ………………(13 分)
说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.
图 13
BC
O AD E
M
y
x
P
N
·
图 12
BC
O (A)D E
M
y
x
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（九）
38.（09 年河北）26．（本小题满分 12 分）如图 16，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发
沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿
AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交
折线 QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动的时
间是 t 秒（t＞0）．
（1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；
（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与
t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）
（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成
为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；
（4）当 DE 经过点 C 时，请直接．．写出 t 的值．
（09 年河北 26 题解析）解：（1）1， 8
5
；
（2）作 QF⊥AC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，∴ 3AP t ．
由△AQF∽△ABC， 2 25 3 4BC ，
A C
B
P
Q
E
D
图 16
得
4 5
QF t ．∴ 4
5QF t ．
∴ 1 4(3 )2 5S t t ，
即 22 6
5 5S t t ．
（3）能．
①当 DE∥QB 时，如图 4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形 QBED 是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得 AQ AP
AC AB
，
即 3
3 5
t t ． 解得 9
8t ．
②如图 5，当 PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形 QBED 是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 AQ AP
AB AC
，
即 3
5 3
t t ． 解得 15
8t ．
（4） 5
2t 或 45
14t ．
【注：①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C．
方法一、连接 QC，作 QG⊥BC 于点 G，如图 6．
PC t ， 2 2 2QC QG CG 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t ．
由 2 2PC QC ，得 2 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t ，解得 5
2t ．
方法二、由 CQ CP AQ ，得 QAC QCA ，进而可得
B BCQ ，得 CQ BQ ，∴ 5
2AQ BQ ．∴ 5
2t ． [来源:Z+xx+k.Com]
②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 7．
2 2 23 4(6 ) [ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t ， 45
14t 】
A C
B
P
Q
E
D
图 4
A C
B
P
Q
ED
图 5
A C(E)
B
P
Q
D
图 6
G
A C(E)
B
P
Q
D
图 7
G
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十）
39.（09 年河南）23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，
8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点.
(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD
向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E
①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?
②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?
请直接写出相应的 t 值.
（09 年河南 23 题解析）(1)点 A 的坐标为（4，8） …………………1 分
将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx
8=16a+4b[来源:Z。xx。k.Com]
得
0=64a+8b
解 得 a=- 1
2
,b=4
∴抛物线的解析式为：y=- 1
2
x2+4x …………………3 分
（2）①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中，tan∠PAE= PE
AP
= BC
AB
,即 PE
AP
= 4
8
∴PE= 1
2
AP= 1
2
t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+ 1
2
t，8-t）.
∴点 G 的纵坐标为：- 1
2
（4+ 1
2
t）2+4(4+ 1
2
t）=- 1
8
t2+8. …………………5 分
∴EG=- 1
8
t2+8-(8-t)
=- 1
8
t2+t.
∵- 1
8
＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. …………………7 分
②共有三个时刻. …………………8 分
t1=16
3
， t2= 40
13
，t3= 8 5
2 5
． …………………11 分
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十一）
40.（09 年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方
形 CFGH，延长 BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO
(1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由
(2)令
；四边形
四边形
CNMN
CFGH
S
Sm ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝
3
1 ，Q 为 AE 上一点且 QF＝
3
2 ，抛物线 y＝mx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出
此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、
K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。
（09 年湖北鄂州 27 题解析）（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在 Rt△EFC 中，EF 为斜边，∴EF＞EC， 故 EO＞EC …2 分
（2）m 为定值
∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)
S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
∴ 1
CMNO
CFGH
S
Sm
四边形
四边形 ……………………………………………………4 分
（3）∵CO=1，
3
2
3
1 QFCE ， ∴EF=EO= QF
3
2
3
11
∴cos∠FEC=
2
1 ∴∠FEC=60°，
∴ 30602
60180 EAOOEAFEA ，
∴△EFQ 为等边三角形，
3
2EQ …………………………………………5 分
作 QI⊥EO 于 I，EI=
3
1
2
1 EQ ，IQ=
3
3
2
3 EQ
∴IO=
3
1
3
1
3
2 ∴Q 点坐标为 )3
1,3
3( ……………………………………6 分
∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q )3
1,3
3( ，m=1
∴可求得 3b ，c=1
∴抛物线解析式为 132 xxy ……………………………………7 分
（4）由（3）， 33
23 EOAO
当 33
2x 时，
3
1133
23)33
2( 2 y ＜AB
∴P 点坐标为 )3
1,3
32( …………………8 分
∴BP=
3
2
3
11 AO
方法 1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①
3
32
3
2
3
2 BK 时，
9
32BK ∴K 点坐标为 )1,9
34( 或 )1,9
38(
②
3
2
3
2
3
32
BK 时，
3
32BK ∴K 点坐标为 )1,3
34( 或 )1,0( …………10 分
故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为
)1,0()3
1,0()3
7,0()3
5,0( 或或或 …………………………………………12 分
方法 2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或 60°，过 P 作 PR⊥y 轴于 R，则∠RTP=60°或 30°
①当∠RTP=30°时， 233
32 RT
②当∠RTP=60°时，
3
233
32 RT
∴ )1,0()3
1,0()3
5,0()3
7,0( 4321 TTTT ，，， ……………………………12 分
41.（09年湖北恩施州）24.如图，在 ABC 中，∠ A 90 °， 10BC , ABC 的面积为 25 ，点 D 为 AB 边上
的任意一点( D 不与 A 、 B 重合)，过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AC 于点 E ．设 xDE 以 DE 为折线将△ ADE 翻
折，所得的 DEA' 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为y.
（1）．用x表示∆ADE的面积;
（2）．求出 0 ﹤ x ≤5 时y与x的函数关系式；
（3）．求出5﹤ x ﹤10时y与x的函数关系式；
（4）．当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？
（09 年湖北恩施州 24 题解析）解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴ 2)( BC
DE
S
S
ABC
ADE
即 2
4
1 xS ADE 3 分
(2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为 5
∴当 0﹤ 5x 时 2
4
1 xSy ADE 6 分
（3） x5 ﹤10 时，点 A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE= 2
4
1 x
∴DE 边上的高 AH=AH'= x2
1
由已知求得 AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE 知
2
DEA'
MNA' )HA'
FA'(
S
S
2
MNA' )5( xS
∴ 25104
3)5(4
1 222 xxxxy 9 分
（4）在函数 2
4
1 xy 中
∵0﹤x≤5
图12
E
D
C
B
A
C
B
A
N
M
F
H
E
D
C
B
A
∴当 x=5 时 y 最大为：
4
25 10 分[来源:学科网 ZXXK]
在函数 25104
3 2 xxy 中
当
3
20
2
a
bx 时 y 最大为：
3
25 11 分
∵
4
25 ﹤
3
25
∴当
3
20x 时，y 最大为：
3
25 12 分
42.（09 年湖北黄冈）20．(满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 21 4 1018 9y x x 与 x 轴的
交点为点 B,过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于 点 C,连结 AC．现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两
点同时出发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点
A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动,
点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动,线段 OC,PQ 相
交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 CA 于点 E,射线 QE 交
x 轴于点 F．设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位:秒)
(1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当 t 为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形?请写出
计算过程;
(3)当 0＜t＜ 9
2
时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,
求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当 t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过
程．
（09 年湖北黄冈 20 题解析）解：（1） 21 ( 8 180)18y x x ，令 0y 得 2 8 180 0x x ， 18 10 0x x
∴ 18x 或 10x ∴ (18,0)A ；………………………1′
在 21 4 1018 9y x x 中，令 0x 得 10y 即 (0, 10)B ；………………2′
由于 BC∥OA，故点 C 的纵坐标为－10，由 21 410 1018 9x x 得 8x 或 0x
即 (8, 10)C 且易求出顶点坐标为 98(4, )9
……………………………………3′
于是， (18,0), (0, 10), (8, 10)A B C ，顶点坐标为 98(4, )9
。…………………4′
（2）若四边形 PQCA 为平行四边形，由于 QC∥PA。故只要 QC=PA 即可，而 18 4 ,PA t CQ t 故18 4t t 得
18
5t ；……………………7′
（3）设点 P 运动t 秒，则 4 ,OP t CQ t ， 0 4.5t ，说明 P 在线段 OA 上，且不与点 OA、重合，
由于 QC∥OP 知△QDC∽△PDO，故 1
4 4
QD QC t
DP OP t
∴ 4AF t OP ∴ 18PF PA AF PA OP …………………9′[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
又点 Q 到直线 PF 的距离 10d ，∴ 1 1 18 10 902 2PQFS PF d ，
于是△PQF 的面积总为 90。…………………………10′
（4）由上知， (4 ,0), (18 4 ,0), (8 , 10)P t F t Q t ， 0 4.5t 。构造直角三角形后易得
2 2 2 2(4 8 ) 10 (5 8) 100PQ t t t ， 2 2 2 2(18 4 8 ) 10 (5 10) 100FO t t t
1 若 FP=PQ，即 2 218 (5 8) 100t ，故 225( 2) 224t ，
∵ 2 2 6.5t ≤ ≤ ∴ 224 4 142 25 5t ∴ 4 14 25t ……………………11′
2 若 QP=QF，即 2 2(5 8) 100 (5 10) 100t t ，无 0 4.5t≤ ≤ 的 t 满足条件；……………12′
3 若 PQ=PF，即 2 2(5 8) 100 18t ，得 2(5 8) 224t ，∴ 8 4 14 4.55t 或 8 4 14 05t 都不满足
0 4.5t≤ ≤ ，故无 0 4.5t≤ ≤ 的t 满足方程；………………………13′
综上所述：当 4 14 25t 时，△PQR 是等腰三角形。…………………………14′
43.（09 年湖北黄石）25．（本小题满分 10 分）[来源:Z+xx+k.Com]
正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中， A 在 x 轴正半轴上， D 在 y 轴的负半轴上， AB 交 y 轴正半轴于
E BC， 交 x 轴负半轴于 F ， 1OE ，抛物线 2 4y ax bx 过 A D F、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；（3 分）
（2） Q 是抛物线上 D F、 间的一点，过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ，交 BC 所在直线于 N ，若
3
2 FQNAFQMS S △四边形 ，则判断四边形 AFQM 的形状；（3 分）
（3）在射线 DB 上是否存在动点 P ，在射线 CB 上是否存在动点 H ，使得 AP PH⊥ 且 AP PH ，若存在，请
给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4 分）
（09 年湖北黄石 25 题解析）解：（1）依条件有 (0 4)D ， ， (01)E ， ．
由 OEA ADO△ ∽△ 知 2 4OA OE OD ．
∴ (2 0)A ， 由 Rt RtADE ABF△ ≌ △ 得 DE AF ．
∴ ( 3 0)F ， ．
将 A F、 的坐标代入抛物线方程，
（第 25 题图）
O
y
x
B E
A
D
C
F
O
y
x
B E
A
D
C
F
N M
Q
得 4 2 4 0
9 3 4 0
a b
a b
2
3a b ．
∴抛物线的解析式为 22 2 43 3y x x ．·····························································3 分
（2）设QM m ， 1 ( 5) | |2 QAFQMS m y 四边形 ， 1 (5 ) | |2FQN QS m y △ ．
∴ 3( 5) | | (5 ) | | 12Q Qm y m y m
设 ( )Q a b， ，则 ( 1 )M a b ，
∴
22 2 43
2( 1) 4
b a aa
b a
2 2 3 0a a ， 1a （舍去 3a ）[来源:Zxxk.Com]
此时点 M 与点 D 重合，QF AM ， AF QM ， AF QM∥ ，
则 AFQM 为等腰梯形．··················································································· 3 分
（3）在射线 DB 上存在一点 P ，在射线CB 上存在一点 H ．
使得 AP PH⊥ ，且 AP PH 成立，证明如下：
当点 P 如图①所示位置时，不妨设 PA PH ，过点 P 作 PQ BC⊥ ， PM CD⊥ ， PN AD⊥ ，垂足分别为
Q M N、 、 ．
若 PA PH ．由 PM PN 得：
AN PQ ， Rt RtPQH APN △ ≌ △
HPQ PAN ．
又 90PAN APN °
90APN HPQ °
AP PH ⊥ ．·······························································································2 分
当点 P 在如图②所示位置时，
过点 P 作 PM BC⊥ ， PN AB⊥ ，
垂足分别为 M N， ．
同理可证 Rt RtPMH PAN△ ≌ △ ．
MHP NAP ．
又 MHP HPN ，
90HPA NPA HPN MHP HPM °，
PH PA ⊥ ．······························································································· 1 分
B A
N
DMC
Q
H
P
①
H
N
A
DC
BMP
③
B A
D
M
C
Q
H
P
②
N
当 P 在如图③所示位置时，过点 P 作 PN BH⊥ ，垂足为 N ， PM AB⊥ 延长线，垂足为 M ．
同理可证 Rt RtPHM PMA△ ≌ △ ．
PH PA ⊥ ．······························································································· 1 分
注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予 4 分；若只给出一
种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给 2 分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况
的．只给 2 分．
44.（09 年湖北荆门）25．(本题满分 12 分)一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物
线顶点为 C，且 AC⊥BC．
(1)若 m 为常数，求抛物线的解析式；
(2)若 m 为小于 0 的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不
存在，请说明理由．
（09 年湖北荆门 25 题解析）解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2 分
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又 AB＝4，
∴C(m，－2)代入得 a＝ 1
2
．∴解析式为：y＝ 1
2 (x－m)2－2．…………………………5 分
(亦可求 C 点，设顶点式)
(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移 2 个单位，可以使抛物线 y＝ 1
2 (x－
m)2－2 顶点在坐标原点．………………………………………7 分
(3)由(1)得 D(0， 1
2 m2－2)，设存在实数 m，使得△BOD 为等腰三角形．
∵△BOD 为直角三角形，∴只能 OD＝OB．……………………………………………9 分
∴ 1
2 m2－2＝|m＋2|，当 m＋2＞0 时，解得 m＝4 或 m＝－2(舍)．
当 m＋2＜0 时，解得 m＝0(舍)或 m＝－2(舍)；
当 m＋2＝0 时，即 m＝－2 时，B、O、 D 三点重合(不合题意，舍)
综上所述：存在实数 m＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12 分
45.（09 年湖北十堰）25．（12 分）如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)
和点 B (－3，0)，与 y 轴交于点 C．[来源:Z+xx+k.Com]
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三角形？若
存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
第 25 题图
[来源:学_科_网]
(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并
求此时 E 点的坐标．
（09 年湖北十堰 25 题解析）解: (1)由题知:
0339
03
ba
ba ……………………………………1 分
解得:
2
1
b
a ……………………………………………………………2 分
∴ 所求抛物线解析式为: 322 x－－xy ……………………………3 分
(2) 存在符合条件的点 P, 其坐标为 P (－1, 10 )或 P(－1,－ 10 )
或 P (－1, 6) 或 P (－1,
3
5 )………………………………………………………7 分
(3)解法①：
过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F , 设 E ( a ,- 2a -2a＋3 )( －3< a < 0 )
∴EF=- 2a -2a＋3，BF=a＋3，OF=－a ………………………………………………8 分
∴S 四边形 BOCE =
2
1 BF·EF +
2
1 (OC +EF)·OF
=
2
1 ( a＋3 )·(－ 2a －2a＋3) +
2
1 (－ 2a －2a＋6)·（－a）……………………………9 分
=
2
9
2
9
2
3 2 aa ………………………………………………………………………10 分
=－
2
3 2)2
3( a +
8
63
∴ 当 a =－
2
3 时，S 四边形 BOCE 最大, 且最大值为
8
63 ．……………………………11 分
此时，点 E 坐标为 (－
2
3 ，
4
15 )……………………………………………………12 分
解法②：
过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， 设 E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8 分
则 S 四边形 BOCE =
2
1 (3 + y )·(－x) +
2
1 ( 3 + x )·y ………………………………………9 分
=
2
3 ( y－x)=
2
3 ( 332 x－－x ) ………………………… ………10 分
= －
2
3 2)2
3( x +
8
63
∴ 当 x =－
2
3 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为
8
63 ． …………………………11 分
此时，点 E 坐标为 (－
2
3 ，
4
15 ) ……………………………………………………12 分
说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.
（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分．
（3）其它解法请参照评分说明给分.
