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- 2021-05-13 发布
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解析几何最值问题的解法
上海市松江一中 陆珲
解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点,也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线,所以通常情况下,解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似,常用下面几种方法:
1、化为二次函数,求二次函数的最值;
2、化为一元二次方程,利用△;
3、利用不等式;
4、利用函数的单调性和有界性;
5、利用几何法。
在解此类问题时,以上方法也可能会混合运用。同时,恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质,或利用参数方程,或建立适当的坐标系,也可以简化问题,方便解题。
例题1:如图已知点在圆上移动,点在椭圆上移动,求的最大值。
[分析:如图先让点在椭圆上固定,显然通过圆心时最大,因此要的最大值,只要求的最大值。]
解:设点坐标,则 ①,
因点在椭圆上,故 ②
把②代入①得
点在椭圆上移动, 时,
说明:此解法就是典型的运用化为二次函数,通过求二次函数的最值来解决问题。但是在利用二次函数求最值时,不能机械地套用最值在顶点处取得的模式,首先要求出定义域,然后再看顶点是否在定义域内,若在,则可套用,若不在,则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。
例题2:如图,定长为3的线段的两端在抛物线上移动,且线段中点为,求点到轴的最短距离,并求此时点的坐标。
[分析:点到轴的最短距离,即求点横坐标的最小值。]
解法一:化为一元二次方程,利用△
设则
①
②
③
④
⑤
③④代入⑤,整理得,即
⑥
由①③④得 ⑦
②代入上式得 ⑧
②⑦⑧代入⑥并整理得 ⑨
,△,即
,将代入⑨得
所以中点到轴的最短距离是,相应的点的坐标为或
说明:此类解法是学生比较容易掌握的方法,解题时将未知的元素都进行适当的假设,并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程,利用△
计算。在运用此法时,不仅要判断方程是否有解,还应注意方程解的特点,如正负根等,此时可进一步应用方程的根与系数的关系(韦达定理)等进行讨论和判断。同时,此类解法字母较多,计算量大,解题时应更加仔细。
解法二:利用不等式
同解法一,得⑨,整理得,
以下同前。
说明:利用不等式性质(时等号成立)的解法也是比较常用的解题方法,但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质的特点,在进行计算式变形时目的要明确,同时等号成立是变量的取值要关注到位。若题设条件无法在时取得最值,则应利用函数的单调性和有界性求得最值。
解法三:几何法
如图设,则以为直径的圆为
准线上离圆最远的点代入上式得,
故准线与圆相离或相切,又圆半径为,圆与准线相切时,即时,点到轴的最短距离是,即点横坐标的最小值为
点的纵坐标
所以点的坐标为或
说明:利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解,并对题设条件具有相当的迁移能力。
例题3:在半径为的圆中,,点为上一动点,过点作的垂线交于点,求△的面积最大值。
[分析:通过建立函数关系式,利用函数求最值的方法解决问题]
解法一:
如图,以圆心为坐标原点,过平行于的直线为轴建立平面直角坐标系。
因为△为等腰直角三角形,所以坐标为
设点坐标,
当,即时
解法二:
如图,以为坐标原点,所在的直线为轴建立平面直角坐标系。
因为△为等腰直角三角形,所以圆心坐标为,
圆方程为,即
设点坐标,则点的坐标满足上式,
当时,
说明:通过以上两种解法可见,不同的坐标系的建立方法对解题模式的影响是巨大的,虽然解法二也可用参数方程,但显然计算很复杂。并且以上两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法。所以,在解题时我们应综合分析题意,就能选择出恰当的角度和方法来解决问题。