高考专题复习一集合与简易逻辑 18页

‎ 高考专题复习——集合与简易逻辑 集合与简易逻辑有关概念性质：‎ 一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如 ‎（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个。‎ ‎ （答：8）‎ ‎（2）设，，，那么点的充要条件是________‎ ‎（答：）；‎ ‎（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_____个 ‎（答：7）‎ 二．遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合，，且，则实数＝___.‎ ‎（答：）‎ 三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如 满足集合M有______个。‎ ‎（答：7）‎ 四．集合的运算性质：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎ （3)；‎ ‎ (4)；‎ ‎(5).‎ 如：设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.‎ ‎（答：，）‎ 五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如 ‎（1）设集合，集合N＝，则___‎ ‎（答：）；‎ ‎（2）设集合，，，则_____‎ ‎（答：）‎ 六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：‎ 已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。‎ ‎（答：）‎ 七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：‎ 在下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；‎ ‎ ⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；‎ ‎ ⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；‎ ‎ ⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。‎ 其中正确的是__________‎ ‎（答：⑴⑶）‎ 八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。‎ 提醒：‎ ‎（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；‎ ‎（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；‎ ‎（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；‎ ‎（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。‎ ‎（5）哪些命题宜用反证法？‎ 如：‎ ‎（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________‎ ‎（答：在中，若，则不都是锐角）；‎ （2） 已知函数，证明方程没有负数根。‎ 九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：‎ ‎（1）给出下列命题：‎ ‎① 实数是直线与平行的充要条件；‎ ‎② 若是成立的充要条件；‎ ‎ ③ 已知，“若，则或”的逆否命题是“若或 则”；‎ ‎④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。‎ 其中正确命题的序号是_______‎ ‎（答：①④）；‎ ‎（2）设命题p：；命题q:。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 ‎ ‎（答：）‎ 十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______‎ ‎（答：）‎ 十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：‎ 或 或 R R R 如 解关于的不等式：。‎ ‎（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）‎ 十二．对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？‎ 如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______‎ ‎（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______.（答：）‎ 十三．一元二次方程根的分布理论。‎ 方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ ‎ ‎（、、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．‎ 如 实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________‎ ‎（答：（，1））‎ 十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。‎ 如（1）不等式的解集是，则=__________‎ ‎ ‎ ‎ （答：）；‎ （2） 若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________‎ ‎（答：）；‎ ‎（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______‎ ‎（答：）。‎ 典型例题：‎ 【例1】 设，求集合A与B之间的关系。‎ 【例2】 已知集合A=，集合B=，若BA，求实数p的取值范围。‎ 【例3】 已知集合，集合B=。如果，试求实数a的值。‎ 【例4】 若集合A=，B=，且，求实数x。‎ 【例5】 已知集合A=，B=，若，求实数m的值。‎ 【例6】 已知集合A={}，B=，C=，若与 同时成立，求实数a的值。‎ 【例1】 ‎，，A∪B=A，求a的取值构成的集合。‎ 【例2】 已知，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。‎ 【例3】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：‎ ‎（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；‎ （4） 不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。‎ 【例4】 ‎（2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于的不等式的解集，且M中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.