46.（09 年湖北武汉）25．（本题满分 12 分）
如图，抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x 轴交于另一点 B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP °，求点 P 的坐标．
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
（09 年湖北武汉 25 题解析）解：（1）抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， ， (0 4)C ， 两点，
4 0
4 4.
a b a
a
，
解得 1
3.
a
b
，
抛物线的解析式为 2 3 4y x x ．
（2）点 ( 1)D m m ， 在抛物线上， 21 3 4m m m ，
即 2 2 3 0m m ， 1m 或 3m ．
y
xO
A B
C
y
A B
C D
E
点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3 4)， ．
由（1）知 45OA OB CBA ， °．
设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ．
(0 4)C ， ， CD AB ∥ ，且 3CD ，
45ECB DCB °，
E 点在 y 轴上，且 3CE CD ．
1OE ， (01)E ， ．
即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）．
（3）方法一：作 PF AB⊥ 于 F ， DE BC⊥ 于 E ．
由（1）有： 4 45OB OC OBC ， °，
45DBP CBD PBA °， ．
(0 4) (3 4)C D ，， ， ， CD OB ∥ 且 3CD ．
45DCE CBO °，
3 2
2DE CE ．
4OB OC ， 4 2BC ， 5 2
2BE BC CE ，
3tan tan 5
DEPBF CBD BE
．
设 3PF t ，则 5BF t ， 5 4OF t ，
( 5 4 3 )P t t ， ．
P 点在抛物线上，
23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t ，
0t （舍去）或 22
25t ， 2 66
5 25P
， ．
方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点Q ，过点 D 作 DH x⊥ 轴于 H ．过Q 点作QG DH⊥ 于G ．
45PBD QD DB °， ．
QDG BDH 90 °，
又 90DQG QDG °， DQG BDH ．
QDG DBH△ ≌△ ， 4QG DH ， 1DG BH ．
由（2）知 (3 4)D ， ， ( 13)Q ， ．
(4 0)B ， ，直线 BP 的解析式为 3 12
5 5y x ．
y
xO
A B
C D
EP
F
y
xO
A B
C D
P
Q G
H
解方程组
2 3 4
3 12
5 5
y x x
y x
，
，
得 1
1
4
0
x
y
，
；
2
2
2
5
66 .25
x
y
，
点 P 的坐标为 2 66
5 25
， ．
47.（09 年湖北襄樊）26．（本小题满分 13 分）
如图 13，在梯形 ABCD 中， 2 4AD BC AD BC ∥ ， ， ，点 M 是 AD 的中点， MBC△ 是等边三角形．
（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；
（2）动点 P 、Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动，且 60MPQ ∠ 保持不变．设 PC x MQ y ， ，求 y 与 x 的
函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点 P 、Q 运动到何处时，以点 P 、 M 和点 A 、 B 、C 、 D 中的两个点为顶点的四边
形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当 y 取最小值时，判断 PQC△ 的形状，并说明理由．
（09 年湖北襄樊 26 题解析）（1）证明：∵ MBC△ 是等边三角形
∴ 60MB MC MBC MCB ，∠ ∠ ·········1 分
∵ M 是 AD 中点
∴ AM MD
∵ AD BC∥
∴ 60AMB MBC ∠ ∠ ，
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
60DMC MCB ∠ ∠
∴ AMB DMC△ ≌△ ·······················2 分
∴ AB DC
∴梯形 ABCD 是等腰梯形．·························································3 分
（2）解：在等边 MBC△ 中， 4MB MC BC ， 60MBC MCB ∠ ∠ ，
60MPQ ∠
∴ 120BMP BPM BPM QPC ∠ ∠ ∠ ∠
∴ BMP QPC∠ ∠ ············································································4 分
∴ BMP CQP△ ∽△ ∴ PC CQ
BM BP
······················································5 分
A D
CB
P
M
Q60°
图 13
∵ PC x MQ y ， ∴ 4 4BP x QC y ， ····································· 6 分
∴ 4
4 4
x y
x
∴ 21 44y x x ·························································· 7 分
（3）解：①当 1BP 时，则有 BP AM BP MD ∥ ∥，
则四边形 ABPM 和四边形 MBPD 均为平行四边形
∴ 21 133 3 44 4MQ y ····················································8 分
当 3BP 时，则有 PC AM PC MD ∥ ∥，
则四边形 MPCD 和四边形 APCM 均为平行四边形
∴ 1 131 1 44 4MQ y ······················································9 分
∴当 131 4BP MQ ， 或 133 4BP MQ ， 时，以 P、M 和 A、B、C、 D 中的两个点为顶点的
四边形是平行四边形．
此时平行四边形有 4 个．····························································10 分
② PQC△ 为直角三角形···························································· 11 分
∵ 21 2 34y x
∴当 y 取最小值时， 2x PC ·················································12 分
∴ P 是 BC 的中点， MP BC ，而 60MPQ ∠ ，
∴ 30CPQ ∠ ，∴ 90PQC ∠ ···············································13 分
48.（09 年湖北孝感）25．（本题满分 12 分）
如图，点 P 是双曲线 1
1( 0 0)ky k x
x
， 上一动点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、B
两点，交双曲线 = x
k2 （0＜k2＜|k1|）于 E、F 两点．
（1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 S1= ▲ (用含 k1、k2 的式子表示)；（3 分）
（2）图 2 中，设 P 点坐标为（－4，3）．
①判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（4 分）
②记 2 PEF OEFS S S ，S2 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5 分）
（09 年湖北孝感 25 题解析）解：（1） 2 1k k ； …………………3 分
（2）①EF∥AB． ……………………………………4 分
证明：如图，由题意可得 A（–4，0），B（0，3）， 2( 4, )
4
kE ， 2( ,3)
3
kF ．
∴PA=3，PE= 23 4
k ，PB=4，PF= 24 3
k ．
∴
2 2
3 12
123
4
PA
kPE k
，
2 2
4 12
124
3
PB
kPF k
∴ PA PB
PE PF
． ………………………… 6 分
又∵∠APB=∠EPF．
∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．
∴EF∥AB． …………………………… 7 分
②S2 没有最小值，理由如下：
过 E 作 EM⊥y 轴于点 M，过 F作 FN⊥x 轴于点 N，两线交于点 Q．
由上知 M（0， 2
4
k ），N（ 2
3
k ，0），Q（ 2
3
k ， 2
4
k ）． ……………… 8 分
而 S△EFQ= S△PEF，
∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S 矩形 OMQN
＝
432
1
2
1 22
22
kkkk
＝ 2
2 2
1
12k k
= 2
2
1 ( 6) 3
12
k ． ………………………… 10 分
当 2 6k 时，S2 的值随 k2 的增大而增大，而 0＜k2＜12． …………… 11 分
∴0＜S2＜24，s2 没有最小值． …………………………… 12 分
说明：1．证明 AB∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过 A、B 两点和经过 E、F 两点的直线解
析式，利用这两个解析式中 x 的系数相等来证明 AB ∥EF；方法二：利用 tan PAB ＝ tan PEF 来证明 AB
∥EF；方法三：连接 AF、BE，利用 S△AEF＝S△BFE 得到点 A、点 B 到直线 EF 的距离相等，再由 A、B 两点在
直线 EF 同侧可得到 AB∥EF．
2．求 S2 的值时，还可进行如下变形：
S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S 四边形 PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S 四边形 PEOF，再利用第（1）题中的结论．
49.（09 年湖北宜昌）24．已知：直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0，0)，A( 3
2
，1)， B(s，t)，C( 7
2
，0)，抛物线
y=x2＋mx－m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．
(1)求 s 与 t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形 OABC；
(2)当抛物线 y=x2＋mx－m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时，求 m 的取值范围．
(12 分)
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
（09 年湖北宜昌 24 题解析）（1）如图，在坐标系中标出 O，A，C 三点，连接 OA，OC．
∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，
故 BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（ 7
2
，1）．（1 分，）
即 s= 7
2
，t=1．直角梯形如图所画．（2 分）
（大致说清理由即可）
（2）由题意，y=x2+mx－m 与 y=1（线段 AB）相交，
得，
1
2y = x mx m,
y = .
（3 分）∴1＝x2+mx－m，
由 (x－1)(x+1+m)=0，得 1 21, 1x x m ．
∵ 1x =1< 3
2
，不合题意，舍去． （4 分）
∴抛物线 y=x2+mx-m 与 AB 边只能相交于（ 2x ，1），
∴ 3
2
≤－m－1≤ 7
2
，∴ 9
2
5
2
m ． ①（5 分）
又∵顶点 P(
2 4
2 4
,m m m )是直角梯形 OABC 的内部和其边上的一个动点，
∴ 70
2 2
m ，即 7 0m ． ② （6 分）
∵
2 2
24 ( 2) 4 ( 1)
4 4 2
1 1m m m m ，
（或者抛物线 y=x2+mx－m 顶点的纵坐标最大值是 1）
∴点 P 一定在线段 AB 的下方． （7 分）
又∵点 P 在 x 轴的上方，
∴
2 4
4
0m m ， ( 4) 0,m m
∴ 0, 0,
4 0 4 0
m m
m m
或者 ． （*8 分）
4 (9 ) 0. m 分 ③（9 分）
又∵点 P 在直线 y= 2
3
x 的下方，∴
2 4 2 ( )
4 3 2
m m m ，（10 分）即 (3 8) 0.m m
A B
C
0, 0,
3 8 0 3 8 0.
m m
m m
或者 （*8 分处评分后，此处不重复评分）
8 0.
3
m m (11分)，或 ④
由①②③④ ，得 4 8
3
m ．（12 分）
说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣 1 分，个别漏写的酌情处理．
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十二）
50.（09 年湖南长沙）（本题答案暂缺）26．（本题满分 10 分）
如图，二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴相交于点C ．连结 AC BC A C、 ， 、
两点的坐标分别为 ( 3 0)A ， 、 (0 3)C ， ，且当 4x 和 2x 时二次函数的函数值 y 相等．
（1）求实数 a b c， ， 的值；
（2）若点 M N、 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点到达终点
时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t 秒时，连结 MN ，将 BMN△ 沿
MN 翻折， B 点恰好落在 AC 边上的 P 处，求t 的值及点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ，使得以
B N Q， ， 为项点的三角形与 ABC△ 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
51.（09 年湖南常德）26．如图 9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，
△AMN 是等边三角形．
（1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（4 分）
（2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD
时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6 分）
[来源:学科网 ZXXK]
（09 年湖南常德 26 题解析）解：（1）CD=BE．理由如下: ·1 分
∵△ABC 和△ADE 为等边三角形
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，[来源:学科网]
∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD··························· 3 分
∴CD=BE······················································· 4 分
（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：······················ 5 分
∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N 分别是 BE、CD 的中点，
y
O x
C
N
B
P
MA
图 9 图 10 图 11
图 11
C
N
D
A B
M
E
∴BM= 1 1
2 2BE CD CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．·······························6 分
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN 是等边三角形．·····································7 分
设 AD=a，则 AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．
∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，
∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o．············································8 分
∴在 Rt△ADC 中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD= 3a ．
∵N 为 DC 中点，
∴ 3
2DN a ， ∴ 2 2 2 23 7( )2 2AN DN AD a a a ．····················· 9 分
∵△ADE，△ABC，△AMN 为等边三角形，
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN 7:16:44
7:4:1)2
7(:)2(: 222 aaa ······················10 分
解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下：··························································5 分
∵△ABE ≌ △ACD，M、N 分别是 BE、CN 的中点，∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN 是等边三角形··············································································· 7 分
设 AD=a，则 AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a
易证 BE⊥AC，∴BE= aaaAEAB 3)2( 2222 ，
∴ 3
2EM a ∴ aaaAEEMAM 2
7)2
3( 2222
∵△ADE，△ABC，△AMN 为等边三角形
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN 7:16:44
7:4:1)2
7(:)2(: 222 aaa ·························10 分
52.（09 年湖南郴州）27． 如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（－2， 1- ），且 P（ 1- ，
－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果
存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行
四边形 OPCQ 周长的最小值．
[来源:Zxxk.Com]
（09 年湖南郴州 27 题解析）（1）设正比例函数解析式为 y kx ，将点 M（ 2 ， 1 ）坐标代入得 1
2k = ，所以正
比例函数解析式为 1
2y x= ········································································ 2 分
同样可得，反比例函数解析式为 2y x= ···················································· 3 分
（2）当点 Q 在直线 DO 上运动时，
设点 Q 的坐标为 1( )2Q m m， ， ······································································4 分
于是 21 1 1 1
2 2 2 4OBQS OB BQ m m m△ = = ，
而 1 ( 1) ( 2) 12OAPS△ = - ´ - = ，
所以有， 21 14 m = ，解得 2m ······························································· 6 分
所以点 Q 的坐标为 1(2 1)Q ， 和 2 ( 2 1)Q ，- - ······················································7 分
（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP＝CQ，OQ＝PC，
而点 P（ 1 ， 2 ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的
最小值．········································································································8 分
因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 2( )Q n n
， ，
由勾股定理可得 2 2 2
2
4 2( ) 4OQ n nn n= + = - + ，
所以当 22( ) 0n n- = 即 2 0n n- = 时， 2OQ 有最小值 4，
又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 2OQ 同时取得最小值，
所以 OQ 有最小值 2． ················································································ 9 分
由勾股定理得 OP＝ 5 ，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是
2( ) 2( 5 2) 2 5 4OP OQ+ = + = + ．······················································10 分
53.（09 年湖南衡阳）26、（本小题满分 9 分）
如图 12，直线 4 xy 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（A、B 两点除外），
过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C，MD⊥OB 于 D．
（1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距离为 )40 aa（ ，
正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S．试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函数的图象．
（09 年湖南衡阳 26 题解析）（1）设点 M 的横坐标为 x，则点 M 的纵坐标为－x+4 （00，－x+4>0）；
则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；
∴C 四边形 OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8
∴当点 M 在 AB 上运动时，四边形 OCMD 的周长不发生变化，总是等于 8；
（2）根据题意得：S 四边形 OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4
∴四边形 OCMD 的面积是关于点 M 的横坐标 x（00 时，直接写出点（4，
2
9 ）在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范 围.（3 分）
【参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（
a
bac
a
b
4
4,2
2 ）.】
（09 年吉林长春 26 题解析）解：（1）由题意，得
.
4
5
,6
4
3
xy
xy
解得
.4
15
,3
y
x
∴C（3,
4
15 ）. （1 分）
（2）根据题意，得 AE=t，OE=8-t.
∴点 Q 的纵坐标为
4
5 (8-t)，点 P 的纵坐标为
4
3 t，
∴PQ=
4
5 (8-t)-
4
3 t=10-2t.
当 MN 在 AD 上时，10-2t=t，∴t=
3
10 . （3 分）
当 0
9
100 ，∴S 的最大值为
2
25 . （7 分）
（4）46. （10 分）
61.（09 年吉林）28．如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米， 60B °．从初始时刻开始，点 P 、Q 同时从 A
点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A C B 的方向运动，点Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A B C D 的方向
运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为 x 秒时， APQ△ 与 ABC△ 重．
叠部分．．．的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形），解答下列问题：
（1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ△ 是等边三角形时 x 的值是 秒；
（3）求 y 与 x 之间的函数关系式．
（09 年吉林 28 题解析）解：（1）6．···························································· （1 分）
（2）8．··································································································（3 分）
（3）①当 0 3x ≤ 时，[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
[来源:学,科,网]
P
QA B
CD
（第 28 题）
QA B
CD
Q
P
Q
E
P
P
O
2
1
1 1 3 3sin 60 22 2 2 2APQy S AP AQ x x x 1 3△ 1· · ·· · ． ······························ （5 分）
②当 3 x ≤ 6 时，
1 2 2 2 2
2 2
1
2
1 sin 602
1 3(12- 2 )2 2
APQy S AP P Q
AP CQ
x x
△ = ·
· ·
· ·
= 23 3 3 .2 x x ····················································································· （7 分）
③当 6 9x≤ ≤ 时，设 3 3PQ 与 AC 交于点O ．
(解法一)
过 3Q 作 3 ,Q E CB∥ 则 3CQ E△ 为等边三角形．
3 3
3
3 3
2 12.
.
Q E CE CQ x
Q E CB
COP EOQ
∥
△ ∽△
3
3
6 1 ,2 12 2
1 1 (2 12),3 3
CPOC x
OE EQ x
OC CE x
3
3 3
3 3
1 1sin 60 sin 602 2
AQP
ACP COP
y S
S
CP AC OC CP
△
△ △- S
· · ° · · °
1 3 1 1 3( 6) (2 12)( 6)2 2 2 3 2x x x ·6 ．
23 7 3 15 36 2x x ．···································································· （10 分）
（解法二）
如右图，过点O 作 3OF CP 于点 F ， 3OG CQ ，于点 ,G
过点 3P 作 3P H DC 交 DC 延长线于点 H ．
,
.
