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- 2021-05-13 发布
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全等三角形证明经典50题（含答案）
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A
D
B
C
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BEBC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
所以：AE=DE
而AB=CD
所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
所以：△BEC是等腰三角形
所以：角B=角C.
15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC
三角形DEC全等于三角形BEC
所以∠5=∠6
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE，BC平行EF
所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）
然后SSA（角角边）三角形全等
A
C
B
D
E
F
35．已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
证明：因为 AB=AC，
所以 ∠EBC=∠DCB
因为 BD⊥AC，CE⊥AB
所以 ∠BEC=∠CDB
BC=CB (公共边)
则有 三角形EBC全等于三角形DCB
所以 BE＝CD
36、 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
A
E
B
D
C
F
求证：DE=DF．
AAS证△ＡＤＥ≌△ADF
D
C
B
A
E
37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
A
B
C
Ｄ
Ｅ
已知：
求证：
证明：
已知1,2
求证4
因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB
所以△ADB全等于△BCA
所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。
即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC
因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠D=∠C，∠A=∠B，
所以 2(∠A+∠D)=360°，
∠A+∠D=180°，
所以 AB//DC
40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1） 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F
（1） 证明;因为AE垂直AB
所以角EAB=角EAC+角CAB=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=角CAB+角BAF=90度
所以角EAC=角BAF
因为AE=AB AF=AC
所以三角形EAC和三角形FAB全等
所以EC=BF
角ECA=角F
（2） (2)延长FB与EC的延长线交于点G
因为角ECA=角F(已证）
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度
所以EC垂直BF
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
连接BF、CE，
证明△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明：
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE，∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE‖CF
A
D
E
C
B
F
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
求证：．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，
∴AB∥CD．
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
【待定】
A
C
E
D
B
48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
结论：
CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
A
B
E
C
D
先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
A
B
C
D
E
F
图9
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
证明：作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG= ∠DCG=45°
∵∠ACB=90° AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵ AC=CB ∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠B CD=BD
∴△CDG ≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE
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