2020年湖南省湘潭市中考数学试卷(含解析） 22页

‎2020年湖南省湘潭市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）（2020•湘潭）﹣6的绝对值是（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．‎-‎‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎6‎ ‎2．（3分）（2020•湘潭）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.6×108 B．6×107 C．6×108 D．6×109‎ ‎3．（3分）（2020•湘潭）已知2xn+1y3与‎1‎‎3‎x4y3是同类项，则n的值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（3分）（2020•湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）（2020•湘潭）下列运算中正确的是（　　）‎ A．（a2）3＝a5 B．（‎1‎‎2‎）﹣1＝﹣2 C．（2‎-‎‎5‎）0＝1 D．a3•a3＝2a6‎ ‎6．（3分）（2020•湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（　　）‎ A．40° B．50° C．55° D．60°‎ ‎7．（3分）（2020•湘潭）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．0.25 B．0.3 C．25 D．30‎ ‎8．（3分）（2020•湘潭）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（　　）‎ A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1‎ 二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（3分）（2020•湘潭）计算：sin45°＝　 　．‎ ‎10．（3分）（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为　 　．（任意写出一个即可）‎ ‎11．（3分）（2020•湘潭）计算：‎8‎‎-‎2‎=‎　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•湘潭）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是　 　步．‎ ‎13．（3分）（2020•湘潭）若yx‎=‎‎3‎‎7‎，则x-yx‎=‎　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•湘潭）如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为　 　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎15．（3分）（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：‎ 数字 形式 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 纵式 ‎|‎ ‎||‎ ‎|||‎ ‎||||‎ ‎|||||‎ 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　 　．‎ 三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）‎ ‎17．（6分）（2020•湘潭）解分式方程：‎3‎x-1‎‎+‎2‎=‎xx-1‎．‎ ‎18．（6分）（2020•湘潭）化简求值：（1‎-‎‎2‎a-1‎）‎÷‎a-3‎a‎2‎‎-2a+1‎，其中a＝﹣2．‎ ‎19．（6分）（2020•湘潭）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现 第22页（共22页）‎ 需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）‎ ‎（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；‎ ‎（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．‎ ‎20．（6分）（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：‎3‎，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：‎3‎‎≈‎1.732，‎17‎‎≈‎4.122）‎ ‎21．（6分）（2020•湘潭）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：‎ 收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5‎ 整理数据：‎ 时长x（小时）‎ ‎4＜x≤5‎ ‎5＜x≤6‎ ‎6＜x≤7‎ ‎7＜x≤8‎ 人数 ‎2‎ a ‎8‎ ‎4‎ 分析数据：‎ 项目 平均数 中位数 众数 数据 ‎6.4‎ ‎6.5‎ b 应用数据：‎ ‎（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）补全频数直方图；‎ ‎（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．‎ ‎22．（6分）（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ACD；‎ ‎（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ ‎23．（8分）（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．‎ ‎（1）求过点B的反比例函数y‎=‎kx的解析式；‎ ‎（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．‎ ‎24．（8分）（2020•湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）求这两种书的单价；‎ ‎（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？‎ ‎25．（10分）（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．‎ ‎（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．‎ ‎（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、S‎△OBCS‎△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．‎ ‎①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；‎ ‎②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．