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- 2021-05-13 发布
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专题19 利用函数模型解决实际问题
【热点聚焦与扩展】
在近几年的高考试卷中,以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势.注重在知识的交汇点命题,与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合,综合考查函数方程思想及数学应用意识,考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用;考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.
1、使用函数模型解决实际问题
(1)题目特点:叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个,但均能够用两个核心变量进行表示).以其中一个为自变量,则另一个变量可视为自变量的函数,进而搭建出函数模型,再根据导数,均值不等式等工具求出最值
(2)需用到的数学工具与知识点:
① 分段函数:当自变量的不同取值导致解析式不同时,可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系,在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式,则通常要用分段函数进行表示.
② 导数:在求最值的过程中,若函数解析式不是常见的函数(二次函数,对勾函数等),则可利用导数分析其单调性,进而求得最值
③ 均值不等式:在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找到最值.
④ 分式函数的值域问题:可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函数求解
(3)常见的数量关系:
① 面积问题:可通过寻底找高进行求解,例如:
平行四边形面积底高 梯形面积(上底下底)高
三角形面积底高
② 商业问题:
总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本
③ 利息问题:
利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金
(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符,例如:涉及到个数时,变量应取正整数.涉及到钱,速度等问题,变量的取值应该为正数.
2、使用线性规划模型解决实际问题
26
(1)题目特点:叙述中也有两个核心变量,但条件多为涉及两核心变量的不等关系,且所求是关于两个核心变量的表达式,这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
(2)与函数模型的不同之处
① 函数模型:体现两核心变量之间的等量关系,根据一个变量的范围求另一个变量的范围(或最值)
② 线性规划模型:体现关于两变量的不等关系,从而可列出不等式组,要解决的是含两个变量的表达式的最值.
(3)解题步骤:根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量,其余变量用这两个进行表示),并列出约束条件和目标函数,然后利用数形结合的方式进行解决
(4)注意事项:在实际问题中,变量的取值有可能为整数,若最优解不是整数,则可在最优解附近寻找几对整点,代入到目标函数中并比较大小
3、使用三角函数模型解决实际问题
(1)题目特点:题目以几何图形(主要是三角形)作为基础,条件多与边角相关
(2)需要用到的数学工具与知识点:
① 正弦定理:设三边所对的角分别为,则有
② 余弦定理(以和对角为例),
③ 三角函数表达式的化简与变形
④ 函数的值域
(3)解题技巧与注意事项:
① 在求边角问题时,应把所求的边或角放在合适的三角形中
② 在直角三角形里,已知一条边,则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示
③ 在图形中要注意变量的取值范围
【经典例题】
例1.【2019届上海市松江、闵行区高三下学期(二模)】某公司利用线上、实体店线下销售产品,产品在上市天内全部售完.据统计,线上日销售量、线下日销售量(单位:件)与上市时间 天的关系满足: ,产品每件的销售利润为(单位:元)(日销售量线上日销售量线下日销售量).
(1)设该公司产品的日销售利润为,写出的函数解析式;
(2)产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元?
26
【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.
【解析】试题分析:
(1)由题意分类讨论,分别求得销售量,然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为
(2)结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.
综上可得:
(2)当时,由,解得;
当时,由,解得;
当时,由,无解.
故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.
点睛:(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
例2.【2019年江苏省高考冲刺预测卷一】
26
秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花137600元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费);该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,所付费用(元)与使用年数的关系为:(,且),已知第二年付费1800元,第五年付费6000元.}
(Ⅰ)试求出该农机户用于维修保养的费用(元)与使用年数的函数关系;
(Ⅱ)这台收割机使用多少年,可使平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)14.
【解析】试题分析:根据第二年付费元,第五年付费元可得关于的方程组,解出即可得到
则依题意,,
,
当且仅当,即时取等号.
所以这台收割机使用14年,可使年均收益最大.
例3.【2019届广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学,惠州一中)高三下第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
26
(Ⅰ)若小店一天购进16份,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:份,)的函数解析式;
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位:份),整理得下表:
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品,表示当天的利润(单位:元),求的分布列及数学期望;
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品16份还是17份?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)答案见解析;(ii)17份.
的大小可得选择的结论.
26
X
62
71
80
P
0.1
0.2
0.7
∴元.
