数学高考导数难题导数零点问题导数整理 11页

含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。‎ ‎（1）因式分解求零点 例1 讨论函数的单调区间 解析：即求的符号问题。由可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。‎ 例4 讨论函数，，的极值情况 解析：，只能解出的一个零点为,其它的零点就是的根，不能解。‎ 例5（2011高考浙江理科）设函数 ‎ （Ⅰ）若为的极值点，求实数 ‎（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的恒有成立（注：为自然对数），‎ 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求，‎ ‎①当时，对于任意的实数,恒有成立②当，由题意，首先有解得由，但这时会发现 的解除了外还有=0的解，显然无法用特殊值猜出。‎ 令，注意到，，‎ 且=。‎ 故在及（1，3e）至少还有一个零点，又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为，则。 从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要 成立。‎ ‎，知（3）将（3）代入（1）得，又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。再由（3）以及函数在（1.+ +∞)内单调递增，可得。由（2）解得，。所以综上，a的取值范围为。‎ 例6 已知函数是奇函数，且图像在（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3‎ （1） 求的值 （2） 若，且对任意恒成立，求的最大值。‎ 例7 （2009高考全国Ⅱ理科）设函数有两个极值点，‎ 且，（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： ‎ 方法四：避开求值，等价替换。‎ 对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。‎ 避开方法：放缩不等式 例8 设函数 ‎ （Ⅰ）若，求的单调区间 ‎（Ⅱ）若当求的取值范围。‎ 与例8类似，下面的2010高考全国Ⅱ理科的最后一题，也是这样的处理方法。‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．‎