湖北高考数学文科试卷带详解 14页

‎ 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,，则满足条件的集合C的个数为 ( )‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】子集的应用.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】求 ‎ ‎，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个.故选D.‎ ‎2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：‎ 分组 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间的频率为 ( )‎ A．0.35 B．‎0.45 C．0.55 D．0.65 【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题 ‎【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为.故选B.‎ ‎3．函数在区间上的零点的个数为 ( )‎ A．2 B．‎3 C．4 D.5 ‎ ‎【测量目标】函数零点求解与判断.‎ ‎【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由，得或；其中，由，得，故.又因为，所以.所以零点的个数为个.故选D.‎ ‎4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定.‎ ‎【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.‎ ‎5．过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )‎ A． B. C. D. ‎ ‎【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.‎直线的方程 ‎【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则,故所求直线的斜率为.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即.故选A.‎ ‎6．已知定义在区间（0,2）上的函数的图象如图所示，则的图象为 ( )‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】函数的图象的识别.‎ ‎【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】排除法：当时，，故可排除A,C项；当时，，故可排除D项；所以由排除法知选B.‎ ‎7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数： ( )‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.‎ ‎【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】设数列的公比为.对于①，,是常数，故①‎ 符合条件;对于②，，不是常数，故②不符合条件;对于③，‎ ‎，是常数，故③符合条件;对于④, ，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C ‎8．设的内所对的边分别为. 若三边的长为连续的三个正整数，且 ，，则为 ( )‎ A. B. C． D. ‎ ‎【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.‎ ‎【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】因为为连续的三个正整数，且，可得，所以①；又因为已知，所以②.由余弦定理可得③，则由②③可得④，联立①④，得，解得或（舍去），则，.故由正弦定理可得，.故应选D.‎ ‎9．设,“”是“ ”的 ( )‎ A．充分条件但不是必要条件　　　　 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．既不充分也不必要的条件 【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.‎ ‎【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】时，‎ ‎，‎ 而（当且仅当，且，即时等号成立），故；但当取,显然有,但,即由不可以推得；综上，是的充分不必要条件,应选A. ‎ ‎10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.‎ ‎【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】如下图所示，设的中点为，的中点为，半圆与半圆的交点分别为，则四边形是正方形.不妨设扇形的半径为，记两块白色区域的面积分别为，两块阴影部分的面积分别为.‎ 则, ①‎ 而，即, ②‎ 由①-②，得.‎ 又由图象观察可知，‎ ‎.‎ 故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：‎ ‎.故选C.‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人． ‎ ‎ 【测量目标】分层抽样的应用.‎ ‎ 【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比.‎ ‎ 【参考答案】6‎ ‎【试题解析】 设抽取的女运动员的人数为，则根据分层抽样的特性，有，解得.故抽取的女运动员为6人.‎ ‎12．若（，为实数，为虚数单位），则 .‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握.‎ ‎【参考答案】3‎ ‎【试题解析】因为，所以.又因为 都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以.‎ ‎13已知向量，，则 ‎（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为 ； ‎ ‎（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为 .‎ ‎【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等.‎ ‎【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.‎ ‎【参考答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故.即与同向的单位向量的坐标为.‎ ‎（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则.‎ ‎14．若变量满足约束条件,则目标函数的最小值是 .‎ ‎【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值.‎ ‎【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解. ‎ ‎【参考答案】2‎ ‎【试题解析】作出不等式组所表示的可行域(如下图的及其内部）,目标函数在的三个端点处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数的最小值为2.‎ ‎15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .‎ ‎【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.‎ ‎【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. ‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是.‎ ‎16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 . ‎ ‎【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.‎ ‎【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果.‎ ‎【参考答案】9‎ ‎【试题解析】由程序框图可知：‎ 第一次:,满足判断条件;‎ 第二次,满足判断条件 第三次:,此时不满足判断条件，故终止运行，输出的值.‎ 综上，输出的值为9.‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎···‎ ‎17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：‎ 第17题图 将三角形数1，3，6，10，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列. 可以推测：‎ ‎（Ⅰ）是数列中的第________项；‎ ‎（Ⅱ）________.（用k表示）‎ ‎【测量目标】数学归纳法.‎ ‎【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力.‎ ‎【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）‎ ‎【试题解析】易知，写出数列的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故.‎ 同理，.‎ 从而由上述规律可猜想：，（为正整数）.‎ 故,即是数列中的第5030项.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设函数,的图象关于直线对称，其中为常数，且 ‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）若的图象经过点，求函数的值域. ‎ ‎【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用.‎ ‎【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.‎ ‎【试题解析】解：（Ⅰ）因为 ‎. ‎ 由直线是图象的一条对称轴，可得， ‎ 所以，即． ‎ 又，，所以，故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎（Ⅱ）由的图象过点，得，‎ 即，即. ‎ 故，函数的值域为. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ C B A D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 第19题图 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱. ‎ ‎（Ⅰ）证明：直线平面； ‎ ‎（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知， ，（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ ‎ ‎【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.‎ ‎【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积 ‎【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱的侧面是全等的矩形，‎ 所以，. 又因为，所以平面ABCD. ‎ 连接BD，因为平面ABCD，所以.‎ 因为底面ABCD是正方形，所以 ‎ 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面. ‎ 又已知平面ABCD∥平面，且平面平面，‎ 平面平面，所以B1 D1∥BD. 于是 由，，B1 D1∥BD，可得，.‎ 又因为，所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以 ‎.‎ 又因为四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，‎ 所以 ‎. ‎ 于是该实心零部件的表面积为，‎ 故所需加工处理费为（元）. ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.‎ ‎【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.‎ ‎【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎.21．（本小题满分14分）‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，且它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.‎ ‎【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.‎ ‎【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以 ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，. ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ），设，，则，‎ ‎，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又，，三点共线，所以，即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有 ‎. ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 设函数,，为正整数，a，b为常数. 曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ ‎【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.‎ ‎【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.‎ ‎【试题解析】解：（Ⅰ）因为，由点在上，可得，即 ‎. ‎ 因为，所以. ‎ 又因为切线的斜率为，所以，即. 故，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.‎ 令，解得，即在上有唯一零点. ‎ 在上，，故单调递增； ‎ 而在上，，单调递减.‎ 故在上的最大值为. ‎ ‎（Ⅲ）令，则.‎ 在上，，故单调递减；‎ 而在上，单调递增.‎ 故在上的最小值为. 所以，‎ 即. ‎ 令，得，即，‎ 所以，即.‎ 由（Ⅱ）知，，故所证不等式成立. ‎