‎ ‎26．（10分）（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年湖南省湘潭市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）（2020•湘潭）﹣6的绝对值是（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．‎-‎‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎6‎ ‎【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以﹣6的绝对值是6．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）（2020•湘潭）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.6×108 B．6×107 C．6×108 D．6×109‎ ‎【解答】解：600000000＝6×108，‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）（2020•湘潭）已知2xn+1y3与‎1‎‎3‎x4y3是同类项，则n的值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：∵2xn+1y3与‎1‎‎3‎x‎4‎y‎3‎是同类项，‎ ‎∴n+1＝4，‎ 解得，n＝3，‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）（2020•湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；‎ 第22页（共22页）‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•湘潭）下列运算中正确的是（　　）‎ A．（a2）3＝a5 B．（‎1‎‎2‎）﹣1＝﹣2 C．（2‎-‎‎5‎）0＝1 D．a3•a3＝2a6‎ ‎【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A错误；‎ B、‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎-1‎=2‎，故B错误；‎ C、‎(2-‎5‎‎)‎‎0‎=1‎，正确；‎ D、a3•a3＝a6，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）（2020•湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（　　）‎ A．40° B．50° C．55° D．60°‎ ‎【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，‎ ‎∴∠ACD＝∠B+∠A，‎ ‎∴∠A＝∠ACD﹣∠B，‎ ‎∵∠ACD＝110°，∠B＝50°，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）（2020•湘潭）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．0.25 B．0.3 C．25 D．30‎ ‎【解答】解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15＝100（人），‎ 选择“5G时代”的人数为：30人，‎ ‎∴选择“5G时代”的频率是：‎30‎‎100‎‎=0.3‎；‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）（2020•湘潭）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（　　）‎ A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1‎ ‎【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），‎ 可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，‎ 整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，‎ ‎∴﹣bx+b≥0，‎ 由图象可知b＞0，‎ ‎∴x﹣1≤0，‎ ‎∴x≤1，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24‎ 第22页（共22页）‎ 分）‎ ‎9．（3分）（2020•湘潭）计算：sin45°＝　‎2‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎10．（3分）（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为　3　．（任意写出一个即可）‎ ‎【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0从中任选一个即可 故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可）‎ ‎11．（3分）（2020•湘潭）计算：‎8‎‎-‎2‎=‎　‎2‎　．‎ ‎【解答】解：‎8‎‎-‎2‎=‎2‎2‎‎-‎2‎=‎‎2‎．‎ 故答案为‎2‎．‎ ‎12．（3分）（2020•湘潭）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是　6400　步．‎ ‎【解答】解：这3天步数的平均数是：‎6200+5800+7200‎‎3‎‎=6400‎（步），‎ 故答案为：6400．‎ ‎13．（3分）（2020•湘潭）若yx‎=‎‎3‎‎7‎，则x-yx‎=‎　‎4‎‎7‎　．‎ ‎【解答】解：由yx‎=‎‎3‎‎7‎可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，‎ 则x-yx‎=‎7k-3k‎7k=‎4k‎7k=‎‎4‎‎7‎．‎ 故答案为：‎4‎‎7‎．‎ ‎14．（3分）（2020•湘潭）如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为　6π　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：阴影部分面积为‎60π×‎‎6‎‎2‎‎360‎‎=6π，‎ 故答案为：6π．‎ ‎15．（3分）（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　3　．‎ ‎【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，‎ 当PM⊥OC时，‎ 又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，‎ ‎∴PM＝PD＝3，‎ 故答案为：3．‎ ‎16．（3分）（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：‎ 数字 形式 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 纵式 ‎|‎ ‎||‎ ‎|||‎ ‎||||‎ ‎|||||‎ 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　9167　．