- 288.68 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2018年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)
1.(3分)﹣2的相反数为( )
A.2 B.12 C.﹣2 D.-12
2.(3分)近几年,襄阳市经济呈现稳中有进,稳中向好的态势,2017年GDP突破4000亿元大关,4000亿这个数用科学记数法表示为( )
A.4×1012 B.4×1011 C.0.4×1012 D.40×1011
3.(3分)如图,把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2的度数为( )
A.55° B.50° C.45° D.40°
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.a6÷a2=a3 C.(﹣a3)2=a6 D.(ab)2=ab2
5.(3分)不等式组&2x>1-x&x+2<4x-1的解集为( )
A.x>13 B.x>1 C.13<x<1 D.空集
6.(3分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A. B. C. D.
7.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于12AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
8.(3分)下列语句所描述的事件是随机事件的是( )
A.任意画一个四边形,其内角和为180°
B.经过任意两点画一条直线
C.任意画一个菱形,是中心对称图形
D.过平面内任意三点画一个圆
9.(3分)已知二次函数y=x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( )
第18页(共18页)
A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2
10.(3分)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为( )
A.4 B.22 C.3 D.23
二、填空题(本题共6小题,每题3分,共18分)
11.(3分)计算:|1﹣2|= .
12.(3分)计算5x+3yx2-y2﹣2xx2-y2= .
13.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是 元.
14.(3分)一组数据3,2,3,4,x的平均数是3,则它的方差是 .
15.(3分)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 .
16.(3分)如图,将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=2,则AP的长为 .
三、解答题(本题共9题,72分)
17.(6分)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2,其中x=2+3,y=2﹣3.
18.(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).
19.(6分)“品中华诗词,寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”,将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.
频数分布统计表
组别
成绩x(分)
人数
百分比
A
60≤x<70
8
20%
B
70≤x<80
16
m%
C
80≤x<90
a
30%
D
90≤x≤100
4
10%
第18页(共18页)
请观察图表,解答下列问题:
(1)表中a= ,m= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)D组的4名学生中,有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛,则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 .
20.(6分)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后,若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.
21.(7分)如图,已知双曲线y1=kx与直线y2=ax+b交于点A(﹣4,1)和点B(m,﹣4).
(1)求双曲线和直线的解析式;
(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.
22.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若AB=6,CD=43,求图中阴影部分的面积.
23.(10分)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为y=&mx-76m(1≤x<20,x为正整数)&n(20≤x≤30,x为正整数),且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).
(1)m= ,n= ;
(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
第18页(共18页)
(3)在销售蓝莓的30天中,当天利润不低于870元的共有多少天?
24.(10分)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形CEGF是正方形;
②推断:AGBE的值为 :
(2)探究与证明:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC= .
25.(13分)直线y=﹣32x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=﹣34x2+2mx﹣3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.
(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;
(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.
①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;
②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.
第18页(共18页)
2018年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)
1.(3分)﹣2的相反数为( )
A.2 B.12 C.﹣2 D.-12
【分析】根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数,﹣2的相反数为2.
【解答】解:与﹣2符号相反的数是2,
所以,数﹣2的相反数为2.
故选:A.
2.(3分)近几年,襄阳市经济呈现稳中有进,稳中向好的态势,2017年GDP突破4000亿元大关,4000亿这个数用科学记数法表示为( )
A.4×1012 B.4×1011 C.0.4×1012 D.40×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:4000亿=4×1011,
故选:B.
3.(3分)如图,把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2的度数为( )
A.55° B.50° C.45° D.40°
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题;
【解答】解:
∵∠1=∠3=50°,∠2+∠3=90°,
∴∠2=90°﹣∠3=40°,
故选:D.
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.a6÷a2=a3 C.(﹣a3)2=a6 D.(ab)2=ab2
【分析】根据合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;同底数幂相除,底数不变指数相减;积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、a2+a2=2a2,故A错误;
B、a6÷a2=a4,故B错误;
C、(﹣a3)2=a6,故C正确;
D、(ab)2=a2b2,故D错误.
故选:C.
5.(3分)不等式组&2x>1-x&x+2<4x-1的解集为( )
第18页(共18页)
A.x>13 B.x>1 C.13<x<1 D.空集
【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解:解不等式2x>1﹣x,得:x>13,
解不等式x+2<4x﹣1,得:x>1,
则不等式组的解集为x>1,
故选:B.
6.(3分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A. B. C. D.
【分析】由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状.
【解答】解:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.
故选:C.
7.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于12AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题.
【解答】解:∵DE垂直平分线段AC,
∴DA=DC,AE+EC=6cm,
∵AB+AD+BD=13cm,
∴AB+BD+DC=13cm,
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm,
故选:B.
