备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题30 小题不小——比较大小 15页

专题30 小题不小----比较大小 ‎【热点聚焦与扩展】‎ ‎ 高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.‎ ‎（一）常用技巧和方法 ‎1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：‎ 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和 ‎（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数 ‎（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数 例如：等 ‎2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 ‎3、比较大小的两个理念：‎ ‎（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ‎，从而只需比较底数的大小即可 ‎ ‎（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较 ‎4、常用的指对数变换公式：‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ 15‎ ‎（4）换底公式： ‎ 进而有两个推论： （令） ‎ ‎（二）利用函数单调性比较大小 ‎1、函数单调性的作用：在单调递增，则 ‎(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）‎ ‎2、导数运算法则：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎3、常见描述单调性的形式 ‎（1）导数形式：单调递增；单调递减 ‎（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 ‎4、技巧与方法：‎ ‎（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点 ‎（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整 ‎（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 ‎（三）数形结合比较大小 ‎1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系 ‎（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小 ‎（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：‎ 15‎ 自变量距离轴越近，其函数值越大 ‎2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则（ ）‎ A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎【答案】D ‎【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.‎ 例2.【2017天津，文理】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，‎ 从而是上的偶函数，且在上是增函数，‎ ‎，‎ ‎，又，则，所以即，‎ ‎，‎ 所以，故选C．‎ 15‎ ‎【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.‎ 例3.已知均为正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点.先作出图象，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可.‎ 例4.【2019届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小.‎ 详解：，,，‎ ‎∴，故选D.‎ 点睛：比较大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函数单调性比较大小； （3）借助中间变量比较大小. ‎ 15‎ 例5.【2019年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.‎ 且，，‎ 在上单调递减，‎ ‎，‎ 即 ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 15‎ 例6.【2019届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 由指数函数的性质可得 ‎,由可得 ‎,所以，‎ 根据函数的单调性可得，故选C.‎ 例7．【2019届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．‎ 详解：当时，，则在上是增函数， ‎ 15‎ 故选D．‎ 例8.已知函数，且，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】思路：本题具备同构特点，但导数 难于分析 单调性，故无法比较的大小.换一个角度，可发现的图象可作，且具备几何含义，即，即与原点连线的斜率.所以作出的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由可得：‎ 答案：B 例9.【2019届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，‎ 15‎ ‎，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵当时，；当时，‎ ‎∴当时，，；‎ 当时；.‎ ‎∴‎ 故选D.‎ 例10.【2019届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 则其导数 ‎ 又由满足， 则有 则函数在 上为增函数， 若 是锐角三角形，则有 即 即有 或 ‎ ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．‎ ‎【精选精练】‎ ‎1.【2019届北京市海淀区二模】已知，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.‎ 详解：因为时， , , ,‎ 所以可排除选项，故选D.‎ 点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)‎ 15‎ 求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.‎ ‎2．【2019届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 故选A．‎ ‎3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，且，所以 ‎ ，所以选B.‎ ‎4．【2019届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数的大小关系正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知， ， ，即， ， ，∴，故选C.‎ 15‎ ‎5．【2019届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ ‎6．【2019届湖北省4月调研】已知，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设，得，利用导数研究其单调性可得的大小关系，又由，即可得出结论.‎ 详解：设，则，‎ 可得函数在内单调递增，所以，即，‎ 可化为，即，又，‎ 所以，故选B.‎ 点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.‎ 15‎ ‎7．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.‎ ‎8.【2019年4月8日 每周一测】已知函数为偶函数，当时， ，设， ， ，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先判断出在上为增函数，由奇偶性可得 根据对数函数与指数函数的性质得到、、的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.‎ 由单调性可得，‎ ‎，故选A.‎ 15‎ ‎9．【2019届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，即A>C，‎ ‎，即BC>B.‎ 本题选择B选项.‎ ‎10．【2019届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知 ，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令， ， ，令在R上单调递减，所以 15‎ ‎>,即a>c,又因为，在（0,1）上单调递增，所以,即a