ACB ACD
OF OG
又 3 3,6, 2 12 2( 6),CP x CQ x x
PO
A B
CD Q G H
F
3 3
1
2CQP COQS S △ △
3 3 3
3 3
2
1 ,3
1 1
3 2
1 1 (2 12)( 6)3 2 2
3 ( 6) .6
COP CP QS S
CQ P H
x x
x
△ △
· ·
3·
又 3 3
1 sin 602ACPS CP AC△ · · °
1 3( 6) 62 2
3 3 ( 6).2
x
x
3AOPy S △
3 3
23 3 3( 6) ( 6)2 6
ACP OCPS S
x x
△ △
23 7 3 15 3.6 2x x ······································································· （10 分）
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十四）
62.（2009 年江苏）28．（本题满分 12 分）如图，已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点 (3 0)D ， 和点 (0 4)E ， ．动点
C 从点 (5 0)M ， 出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也以 1
个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．
（1）请用含t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标；
（2）以点 C 为圆心、 1
2 t 个单位长度为半径的 C⊙ 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），连接 PA、PB．
①当 C⊙ 与射线 DE 有公共点时，求t 的取值范围；
②当 PAB△ 为等腰三角形时，求t 的值．
（2009 年江苏 28 题解析）解：（1） (5 0)C t ， ， 3 43 5 5P t t
， ．····················· （2 分）
（2）①当 C⊙ 的圆心C 由点 5 0M ， 向左运动，使点 A 到点 D 并随 C⊙ 继续向左运动时，
有 35 32 t ≤ ，即 4
3t ≥ ．
当点C 在点 D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线 DE ，垂足为 F ，则由 CDF EDO ，
得 CDF EDO△ ∽△ ，则 3 (5 )
4 5
CF t ．解得 4 8
5
tCF ．
由 1
2CF ≤ t ，即 4 8 1
5 2
t t ≤ ，解得 16
3t ≤ ．
当 C⊙ 与射线 DE 有公共点时，t 的取值范围为 4 16
3 3t≤ ≤ ．······················· （5 分）
②当 PA AB 时，过 P 作 PQ x⊥ 轴，垂足为Q ，有 2 2 2PA PQ AQ
2
216 3 35 325 2 5t t t
．
2 229 18 420 5t t t ，即 29 72 80 0t t ．
解得 1 2
4 20
3 3t t ， ．·································（7 分）
当 PA PB 时，有 PC AB⊥ ，[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
35 3 5t t ．解得 3 5t ．······················ （9 分）
当 PB AB 时，有
2
2 2 2 216 1 35 325 2 5PB PQ BQ t t t
．
2 213 2 420 5t t t ，即 27 8 80 0t t ．
解得 4 5
204 7t t ， （不合题意，舍去）．················································· （11 分）
当 PAB△ 是等腰三角形时， 4
3t ，或 4t ，或 5t ，或 20
3t ．··············（12 分）
O x
y
E
P
DA BMC
O x
y
E P
C D BQA M
F
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十五）
63.（2009 年山东德州）23． (本题满分 10 分)
已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接
EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
FB
A D
C
E
G
第 23 题图①
F
B
A D
C
E
G
第 23 题图②
F
B
A
C
E
第 23 题图③
（2009 年山东德州 23 题解析）解：（1）证明：在 Rt△FCD 中，
∵G 为 DF 的中点，∴ CG= 1
2 FD．………… 1 分
同理，在 Rt△DEF 中，
EG= 1
2 FD． ………………2 分
∴ CG=EG．…………………3 分
（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．…………………………4 分
证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．
在△DAG 与△DCG 中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………5 分
在△DMG 与△FNG 中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分
在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG． ……………………………8 分
证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，
连接 MF，ME，EC， ……………………4 分
在△DCG 与△FMG 中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB．………………………5 分
∴ EF MF ．
在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴ MEF CEB ．…………………………………………………6 分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7 分
∴ △MEC 为直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG=
2
1 MC．
∴ EG CG ．………………………………8 分
（3）（1）中的结论仍然成立，
即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分[来源:学科网]
64.（2009 年山东德州）23． (本题满分 10 分)
已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接
EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论
F
B
A D
C
E
图③
G
F
B
A D
C
E
G
M
N
N
图 ②（一）
F
B
A D
C
E
G
M
图 ②（二）
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
（2009 年山东德州 23 题解析）解：（1）证明：在 Rt△FCD 中，
∵G 为 DF 的中点，∴ CG= 1
2 FD．………… 1 分
同理，在 Rt△DEF 中，
EG= 1
2 FD． ………………2 分
∴ CG=EG．…………………3 分
（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．…………………………4 分
证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
在△DAG 与△DCG 中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………5 分
在△DMG 与△FNG 中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分
在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG． ……………………………8 分
证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，
连接 MF，ME，EC， ……………………4 分
在△DCG 与△FMG 中，
FB
A D
C
E
G
第 23 题图①
D
F
B
A D
C
E
G
第 23 题图②
F
B
A
C
E
第 23 题图③
F
B
A D
C
E
G
M
N
N
图 ②（一）
F
A D
E
G
M
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB．………………………5 分
∴ EF MF ．
在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴ MEF CEB ．…………………………………………………6 分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7 分
∴ △MEC 为直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG=
2
1 MC．
∴ EG CG ．………………………………8 分
（3）（1）中的结论仍然成立，
即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分
76.（2009 年山东济南）24．（本小题满分 9 分）
已知：抛物线 2 0y ax bx c a 的对称轴为 1x ，与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于点C，其中 3 0A ， 、
0 2C ， ．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 PBC△ 的周长最小．请求出点 P 的坐标．
（3）若点 D 是线段OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）．过点 D 作 DE PC∥ 交 x 轴于点 E．连接 PD 、PE ．设
CD 的长为 m ， PDE△ 的面积为 S ．求 S 与 m 之间的函数关系式．试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最
大值；若不存在，请说明理由．
[来源:学科网]
（2009 年山东济南 24 题解析）解：（1）由题意得
12
9 3 0
2
b
a
a b c
c
·····················2 分
F
B
A D
C
E
图③
G
A
C
x
y
BO
（第 24 题图）
解得
2
3
4
3
2
a
b
c
∴此抛物线的解析式为 22 4 23 3y x x ··················································3 分
（2）连结 AC 、 BC .因为 BC 的长度一定，所以 PBC△ 周长最小，就是使 PC PB 最小. B 点关于对
称轴的对称点是 A 点， AC 与对称轴 1x 的交点即为所求的点 P .
设直线 AC 的表达式为 y kx b
则 3 0
2
k b
b
，
················································ 4 分
解得
2
3
2
k
b
∴此直线的表达式为 2 23y x ．··························································5 分
把 1x 代入得 4
3y
∴ P 点的坐标为 41 3
， ···································································· 6 分
（3） S 存在最大值··············································································7 分
理由：∵ DE PC∥ ，即 DE AC∥ ．
∴ OED OAC△ ∽△ ．
∴ OD OE
OC OA
，即 2
2 3
m OE ．
∴ 3 33 32 2OE m AE OE m ， ，
方法一：
连结OP
OED POE POD OEDPDOES S S S S S △ △ △ △四边形
= 1 3 4 1 1 33 2 1 3 22 2 3 2 2 2m m m m [来源:Z。xx。k.Com]
= 23 3
4 2m m ················································································ 8 分
∵ 3 04
∴当 1m 时， 3 3 3
4 2 4S 最大 ······················································9 分
（第 24 题图）
OA
C
x
y
B
E
P
D
方法二：
OAC OED AEP PCDS S S S S △ △ △ △
= 1 1 3 1 3 4 13 2 3 2 12 2 2 2 2 3 2m m m m
= 223 3 3 314 2 4 4m m m ························································8 分
∵ 3 04
∴当 1m 时， 3
4S 最大 ··································································· 9 分
65.（2009 年山东临沂）26．（本小题满分 13 分）
如图，抛物线经过 (4 0) (1 0) (0 2)A B C ，， ，， ， 三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形
与 OAC△ 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 DCA△ 的面积最大，求出点 D 的坐标．
（2009 年山东临沂 26 题解析）解：（1）该抛物线过点 (0 2)C ， ，可设该抛物线的解析式为 2 2y ax bx ．
将 (4 0)A ， ， (1 0)B ， 代入，
得 16 4 2 0
2 0
a b
a b .
，
解得
1
2
5
2
a
b .
，
此抛物线的解析式为 21 5 22 2y x x ．·················································（3 分）
（2）存在．····························································································· （4 分）
如图，设 P 点的横坐标为 m ，
则 P 点的纵坐标为 21 5 22 2m m ，
当1 4m 时，
4AM m ， 21 5 22 2PM m m ．
又 90COA PMA °，
①当 2
1
AM AO
PM OC
时，
O x
y
AB
C
41
2
（第 26 题图）
O x
y
AB
C
41
2
（第 26 题图）
D P
M
E
APM ACO△ ∽△ ，
即 21 54 2 22 2m m m
．
解得 1 22 4m m ， （舍去）， (21)P ， ．·····················································（6 分）
②当 1
2
AM OC
PM OA
时， APM CAO△ ∽△ ，即 21 52(4 ) 22 2m m m ．
解得 1 4m ， 2 5m （均不合题意，舍去）
当1 4m 时， (2 1)P ， ．······································································· （7 分）
类似地可求出当 4m 时， (5 2)P ， ．························································ （8 分）
当 1m 时， ( 3 14)P ， ．
综上所述，符合条件的点 P 为 (2 1)， 或 (5 2)， 或 ( 3 14) ， ．······················（9 分）[来源:Zxxk.Com]
（3）如图，设 D 点的横坐标为 (0 4)t t ，则 D 点的纵坐标为 21 5 22 2t t ．
过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ．
由题意可求得直线 AC 的解析式为 1 22y x ．············································（10 分）
E 点的坐标为 1 22t t
， ．
2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t
．··········································（11 分）
2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t △ ．
当 2t 时， DAC△ 面积最大．
(2 1)D ， ．····························································································（13 分）
66.（2009 年山东青岛）24．（本小题满分 12 分）
如图，在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 6cmAD ， 4cmCD ， 10cmBC BD ，点 P 由 B 出发沿 BD 方向
匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE．若
设运动时间为t （s）（ 0 5t ）．解答下列问题：
（1）当t 为何值时， PE AB∥ ？
（2）设 PEQ△ 的面积为 y （cm2），求 y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使 2
25PEQ BCDS S△ △ ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．
（4）连接 PF ，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．
A E D
Q
P
B F C
（2009 年山东青岛 24 题解析）解：（1）∵ PE AB∥
∴ DE DP
DA DB
．
而 10DE t DP t ， ，
∴ 10
6 10
t t ，
∴ 15
4t ．
∴当 15 (s)4t PE AB ， ∥ ．····················· 2 分
（2）∵ EF 平行且等于CD ，[来源:学科网]
∴四边形CDEF 是平行四边形．
∴ DEQ C DQE BDC ， ．
∵ 10BC BD ，
∴ DEQ C DQE BDC ．
∴ DEQ BCD△ ∽△ ．
∴ DE EQ
BC CD
．
10 4
t EQ ．
∴ 2
5EQ t ．
过 B 作 BM CD⊥ ，交CD 于 M ，过 P 作 PN EF⊥ ，交 EF 于 N ．
2 210 2 100 4 96 4 6BM ．
∵ ED DQ BP t ，
∴ 10 2PQ t ．
又 PNQ BMD△ ∽△ ，
PQ PN
BD BM
，
10 2
10 4 6
t PN ，
4 6 1 5
tPN
21 1 2 4 6 4 64 6 12 2 5 5 25 5PEQ
tS EQ PN t t t △ ．·····························6 分
（3） 1 1 4 4 6 8 62 2BCDS CD BM △ ．
A E D
Q
P
B F C
N M
若 2
25PEQ BCDS S△ △ ，
则有 24 6 4 6 2 8 625 5 25t t ，
解得 1 21 4t t ， ．·························································································9 分
（4）在 PDE△ 和 FBP△ 中，
10
DE BP t
PD BF t PDE FBP
PDE FBP
，
， △ ≌△
，
∴ PDEPFCDE PFCDS S S △五边形 四边形
FBP PFCDS S △ 四边形
8 6BCDS △ ．
∴在运动过程中，五边形 PFCDE 的面积不变．·················································· 12 分
67.（2009 年陕西）25．（本题满分 12 分）
问题探究
（1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使 90APB °的一个．．点 P ，并说明理由．
（2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使 60APB °的所有．．的点 P ，并说明理由．
问题解决
（3）如图③，现在一块矩形钢板 4 3ABCD AB BC ， ， ．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 APB△
和 CP D△ 钢板，且 60APB CP D °．请你在图③中画出符合要求的点 P 和 P，并求出 APB△ 的面积（结
果保留根号）．
[来源:学科网 ZXXK]
（2009 年陕西 25 题解析）解：（1）如图①，
连接 AC BD、 交于点 P ，则 90APB °．
点 P 为所求．············································ （3 分）
（2）如图②，画法如下：
1）以 AB 为边在正方形内作等边 ABP△ ；
2）作 ABP△ 的外接圆 O⊙ ，分别与 AD BC、 交于点 E F、 ．
在 O⊙ 中，弦 AB 所对的 APB 上的圆周角均为 60°，
EF 上的所有点均为所求的点 P ．··············· （7 分）
（3）如图③，画法如下：
1）连接 AC ；
2）以 AB 为边作等边 ABE△ ；
3）作等边 ABE△ 的外接圆 O⊙ ，交 AC 于点 P ；
D C
BA
①
D C
BA
③
D C
BA
②
（第 25 题图） D C
BA
①
P
D C
BA
②
O
P
E F
D C
BA
③
E
G
O
P
P
（第 25 题答案图）
4）在 AC 上截取 AP CP ．
则点 P P、 为所求．···································· （9 分）
（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）
过点 B 作 BG AC⊥ ，交 AC 于点G ．
在 Rt ABC△ 中， 4 3AB BC ， ．
2 2 5AC AB BC ．
12
5
AB BCBG AC
．···········································································（10 分）
在 Rt ABG△ 中， 4AB ，
2 2 16
5AG AB BG ．
在 Rt BPG△ 中， 60BPA °，
12 3 4 3
tan 60 5 3 5
BGPG ° ．[来源:学科网 ZXXK]
16 4 3
5 5AP AG PG ．
1 1 16 4 3 12 96 24 3
2 2 5 5 5 25APBS AP BG
△ ．···························（12 分）
68.（2009 年山东泰安）（本小题满分 10 分）
如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E 是 AB
的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2） 求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线；
（3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。
（2009 年山东泰安 26 题解析）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余，
∴∠1=∠2…………………………………………………1 分
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分
∴AD=BE……………………………………………………3 分
（2）∵E 是 AB 中点，
∴EB=EA
由（1）AD=BE 得：AE=AD……………………………5 分
∵AD∥BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45°
∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分
（3）△DBC 是等腰三角（CD=BD）……………………8 分
理由如下：
由（2）得：CD=CE
由（1）得：CE=BD
∴CD=BD
∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分
69.（2009 年山东威海）25．（12 分）
一次函数 y ax b 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 ,M N ，与反比例函数 ky x
的图象相交于点 ,A B ．过点
A 分别作 AC x 轴，AE y 轴，垂足分别为 ,C E ；过点 B 分别作 BF x 轴，BD y 轴，垂足分别为 F D， ，AC
与 BD 交于点 K ，连接CD ．
（1）若点 A B， 在反比例函数 ky x
的图象的同一分支上，如图 1，试证明：
① AEDK CFBKS S四边形 四边形 ；
② AN BM ．
（2）若点 A B， 分别在反比例函数 ky x
的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相等吗？试证明你的结
论．
（2009 年山东威海 25 题解析）解：（1）① AC x ⊥ 轴， AE y⊥ 轴，
四边形 AEOC 为矩形．
BF x⊥ 轴， BD y⊥ 轴，
四边形 BDOF 为矩形．
AC x ⊥ 轴， BD y⊥ 轴，
四边形 AEDK DOCK CFBK， ， 均为矩形．···········1 分
1 1 1 1OC x AC y x y k ， ， ，
1 1AEOCS OC AC x y k 矩形
2 2 2 2OF x FB y x y k ， ， ，
2 2BDOFS OF FB x y k 矩形 ．
AEOC BDOFS S矩形 矩形 ．
AEDK AEOC DOCKS S S 矩形 矩形 矩形 ，
CFBK BDOF DOCKS S S 矩形 矩形 矩形 ，
O C F M
D
E
N
K
y
x
1 1( )A x y，
2 2( )B x y，
（第 25 题图 1）
O C
D K
F
E
N
y
x
1 1( )A x y，
3 3( )B x y，
M
（第 25 题图 2）
AEDK CFBKS S矩形 矩形 ．·················································································· 2 分
②由（1）知 AEDK CFBKS S矩形 矩形 ．
AK DK BK CK ．
AK BK
CK DK
．······························································································4 分
90AKB CKD °，
AKB CKD△ ∽△ ．····················································································5 分
CDK ABK ．
AB CD∥ ．······························································································· 6 分
AC y∥ 轴，[来源:Z+xx+k.Com]
四边形 ACDN 是平行四边形．
AN CD ．······························································································· 7 分
同理 BM CD ．
AN BM ．·······························································································8 分
（2） AN 与 BM 仍然相等．············································································· 9 分
AEDK AEOC ODKCS S S 矩形 矩形 矩形 ，
BKCF BDOF ODKCS S S 矩形 矩形 矩形 ，
又 AEOC BDOFS S k 矩形 矩形 ，
AEDK BKCFS S矩形 矩形 ．·····························10 分
AK DK BK CK ．
CK DK
AK BK
．
K K ，
CDK ABK△ ∽△ ．
CDK ABK ．
AB CD∥ ．······························································································11 分
AC y∥ 轴，
四边形 ANDC 是平行四边形．
AN CD ．
同理 BM CD ．
AN BM ．·····························································································12 分
70.（2009 年山东烟台）26．(本题满分 14 分)
如图，抛物线 2 3y ax bx 与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点 (2 3 )a， ，对称轴是直线 1x ，
顶点是 M ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过 C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ，在抛物线上是否存在这样的点 P ，使以点 P A C N， ， ， 为顶
点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设直线 3y x 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E （不与 B D， 重合），经过 A B E， ， 三
点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由；[来源:Z*xx*k.Com]
O C
D K
F
E
N
y
x
A
B
M
图 2
（4） 当 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
（2009 年山东烟台 26 题解析）解：（1）根据题意，得
3 4 2 3
1.2
a a b
b
a
，
2 分
解得 1
2.