(ii)若小店一天购进17份食品,表示当天的利润(单位:元),那么的分布列为
Y
58
67
76
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
∴的数学期望为元.
由以上的计算结果可以看出,
即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润.
∴所以小店应选择一天购进17份.
例4.【2019届江苏省无锡市高三上期末】如图,点为某沿海城市的高速公路出入口,直线为海岸线,,,是以为圆心,半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线,其中为上异于的一点,与平行,设.
(1)证明:观光专线的总长度随的增大而减小;
(2)已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2).
26
,求出,分两区间 讨论的单调性,以证明为极小值点.
试题解析:
(1)由题意,,所以,
又,
所以观光专线的总长度
,,
因为当时,,
所以在上单调递减,
当时,,当时,.
所以,当时,最小.
26
答:当时,观光专线的修建总成本最低.
【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题,在生产、生活中经常遇到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值,但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.
例5.如图所示,甲船以每小时的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距 .当甲船航行 到达处时,乙船航行到甲船的北偏西 方向的处,此时两船相距 ,问乙船每小时航行多少?
【答案】.
【解析】试题分析:连接,先得是等边三角形,求出,在中使用余弦定理求出的长,除以航行时间得出速度.
试题解析:如图,连结,由题意知, .所以.
又,
26
答:乙船每小时航行 .
例6.【2019届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:以为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:以为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与或垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设的长为dm,则当为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
26
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)设所得圆柱的半径为,根据矩形薄铁皮的面积为100,即可求得的值;
试题解析:(1)设所得圆柱的半径为,则,
解得.
(2)设所得正四棱柱的底面边长为dm,则即
方法一:
所得正四棱柱的体积
记函数则在上单调递增,在上单调递减.
∴当时, .
∴当, 时, dm3.
26
(2)当为时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.
例7.【2019届江苏省南通市高三上第一次调研】如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为的正方形,另一部分是以为直径的半圆,其圆心为.规划修建的条直道, , 将广场分割为个区域:Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分),Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域,其中点在半圆弧上, 分别与, 相交于点, .(道路宽度忽略不计)
(1)若经过圆心,求点到的距离;
(2)设, .
①试用表示的长度;
②当为何值时,绿化区域面积之和最大.
【答案】(1)(2)①最小值为②当时,绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大
26
半圆的方程为 ,
由得.
所以,点到的距离为.
(2)①由题意,得.
直线的方程为
,
令,得
.
直线的方程为,
令,得 .
26
所以 .
设,则,
.
.
当且仅当,即时“”成立.
所以,休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.
答:当时,绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.
例8.【2019届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】现有一块大型的广告宣传版面,其形状是右图所示的直角梯形.某厂家因产品宣传的需要,拟投资规划出一块区域(图中阴影部分)为产品做广告,形状为直角梯形(点在曲线段上,点在线段上).已知, ,其中曲线段是以为顶点, 为对称轴的抛物线的一部分.
(1)建立适当的平面直角坐标系,分别求出曲线段与线段的方程;
(2)求该厂家广告区域的最大面积.
26
【答案】(1) , ;(2)最大值是
则, , , ,
曲线段的方程为: ;
线段的方程为: ;
(2)设点,则需,即,
26
令,得, .
∴在上是增函数,在上是减函数.
∴.
∴厂家广告区域的面积最大值是.
点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题,关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式,利用导数研究单调性即可求出最值.
例9. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格:(单位:元/套)满足的关系式,其中为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求的值;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
【答案】(1)10;(2)约为3.3.
【解析】解:(1)将代入关系式可得:
(2)思路:依题意可得售出一套,所得利润为元,所以总的利润 ,其中,利用导数判定的单调性,进而可求得最大值点
26
在取得最大值,即
例10.如图,在海岸线一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段,该曲线段是函数的图像,图像的最高点为,边界的中间部分为长1千米的直线段,且∥,游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧
(1)求曲线的函数表达式
(2)曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米,现准备从入口,修一条笔直的景观路到,求景观路的长度
(3)如图,在扇形区域内建一个平行四边形休闲区,平行四边形的一边在海岸线上,一边在半径上,另外一个顶点在圆弧上,且,求平行 四边形休闲区面积的最大值及此时的值
【答案】(1);(2);(3)时,的最大值为 .
