三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 椭圆的简单几何性质 文 4页

第64课 椭圆的简单几何性质 ‎1．（2019烟台质检）设、为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交、 两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵面积 当且仅当、为椭圆短轴上两端点时等号成立，‎ ‎∴不妨设的坐标为，‎ ‎2．（2019佛山二模）已知直线：与椭圆：交于两点，为椭圆的点，则使的面积为的点的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 C ‎【解析】∵，∴点到直线的距离，‎ 设过点的直线方程为，‎ ‎∴直线和直线的距离，‎ ‎∴，解得或，‎ 当时，由，得，‎ ‎∵，∴有两解．‎ 当时，由，得，‎ ‎∵，∴无解．‎ ‎3．（2019陕西高考）设椭圆: 过点，离心率为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．‎ ‎【解析】（1）将点代入的方程得,  ∴，‎ 又 得，即，  ‎ ‎∴，∴的方程为 ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与的交点为，，‎ ‎∵，即， ‎ ‎∴ 的中点坐标，‎ ‎∴所截线段的中点坐标为．‎ ‎4．已知椭圆过点，且离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与该椭圆有两个交点，当线段的中点在直线上时，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）依题意： ∴. ‎ 由，得. ‎ ‎ ∴所求椭圆方程为. ‎ ‎（2）由，得 ‎ ∵直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 设坐标分别为，‎ ‎∵线段的中点在直线上，‎ ‎∴，即， ‎ ‎ ∴ 代入（*）‎ 得：，‎ ‎ ∴或.‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎4．（2019陕西高考）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．‎ ‎【解析】（1）由已知可设椭圆的方程为，‎ ‎∵椭圆和椭圆的离心率为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎ （2）设两点的坐标分别为，，‎ ‎ 由及（1）知，‎ 三点共线且点不在轴上，‎ ‎∴可设直线的方程的方程为．‎ ‎∴椭圆的方程为，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 由，得，即，‎ 解得，‎ ‎∴直线的方程为或．‎ ‎6．（2019西城二模）已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于，两点，求（为原点）面积的最大值．‎ ‎【解析】（1）由 ，得 ． ① ‎ 由椭圆经过点，得． ② ‎ 联立① ②，解得 ，． ‎ ‎∴椭圆的方程是 ． ‎ ‎（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去得 ． ‎ 令，得．‎ 设，，则 设 ，‎ 则 ‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 此时面积取得最大值． ‎