8.(3分)下列语句所描述的事件是随机事件的是( )
A.任意画一个四边形,其内角和为180°
B.经过任意两点画一条直线
C.任意画一个菱形,是中心对称图形
D.过平面内任意三点画一个圆
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
第18页(共18页)
【解答】解:A、任意画一个四边形,其内角和为180°是不可能事件;
B、经过任意点画一条直线是必然事件;
C、任意画一个菱形,是中心对称图形是必然事件;
D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件;
故选:D.
9.(3分)已知二次函数y=x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( )
A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2
【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式,求出不等式的解集即可.
【解答】解:∵二次函数y=x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点,
∴△=(﹣1)2﹣4×1×(14m﹣1)≥0,
解得:m≤5,
故选:A.
10.(3分)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为( )
A.4 B.22 C.3 D.23
【分析】根据垂径定理得到CH=BH,AC=AB,根据圆周角定理求出∠AOB,根据正弦的定义求出BH,计算即可.
【解答】解:∵OA⊥BC,
∴CH=BH,AC=AB,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
∴BH=OB•sin∠AOB=3,
∴BC=2BH=23,
故选:D.
二、填空题(本题共6小题,每题3分,共18分)
11.(3分)计算:|1﹣2|= 2﹣1 .
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.
【解答】解:|﹣2|=2﹣1.
故答案为:2﹣1.
12.(3分)计算5x+3yx2-y2﹣2xx2-y2= 3x-y .
【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可,最后要注意将结果化为最简分式.
第18页(共18页)
【解答】解:原式=5x+3x-2x(x+y)(x-y)
=3(x+y)(x+y)(x-y)
=3x-y,
故答案为:3x-y.
13.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是 53 元.
【分析】设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人,根据“每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
【解答】解:设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人,
根据题意得:&8y-x=3&7y-x=-4,
解得:&x=53&y=7.
故答案为:53.
14.(3分)一组数据3,2,3,4,x的平均数是3,则它的方差是 0.4 .
【分析】由于数据2、3、3、4、x的平均数是3,由此利用平均数的计算公式可以求出x,然后利用方差的计算公式即可求解.
【解答】解:∵数据2、3、3、4、x的平均数是3,
∴2+3+3+4+x=3×5,
∴x=3,
∴S2=15[(3﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(3﹣3)2]=0.4.
故答案为:0.4.
15.(3分)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 23或27 .
【分析】分两种情况:
①当△ABC是锐角三角形,如图1,
②当△ABC是钝角三角形,如图2,
分别根据勾股定理计算AC和BC即可.
【解答】解:分两种情况:
①当△ABC是锐角三角形,如图1,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∵CD=3,AD=1,
∴AC=2,
∵AB=2AC,
∴AB=4,
∴BD=4﹣1=3,
∴BC=CD2+BD2=32+(3)2=23;
②当△ABC是钝角三角形,如图2,
同理得:AC=2,AB=4,
∴BC=CD2+BD2=(3)2+52=27;
综上所述,BC的长为23或27.
故答案为:23或27.
第18页(共18页)
16.(3分)如图,将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=2,则AP的长为 1632 .
【分析】设AB=a,AD=b,则ab=322,构建方程组求出a、b即可解决问题;
【解答】解:设AB=a,AD=b,则ab=322,
由△ABE∽△DAB可得:BEAB=ABAD,
∴b=22a2,
∴a3=64,
∴a=4,b=82,
设PA交BD于O.
在Rt△ABD中,BD=AB2+AD2=12,
∴OP=OA=AB⋅ADBD=823,
∴AP=1632.
故答案为1632.
三、解答题(本题共9题,72分)
17.(6分)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2,其中x=2+3,y=2﹣3.
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子,再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2
=x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2
第18页(共18页)
=3xy,
当x=2+3,y=2﹣3时,原式=3×(2+3)(2﹣3)=3.
18.(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).
【分析】作PC⊥AB于C,构造出Rt△PAC与Rt△PBC,求出AB的长度,利用特殊角的三角函数值求解.
【解答】解:过P点作PC⊥AB于C,由题意可知:∠PAC=60°,∠PBC=30°,
在Rt△PAC中,PCAC=tan∠PAC,∴AC=33PC,
在Rt△PBC中,PCBC=tan∠PBC,∴BC=3PC,
∵AB=AC+BC=33PC+3PC=10×40=400,
∴PC=1003,
答:建筑物P到赛道AB的距离为1003米.
19.(6分)“品中华诗词,寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”,将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.
频数分布统计表
组别
成绩x(分)
人数
百分比
A
60≤x<70
8
20%
B
70≤x<80
16
m%
C
80≤x<90
a
30%
D
90≤x≤100
4
10%
请观察图表,解答下列问题:
(1)表中a= 12 ,m= 40 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)D组的4名学生中,有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛,则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 12 .