a
b
，
抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x ．········ 3 分
（2）存在．
在 2 2 3y x x 中，令 0x ，得 3y ．
令 0y ，得 2 2 3 0x x ， 1 21 3x x ， ．
( 1 0)A ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， ．
又 2( 1) 4y x ，顶点 (1 4)M ， ．·······························································5 分
容易求得直线CM 的表达式是 3y x ．
在 3y x 中，令 0y ，得 3x ．
( 3 0)N ， ， 2AN ．················································································ 6 分
在 2 2 3y x x 中，令 3y ，得 1 20 2x x ， ．
2CP AN CP ， ．
AN CP ∥ ，四边形 ANCP 为平行四边形，此时 (2 3)P ， ．····························· 8 分
（3） AEF△ 是等腰直角三角形．
理由：在 3y x 中，令 0x ，得 3y ，令 0y ，得 3x ．
直线 3y x 与坐标轴的交点是 (0 3)D ， ， (3 0)B ， ．
OD OB ， 45OBD °．······································································· 9 分
又点 (0 3)C ， ， OB OC ． 45OBC °．············································ 10 分
由图知 45AEF ABF °， 45AFE ABE °．···································· 11 分
O B x
y
A
M
C
1
3
（第 26 题图）
y
x
E
D
N
OA
C
M
P
N1
F
（第 26 题图）
90EAF °，且 AE AF ． AEF△ 是等腰直角三角形．·····························12 分
（4）当点 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论成立．························ 14 分
71.（2009 年山东枣庄）25．（本题满分 10 分）
如图，在平面直角坐标系中，点 C（－3，0），点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且满足 2 3 1 0OB OA ．
（1）求点 A、点 B 的坐标；
（2）若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CB 由 C 向 B 运动，连结 AP，设 ABP△ 的面积为 S，
点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使以点 A，B，P 为顶点的三角形与 AOB△ 相似？若存在，请直接写
出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
[来源:学科网]
[来源:学科网 ZXXK]
（2009 年山东枣庄 25 题解析）（1）∵ 2 3 1 0OB OA ，
∴ 2 3 0OB ， 1 0OA .
∴ 3OB ， 1OA ．…………………1 分
点 A ，点 B 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0， 3 ）． ……………2 分
（2）由（1），得 AC=4， 2 21 ( 3) 2AB ， 2 23 ( 3) 2 3BC ．
∴ 2 2 2 2 22 2 3 16AB BC AC （ ） ．
∴△ABC 为直角三角形， 90ABC ． …………………………………………4 分
设 CP=t，过 P 作 PQ⊥CA 于 Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=
2
t ．
∴S= ABC APCS S△ △
= 1 14 3 42 2 2
t = 2 3 －t（0≤t＜ 2 3 ）． …………………………7 分
（说明：不写 t 的范围不扣分）
（3）存在，满足条件的的有两个．
1( 3 0)P ， ， ………………………………………………………………………8 分
2
21 33P
， ．…………………………………………………………………10 分
y
xAOC
B
第 25 题图
72.（2009 年上海）25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5 分）
已知 90 2 3ABC AB BC AD BC P °， ， ， ∥ ， 为线段 BD 上的动点，点Q 在射线 AB 上，且满足 PQ AD
PC AB
（如图 8 所示）．
（1）当 2AD ，且点 Q 与点 B 重合时（如图9 所示），求线段 PC 的长；
（2）在图 8 中，联结 AP ．当 3
2AD ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B Q、 之间的距离为 x ， APQ
PBC
S yS
△
△
，其
中 APQS△ 表示 APQ△ 的面积， PBCS△ 表示 PBC△ 的面积，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当 AD AB ，且点Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 10 所示），求 QPC 的大小．
（2009年上海25题解析）解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,
所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成 S1，S2， 高分别是 H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y，消去 H,h,得：
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点 P 运动到与 D 点重合时，X 的取值就是最大值，当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0，连接 DC,作 QD 垂直 DC，
由已知条件得：B、Q、D、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形 QDC 相似于三角形 ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：
直角三角形 AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形 QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:
Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0，7/8]
(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q′点，
则：B，Q′，P，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90。
A D
P
CB
Q
图 8
DA
P
CB（Q）
） 图 9 图 10
C
A D
P
B
Q
2
A D
P
CB
Q
图 8
DA
P
CB（Q）
） 图 9 图 10
C
A D
P
B
Q
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十六）
73.（2009 年江西）25．如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC∥ ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC∥ 交CD
于点 F ． 4 6AB BC ， ， 60B ∠ .
（1）求点 E 到 BC 的距离；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB∥ 交折线 ADC 于点 N ，
连结 PN ，设 EP x .
①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN△ 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN△ 的周长；若改变，请
说明理由；
②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 PMN△ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x
的值；若不存在，请说明理由.
A D
E
B
F
C
A D
E
B
F
C
A D
E
B
F
C
图 1 图 2
A D
E
B
F
C
P
N
M
图 3
A D
E
B
F
C
P
N
M
（第 25 题）
（2009 年江西 25 题解析）（1）如图 1，过点 E 作 EG BC 于点 G．1 分
∵ E 为 AB 的中点，
∴ 1 22BE AB ．
在 Rt EBG△ 中， 60B ∠ ，∴ 30BEG ∠ ．············2 分
∴ 2 21 1 2 1 32BG BE EG ， ．
即点 E 到 BC 的距离为 3．······································3 分
（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， PMN△ 的形状不发生改变．
∵ PM EF EG EF ， ，∴ PM EG∥ ．
∵ EF BC∥ ，∴ EP GM ， 3PM EG ．
同理 4MN AB ．···················································································4 分
如图 2，过点 P 作 PH MN 于 H ，∵ MN AB∥ ，
∴ 60 30NMC B PMH ∠ ∠ ，∠ ．
∴ 1 3
2 2PH PM ．
∴ 3cos30 2MH PM ．
则 3 54 2 2NH MN MH ．
在 Rt PNH△ 中，
22
2 2 5 3 72 2PN NH PH
．
∴ PMN△ 的周长= 3 7 4PM PN MN ．······································· 6 分
②当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN△ 的形状发生改变，但 MNC△ 恒为等边三角形．
当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR ．
类似①， 3
2MR ．
∴ 2 3MN MR ．····················································································7 分
∵ MNC△ 是等边三角形，∴ 3MC MN ．
此时， 6 1 3 2x EP GM BC BG MC ．···································· 8 分
图 3
A D
E
B
F
C
P
N
M
图 4
A D
E
B
F
C
P
M
N
图 5
A D
E
B
F（P）
C
M
N
GG
R
G
图 1
A D
E
B
F
CG
图 2
A D
E
B
F
C
P
N
MG
H
当 MP MN 时，如图 4，这时 3MC MN MP ．
此时， 6 1 3 5 3x EP GM ．
当 NP NM 时，如图 5， 30NPM PMN ∠ ∠ ．
则 120PMN ∠ ，又 60MNC ∠ ，
∴ 180PNM MNC ∠ ∠ ．
因此点 P 与 F 重合， PMC△ 为直角三角形．
∴ tan30 1MC PM ．
此时， 6 1 1 4x EP GM ．
综上所述，当 2x 或 4 或 5 3 时， PMN△ 为等腰三角形．·····················10 分
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十七）
74.（2009 年辽宁本溪）26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 2y ax bx c （ 0a ）经过 ( 1 0)A ， ， (3 0)B ， ，
(0 3)C ， 三点，其顶点为 D ，连接 BD ，点 P 是线段 BD 上一个动点（不与 B D、 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂
足为 E ，连接 BE ．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标；
（2）如果 P 点的坐标为 ( )x y， ， PBE△ 的面积为 s ，求 s 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并求出
s 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当 s 取得最大值时，过点 P 作 x 的垂线，垂足为 F ，连接 EF ，把 PEF△ 沿直线 EF 折
叠，点 P 的对应点为 P，请直接写出 P点坐标，并判断点 P是否在该抛物线上．
（2009 年辽宁本溪 26 题解析）26．解：（1）设 ( 1)( 3)y a x x ，························ 1 分
把 (0 3)C ， 代入，得 1a ，··············································································2 分
∴抛物线的解析式为： 2 2 3y x x ．··························································· 4 分
顶点 D 的坐标为 (1 4)， ．····················································································5 分
（2）设直线 BD 解析式为： y kx b （ 0k ），把 B D、 两点坐标代入，
1
123 1 2 3
3
1
Dy
C
BA
P
2E
xO
得 3 0
4.
k b
k b
，
································································································6 分
解得 2 6k b ， ．
∴直线 AD 解析式为 2 6y x ．·····································································7 分
21 1 1 ( 2 6) 32 2 2s PE OE xy x x x x ，················································ 8 分
∴ 2 3 (1 3)s x x x ················································································· 9 分
2
2 9 9 3 93 4 4 2 4s x x x
．·····················································10 分
∴当 3
2x 时， s 取得最大值，最大值为 9
4
．······················································ 11 分
（3）当 s 取得最大值， 3
2x ， 3y ，∴ 3 32P
， ．········································5 分[来源:学科网]
∴四边形 PEOF 是矩形．
作点 P 关于直线 EF 的对称点 P，连接 P E P F 、 ．
法一：过 P作 P H y ⊥ 轴于 H ， P F 交 y 轴于点 M ．
设 MC m ，则 33 2MF m P M m P E ， ， ．
在 Rt P MC△ 中，由勾股定理，
2
2 23 (3 )2 m m
．
解得 15
8m ．
∵CM P H P M P E ，
∴ 9
10P H ．
由 EHP EP M △ ∽△ ，可得 EH EP
EP EM
， 6
5EH ．
∴ 6 93 5 5OH ．
∴ P坐标 9 9
10 5
， ．····················································································13 分
法二：连接 PP ，交CF 于点 H ，分别过点 H P、 作 PC 的垂线，垂足为 M N、 ．
易证 CMH HMP△ ∽△ ．
∴ 1
2
CM MH
MH PM
．
设CM k ，则 2 4MH k PM k ， ．
∴ 35 2PC k ， 3
10k ．
由三角形中位线定理，
(E)
1
123 1 2 3
3
1
D
y
C
BA
P
2
xO F
P
M
H
(E)
1
123 1 2 3
3
1
D
y
C
BA
P
2
xO F
P
M
H
N M
12 68 45 5PN k P N k ， ．
∴ 12 3 9
5 2 10CN PN PC ，即 9
10x ．
6 93 5 5y PF P N
∴ P坐标 9 9
10 5
， ．····················································································13 分
把 P坐标 9 9
10 5
， 代入抛物线解析式，不成立，所以 P不在抛物线上．················
75.（2009 年辽宁朝阳）26．如图 ① ，点 A， B的坐标分别为（2，0）和（0， 4 ），
将 A B O △ 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得 ABO△ ，点 A的对应点是点 A ，点 B
的对应点是点 B ．
（1）写出 A ， B 两点的坐标，并求出直线 AB 的解析式；
（2）将 ABO△ 沿着垂直于 x 轴的线段CD 折叠，（点C 在 x 轴上，点 D 在 AB 上，点
D 不与 A ， B 重合）如图 ② ，使点 B 落在 x 轴上，点 B 的对应点为点 E ．设点C 的
坐标为（ 0x，）， CDE△ 与 ABO△ 重叠部分的面积为 S ．
i）试求出 S 与 x 之间的函数关系式（包括自变量 x 的取值范围）；
ii）当 x 为何值时， S 的面积最大？最大值是多少？
iii）是否存在这样的点 C ，使得 ADE△ 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；
若不存在，请说明理由．
（2009 年辽宁朝阳 26 题解析）解：（1） (0 2) (4 0)A B，， ， ································· （2
设直线 AB 的解析式 y kx b ，则有
2
4 0
b
k b
解得
1
2
2
k
b
直线 AB 的解析式为 1 22y x ····························································· （3 分）
（2）i）①点 E 在原点和 x 轴正半轴上时，重叠部分是 CDE△ ．
则 1 1 1 1(4 ) 22 2 2 2CDES CE CD BC CD x x △ · ·
21 2 44 x x
[来源:学科网 ZXXK]
当 E 与O 重合时， 1 2 2 42CE BO x ≤ ············································ （4 分）
x
y
O
B′
A′
A
图①
x
y
O
A
E C
D
B
图②
（第 26 题图）
B
②当 E 在 x 轴的负半轴上时，设 DE 与 y 轴交于点 F ，则重叠部分为梯形CDFO .
OFE OAB△ ∽△
1 1
2 2
OF OA OF OEOE OB
，
又 4 2OE x
1 (4 2 ) 22OF x x
21 32 2 22 2 4CDFO
xS x x x x 四边形 · ·······································（5 分）
当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为 (0,0)
0 2x ······························································································（6 分）
综合 ①② 得
2
2
1 2 4 (2 4)4
3 2 (0 2)4
x x x
S
x x x
≤
··············································· （7 分）
ii） ① 当 2 4x ≤ 时， 2 21 12 4 ( 2)4 4S x x x 对称轴是 4x
抛物线开口向上，在 2 4x ≤ 中， S 随 x 的增大而减小
当 2x 时， S 的最大值＝ 21 (2 4) 14
··················································（8 分）
② 当 0 2x 时，
2
23 3 4 424 4 3 3S x x x
对称轴是 4
3x
抛物线开口向下
当 4
3x 时， S 有最大值为 4
3 ···································································（9 分）
综合 ①② 当 4
3x 时， S 有最大值为 4
3 ······················································ （10 分）
iii）存在，点C 的坐标为 3 02
， 和 5 02
， ·····················································（14 分）
附：详解： ① 当 ADE△ 以点 A 为直角顶点时，作 AE AB 交 x 轴负半轴于点 E ，
AOE BOA△ ∽△
1
2
EO AO
AO BO
2 1AO EO
点 E 坐标为（ 1 ，0）
点C 的坐标为 3 02
，
② 当 ADE△ 以点 E 为直角顶点时
同样有 AOE BOA△ ∽△
1
2
OE OA
AO BO
1 (1 0)EO E ，
点C 的坐标 5 02
，
综合①②知满足条件的坐标有 3 02
， 和 5 02
， ．
以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分．
76.（2009 年辽宁抚顺）26．已知：如图所示，关于 x 的抛物线 2 ( 0)y ax x c a 与 x 轴交于点 ( 2 0)A ， 、点
(6 0)B ， ，与 y 轴交于点C ．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式；
（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ，抛物线上有一动点 P ， x 轴上有一动点Q ．是否存在以
A M P Q、 、 、 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
（2009 年辽宁抚顺 26 题解析）26．解：（1）根据题意，得
4 2 0
36 6 0
a c
a c
····································· 1 分
解得
1
4
3
a
c
········································· 3 分
抛物线的解析式为 21 34y x x ········ 4 分
顶点坐标是（2，4）·························································································5 分
（2） (4 3)D ， ··································································································6 分
设直线 AD 的解析式为 ( 0)y kx b k
直线经过点 ( 2 0)A ，、点 (4 3)D ，
2 0
4 3
k b
k b
·······························································································7 分
BA O
C
y
x
（第 26 题图）
BA O
C
y
x
第 26 题图
Q4
Q3
Q1
Q2
P3
P1P2
D
C
P4
1
2
1
k
b
·······································································································8 分
1 12y x ··································································································9 分
（3）存在．··································································································10 分
1(2 2 2 0)Q ， ······························································································ 11 分
2 ( 2 2 2 )Q ，0 ··························································································12 分
3 (6 2 6 0)Q ， ······························································································ 13 分
4 (6 2 6 0)Q ， ······························································································ 14 分
77.（2009 年辽宁锦州）26.如图 14，抛物线与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点，且 x1＞x2，与 y 轴交于点 C(0,4)，
其中 x1,x2 是方程 x2-2x-8=0 的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当
△CPE 的面积最大时，求点 P 的坐标；
(3)探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使△QBC
成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，
请说明理由.