‎ ‎【解答】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167‎ 故答案为：9167．‎ 三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）‎ 第22页（共22页）‎ ‎17．（6分）（2020•湘潭）解分式方程：‎3‎x-1‎‎+‎2‎=‎xx-1‎．‎ ‎【解答】解：‎‎3‎x-1‎‎+2=‎xx-1‎ 去分母得，3+2（x﹣1）＝x，‎ 解得，x＝﹣1，‎ 经检验，x＝﹣1是原方程的解．‎ 所以，原方程的解为：x＝﹣1．‎ ‎18．（6分）（2020•湘潭）化简求值：（1‎-‎‎2‎a-1‎）‎÷‎a-3‎a‎2‎‎-2a+1‎，其中a＝﹣2．‎ ‎【解答】解：‎‎(1-‎2‎a-1‎)÷‎a-3‎a‎2‎‎-2a+1‎ ‎=a-1-2‎a-1‎⋅‎‎(a-1)‎‎2‎a-3‎‎ ‎ ‎＝a﹣1，‎ 将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．‎ ‎19．（6分）（2020•湘潭）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）‎ ‎（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；‎ ‎（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．‎ ‎【解答】解：（1）可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；‎ ‎（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：‎ 共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，‎ 第22页（共22页）‎ 所以恰好选中一男一女的概率为‎2‎‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎20．（6分）（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：‎3‎，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：‎3‎‎≈‎1.732，‎17‎‎≈‎4.122）‎ ‎【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：‎3‎，‎ ‎∴在Rt△DCE中，DE=DC‎2‎+CE‎2‎=2DC=‎10，‎ ‎∴解得DC＝5．‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AB＝CD＝5．‎ ‎∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，‎ ‎∴ABBF‎=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴BF＝4AB＝20，‎ ‎∴在Rt△ABF中，AF=AB‎2‎+BF‎2‎=5‎17‎≈‎20.61（m）．‎ 故斜坡AF的长度约为20.61米．‎ ‎21．（6分）（2020•湘潭）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：‎ 收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5‎ 整理数据：‎ 时长x（小时）‎ ‎4＜x≤5‎ ‎5＜x≤6‎ ‎6＜x≤7‎ ‎7＜x≤8‎ 第22页（共22页）‎ 人数 ‎2‎ a ‎8‎ ‎4‎ 分析数据：‎ 项目 平均数 中位数 众数 数据 ‎6.4‎ ‎6.5‎ b 应用数据：‎ ‎（1）填空：a＝　6　，b＝　6.5　；‎ ‎（2）补全频数直方图；‎ ‎（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．‎ ‎【解答】解：（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a＝6，‎ 根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；‎ 故答案为：6，6.5；‎ ‎（2）由（1）得a＝6．‎ 频数分布直方图补充如下：‎ ‎（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比‎=‎6+8‎‎20‎×‎100%＝70%，‎ ‎∴1000×70%＝700（人）．‎ ‎∴学习时长在5＜x≤7小时的人数是700人．‎ 第22页（共22页）‎ ‎22．（6分）（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ACD；‎ ‎（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ 在Rt△ADB和Rt△ADC中AD=ADAB=AC，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；‎ ‎（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：‎ 连接OD，如图所示：‎ 由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE与⊙O相切．‎ ‎23．（8分）（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．‎ ‎（1）求过点B的反比例函数y‎=‎kx的解析式；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，‎ ‎∵A（3，4），‎ ‎∴OE＝3，AE＝4，‎ ‎∴AO=OE‎2‎+AE‎2‎=5‎，‎ ‎∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，‎ ‎∴EF＝AB＝5，‎ ‎∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，‎ ‎∴B（8，4）．‎ 设过B点的反比例函数解析式为y=‎kx，‎ 把B点坐标代入得，k＝32，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=‎‎32‎x；‎ ‎（2）∵OB⊥BD，‎ ‎∴∠OBD＝90°，‎ ‎∴∠OBF+∠DBF＝90°，‎ ‎∵∠DBF+∠BDF＝90°，‎ ‎∴∠OBF＝∠BDF，‎ 又∠OFB＝∠BFD＝90°，‎ ‎∴△OBF～△BDF，‎ ‎∴OFBF‎=‎BFDF，‎ ‎∴‎8‎‎4‎‎=‎‎4‎DF，‎ 第22页（共22页）‎ 解得，DF＝2，‎ ‎∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，‎ ‎∴D（10，0）．‎ 设BD所在直线解析式为y＝kx+b，‎ 把B（8，4），D（10，0）分别代入，‎ 得：‎8k+b=4‎‎10k+b=0‎，解得，k=-2‎b=20‎，‎ ‎∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．