26
【解析】解:(1)由可知,
对于,
(2)由已知可得
或
解得:或,由可得:
(3)由图可知,
26
时,的最大值为
【精选精练】
1.【2019年北京市门头沟一模】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标。分值权重表如下:
总分
技术
商务
报价
100%
50%
10%
40%
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活,报价标的评分方法是:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基础上扣0.8分。在某次招标中,若基准价为1000(万元)。甲、乙两公司综合得分如下表:
公司
技术
商务
报价
甲
80分
90分
分
26
乙
70分
100分
分
甲公司报价为1100(万元),乙公司的报价为800(万元)则甲,乙公司的综合得分,分别是
A. 73,75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4
【答案】A
点睛:对及时定义的题目,关键是读懂题意,正确根据新定义化简或求值,注意与区别原有定义的区别.
2.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】问题“今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织几何?”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》,该问题的答案是( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】A
【解析】由已知可得该女子三十日每日织布数组成一个等差数列,设为,且,则,故选A.
3.【衡水金卷调研卷(五)】河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列,则的值为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】最下层的“浮雕像”的数量为,依题有:公比,解得,则, ,从而,故选C.
26
4.【2019届青海省西宁市高三下学期(一模)】我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为( )
A. () B. ()
C. () D. ,( )
【答案】D
5.【2019届高考全程训练】某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:
因素
产品
产品
备注
研制成本、搭载费用之和/万元
20
30
计划最大投资
金额300万元产品质量/千克
10
5
最大搭载
质量110千克预计收益/万元
80
60
——
则使总预计收益达到最大时, 两种产品的搭载件数分别为( )
A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4
【答案】A
26
由解得,故M(9,4).
所以目标函数的最大值为zmax=80×9+60×4=960,此时搭载产品A有9件,产品B有4件.
故选A.
点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
6.【2019届广东省广州市广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学高三上学期期中】如图,是半径为,的扇形,是弧上的点,是扇形的内棱矩形,经,若,且当时,四边形的面积取得最大,则的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
26
【解析】由题意,则,,,则
点睛:此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角函数的定义,三角函数的基本关系式,三角函数的恒等变换,得到三角函数的解析式,进一步讨论函数的性质,本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是忽视设定角的范围,难度不大,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
7.【2019届山东K12联盟高三开年迎春考试】公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第1题为:今有户出银一斤八两一十二铢,今以家有贫富不等,今户别作差品,通融出之,最下户出银八两,以次户差各多三两,问户几何?题目的意思是:每户应交税银1斤8两12铢,若考虑贫富的差别,家最贫者交8两,户别差为3两,则户数为__________.(1斤两,1两铢)
【答案】12
【解析】将本题转化为数学问题:等差数列中,首项,公差,1斤8两12铢=24.5两,设户数为n,则,所以。
8.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.
【答案】1600
【解析】设长方体的底面的长为xm,则宽为m,总造价为y元,则,当且仅当,即x=2时,等号成立,
故答案为1600元
9.【2019届(衡水金卷调研卷)五】
26
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为里, 里, 里,假设里按米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为___________米.
【答案】
【解析】
10.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本万元,每生产(百辆),需另投入成本万元,且.由市场调研知,每辆车售价万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2019年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2019年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】(1);(2)当时,即年生产百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为万元.
【解析】试题分析:(1)利用给定的公式“利润=销售额-成本”计算利润,因为成本函数是分段函数,故需要分类计算得到利润函数为.(2)当时,,这是二次函数,其最大值为;当时,,最大值为,因此年生产百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为万元.
26
(2)当时,,
∴当时,;
当时, ,
当且仅当,即时,;
∴当时,即年生产百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为万元.
11.【2019届上海市虹口区高三上学期期末】如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2,宽为1的矩形,矩形两边, 紧靠两条互相垂直的路上.现要过点修一条直线的路,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点和.
(1)设(),将的面积表示为的函数;
(2)求的面积()的最小值.
【答案】(1);(2)4.
26
(2)设
当且仅当即时, 取得最小值4.
12.【2017课标3,文18】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出的所有可能值,并估计大于零的概率.
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【答案】(1);(2)
(2)的可能值列表如下:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
300
900
900
900
低于:;
:;
不低于:
∴大于0的概率为.
26
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