78. （ 2009 年 辽 宁 铁 岭 ） 26 ． 如 图 所 示 ， 已 知 在 直 角 梯 形 OABC 中 ，
AB OC BC x∥ ， ⊥ 轴于点 (11) (31)C A B， ，、 ， ．动点 P 从O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移
动．过 P 点作 PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设 P 点移动的时间为t 秒（ 0 4t ）， OPQ△ 与直角梯形OABC
重叠部分的面积为 S ．
（1）求经过 O A B、 、 三点的抛物线解析式；
（2）求 S 与t 的函数关系式；
（3）将 OPQ△ 绕着点 P 顺时针旋转 90°，是否存在t ，使得 OPQ△ 的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写
出t 的值；若不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
2
O
A B
C
x
y
1
1 3P
第 26 题图
Q
（2009 年辽宁铁岭 26 题解析）26．解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为 2 ( 0)y ax bx a ．
把 (11)A ， ， (31)B ， 代入上式得：········································································· 1 分
1
1 9 3 1
a b
a b
解得
1
3
4
3
a
b
············································································3 分
∴所求抛物线解析式为 21 4
3 3y x x ······························································· 4 分
法二：∵ (11)A ， ， (31)B ， ，
∴抛物线的对称轴是直线 2x ．
设抛物线解析式为 2( 2)y a x h （ 0a ）······················································1 分
把 (0 0)O ， ， (11)A ， 代入得
2
2
0 (0 2)
1 (1 2)
a h
a h
解得
1
3
4
3
a
h
··································································3 分
∴所求抛物线解析式为 21 4( 2)3 3y x x ．····················································
（2）分三种情况：
①当 0 2t ≤ ，重叠部分的面积是 OPQS△ ，过点 A 作 AF x⊥
轴于点 F ，
∵ (11)A ， ，在 Rt OAF△ 中， 1AF OF ， 45AOF °，
在 Rt OPQ△ 中，OP t ， 45OPQ QOP °，
∴ 2cos45 2PQ OQ t t ° ，
∴
2
21 2 1
2 2 4S t t
．········································· 6 分
②当 2 3t ≤ ，设 PQ 交 AB 于点G ，作 GH x⊥ 轴于点 H ，
45OPQ QOP °，则四边形OAGP 是等腰梯形，
重叠部分的面积是 OAGPS梯形 ．
∴ 2AG FH t ，
∴ 1 1( ) ( 2) 1 12 2S AG OP AF t t t ．··········8 分
2
O
A B
C
x
y
1
1 3
第 26 题图 2
Q
F
G
PH
2
O
A B
C
x
y
1
1 3P
第 26 题图 1
Q
F
③当3 4t ，设 PQ 与 AB 交于点 M ，交 BC 于点 N ，重叠部分的面积是 OAMNCS五边形 ．[来源:Z*xx*k.Com]
因为 PNC△ 和 BMN△ 都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是 OAMNCS五边形 BMNOABCS S △梯形 ．
∵ (31)B ， ，OP t ，
∴ 3PC CN t ，
∴ 1 ( 3) 4BM BN t t ，
∴ 21 1(2 3) 1 (4 )2 2S t
21 1142 2S t t ．······································10 分[来源:Z,xx,k.Com]
（3）存在 1 1t ······················································································· 12 分
2 2t ······················································································14 分
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十八）
79.（2009 年内蒙古包头）26．（本小题满分 12 分）
已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ，直线 x m （ 2m ）
与 x 轴交于点 D ．
（1）求二次函数的解析式；[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
（2）在直线 x m （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以 A O C、 、
为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m
的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
2
O
A B
C
x
y
1
1 3
第 26 题图 3
Q
F
M
P
N
y
xO
（2009 年内蒙古包头 26 题解析）解：（1）根据题意，得
0
4 2 0
2.
a b c
a b c
c
，
，
[来源:学科网 ZXXK]
解得 1 3 2a b c ， ， ．
2 3 2y x x ．··························· （2 分）
（2）当 EDB AOC△ ∽△ 时，
得 AO CO
ED BD
或 AO CO
BD ED
，
∵ 1 2 2AO CO BD m ， ， ，
当 AO CO
ED BD
时，得 1 2
2ED m
，
∴ 2
2
mED ，
∵点 E 在第四象限，∴ 1
2
2
mE m
， ．························································ （4 分）
当 AO CO
BD ED
时，得 1 2
2m ED
，∴ 2 4ED m ，
∵点 E 在第四象限，∴ 2 ( 4 2 )E m m， ．························································ （6 分）
（3）假设抛物线上存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则
1EF AB ，点 F 的横坐标为 1m ，
当点 1E 的坐标为 2
2
mm
， 时，点 1F 的坐标为 21 2
mm
， ，
∵点 1F 在抛物线的图象上，
∴ 22 ( 1) 3( 1) 22
m m m ，
∴ 22 11 14 0m m ，
∴ (2 7)( 2) 0m m ，
∴ 7 22m m ， （舍去），
∴ 1
5 3
2 4F
， ，
∴ 3 31 4 4ABEFS ．··············································································（9 分）
y
xO
BA D
C
(x=m)
(F2)F1 E1 (E2)
当点 2E 的坐标为 ( 4 2 )m m， 时，点 2F 的坐标为 ( 1 4 2 )m m ， ，
∵点 2F 在抛物线的图象上，
∴ 24 2 ( 1) 3( 1) 2m m m ，
∴ 2 7 10 0m m ，
∴ ( 2)( 5) 0m m ，∴ 2m （舍去）， 5m ，
∴ 2 (4 6)F ， ，
∴ 1 6 6ABEFS ．··············································································（12 分）
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．
80.（2009 年内蒙古呼和浩特）25．(10 分)某超市经销一种销售成本为每件 40 元的商品．据市场调查分析，如果按
每件 50 元销售，一周能售出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件．设销售单价为 x 元(x≥50)，
一周的销售量为 y 件．
(1)写出 y 与 x 的函数关系式(标明 x 的取值范围)；
(2)设一周的销售利润为 S，写出 S 与 x 的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增
大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，使得一周销售例如达到 8000 元，销售单价应定为多少？
（2009 年内蒙古呼和浩特 25 题解析）解：（1） 500 10( 50)y x
=1000 10 (50 100)x x ≤ ≤ ························································3 分
（2） ( 40)(1000 10 )S x x
210 1400 40000x x
210( 70) 9000x
当50 70x≤ ≤ 时，利润随着单价的增大而增大．······················································ 6 分
（3） 210 1400 40000 8000x x
210 1400 48000 0x x
2 140 4800 0x x
( 60)( 80) 0x x
1 260 80x x ， ··································································································8 分
当 60x 时，成本= 40 500 10(60 50) 16000 10000 不符合要求，舍去．
当 80x 时，成本= 40 500 10(80 50) 8000 10000 符合要求．
销售单价应定为 80 元，才能使得一周销售利润达到 8000 元的同时，投入不超过 10000 元． 10 分
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（十九）
81.（2009 年青海）28．矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 13 所示， A C、 两点的坐标分别为 (6 0)A ， ，
(0 3)C ， ，直线 3
4y x 与 BC 边相交于 D 点．
（1）求点 D 的坐标；
（2）若抛物线 2 9
4y ax x 经过点 A ，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点 M ，点 P 为对称轴上一动点，以 P O M、 、 为顶点的三角形
与 OCD△ 相似，求符合条件的点 P 的坐标．
（2009 年青海 26 题解析）解：（1）点 D 的坐标为 (4 3)， ．····························· （2 分）
y
O
3 C D B
6
A
x
3
4y x
图 13
（2）抛物线的表达式为 23 9
8 4y x x ．·······················································（4 分）
（3）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 1P 符合条件．
∵OA CB∥ ，
∴ 1POM CDO ．
∵ 1 90OPM DCO °，
∴ 1Rt RtPOM CDO△ ∽ △ ．······················· （6 分）
∵抛物线的对称轴 3x ，
∴点 1P 的坐标为 1(3 0)P ， ．·········································································· （7 分）
过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 2P ．
∵对称轴平行于 y 轴，
∴ 2P MO DOC ．
∵ 2 90P OM DCO °，
∴ 2 1Rt RtP M O DOC△ ∽ △ ．····································································（8 分）
∴点 2P 也符合条件， 2OP M ODC ．
∴ 1 2 13 90PO CO P PO DCO ， °，
∴ 2 1Rt RtP PO DCO△ ≌ △ ．····································································· （9 分）
∴ 1 2 4PP CD ．
∵点 2P 在第一象限，
∴点 2P 的坐标为 2P (3 4)， ，
∴符合条件的点 P 有两个，分别是 1(3 0)P ， ， 2P (3 4)， ． （11 分）
y
O
3 C D B
6
A
x
3
4y x
A
M
P1
P2
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二十）
82.（2009 年山西）26．（本题 14 分）如图，已知直线 1
2 8: 3 3l y x 与直线 2 : 2 16l y x 相交于点C l l1 2， 、 分
别交 x 轴于 A B、 两点．矩形 DEFG 的顶点 D E、 分别在直线 1 2l l、 上，顶点 F G、 都在 x 轴上，且点 G 与点
B 重合．
（1）求 ABC△ 的面积；
（2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；
（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为 (0 12)t t≤ ≤
秒，矩形 DEFG 与 ABC△ 重叠部分的面积为 S ，求 S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
[来源:学科网]
（2009 年山西 26 题解析）（1）解：由 2 8 03 3x ，得 4x A ． 点坐标为 4 0 ， ．
由 2 16 0x ，得 8x B ． 点坐标为 8 0， ．
∴ 8 4 12AB ．·········································································（2 分）
由
2 8
3 3
2 16
y x
y x
，
．
解得 5
6
x
y
，
．∴C 点的坐标为 5 6， ．································（3 分）
A
D
B
E
O
C
F x
y
1l2l
（G）
（第 26 题）
∴ 1 1 12 6 362 2ABC CS AB y △ · ．··················································· （4 分）
（2）解：∵点 D 在 1l 上且 2 88 8 83 3D B Dx x y ， ．
∴ D 点坐标为 8 8， ．··········································································· （5 分）
又∵点 E 在 2l 上且 8 2 16 8 4E D E Ey y x x ， ． ．
∴ E 点坐标为 4 8， ．··········································································· （6 分）
∴ 8 4 4 8OE EF ， ．··································································（7 分）
（3）解法一：① 当 0 3t ≤ 时，如图 1，矩形 DEFG 与 ABC△ 重叠部分为五边形CHFGR （ 0t 时，
为四边形CHFG ）．过C 作CM AB 于 M ，则 Rt RtRGB CMB△ ∽ △ ．
∴ BG RG
BM CM
，即
3 6
t RG ，∴ 2RG t ．
Rt RtAFH AMC △ ∽ △ ，
∴ 1 1 236 2 8 82 2 3ABC BRG AFHS S S S t t t t △ △ △ ．
即
24 16 44
3 3 3S t t ．
···························································（10 分）
83.（2009 年山西太原）29．（本小题满分 12 分）
问题解决
如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E（不与点C ，D 重
合），压平后得到折痕 MN ．当 1
2
CE
CD
时，求 AM
BN
的值．
类比归纳
在图（1）中，若 1
3
CE
CD
，则 AM
BN
的值等于 ；若 1
4
CE
CD
，则 AM
BN
的值等于 ；若 1CE
CD n
（ n 为整数），则 AM
BN
的值等于 ．（用含 n 的式子表示）
联系拓广
A
D
B
E
O
R
F x
y
1l2l
M
（图 3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F x
y
1l2l
G
（图 1）
R
M A
D
B
E
O
C
F x
y
1l2l
G
（图 2）
R
M
方法指导：
为了求得 AM
BN
的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB
图（1）
A
B C
D
E
FM
N
如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E （不与点C D， 重合），压平后得到折痕 MN，
设 1 11AB CEmBC m CD n
， ，则 AM
BN
的值等于 ．（用含 m n， 的式子表示）
（2009 年山西太原 29 题解析）解：方法一：如图（1-1），连接 BM EM BE， ， ．
由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称．
∴ MN 垂直平分 BE ．∴ BM EM BN EN ， ．····································· 1 分
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ 90 2A D C AB BC CD DA °, ．
∵ 1 12
CE CE DECD
， ．设 BN x ，则 NE x ， 2NC x ．
在 Rt CNE△ 中， 2 2 2NE CN CE ．
∴ 22 22 1x x ．解得 5
4x ，即 5
4BN ．·········································· 3 分
在 Rt ABM△ 和在 Rt DEM△ 中，
2 2 2AM AB BM ，
2 2 2DM DE EM ，
2 2 2 2AM AB DM DE ．······························································ 5 分
设 AM y ，则 2DM y ，∴ 22 2 22 2 1y y ．
解得 1
4y ，即 1
4AM ．······································································ 6 分
∴ 1
5
AM
BN
．······················································································ 7 分
方法二：同方法一， 5
4BN ．·································································3 分
如图（1－2），过点 N 做 NG CD∥ ，交 AD 于点G ，连接 BE．
图（2）
N
A
B C
D
E
F
M
N
图（1-1）
A
B C
D
E
FM
N
图（1-2）
A
B C
D
E
FM G
∵ AD BC∥ ，∴四边形GDCN 是平行四边形．
∴ NG CD BC ．
同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ 5
4AG BN ．
∵ 90MN BE EBC BNM ， °．
90NG BC MNG BNM EBC MNG ， °， ．
在 BCE△ 与 NGM△ 中
90
EBC MNG
BC NG
C NGM
，
，
°．
∴ BCE NGM EC MG△ ≌△ ， ．··························５分
∵ 11 4AM AG MG AM 5， = ．4 ······················································6 分
∴ 1
5
AM
BN
．·····················································································7 分
类比归纳
2
5
（或 4
10
）； 9
17
； 2
2
1
1
n
n
································································· 10 分
联系拓广
2 2
2 2
2 1
1
n m n
n m
······················································································· 12 分
评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．
2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答
案及评分说明进行估分．
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二十一）
84.（2009 年四川达州）23、（9 分）如图 11，抛物线 )1)(3( xxay 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 右
侧），过点 A 的直线交抛物线于另一点 C，点 C 的坐标为（-2， 6）.
(1)求 a 的值及直线 AC 的函数关系式；
(2)P 是线段 AC 上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛 物线于点 M，交
x 轴于点 N.
①求线段 PM 长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点 M，使得△CMP 与△ APN 相似？如
果存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标（不必写解 答过程）；如果
不存在，请说明理由.