第18页(共18页)
【分析】(1)先由A组人数及其百分比求得总人数,总人数乘以C的百分比可得a的值,用B组人数除以总人数可得m的值;
(2)根据(1)中所求结果可补全图形;
(3)列出所有等可能结果,再根据概率公式求解可得.
【解答】解:(1)∵被调查的总人数为8÷20%=40人,
∴a=40×30%=12,m%=1640×100%=40%,即m=40,
故答案为:12、40;
(2)补全图形如下:
(3)列表如下:
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
(女,男)
(女,男)
(女,男)
女1
(男,女)
﹣﹣﹣
(女,女)
(女,女)
女2
(男,女)
(女,女)
﹣﹣﹣
(女,女)
女3
(男,女)
(女,女)
(女,女)
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果,选中1名男生和1名女生结果的有6种.
∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为612=12,
故答案为:12.
20.(6分)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后,若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.
【分析】设高铁的速度为x千米/小时,则动车速度为0.4x千米/小时,根据题意列出方程,求出方程的解即可.
【解答】解:设高铁的速度为x千米/小时,则动车速度为0.4x千米/小时,
根据题意得:3250.4x﹣325x=1.5,
解得:x=325,
经检验x=325是分式方程的解,且符合题意,
第18页(共18页)
则高铁的速度是325千米/小时.
21.(7分)如图,已知双曲线y1=kx与直线y2=ax+b交于点A(﹣4,1)和点B(m,﹣4).
(1)求双曲线和直线的解析式;
(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.
【分析】(1)先把A点坐标代入y1=kx中求出k得到反比例函数的解析式为y1=﹣4x,再把B(m,﹣4)代入y1=﹣4x中求出m得到B(1,﹣4),然后利用待定系数法求直线解析式;
(2)利用两点间的距离公式计算AB的长;利用函数图象,写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1>y2时x的取值范围.
【解答】解:(1)把A(﹣4,1)代入y1=kx得k=﹣4×1=﹣4,
∴反比例函数的解析式为y1=﹣4x,
把B(m,﹣4)代入y1=﹣4x得﹣4m=﹣4,解得m=1,则B(1,﹣4),
把A(﹣4,1),B(1,﹣4)代入y2=ax+b得&-4a+b=1&a+b=-4,解得&a=-1&b=-3,
∴直线解析式为y2=﹣x﹣3;
(2)AB=(-4-1)2+(1+4)2=52,
当﹣4<x<0或x>1时,y1>y2.
22.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若AB=6,CD=43,求图中阴影部分的面积.
【分析】(1)连接OE.推知CD为⊙O的切线,即可证明DA=DE;
(2)利用分割法求得阴影部分的面积.
【解答】解:(1)证明:连接OE、OC.
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB.
∵BC=EC,
∴∠CBE=∠CEB,
∴∠OBC=∠OEC.
第18页(共18页)
∵BC为⊙O的切线,
∴∠OEC=∠OBC=90°;
∵OE为半径,
∴CD为⊙O的切线,
∵AD切⊙O于点A,
∴DA=DE;
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,
∴AD=BF,DF=AB=6,
∴DC=BC+AD=43.
∵FC=DC2-DF2=23,
∴BC﹣AD=23,
∴BC=33.
在直角△OBC中,tan∠BOE=BCBO=3,
∴∠BOC=60°.
在△OEC与△OBC中,
&OE=OB&OC=OC&CE=CB,
∴△OEC≌△OBC(SSS),
∴∠BOE=2∠BOC=120°.
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×12BC•OB﹣120×π×OB2360=93﹣3π.
23.(10分)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为y=&mx-76m(1≤x<20,x为正整数)&n(20≤x≤30,x为正整数),且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).
(1)m= ﹣12 ,n= 25 ;
(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
(3)在销售蓝莓的30天中,当天利润不低于870元的共有多少天?
【分析】(1)根据题意将相关数值代入即可;
(2)在(1)的基础上分段表示利润,讨论最值;
(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数,注意天数为正整数.
【解答】解:(1)当第12天的售价为32元/件,代入y=mx﹣76m得
32=12m﹣76m
解得m=﹣12
当第26天的售价为25元/千克时,代入y=n
则n=25
故答案为:m=﹣12,n=25
第18页(共18页)
(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x﹣1)=4x+16
当1≤x<20时
W=(4x+16)(﹣12x+38﹣18)=﹣2x2+72x+320=﹣2(x﹣18)2+968
∴当x=18时,W最大=968
当20≤x≤30时,W=(4x+16)(25﹣18)=28x+112
∵28>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=30时,W最大=952
∵968>952
∴当x=18时,W最大=968
(3)当1≤x<20时,令﹣2x2+72x+320=870
解得x1=25,x2=11
∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下
∴11≤x≤25时,W≥870
∴11≤x<20
∵x为正整数
∴有9天利润不低于870元
当20≤x≤30时,令28x+112≥870
解得x≥27114
∴27114≤x≤30
∵x为正整数
∴有3天利润不低于870元
∴综上所述,当天利润不低于870元的天数共有12天.