‎ 【例5】 ‎（2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知，设命题，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.‎ 【例1】 ‎（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.‎ 【例2】 已知；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ 【例3】 ‎（2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数，其中.‎ ‎（1）判断函数的增减性；‎ ‎（2）（文）若命题为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎（2）（理）若命题为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎ 【专题练习】‎ 一、选择题 ‎1．已知I为全集，集合M、NÌI，若MÈN=M，则有：（D）‎ A．MÍ() B．MÊ() C． D．‎ ‎2．若非空集合A、B适合关系AÌB，I是全集，下列集合为空集的是：（D）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（C）‎ A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 ‎4．满足｛a｝X｛a,b,c｝的集合X的个数有 （ B ）‎ ‎ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎5．已知集合I、P、Q适合I=PQ=｛1，2，3，4，5｝，PQ=｛1，2｝则（PQ）（）‎ 为（ C ）‎ ‎ （A）｛1，2，3｝ （B）｛2，3，4｝ （C）｛3，4，5｝ （D）｛1，4，5｝‎ ‎6．已知I为全集·集合M，N是I的子集MN=N，则 （ B ）‎ ‎ （A） （B） （C）M() （D）M()‎ ‎7．设P=｛x| x≥-2｝,Q=｛x | x≥3｝，则PQ等于 （ D ）‎ ‎ （A）Æ （B）R （C）P （D）Q ‎8．设集合E=｛n|n=2k , kZ｝，F=｛n|n=4k , kZ｝，则E、F的关系是 （ B ）‎ ‎ （A）EF （B）EF （C）E=F （D）EF=Æ ‎9．已知集合M=，N={ x || x -1|≤2}，则MN等于 （ B ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎10．已知集合I=R，集合M={ x | x =，nN}，P={ x | x =，nN}，则M与P的关系是 （ B ）‎ ‎ （A）MP=Æ （B）P=Æ （C）M=Æ （D）=Æ ‎11．已知集合A={y|y=, x R},B={y|y= x R},则AB等于 （ C ）‎ ‎ （A）{2，4} （B）{（2，4），（4，16）}‎ ‎ （C）{ y|y ≥0} （D）{ x| x<0}‎ ‎12．设全集I=R，集合P=，集合Q={ x | x+4>0}，则 （ D ）‎ ‎（A）PQ=Æ （B）PQ=R ‎ ‎（C）Q= （D）={-4}‎ 二、解答题 ‎1. 设A=，B=；若AB，求实数a的取值范围。‎ ‎2. 已知A=，B=。若AB，求实数a的取值范围。‎ ‎3. 已知集合A=，B=，且，求实数 m的值。‎ ‎4. 已知集合A=，B=；若 ‎，求实数a的取值范围。‎ ‎5. 已知集合，同时满足 ‎①，②，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。‎ ‎6. 已知关于x的不等式，的解集依次为A、B，且。求实数a的取值范围。‎ ‎7. 已知集合，若，且，求实数a。‎ 参考答案：‎ 例1.解：由，得A=‎ ‎∴A=B 例2.解：若B=Φ时，‎ 若B≠Φ时，则 综上得知：时，BA。‎ 例3.解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B；‎ 当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ 当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ 当a≠±1时，集合A：，，只有才满足条件。‎ 故；解得：a=－5或a=‎ ‎∴a=1或a=或a=－1或a=－5。‎ 例4.解：由题设知，∴，故或 即或或，但当时，不满足集合A的条件。‎ ‎∴实数x的值为或。‎ 例5.解：不难求出A=，由，又，‎ ‎①若，即，则 ‎②若，即，，‎ ‎∴‎ 故由①②知：m的取值范围是 注：不要忽略空集是任何集合的子集。‎ ‎ 例6.解：易求得B=，C=，由知A与B的交集为非空集。‎ 故2，3两数中至少有一适合方程 又，∴，即得，a=5或a=－2‎ 当a=5时，A=，于是，故a=5舍去。‎ 当a=－2时，A=，于是，∴a=－2。‎ 例7.解：∵A∪B=A，∴，当时，∴-40时，；‎ 当a≤0时，‎ ‎∴要使得AB，必须且只须，解得[来源:学+科+网]‎ ‎2.解：易得，由得 ‎⑴当3a+1>2，即时，‎ 要使AB，必须，‎ ‎⑵当3a+1=2，即时，；要使AB，a=1‎ 当3a+1<2，即时，‎ ‎⑶要使AB，必须[来源:Zxxk.Com]‎ 综上知：或 ‎3.解：，，由得：‎ ‎4.解：B=，由得：‎ 因为，所以A=。‎ 由得： 或 所以 ‎5.解：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口。‎ 设，则，否则将有q=0与题设矛盾。于是由 ‎，两边同除以，得，‎ 知，故集合A、B中的元素互为倒数。‎ 由①知存在，使得，且，得或。‎ 由②知A={1，-2}或A={-1，-2}。‎ 若A={1，-2}，则，‎ 有 同理，若A={-1，-2}，则，得p=3，q=2。‎ 综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎6.解：，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}‎ ‎∵‎ ‎①当3a+1≥2时，B={x|2≤x≤3a+1}‎ ‎∴3a+1<2a或，∴‎ ‎②当3a+1<2时，B={x|3a+1≤x≤2}‎ ‎∴2a>2或，∴‎ ‎7.解：∵A∪B=A，∴。‎ ‎∵A={1，2}，∴或B={1}或B={2}或B={1，2}。‎ 若，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解；‎ 若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根；‎ 若B={2}，则由△=0得，a=2，此时2不是方程的根，‎ ‎∴不存在实数a使原方程有解；‎ 若B={1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2，‎ 此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3。‎ 综上所述，实数a的值为2或3。‎