（2009年四川达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1) ∴a=-21 分
∴抛物线的函数解析式为 y=-2(x+3)(x-1)与 x 轴交于 B（-3，0）、 A（1，0）
设直线 AC 为 y=kx+b，则有 0=k+b
6=-2k+b 解得 k=-2
b=2
∴直线 AC 为 y=-2x+23 分
（2）①设 P 的横坐标为 a(-2≤a≤1)，则 P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4 分
∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92
=-2a+122+92
∴当 a=-12 时，PM 的最大值为 926 分
②M1（0，6）7 分
M2-14，6789 分
85.（2009 年四川成都）28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= 2( 1) ( 0)a x c a 与 x 轴交于 A、B 两点(点
A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线 MC 的函数表达式为 3y kx ,与 x 轴的交点为 N，且 COS∠BCO
＝ 3 10
10
。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点
的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐
标：若不存在，请说明理由；
(3)过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称
轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平
移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
（2009 年四川成都 28 题解析）
86.（2009 年四川凉山州）26．如图，已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为 D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ，求平移后所
得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足 1NBB△
的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍，求点 N 的坐标．
（2009 年四川凉山州 26 题解析）解：（1）已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0) (0 2)A B，， ， ，
0 1
2 0 0
b c
c
解得 3
2
b
c
所求抛物线的解析式为 2 3 2y x x ．·························································· 2 分
（2） (1 0)A ， ， (0 2)B ， ， 1 2OA OB ，
[来源:Z_xx_k.Com]
可得旋转后C 点的坐标为 (31)， ··········································································· 3 分
当 3x 时，由 2 3 2y x x 得 2y ，
可知抛物线 2 3 2y x x 过点 (3 2)，
将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点C ．
平移后的抛物线解析式为： 2 3 1y x x ．·····················································5 分
（3）点 N 在 2 3 1y x x 上，可设 N 点坐标为 2
0 0 0( 3 1)x x x ，
将 2 3 1y x x 配方得
23 5
2 4y x
，其对称轴为 3
2x ．·························· 6 分
①当 0
30 2x 时，如图①，
1 1
2NBB NDDS S △ △
0 0
1 1 31 2 12 2 2x x
0 1x
此时 2
0 03 1 1x x
y
x
B
AO D
（第 26 题）
y
x
C
B
A
O
N
D
B1
D1
图①
N 点的坐标为 (1 1)， ．················································································· 8 分
②当 0
3
2x 时，如图②
同理可得 0 0
1 1 31 22 2 2x x
0 3x
此时 2
0 03 1 1x x
点 N 的坐标为 (31)， ．
综上，点 N 的坐标为 (1 1)， 或 (31)， ．······························································· 10 分
87.（2009 年四川眉山）24．如图，已知直线 1 12y x 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 21
2y x bx c
与直线交于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点 P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点 M，使| |AM MC 的值最大，求出点 M 的坐
标。
（2009 年四川眉山 24 题解析）（1）将 A（0，1）、B（1，0）坐标代入
21
2y x bx c 得
1
1 02
c
b c
解得
3
2
1
b
c
∴抛物线的解折式为 21 3 12 2y x x …（2 分）
（2）设点 E 的横坐标为 m，则它的纵坐标为 21 3 12 2m m
即 E 点的坐标（ m ， 21 3 12 2m m ）又∵点 E 在直线 1 12y x 上[来
源:Z§xx§k.Com]
∴ 21 3 11 12 2 2m m m 解得 1 0m （舍去）， 2 4m
∴E 的坐标为（4，3）……（4 分）
（Ⅰ）当 A 为直角顶点时
过 A 作 AP1 ⊥DE 交 x 轴于 P1 点，设 P1（a,0） 易知 D 点坐标为（－2，0） 由 Rt△AOD∽Rt△POA 得
DO OA
OA OP
即 2 1
1 a
，∴a＝
2
1 ∴P1（
2
1 ，0）……（5 分）
（Ⅱ）同理，当 E 为直角顶点时，P2 点坐标为（11
2
，0）……（6 分）
（Ⅲ）当 P 为直角顶点时，过 E 作 EF⊥x 轴于 F，设 P3（b 、3 ）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP
Rt△AOP∽Rt△PFE
由 AO OP
PF EF
得 1
4 3
b
b
解得 1 3b ， 2 1b
y
x
C
B
A
O D
B1
D1
图②
N
∴此时的点 P3 的坐标为（1，0）或（3，0）……（8 分）
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（
2
1 ，0）或（1，0）或（3，0）或（11
2
，0）[来源:学科网]
（Ⅲ）抛物线的对称轴为 3
2x …（9 分）∵B、C 关于 x＝
2
3 对称 ∴MC＝MB
要使| |AM MC 最大，即是使| |AM MB 最大
由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时| |AM MB 的值最大．（10 分）[来源:学科网 ZXXK]
易知直线 AB 的解折式为 1y x ∴由
1
3
2
y x
x
得
3
2
1
2
x
y
∴M（
2
3 ，－
2
1 ）……（11 分）
88.（2009 年四川绵阳）25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不
包括端点），作∠AEF = 90 ，使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F，设 C（m，n）．
（1）若 m = n 时，如图，求证：EF = AE；
（2）若 m≠n 时，如图，试问边 OB 上是否还存在点 E，使得 EF = AE？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存
在，请说明理由．
（3）若 m = tn（t＞1）时，试探究点 E 在边 OB 的何处时，使得 EF =（t + 1）AE 成立？并求出点 E 的坐标．
（2009 年四川绵阳 25 题解析）（1）由题意得 m = n 时，AOBC 是正方形．
如图，在 OA 上取点 C，使 AG = BE，则 OG = OE．
∴ ∠EGO = 45 ，从而 ∠AGE = 135 ．
由 BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135 ，∴ ∠AGE =∠EBF．
∵ ∠AEF = 90 ，∴ ∠FEB +∠AEO = 90 ．
在 Rt△AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90 ，
∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．
（2）假设存在点 E，使 EF = AE．设 E（a，0）．作 FH⊥x 轴于 H，如图．[来源:学科网 ZXXK]
由（1）知∠EAO =∠FEH，于是 Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴ FH = OE，EH = OA．
∴ 点 F 的纵坐标为 a，即 FH = a．
由 BF 是外角平分线，知∠FBH = 45 ，∴ BH = FH = a．
又由 C（m，n）有 OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，
xO E B
A
y
C
F
xO E B
A
y
C
F
xO E B
A
y
C
F
∴ EH = m－a + a = m．
又 EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知 m≠n 相矛盾．
因此在边 OB 上不存在点 E，使 EF = AE 成立．
（3）如（2）图，设 E（a，0），FH = h，则 EH = OH－OE = h + m－a．
由 ∠AEF = 90 ，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，
∴ EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE，即 h =（t + 1）a，
且
FH
OE
EH
AO ，即
h
a
amh
n
，
整理得 nh = ah + am－a2，∴
an
ama
an
aamh
)(2
．
把 h =（t + 1）a 代入得 atan
ama )1()(
，
即 m－a =（t + 1）（n－a）．
而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．
化简得 ta = n，解得
t
na ．
∵ t＞1， ∴
t
n ＜n＜m，故 E 在 OB 边上．
∴当 E 在 OB 边上且离原点距离为
t
n 处时满足条件，此时 E（
t
n ，0）．
89.（2009 年四川南充）21．如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 (3 3)A ， ．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 (6 )B m， ，求 m 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 1S 与四边形 OABD 的面积 S
满足： 1
2
3S S ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2009 年四川南充 21 题解析）解：（1）设正比例函数的解析式为 1 1( 0)y k x k ，
因为 1y k x 的图象过点 (3 3)A ， ，所以
xO E B
A C
FG
H xO E B
A
y
C
F
y
xO C
D
B
A
3
3 6
13 3k ，解得 1 1k ．
这个正比例函数的解析式为 y x ．······························································（1 分）
设反比例函数的解析式为 2
2( 0)ky kx
．
因为 2ky x
的图象过点 (3 3)A ， ，所以
23 3
k ，解得 2 9k ．
这个反比例函数的解析式为 9y x
．····························································· （2 分）
（2）因为点 (6 )B m， 在 9y x
的图象上，所以
9 3
6 2m ，则点 36 2B
， ．······································································ （3 分）
设一次函数解析式为 3 3( 0)y k x b k ．
因为 3y k x b 的图象是由 y x 平移得到的，
所以 3 1k ，即 y x b ．
又因为 y x b 的图象过点 36 2B
， ，所以
3 62 b ，解得 9
2b ，
一次函数的解析式为 9
2y x ．·······························································（4 分）
（3）因为 9
2y x 的图象交 y 轴于点 D ，所以 D 的坐标为 90 2
， ．
设二次函数的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a ．
因为 2y ax bx c 的图象过点 (3 3)A ， 、 36 2B
， 、和 D 90 2
， ，
所以
9 3 3
336 6 2
9 .2
a b c
a b c
c
，
，·················（5 分） 解得
1
2
4
9 .2
a
b
c
，
，
这个二次函数的解析式为 21 942 2y x x ．·············································· （6 分）
（4） 9
2y x 交 x 轴于点C ，点C 的坐标是 9 02
， ，
如图所示， 15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2S
9 945 18 4 2
81
4
．
假设存在点 0 0( )E x y， ，使 1
2 81 2 27
3 4 3 2S S ．
四边形CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方， 0 0y ，
1 OCD OCES S S △ △
0
1 9 9 1 9
2 2 2 2 2 y
0
81 9
8 4 y ．
0
81 9 27
8 4 2y ， 0
3
2y ．···································································（7 分）
0 0( )E x y ， 在二次函数的图象上，
2
0 0
1 9 342 2 2x x ．
解得 0 2x 或 0 6x ．
当 0 6x 时，点 36 2E
， 与点 B 重合，这时CDOE 不是四边形，故 0 6x 舍去，
点 E 的坐标为 32 2
， ．··········································································· （8 分）
90.（2009 年四川资阳）25． 如图 9，已知抛物线 y= 1
2 x2–2x＋1 的顶点为 P，A 为抛物线与 y 轴的交点，过 A 与 y
轴垂直的直线与抛物线的另一交点为 B，与抛物线对称轴交于点 O′，过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C，连结 O′C，
将△ACO′沿 O′C 翻折后，点 A 落在点 D 的位置．
(1) (3 分) 求直线 l 的函数解析式；
(2) (3 分) 求点 D 的坐标；
(3) (3 分) 抛物线上是否存在点 Q，使得 S△DQC= S△DPB? 若存在，求
出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2009 年四川资阳 25 题解析）
(1) 配方,得 y= 1
2 (x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点为 P(2，
–1) ．··············································································································
取 x=0 代入 y= 1
2 x2 –2x＋1，得 y=1，∴点 A 的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点 A(0，1)与点 B 关于直
线 x=2 对称，∴点 B 的坐标是(4，1)．··································································· 2 分
设直线 l 的解析式为 y=kx＋b(k≠0)，将 B、P 的坐标代入，有
1 4 ,
1 2 ,
k b
k b
解得 1,
3.
k
b
∴直线 l 的解析式为 y=x–3．········································3 分
(2) 连结 AD 交 O′C 于点 E，∵ 点 D 由点 A 沿 O′C 翻折后得到，∴ O′C 垂直平分 AD．[来源:Z。xx。k.Com]
y
xO C
D
B
A
3
3 6
E
图 9
由(1)知，点 C 的坐标为(0，–3)，∴ 在 Rt△AO′C 中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2 5 ．
据面积关系，有 1
2 ×O′C×AE= 1
2 ×O′A×CA，∴ AE= 4 55
，AD=2AE= 8 55
．
作 DF⊥AB 于 F，易证 Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴ AF DF AD
AC O A O C
，
∴ AF= AD
O C ·AC= 16
5
，DF= AD
O C ·O′A= 8
5
，·························································5 分
又 ∵OA=1，∴点 D 的纵坐标为 1– 8
5 = – 3
5
，∴ 点 D 的坐标为( 16
5
，
– 3
5 )．··············································································································
(3) 显然，O′P∥AC，且 O′为 AB 的中点，
∴ 点 P 是线段 BC 的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．
故要使 S△DQC= S△DPB，只需 S△DQC=S△DPC ．
····································································· 7 分
过 P 作直线 m 与 CD 平行，则直线 m 上的任意一点与 CD 构成的三角形
的面积都等于 S△DPC ，故 m 与抛物线的交点即符合条件的 Q 点．
容易求得过点 C(0，–3)、D(16
5
，– 3
5 )的直线的解析式为 y= 3
4 x–3，
据直线 m 的作法，可以求得直线 m 的解析式为 y= 3
4 x– 5
2
．[来源:学_科_网]
令 1
2 x2–2x＋1= 3
4 x– 5
2
，解得 x1=2，x2= 7
2
，代入 y= 3
4 x– 5
2
，得 y1= –1，y2= 1
8
，
因此，抛物线上存在两点 Q1(2，–1)(即点 P)和 Q2( 7
2
， 1
8 )，使得 S△DQC= S△DPB．·······9 分
(仅求出一个符合条件的点 Q 的坐标，扣 1 分)
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二十二）
91.（2009 年重庆綦江）26．(11 分)如图，已知抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a 经过点 A(－2，0)，抛物线的顶
点为 D，过 0 作射线 OM∥AD．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若动点 P 从点 0 出发，以每秒 l 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P
运动的时间为 t(s)．问：当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形?直
角梯形?等腰梯形?
(3)若 OC=OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 l 个
长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 B0 运动，当其中一个点停止运动时
另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为 t(s)，连接 PQ，当 t 为何值时，
四边形 BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时 PQ 的长．
（2009 年重庆綦江 26 题解析）解：（1）抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a
经过点 ( 2 0)A ， ，
30 9 3 3 3a a ···············································································1 分
二次函数的解析式为： 23 2 3 8 3
3 3 3y x x ············································3 分
（2） D 为抛物线的顶点 (13 3)D ， 过 D 作 DN OB 于 N ，则 3 3DN ，
2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO ， °·············································4 分
OM AD ∥
① 当 AD OP 时，四边形 DAOP 是平行四边形
6 6(s)OP t ·········································· 5 分
② 当 DP OM 时，四边形 DAOP 是直角梯形
过O 作OH AD 于 H ， 2AO ，则 1AH
（如果没求出 60DAO °可由 Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 求 1AH ）
5 5(s)OP DH t ·················································································6 分
③ 当 PD OA 时，四边形 DAOP 是等腰梯形
x
y M
C
D
P
QO
A
BNE
H
2 6 2 4 4(s)OP AD AH t
综上所述：当 6t 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．· 7 分
（3）由（2）及已知， 60COB OC OB OCB °， ，△ 是等边三角形
则 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t ， ， ，
过 P 作 PE OQ 于 E ，则 3
2PE t ································································8 分
1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t
=
23 3 63 32 2 8t
····················································································· 9 分
当 3
2t 时， BCPQS 的面积最小值为 63 38 ·························································· 10 分
此时 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE ， = ，
2 2
2 2 3 3 9 3 3
4 4 2PQ PE QE
··············································· 11 分
92.（2009 年重庆）26．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x
轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA
于点 E．
（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G．如
果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 6
5
，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若
不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、
G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2009 年重庆 26 题解析）解：（1）由已知，得 (3 0)C ， ， (2 2)D ， ，
90ADE CDB BCD ° ，
1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD ．
26 题图
y
x
D B
C
A
EE
O
(01)E ， ．······························································································ （1 分）
设过点 E D C、 、 的抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a ．
将点 E 的坐标代入，得 1c ．[来源:学&科&网]
将 1c 和点 D C、 的坐标分别代入，得
4 2 1 2
9 3 1 0.
a b
a b
，
·······················································································（2 分）
解这个方程组，得
5
6
13
6
a
b
[来源:学#科#网]
故抛物线的解析式为 25 13 16 6y x x ．····················································（3 分）
（2） 2EF GO 成立．············································································· （4 分）
点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 6
5
，
点 M 的纵坐标为12
5
．············································································ （5 分）
设 DM 的解析式为 1( 0)y kx b k ，
将点 D M、 的坐标分别代入，得
1
1
2 2
6 12 .5 5
k b
k b
，
解得
1
1
2
3
k
b
，
．
DM 的解析式为 1 32y x ．······························································· （6 分）
(0 3)F ， ， 2EF ．··············································································· （7 分）
过点 D 作 DK OC⊥ 于点 K ，
则 DA DK ．
90ADK FDG °，
FDA GDK ．
又 90FAD GKD °，
DAF DKG△ ≌△ ．
1KG AF ．[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
1GO ．····························································································· （8 分）
2EF GO ．
（3）点 P 在 AB 上， (1 0)G ， ， (3 0)C ， ，则设 (1 2)P ， ．
2 2 2( 1) 2PG t ， 2 2 2(3 ) 2PC t ， 2GC ．
①若 PG PC ，则 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t ，
解得 2t ． (2 2)P ， ，此时点 Q 与点 P 重合．
y
x
D B
C
A
EE
O
ＭF
KGG
(2 2)Q ， ．····························································································· （9 分）
②若 PG GC ，则 2 2( 1) 2 2t ，
解得 1t ， (1 2)P ， ，此时GP x⊥ 轴．
GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为 1，
点Q 的纵坐标为 7
3
．
71 3Q
， ．··························································································（10 分）
③若 PC GC ，则 2 2 2(3 ) 2 2t ，[来源:Zxxk.Com]
解得 3t ， (3 2)P ， ，此时 2PC GC ， PCG△ 是等腰直角三角形．
过点Q 作QH x⊥ 轴于点 H ，
则QH GH ，设QH h ，
( 1 )Q h h ， ．
25 13( 1) ( 1) 16 6h h h ．
解得 1 2
7 25h h ， （舍去）．
12 7
5 5Q
， ．······································（12 分）
综上所述，存在三个满足条件的点Q ，
即 (2 2)Q ， 或 71 3Q
， 或 12 7
5 5Q
， ．
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二十三）
93.（2009 年新疆维吾尔自治区）24．（12 分）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木
y
x
D B
C
A
EE
O
Q
P
HGG
(P)
(Q)
Q
(P)
齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程 y （单位：千米）与所
用时间 x （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚 1 小时出发，到达石河子市后休息 2 小时，然后按
原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早 1 小时．
（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 y （千米）与所用时间 x （小时）的函数图象．
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）
（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．
[来源:Zxxk.Com]
（2009 年新疆维吾尔自治区 24 题解析）24．（12 分）解：（1）如图····················（3 分）
（2）2 次·································································································（5 分）
（3）如图，设直线 AB 的解析式为 1 1y k x b ，
图象过 (4 0) (6150)A B，， ， ，
1 1
1 1
4 0
6 150.
k b
k b
，
1
1
75
300.
k
b
，
75 300y x ．①····················································································（7 分）
设直线CD 的解析式为 2 2y k x b ，
图象过 (7 0) (5150)C D，， ， ，
2 2
2 2
7 0
5 150.