24.(10分)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形CEGF是正方形;
②推断:AGBE的值为 2 :
(2)探究与证明:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC= 35 .
【分析】(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形,再由∠ECG=45°即可得证;②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°,据此可得CGCE=2、GE∥AB,利用平行线分线段成比例定理可得;
(2)连接CG,只需证△ACG∽△BCE即可得;
第18页(共18页)
(3)证△AHG∽△CHA得AGAC=GHAH=AHCH,设BC=CD=AD=a,知AC=2a,由AGAC=GHAH得AH=23a、DH=13a、CH=103a,由AGAC=AHCH可得a的值.
【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC、GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,
∴四边形CEGF是正方形;
②由①知四边形CEGF是正方形,
∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,
∴CGCE=2,GE∥AB,
∴AGBE=CGCE=2,
故答案为:2;
(2)连接CG,
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,
CECG=cos45°=22、CBCA=cos45°=22,
∴CGCE=CACB=2,
∴△ACG∽△BCE,
∴AGBE=CACB=2,
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=2BE;
(3)∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线,
∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,
∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴AGAC=GHAH=AHCH,
设BC=CD=AD=a,则AC=2a,
则由AGAC=GHAH得62a=22AH,
∴AH=23a,
则DH=AD﹣AH=13a,CH=CD2+DH2=103a,
第18页(共18页)
∴AGAC=AHCH得62a=23a103a,
解得:a=35,即BC=35,
故答案为:35.
25.(13分)直线y=﹣32x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=﹣34x2+2mx﹣3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.
(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;
(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.
①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;
②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.
【分析】(1)先由直线解析式求得点A、B坐标,将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值,从而得出答案;
(2)①由(1)知BD=AC、BD∥OC,根据AB=AD=13证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP,即2t=4﹣3t,解之即可;②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解.
【解答】解:(1)在y=﹣32x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=2,
∴点A(2,0)、点B(0,3),
将点A(2,0)代入抛物线解析式,得:﹣34×4+4m﹣3m=0,
解得:m=3,
所以抛物线解析式为y=﹣34x2+6x﹣9,
∵y=﹣34x2+6x﹣9=﹣34(x﹣4)2+3,
∴点D(4,3),对称轴为x=4,
∴点C坐标为(6,0);
(2)如图1,
由(1)知BD=AC=4,
根据0≤3t≤4,得:0≤t≤43,
①∵B(0,3)、D(4,3),
第18页(共18页)
∴BD∥OC,
∴∠CAD=∠ADB,
∵∠DPE=∠CAD,
∴∠DPE=∠ADB,
∵AB=22+32=13、AD=(4-2)2+32=13,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠DPE=∠ABD,
∴PQ∥AB,
∴四边形ABPQ是平行四边形,
∴AQ=BP,即2t=4﹣3t,
解得:t=45,
即当∠DPE=∠CAD时,t=45秒;
②(Ⅰ)当点N在AB上时,0≤2t≤2,即0≤t≤1,
连接NE,延长PN交x轴于点F,延长ME交x轴于点H,
∵PN⊥BD、EM⊥BD,BD∥OC,PN=EM,
∴OF=BP=2t,PF=OB=3,NE=FH、NF=EH,NE∥FQ,
∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t,
∵点N在直线y=﹣32x+3上,
∴点N的坐标为(2t,﹣3t+3),
∴PN=PF﹣NF=3﹣(﹣3t+3)=3t,
∵NE∥FQ,
∴△PNE∽△PFQ,
∴NEFQ=PNPF,
∴FH=NE=PNPF•FQ=3t3×(6﹣5t)=6t﹣5t2,
∵A(2,0)、D(4,3),
∴直线AD解析式为y=32x﹣3,
∵点E在直线y=32x﹣3上,
∴点E的坐标为(4﹣2t,﹣3t+3),
∵OH=OF+FH,
∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2,
解得:t=1+55>1(舍)或t=1﹣55;
(Ⅱ)当点N在AD上时,2<2t≤4,即1<t≤43,
∵PN=EM,
∴点E、N重合,此时PQ⊥BD,
第18页(共18页)
∴BP=OQ,
∴2t=6﹣3t,
解得:t=65,
综上所述,当PN=EM时,t=(1﹣55)秒或t=65秒.
第18页(共18页)