‎ ‎24．（8分）（2020•湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．‎ ‎（1）求这两种书的单价；‎ ‎（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？‎ ‎【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，‎ 由题意得：‎2x+y=100‎‎6x=7y，‎ 解得x=35‎y=30‎．‎ 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；‎ ‎（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，‎ 根据题意得n≥‎1‎‎2‎(50-n)‎‎35n+30(50-n)≤1600‎，‎ 解得：‎16‎2‎‎3‎≤n≤20‎，‎ 则n可以取17、18、19、20，‎ 第22页（共22页）‎ 当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585元；‎ 当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590元；‎ 当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595元；‎ 当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600元；‎ 所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．‎ ‎25．（10分）（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．‎ ‎（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．‎ ‎（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、S‎△OBCS‎△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．‎ ‎①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；‎ ‎②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．‎ ‎【解答】解：（1）连接DE，如图，‎ ‎∵点O是△ABC的重心，‎ ‎∴AD，BE是BC，AC边上的中线，‎ ‎∴D，E为BC，AC边上的中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴DE∥AB，DE‎=‎‎1‎‎2‎AB，‎ ‎∴△ODE∽△OAB，‎ ‎∴ODOA‎=DEAB=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD‎=‎‎3‎，OD‎=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴S‎△OBC‎=BC⋅OD‎2‎=‎2×‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎，S‎△ABC‎=BC⋅AD‎2‎=‎2×‎‎3‎‎2‎=‎‎3‎；‎ ‎（2）由（1）可知，ODOA‎=‎‎1‎‎2‎，是定值；‎ 点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，‎ 则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，‎ 故S‎△OBCS‎△ABC‎=‎‎1‎‎3‎，是定值；‎ ‎（3）①∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，‎ ‎∴△CME～△AMB，‎ ‎∴EMBM‎=‎CEAB，‎ ‎∵E为CD的中点，‎ ‎∴CE=‎1‎‎2‎CD=2‎，‎ ‎∴BE=BC‎2‎+CE‎2‎=2‎‎5‎，‎ ‎∴EMBM‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴EMBE‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 即EM=‎‎2‎‎3‎‎5‎；‎ ‎②∴S△CME＝1，且MEBM‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴S△BMC＝2，‎ ‎∵MEBM‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴S‎△CMES‎△AMB‎=(MEBM‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴S△AMB＝4，‎ ‎∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，‎ 又S△ADC＝S△ABC，‎ ‎∴S△ADC＝6，‎ ‎∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．‎ ‎26．（10分）（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线x=-b‎2×(-1)‎=‎b‎2‎，‎ ‎∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，‎ 则b‎2‎‎=2‎，解得：b＝4，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；‎ ‎②存在，‎ 如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，‎ 第22页（共22页）‎ 则OB'＝OB，PB'＝PB，‎ 对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，‎ 解得：x1＝﹣1，x2＝5，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（5，0），‎ ‎∴OB'＝OB＝5，‎ ‎∴CB'=OB'‎‎2‎-OC‎2‎=‎25-4‎=‎‎21‎，‎ ‎∴B'(2，‎21‎)‎，‎ 设点P（2，m），‎ 由PB'＝PB可得：‎21‎‎-m=‎m‎2‎‎+‎‎(5-2)‎‎2‎，解得：m=‎‎2‎‎21‎‎7‎，‎ ‎∴P（2，‎2‎‎21‎‎7‎）；‎ 同理，当点P在x轴下方时，P（2，‎-‎‎2‎‎21‎‎7‎）．‎ 综上所述，点P（2，‎2‎‎21‎‎7‎）或P（2，‎-‎‎2‎‎21‎‎7‎）；‎ ‎（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线x=-b‎2×(-1)‎=‎b‎2‎，‎ ‎∴当b≥4时，x=b‎2‎≥2‎，‎ ‎∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，‎ 即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，‎ ‎∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，‎ 又∵b≥4，‎ ‎∴4≤b≤7．‎ 第22页（共22页）‎