k b
k b
，
y（千米）
x（小时）
150
100
50
1 10 2 3 4 5 6 7 8
（第 24 题）
y（千米）
x（小时）
150
100
50
-1 10 2 3 4 5 6 7 8
A C
BD
E
2
2
75
525.
k
b
，
75 525y x ．②···············································································（7 分）
解由①、②组成的方程组得 5.5
112.5.
x
y
，
最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为 112.5 千米．·································（12 分）
94.（2009 年新疆乌鲁木齐）23．如图 9，在矩形OABC 中，已知 A 、C 两点的坐标分别为 (4 0) (0 2)A C，、 ， ，D 为
OA 的中点．设点 P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；
（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过O P D、 、 三点的抛物线的解析式；
（3）设点 E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时， PDE△ 的周长最小？求出此时点 P 的坐标
和 PDE△ 的周长；
（4）设点 N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点 P ，使 90CPN °？若存在，请直接写出点 P 的坐标．
（2009 年新疆乌鲁木齐 23 题解析）解：（1）∵点 D 是OA 的中点，∴ 2OD ，∴OD OC ．
又∵OP 是 COD 的角平分线，∴ 45POC POD °，
∴ POC POD△ ≌△ ，∴ PC PD ．······························································· 3 分
（2）过点 B 作 AOC 的平分线的垂线，垂足为 P ，点 P 即为所求．
易知点 F 的坐标为（2，2），故 2BF ，作 PM BF⊥ ，
∵ PBF△ 是等腰直角三角形，∴ 1 12PM BF ，
∴点 P 的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为 2y ax bx ．
又∵抛物线经过点 (3 3)P ， 和点 (2 0)D ， ，
∴有 9 3 3
4 2 0
a b
a b
解得 1
2
a
b
∴抛物线的解析式为 2 2y x x ．·····································································7 分
（3）由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于 AOC 的平分线的对称点即为 C 点．
连接 EC ，它与 AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点（因为 PE PD EC ，而两点之间线段最短），此时
PED△ 的周长最小．
∵抛物线 2 2y x x 的顶点 E 的坐标 (1 1)， ，C 点的坐标 (0 2)， ，
y
O x
P
D
B
(4 0)A ，
(0 2)C ，
图 9
y
O xD
B
(4 0)A ，
C
P
E
(0 2)， F
M
设CE 所在直线的解析式为 y kx b ，则有 1
2
k b
b
，解得 3
2
k
b
．
∴CE 所在直线的解析式为 3 2y x ．
点 P 满足 3 2y x
y x
，解得
1
2
1
2
x
y
，故点 P 的坐标为 1 1
2 2
， ．
PED△ 的周长即是 10 2CE DE ．
（4）存在点 P ，使 90CPN °．其坐标是 1 1
2 2
， 或 (2 2)， ．····························· 14 分
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二十四）
95.（2009 年天津）26．（本小题 10 分）
已知函数 2
1 2y x y x bx c ， ， ， 为方程 1 2 0y y 的两个根，点 1M T， 在函数 2y 的图象上．
（Ⅰ）若 1 1
3 2
， ，求函数 2y 的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数 1y 与 2y 的图象的两个交点为 A B， ，当 ABM△ 的面积为 1
12
时，求t 的值；
（Ⅲ）若 0 1 ，当 0 1t 时，试确定T ， ， 三者之间的大小关系，并说明理由．
（2009 年天津 26 题解析）本小题满分 10 分.
解（Ⅰ） 2
1 2 1 2 0y x y x bx c y y ， ， ，
2 1 0x b x c .··············································································· 1 分
将 1 1
3 2
， 分别代入 2 1 0x b x c ，得
2 21 1 1 11 0 1 03 3 2 2b c b c
， ，
解得 1 1
6 6b c ， .
函数 2y 的解析式为 2y 2 5 1
6 6x x ．······················································· 3 分
（Ⅱ）由已知，得 2
6AB ，设 ABM△ 的高为 h ，
3
1 2 1
2 12 12ABMS AB h h △ · ，即 12 144h .
根据题意， 2t T h ，
由 2 1 1
6 6T t t ，得 2 5 1 1
6 6 144t t .
当 2 5 1 1
6 6 144t t 时，解得 1 2
5
12t t ；
当 2 5 1 1
6 6 144t t 时，解得 3 4
5 2 5 2
12 12t t ， .
t 的值为 5 5 2 5 2
12 12 12
， ， .·····································································6 分
（Ⅲ）由已知，得
2 2 2b c b c T t bt c ， ， .
T t t b ，
T t t b ，
2 2b c b c ，化简得 1 0b .
0 1 ，得 0 ， 1 0b .
有 1 0 1 0b b ， .
又 0 1t ， 0t b ， 0t b ，
当 0 t a ≤ 时，T ≤ ≤ ；
当 t ≤ 时， T ≤ ；
当 1t 时， T .············································································· 10 分
96.（2009 年云南）23．（本小题 14 分）已知在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 3A ， 、
0 4C ， ，点 D 的坐标为 D 5 ， ，点 P 是直线 AC 上的一动点，直线 DP 与 y 轴交于点 M．问：
（1）当点 P 运动到何位置时，直线 DP 平分矩形 OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线 DP 的函数解
析式；[来源:Zxxk.Com]
（2）当点 P 沿直线 AC 移动时，是否存在使 DOM△ 与 ABC△ 相似的点 M，若存在，请求出点 M 的坐标；若不
存在，请说明理由；
（3）当点 沿直线 移动时，以点 为圆心、半径长为 （ ＞ ）画圆，所得到的圆称为动圆 ．若设动圆
的直径长为 ，过点 作动圆 的两条切线，切点分别为点 、 ．请探求是否存在四边形 的最小面
积 ，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
注：第（3）问请用备用图解答．
[来源:Z_xx_k.Com]
（2009 年云南 23 题解析）解：（1）连结 BO 与 AC 交于点 H ，则当点 P 运动到点 H 时，直线 DP 平分矩形OABC 的
面积．理由如下：
∵矩形是中心对称图形，且点 H 为矩形的对称中心．
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线 DP 过矩形 OABC 的对称中
心点 H ，所以直线 DP 平分矩形 OABC 的面积．…………2 分
由已知可得此时点 P 的坐标为 3( 2 )2P ， ．
设直线 DP 的函数解析式为 y kx b ．
则有
5 0
3 2.2
k b
k b
，
解得 4
13k ， 20
13b ．
所以，直线 DP 的函数解析式为： 4 20
13 13y x ．·············································5 分
（2）存在点 M 使得 DOM△ 与 ABC△ 相似．
如图，不妨设直线 DP 与 y 轴的正半轴交于点 (0 )mM y， ．
备用图
O
y
xO
y
xA
BC
D A
BC
D
因为 DOM ABC ，若△DOM 与△ABC 相似，则有 OM BC
OD AB
或 OM AB
OD BC
．
当 OM BC
OD AB
时，即 3
5 4
my ，解得 15
4my ．所以点 1
15(0 )4M ， 满足条件．
当 OM AB
OD BC
时，即 4
5 3
my ，解得 20
3my ．所以点 2
20(0 )3M ， 满足条件．
由对称性知，点 3
15(0 )4M ， 也满足条件．
综上所述，满足使 DOM△ 与 ABC△ 相似的点 M 有 3 个，分别为 1
15(0 )4M ， 、 2
20(0 )3M ， 、 3
15(0 )4M ， ． 9 分
（3）如图 ，过 D 作 DP⊥AC 于点 P，以 P 为圆心，半径长为 5
2
画圆，过点 D 分别作 P 的切线 DE、DF，点 E、
F 是切点．除 P 点外在直线 AC 上任取一点 P1，半径长为 5
2
画圆，过点 D 分别作 P 的切线 DE1、DF1，点 E1、F1
是切点．[来源:学科网]
在△DEP 和△DFP 中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，
∴△DPE≌△DPF．
∴Ｓ四边形 DEPF＝2Ｓ△DPE＝2× 1 5
2 2DE PE DE PE DE ．
∴当 DE 取最小值时，Ｓ四边形 DEPF 的值最小．
∵ 2 2 2DE DP PE ， 2 2 2
1 1 1 1DE DP PE ，
∴ 2 2 2 2
1 1DE DE DP DP ．
∵ 1DP DP ，∴ 2 2
1 0DE DE ．
∴ 1DE DE ．由 1P 点的任意性知：DE 是
D 点与切点所连线段长的最小值．……12 分
在△ADP 与△AOC 中，∠DPA＝∠AOC，
∠DAP＝∠CAO， ∴△ADP∽△AOC．
∴ DP CO
DA CA
，即 4
8 5
DP ．∴ 32
5DP ．
∴ 2 2 1024 25 3471
25 4 10DE DP PE ．
∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝ 3471
4
，即Ｓ＝ 3471
4
．···························································· 14 分
（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）
x
y
O A
BC
D
P
1P
E
F
1F
1E
2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二十五）
97（2009 年浙江杭州）24. （本小题满分 12 分）
已知平行于 x 轴的直线 )0( aay 与函数 xy 和函数
xy 1 的图像分别交于点 A 和点 B，又有定点 P（2，
0） .[来源:Zxxk.Com]
（1）若 0a ，且 tan∠POB=
9
1 ，求线段 AB 的长；
（2）在过 A，B 两点且顶点在直线 xy 上的抛物线中，已知线段 AB=
3
8 ，且在它的对称轴左边时，y 随着 x
的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过 A，B，P 三点的抛物线，平移后能得到 2
5
9 xy 的图像，求点 P 到直线 AB 的距离 .
（2009 年浙江杭州 24 题解析）（1）设第一象限内的点 B（m,n），则 tan∠POB
9
1
m
n ，得 m=9n，又点 B 在
函数
xy 1 的图象上，得
mn 1 ，所以 m=3（－3 舍去），点 B 为 )3
1,3( ，
而 AB∥x 轴，所以点 A（
3
1 ，
3
1 ），所以
3
8
3
13 AB ；
（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点 A（a , a），B（
a
1 ，a），则 AB=
a
1 － a =
3
8 ,
所以 0383 2 aa ，解得
3
13 aa 或 .
当 a = －3 时，点 A（―3，―3），B（―
3
1 ，―3），因为顶点在 y = x 上，所以顶点为（－
3
5 ，－
3
5 ），所以可
设二次函数为
3
5)3
5( 2 xky ，点 A 代入，解得 k= －
4
3 ,所以所求函数解析式为
3
5)3
5(4
3 2 xy .
同理，当 a =
3
1 时，所求函数解析式为
3
5)3
5(4
3 2 xy ；
（3）设 A（a , a），B（
a
1 ，a），由条件可知抛物线的对称轴为
a
ax 2
1
2
.
设所求二次函数解析式为： )2)1()(2(5
9
aaxxy .
点 A（a , a）代入，解得 31 a ，
13
6
2 a ，所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 或
13
6
98.（2009 年浙江湖州）已知抛物线 2 2y x x a （ 0a ）与 y 轴相交于点 A ，顶点为 M .直线 1
2y x a 分
别与 x 轴， y 轴相交于 B C， 两点，并且与直线 AM 相交于点 N .
(1)填空：试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标，则 M N ， ， ， ；
(2)如图，将 NAC△ 沿 y 轴翻折，若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上， AN ′与 x 轴交于点 D ，连结CD ，
求 a 的值和四边形 ADCN 的面积；
(3)在抛物线 2 2y x x a （ 0a ）上是否存在一点 P ，使得以 P A C N， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，试说明理由.
（2009 年浙江湖州 24 题解析）
第（2）题
x
y
B
C
O
D
A
M
N N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
（第 24 题）
（1） 4 11 1 3 3M a N a a
， ， ， .……………4 分
（2）由题意得点 N 与点 N ′关于 y 轴对称， N 4 1
3 3a a
， ，
将 N ′的坐标代入 2 2y x x a 得 21 16 8
3 9 3a a a a ，
1 0a （不合题意，舍去）， 2
9
4a .……………2 分
33 4N
， ，点 N 到 y 轴的距离为 3.
90 4A ， ， N 33 4
， ，直线 AN 的解析式为 9
4y x ，
它与 x 轴的交点为 9 04D
， ， 点 D 到 y 轴的距离为 9
4 .
1 9 1 9 9 18932 2 2 2 4 16ACN ACDADCNS S S △ △四边形 .……………2 分
（3）当点 P 在 y 轴的左侧时，若 ACPN 是平行四边形，则 PN 平行且等于 AC ，
把 N 向上平移 2a 个单位得到 P ，坐标为 4 7
3 3a a
， ，代入抛物线的解析式，
得： 27 16 8
3 9 3a a a a
[来源:Zxxk.Com]
1 0a （不舍题意，舍去）， 2
3
8a ，
1
2P
7，8 .……………2 分
当点 P 在 y 轴的右侧时，若 APCN 是平行四边形，则 AC 与 PN 互相平分，
OA OC OP ON ， ．
P 与 N 关于原点对称， 4 1
3 3P a a
， ，
将 P 点坐标代入抛物线解析式得： 21 16 8
3 9 3a a a a ，
1 0a （不合题意，舍去）， 2
15
8a ， 5 5
2 8P
， ．……………2 分
存在这样的点 1
1 7
2 8P
， 或 2
5 5
2 8P
， ，能使得以 P A C N， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
99.（2009 年浙江嘉兴）24．如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN ， 1MA ， 1MB ．以 A 为中心顺时
C
针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 xAB ．
（1）求 x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值；
（3）探究：△ABC 的最大面积？
[来源:学科网]
（2009 年浙江嘉兴 24 题解析）（1）在△ABC 中，∵ 1AC ， xAB ， xBC 3 ．
∴
xx
xx
31
31 ，解得 21 x ． ·····································································4 分
（2）①若 AC 为斜边，则 22 )3(1 xx ，即 0432 xx ，无解．
②若 AB 为斜边，则 1)3( 22 xx ，解得
3
5x ，满足 21 x ．
③若 BC 为斜边，则 22 1)3( xx ，解得
3
4x ，满足 21 x ．
∴
3
5x 或
3
4x ． ························································································ 9 分
（3）在△ABC 中，作 ABCD 于 D，
设 hCD ，△ABC 的面积为 S，则 xhS 2
1 ．
①若点 D 在线段 AB 上，
则 xhxh 222 )3(1 ．
∴ 22222 112)3( hhxxhx ，即 431 2 xhx ．
∴ 16249)1( 222 xxhx ，即 16248 222 xxhx ．
∴ 4624
1 2222 xxhxS 2
1)2
3(2 2 x （ 4 23 x ≤ ）． ·························· 11 分
当
2
3x 时（满足 4 23 x ≤ ）， 2S 取最大值
2
1 ，从而 S 取最大值
2
2 ．··················· 13 分
②若点 D 在线段 MA 上，
则 xhhx 222 1)3( ．
同理可得， 4624
1 2222 xxhxS
2
1)2
3(2 2 x （ 41 3x ≤ ），
易知此时
2
2S ．
综合①②得，△ABC 的最大面积为
2
2 ．····························································
100.（2009 年浙江丽水）24. 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图，
C，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时
C
A B NM
（第 24 题-1）
D
C
BADM N
（第 24 题-2）
O
x
y
A
B
C
D
E
(第 24 题)
出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.
(1)填空：菱形 ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、
高 BE 的长是 ▲ ；
(2)探究下列问题：
①若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时，求△APQ 的面积 S 关
于 t 的函数关系式，以及 S 的最大值；
②若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k
个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得
△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边
形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值.
（ 2009 年 浙 江 丽 水 24 题 解 析 ） 解 ：（ 1 ） 5 , 24,
5
24 …………………………………3 分
（ 2 ） ① 由 题 意 ， 得 AP=t ，
AQ=10-2t. …………………………………………1 分
如图 1,过点 Q 作 QG⊥AD，垂足为 G，由 QG∥BE 得
△AQG∽△ABE,∴
BA
QA
BE
QG ,
∴QG=
25
48
5
48 t , …………………………1 分
∴ ttQGAPS 5
24
25
24
2
1 2 (
2
5 ≤t≤5).
……1 分
∵ 6)2
5(25
24 2 tS (
2
5 ≤t≤5).
∴当 t=
2
5 时，S 最大值为 6.…………………1 分
② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可.
当 t=4 秒时，∵点 P 的速度为每秒 1 个单位，∴AP= 4 .………………1 分
以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图 2,过点 Q1 作 Q1M⊥AP，垂足为点 M，Q1M 交 AC 于点
F,则 AM= 1 22 AP .由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得
4
3
1
1
AO
OD
CQ
FQ
AM
FM , ∴
2
3FM ,
∴
10
33
11 FMMQFQ . ………………1 分
∴CQ1= QF3
4 = 22
5
. 则
1
1
CQ
AP
tk
t
,
∴ 1 11
10
CQk AP
.……………………………1 分
第二种情况：当点 Q 在 BA 上时,存在两点 Q2,Q3,
分别使 A P= A Q2,PA=PQ3.
