高考数学三轮专项模拟试卷理数列推理与证明含解析新人民教育出版版 10页

数列、推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于(　　)‎ A．[0，＋∞)　　　　　 B．[0,1)‎ C．(1，＋∞) D．(0,1]‎ ‎【解析】　由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，‎ 所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题， 则(　　)‎ A．命题p、q均为假命题 B．命题p、q均为真命题 C．命题p、q中至少有一个是真命题 D．命题p、q中至多有一个是真命题 ‎【解析】　命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3．(2013·宁波模拟)等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为(　　)‎ A．7　　　 B．‎8　‎　　　‎ C．9　　　 D．10‎ ‎【解析】　由S13＝＝0得a1＋a13＝‎2a7＝0，所以a7＝0，又a1＝－12，故n≥8时，an＞0.‎ ‎【答案】　B ‎4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ ‎【解析】　设公比为q，∵S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，‎ ‎∴∴ 解得a1＝，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎5．下列函数中与函数y＝－3|x|奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)‎ A．y＝－ B．y＝log2|x|‎ C．y＝1－x2 D．y＝x3－1‎ ‎【解析】　函数y＝－3|x|是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎6．(2013·大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)‎ A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)‎ C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)‎ ‎【解析】　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10). ‎ ‎【答案】　C ‎7．已知向量a、b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(‎2a＋b)的值为(　　)‎ A．48 B．32 ‎ C．1 D．0‎ ‎【解析】　b·(‎2a＋b)＝‎2a·b＋b2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.‎ ‎【答案】　D ‎8．已知f(x)＝＋log2，则f＋f＋…＋f的值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．2 013 D．2 014‎ ‎【解析】　对任意0＜x＜1，可得f(x)＋f(1－x)＝.‎ 设S＝f＋f＋…＋f 则S＝f＋f＋…＋f 于是2S＝＋ ＋…＋[f＋f]‎ ‎＝×2 013＝2，所以S＝1.‎ ‎【答案】　A 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)‎ ‎9．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin 2α的值为________．‎ ‎【解析】　由已知得sin α＝，cos α＝－，‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎10．(2013·昆明模拟)已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15等于________．‎ ‎【解析】　由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)得，(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2)，数列{an}从第二项起构成等差数列，S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.‎ ‎【答案】　211‎ ‎11．(2013·东城模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 013的值是________．‎ ‎【解析】　a‎1a2＝2×7＝14，所以a3＝4,4×7＝28，所以a4＝8,4×8＝32，所以a5＝2,2×8＝16，所以a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，所以从第三项起，an成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a2 013＝a3＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎12．由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．‎ ‎【解析】　y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为 S＝∫dx＝(x－sin x)|＝2π.‎ ‎【答案】　2π ‎13．(2013·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝csin C，b2＋c2－a2＝bc，则角B＝________.‎ ‎【解析】　由b2＋c2－a2＝bc得cos A＝＝，所以A＝30°.‎ 由acos B＋bcos A＝csin C得 sin Acos B＋cos Asin B＝sin‎2C，‎ 即sin(A＋B)＝sin‎2C，‎ 所以sin C＝sin‎2C.‎ 因为0°＜C＜180°，‎ 所以sin C＝1，‎ 即C＝90°，‎ 所以B＝60°.‎ ‎【答案】　60°‎ ‎14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．‎ 图1‎ ‎【解析】　由已知得第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n－2)＋1]＝3＋＝n2－2n＋3.‎ ‎【答案】　n2－2n＋3‎ ‎15．(2013·孝感模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为‎10 cm，最下面的三节长度之和为‎114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.‎ ‎【解析】　设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114得3an－1＝114，解得an－1＝38，(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.‎ ‎【答案】　16‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解】　(1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.‎ 对任意n∈N*，f′()＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，‎ 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．‎ 由a1＝2，a2＋a4＝8解得{an}的公差d＝1，‎ 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.‎ ‎(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，‎ Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.‎ ‎17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A(－1,3)．‎ ‎(1)若OA⊥OB，求tan α的值；‎ ‎(2)若B点横坐标为，求S△AOB.‎ ‎【解】　(1)由题可知：A(－1,3)，B(cos α，sin α)，‎ ＝(－1,3)，＝(cos α，sin α)，‎ 由OA⊥OB，得·＝0，‎ ‎∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝.‎ ‎(2)∵cos α＝，∴sin α＝＝，即B，‎ ‎∴＝(－1,3)，＝，‎ ‎∴|OA|＝＝，|OB|＝1，‎ 得cos∠AOB＝＝＝，‎ ‎∴sin∠AOB＝＝，‎ 则S△AOB＝|AO||BO|sin∠AOB＝××1×＝.‎ ‎18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1(n≥2且n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令dn＝1＋loga(a＞0，a≠1)，记数列{dn}的前n项和为Sn，若恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a和λ.‎ ‎【解】　(1)由题知a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1，①‎ 所以a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－1.②‎ 由①－②得：an＋1－2an＝0，即＝2(n≥2)，‎ 当n＝2时，a1－a2＝－1，‎ 因为a1＝1，所以a2＝2，＝2，‎ 所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 故an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)因为an＝2n－1，‎ 所以dn＝1＋loga＝1＋2nloga2.‎ 因为dn＋1－dn＝2loga2，‎ 所以{dn}是以d1＝1＋2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，‎ 所以＝ ‎＝＝λ ‎⇒(λ－4)nloga2＋(λ－2)(1＋loga2)＝0，‎ 因为恒为一个与n无关的常数λ，‎ 所以 解得λ＝4，a＝.‎ ‎19．(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.‎ ‎(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式．‎ ‎(2)设该生产线前n年的维护费用为Sn，求Sn.‎ ‎【解】　(1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，‎ 故an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.‎ 当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝的等比数列，‎ 则此时an＝16×n－7，‎ 所以an＝ ‎(2)当1≤n≤7时，Sn＝4n＋×2＝n2＋3n，‎ 当n≥8时，由S7＝70，得Sn＝70＋16×× ‎＝80×n－7－10，‎ 所以该生产线前n年的维护费用为 Sn＝ ‎20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Dn.‎ ‎(3)设cn＝an·sin2－bn·cos2(n∈N*)，求数列{cn}的前2n项和T2n.‎ ‎【解】　(1)当n＝1时，a1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，‎ 所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，‎ 又点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2，‎ 所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知an·bn＝(2n－1)×2n，‎ 所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①‎ ‎2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.②‎ ‎①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1‎ ‎＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1‎ ‎＝(3－2n)2n＋1－6，‎ 则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6.‎ ‎(3)cn＝ T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(b2＋b4＋…＋b2n)‎ ‎＝2＋23＋…＋22n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n2－n.‎ ‎21．(本小题满分13分)(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.‎ ‎(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞.‎ ‎(3)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn.‎ ‎【解】　(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝，‎ 当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，‎ 所以2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.‎ 因为bn＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1.‎ 又b1＝‎2a1＝1，所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．‎ 于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，所以an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得cn＝an＝(n＋1)n，‎ 所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)n，①‎ Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)n＋1.②‎ 由①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1‎ ‎＝1＋－(n＋1)n＋1‎ ‎＝－，‎ 所以Tn＝3－，‎ Tn－＝3－－＝，‎ 于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，‎ 由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；…‎ 可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：‎ 方法一：①当n＝3时，对上式验算显示成立．‎ ‎②假设当n＝k时成立，则n＝k＋1(k≥2)时，‎ ‎2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，‎ 所以当n＝k＋1时猜想也成立．‎ 综合①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1.‎ 方法二：当n≥3时，‎ ‎2n＝(1＋1)n＝C＋C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2＞2n＋1，‎ 综上所述，当n≥3时，Tn＞.‎ ‎(3)因为cn＝3n＋ ‎＝3n＋(－1)n－1λ·2n，‎ 所以cn＋1－cn＝[3n＋1＋(－1)nλ·2n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ·2n]‎ ‎＝2·3n－3λ(－1)n－1·2n＞0，‎ 所以(－1)n－1·λ＜n－1.①‎ 当n＝2k－1(k＝1,2,3，…)时，‎ ‎①式即为λ＜2k－2，②‎ 依题意，②式对k＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，‎ 当n＝2k，k＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－2k－1，③‎ 依题意，③式对k＝1,2,3，…都成立，‎ 所以λ＞－，所以－＜λ＜1，又λ≠0，‎ 所以存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn.‎