①若 AP=AQ2，如图 3,CB+BQ2=10-4=6.
G
x
y
A
B
C
D
O
E
(图1)
P
Q
(图3)
x
y
A
B
C
D
O
Q
2
P
E
Q
1
F
M
O
D
C
B
A
y
x
(图2)
P
则
2
1
BQCB
AP
tk
t
,∴ 2 3
2
CB BQk AP
.……1 分
②若 PA=PQ3，如图 4,过点 P 作 PN⊥AB，垂足为 N，
由△ANP∽△AEB,得
AB
AP
AE
AN .
∵AE=
5
722 BEAB , ∴AN＝ 28
25
.
∴AQ3=2AN= 56
25
, ∴BC+BQ3=10-
25
194
25
56
则
3
1
BQCB
AP
tk
t
.∴
50
973
AP
BQCBk .
………………………1 分
综上所述，当 t= 4 秒，以所得的等腰三角形 APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的 k 值为
10
11 或
2
3 或
50
97 .
101.（2009 年浙江宁波）26．如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（－8，0），直线 BC
经过点 B（－8，6），将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转α度得到四边形 OA′B′C′，此时声母 OA′、直
线 B′C′分别与直线 BC 相交于 P、Q．
（1）四边形的形状是 ，
当α=90°时， BP
PQ
的值是 ．
（2）①如图 2,当四边形 OA′B′C′的顶点 B′落在 y 轴正半轴上时,求 BP
PQ
的值;
②如图 3,当四边形 OA′B′C′的顶点 B′落在直线 BC 上时,求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形 OABC 旋转过程中,当 0 00 180 时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使 BP= 1
2 BQ ？若存在，请直
接写出点 P 的坐标；基不存在，请说明理由．
（2009 年浙江宁波 26 题解析）解：（1）矩形（长方形）；······································· 1 分
4
7
BP
BQ
．·····································································································3 分
（2）① POC B OA ， PCO OA B 90 °，
COP A OB △ ∽△ ．
CP OC
A B OA
，即 6
6 8
CP ，
9
2CP ， 7
2BP BC CP ．·····································································4 分
N
E
(图4)
x
y
A
B
C
D
O
Q
3
P
同理 B CQ B C O △ ∽△ ，
CQ B C
C Q B C
，即 10 6
6 8
CQ ，
3CQ ， 11BQ BC CQ ．····································································5 分
7
22
BP
BQ
．································································································ 6 分
②在 OCP△ 和 B A P △ 中，
90
OPC B PA
OCP A
OC B A
，
°，
，
[来源:学科网 ZXXK]
(AAS)OCP B A P △ ≌△ ．···········································································7 分
OP B P ．
设 B P x ，[来源:学科网]
在 Rt OCP△ 中， 2 2 2(8 ) 6x x ，解得 25
4x ．············································8 分
1 25 7562 4 4OPBS △ ．············································································ 9 分
（3）存在这样的点 P 和点Q ，使 1
2BP BQ ．··················································10 分
点 P 的坐标是 1
39 6 62P
， ， 2
7 64P
， ．·················································· 12 分
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．
过点Q 画QH OA⊥ 于 H ，连结OQ ，则QH OC OC ，
1
2POQS PQ OC △ ， 1
2POQS OP QH △ ，
PQ OP ．
设 BP x ，
1
2BP BQ ，
2BQ x ，
1 如图 1，当点 P 在点 B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ，
在 Rt PCO△ 中， 2 2 2(8 ) 6 (3 )x x ，[来源:学科网 ZXXK]
解得 1
31 62x ， 2
31 62x （不符实际，舍去）．
39 62PC BC BP ，
Q
C
B
A O x
P
A
B
C
y
H
QCB
A O x
P
A
B
C
y
H
1
39 6 62P
， ．
②如图 2，当点 P 在点 B 右侧时，
OP PQ BQ BP x ， 8PC x ．
在 Rt PCO△ 中， 2 2 2(8 ) 6x x ，解得 25
4x ．
PC BC BP 25 78 4 4
，
2
7 64P
， ．
综上可知，存在点 1
39 6 62P
， ， 2
7 64P
， ，使 1
2BP BQ ．
102.（2009 年浙江衢州）24. （本题 14 分）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线
2y ax 上．
(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；
(2) 平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴
上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时
抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
（2009 年浙江衢州 24 题解析）解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2y ax ，解得 1
2a ．
……1 分
将点 B(2，n)的坐标代入 21
2y x ，求得点 B 的坐标为(2，2)，
……1 分
则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2，-2)． ……1 分
直线 AP 的解析式是 5 4
3 3y x ． ……1 分
令 y=0，得 4
5x ．即所求点 Q 的坐标是( 4
5
，0)． ……1 分
(2)① 解法 1：CQ=︱-2- 4
5
︱=14
5
， ……1 分
4 x2
2
A 8
-2O-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
(第 24 题(1))
4 x2
2
A 8
-2O-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
Q
P
故将抛物线 21
2y x 向左平移 14
5
个单位时，A′C+CB′最短，
……2 分
此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x ． ……1 分
解法 2：设将抛物线 21
2y x 向左平移 m 个单位，则平移后 A′，B′的坐标分别为 A′(-4-m，
8)和 B′(2-m，2)，点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-m，-8)．
直线 A′′B′的解析式为 5 5 4
3 3 3y x m ． ……1 分
要使 A′C+CB′最短，点 C 应在直线 A′′B′上， ……1 分
将点 C(-2，0)代入直线 A′′B′的解析式，解得 14
5m ． ……1 分
故将抛物线 21
2y x 向左平移 14
5
个单位时 A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x ．
……1 分
② 左右平移抛物线 21
2y x ，因为线段 A′B′和 CD 的长是定值，所以要使四边形 A′B′CD 的
周长最短，只要使 A′D+CB′最短；
……1 分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使
四边形 A′B′CD 的周长最短．
……1 分
第二种情况：设抛物线向左平移了 b 个单位，则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b，8)和
B′(2-b，2)．
因为 CD=2，因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b，2)，
要使 A′D+CB′最短，只要使 A′D+DB′′最短． ……1 分
点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b，-8)，
直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b ． ……1 分
要使 A′D+DB′′最短，点 D 应在直线 A′′B′′上，将点 D(-4，0)代入直线 A′′B′′的解析式，解得 16
5b ．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
21 16( )2 5y x ． ……1 分
103.（2009 年浙江嵊州）14．△ ABC 与△ CBA 是两个直角边都等于 4 厘米的等腰直角三角形，M、N 分别是直
角边 AC、BC 的中点。△ ABC 位置固定，△ CBA 按如图叠放，使斜边 BA 在直线 MN 上,顶点 B 与点 M 重合。
等腰直角△ CBA 以 1 厘米/秒的速度沿直线 MN 向右平移，直到点 A 与点 N 重合。设 x 秒时，△ CBA 与△ ABC
重叠部分面积为 y 平方厘米。
（1）当△ CBA 与
△ ABC 重叠部分面积为 22
3 平方厘米时，求△ CBA 移动的时间；
（2）求 y 与 x 的函数关系式；
(第 24 题(2)①)
4 x2
2
A′ 8
-2O-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
(第 24 题(2)②)
4 x2
2
A′ 8
-2O-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
B′′
（3）求△ CBA 与△ ABC 重叠部分面积的最大值。
[来源:Zxxk.Com]
（2009 年浙江嵊州 14 题解析）（1）解 ①如图 1，当 B 在△ABC 内时，重叠部分是平行
四边形,由题意得：
2
232 x 解得 x=
2
3 ……（2 分）
②如图 3，当 A 在△ABC 内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：
A N= x26 列式得( x26 )× 2 =
2
23
解得 x= 26 2
3 ……（2 分）
综上所述，当△ CBA 与△ ABC 重叠部分面积 为 22
3 平方厘米时，△ CBA 移动的时间为
2
3 或
（ 26 2
3 ）秒。
（2） ①如图 1，当 0≤x≤ 22 时 xy 2 ……（1 分）
②如图 2，当 22 ≤x≤ 24 时，如图，△D B N, △ MEA ,△ FGC 是等腰直角三角形，
B N＝ 2x ，GF=MN= 22 , xMA 24
22 )24(4
1)22(4
1222
1442
1 xxy
即 4232
1 2 xxy …(3 分)
③如图 3，当 24 ≤x≤ 26 时， 122 xy …（1 分）
（3）①当 0≤x≤ 22 时， 4＝
最大值y ……（1 分）
备用图
备用图
图 3图 1
图 2
②当 22 ≤x≤ 24 时， 5＝
最大值y ……（2 分）
③当 24 ≤x≤ 26 时， 4＝
最大值y ……（1 分）
所以，△ CBA 与△ ABC 重叠部分面积的最大值为 5。
104.（2009 年浙江台州）24．如图，已知直线 交坐标轴于 BA， 两点，以线段 AB 为边向上作
正方形 ABCD ，过点 CD，A， 的抛物线与直线另一个交点为 E ．
（1）请直接写出点 DC, 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止．设正方形落在 x
轴下方部分的面积为 S ，求 S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时 D 停止，求抛物线上 EC , 两点间的抛物线弧所扫过
的面积．[来源:Z,xx,k.Com]
（2009 年浙江台州 24 题解析）（1） )3,1(),2,3( DC ；……………………2 分
（2）设抛物线为 cbxaxy 2 ，抛物线过 ),1,0( )3,1(),2,3( ，
.239
,3
,1
cba
cba
c
解得
5 ,6
17 ,6
1.
a
b
c
…………………………………………………2 分
∴ 16
17
6
5 2 xxy ．……………………………………………………………1 分
（3）①当点 A 运动到点 F 时， ,1t
当 10 t 时，如图 1，
∵ 'OFA GFB ， ,2
1tan
OF
OAOFA
∴ ,2
1
5
'
'
''tan
t
GB
FB
GBGFB ∴ ,2
5' tGB
∴ 2
' 4
5
2
552
1''2
1 tttGBFBS GFB ；……2 分
（第 24 题）
y
x
12
1 xy
图 1
②当点 C 运动到 x 轴上时， 2t ，
当 21 t 时，如图 2，
2 2' ' 2 1 5,A B AB
∴ ,55' tFA ∴
2
55' tGA ，
∵
2
5' tHB ，
∴ ' '
1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B 梯形 （
5)2
5
2
55(2
1 tt
4
5
2
5 t ；…………（2 分）
③当点 D 运动到 x 轴上时， 3t ，
当 32 t 时，如图 3，
∵
2
55' tGA ，
∴
2
553
2
555' ttGD ，
∵ 1,1212
1 OAS AOF ，
AOF ∽ 'GD H
∴ 2' )'( OA
GD
S
S
AOF
HGD
，
∴ 2
' )2
553( tS HGD
，
∴ 2 2
' ' '
3 5 55 )2GA B C H
tS 五边形 （ ） （
=
4
25
2
15
4
5 2 tt ．………（2 分）
（解法不同的按踩分点给分）
图 2
图 3
（4）∵ 3t , 53'' AABB ,
∴ ' ' ' 'BB C C AA D DS S S 阴影 矩形 矩形 ………………………………………………（2 分）
= 'AAAD
= 15535 ．……………………………………………………………（1 分）
105.（2009 年浙江义乌）24．已知点 A、B 分别是x轴、 y 轴上的动点，点 C、D 是某个函数图像上的点，当四边形
ABCD（A、B、C、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方
形 ABCD 是一次函数 1y x 图像的其中一个伴侣正方形。
（1）若某函数是一次函数 1y x ，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数 ( 0)ky kx
，他的图像的伴侣正方形为 ABCD，点 D（2，m）（m <2）在反比例函数
图像上，求 m 的值及反比例函数解析式；[来源:Zxxk.Com]
（3）若某函数是二次函数 2 ( 0)y ax c a ，它的图像的伴侣正方形为 ABCD，C、D 中的一个点坐标为（3，4）.
写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 # ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 # ，并判断
你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ # 。(本小题只需直接写出答案)
（2009 年浙江义乌 24 题解析）解：（1）如图 1，当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在 y 轴负半轴上时，正方形 ABCD 的
边长为 2 ；·····················································1 分
当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时，
设正方形的边长为 a ，
易得3 2a ．·················································2 分
图 4
解得 2
3a ，所以正方形边长为 1 23
．···············3 分
（2）如图 2，作 DE CF， 分别垂直于 x y、 轴，
易知 ADE BAO CBF△ ≌△ ≌△ ．····················· 1 分
此时， 2m ， DE OA BF m ，
2OB CF AE m ，
2OF BF OB ，
C 点坐标为 (2 2)m ， ，················································································· 2 分
2 2(2 )m m 解得 1m ．··········································································· 3 分
反比例函数的解析式为 2y x
．········································································· 4 分
（3） ( 13) ， ； (7 3)， ； ( 4 7) ， ； (41)， ．··························································· 3 分
（写对 1 个 1 分，2 个或 3 个 2 分，4 个 3 分）
对应的抛物线分别为 21 23
8 8y x ； 27 223
40 40y x ；
23 1
7 7y x ； 23 55
7 7y x ．······································································4 分
所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．···················································· 5 分
106.（2009 年浙江舟山）24. （本题 12 分）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2y ax 上．
(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；
(2) 平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴
上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时
抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
（2009 年浙江舟山 24 题解析）解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2y ax ，解得
1
2a ． ……1 分
将点 B(2，n)的坐标代入 21
2y x ，求得点 B 的坐标为(2，2)，
则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2，-2)． ……1 分
直线 AP 的解析式是 5 4
3 3y x ． ……1 分
令 y=0，得 4
5x ．即所求点 Q 的坐标是( 4
5
，0)． ……1 分
(2)① 解法 1：CQ=︱-2- 4
5
︱=14
5
， ……1 分
故将抛物线 21
2y x 向左平移 14
5
个单位时，A′C+CB′最短，
……2 分
此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x ． ……1 分
O x
y
C
D
AB
F
3
2
1
1 2 3
图 2
E
(第 24 题)
4 x2
2
A 8
-2O-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
(第 24 题(1))
4 x2
2
A 8
-2O-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
Q
P
(第 24 题(2)①)
4 x2
2
A′ 8
-2O-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
解法 2：设将抛物线 21
2y x 向左平移 m 个单位，则平移后 A′，B′的坐标分别为 A′(-4-m，8)和 B′(2-m，2)，点 A′关
于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-m，-8)．
直线 A′′B′的解析式为 5 5 4
3 3 3y x m ． ……1 分
要使 A′C+CB′最短，点 C 应在直线 A′′B′上， ……1 分
将点 C(-2，0)代入直线 A′′B′的解析式，解得 14
5m ． ……1 分
故将抛物线 21
2y x 向左平移 14
5
个单位时 A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x ．
……1 分
② 左右平移抛物线 21
2y x ，因为线段 A′B′和 CD 的长是定值，所以要使四边形 A′B′CD 的
周长最短，只要使 A′D+CB′最短；
……1 分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使
四边形 A′B′CD 的周长最短．……1 分
第二种情况：设抛物线向左平移了 b 个单位，则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b，8)和
B′(2-b，2)．
因为 CD=2，因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b，2)，
要使 A′D+CB′最短，只要使 A′D+DB′′最短． ……1 分
点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b，-8)，
直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b ．要使 A′D+DB′′最短，点 D 应在直线 A′′B′′上，将点 D(-4，0)代入直线 A′′B′′
的解析式，解得 16
5b ．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
21 16( )2 5y x ． ……1 分
107.（2009 年宁夏）26．（10 分）
已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC△ 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的
速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止），过点 M N、 分别作 AB 边的垂线，
与 ABC△ 的其它边交于 P Q、 两点，线段 MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段 MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积 S 随运动
时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
（2009 年宁夏 26 题解析）（1）过点C 作CD AB ，垂足为 D ．
则 2AD ，
当 MN 运动到被 CD 垂直平分时，四边形 MNQP 是矩形，
即 3
2AM 时，四边形 MNQP 是矩形，
3
2t 秒时，四边形 MNQP 是矩形．
(第 24 题(2)②)
4 x2
2
A′ 8
-2O-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
B′′
C
P
Q
BA M N
3tan 60 32PM AM °= ，
3 32MNQPS 四边形 ························································································4 分
（2）1°当 0 1t 时，
1 ( )2MNQPS PM QN MN 四边形 ·
1 3 3( 1)2 t t
33 2t ······················································6 分
2°当1 2t≤ ≤ 时
1 ( )2MNQPS PM QN MN 四边形 ·
1 3 3(3 ) 12 t t ·
3 32
··························································· 8 分
3°当 2 3t 时，
1 ( )2MNQPS PM QN MN 四边形 ·
1 3(3 ) 3(4 )2 t t
73 32t ················································10 分
C
P
Q
BA M N
C
P
Q
BA M N
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