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2013年高考数学第一轮复习资料
第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．
解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B
2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0
3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．
解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.
答案：BA
4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②
5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.
答案：a<5
6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？
解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.
B组
1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．
解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}
2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.
解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8
4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－1
5．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．
解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________．
解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件
8．(2011年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．
解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511
9．(2012年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．
解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1.
∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．
于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A.
②若B≠∅，则解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3,4]．
(3)若A＝B，则必有解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B.
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；
(2)若B是A的子集，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2.
(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.
(3)若A=B，则必有a=2
第二节 集合的基本运算
A组
1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____.
解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|01}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．
(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
(2)若B⊆A，求m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|11，即m的取值范围为(1，＋∞)
B组
1．若集合M＝{x∈R|－33}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}
4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n
6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，
得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}
7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
解析：由⇒点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.
9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M
的所有子集是________．
解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．
答案：∅，{1}，{2}，{1,2}
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
⇒矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.
11．已知函数f(x)＝ 的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1.
综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>.
(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．
当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，
方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．
综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．
(3)当a＝0时，A＝{}≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，即a≤.
综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤}
第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A组
1．(2009年高考江西卷改编)函数y＝的定义域为________．
解析：⇒x∈[－4,0)∪(0,1]
答案：[－4,0)∪(0,1]
2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．
解析：由图象知f(3)＝1，f()＝f(1)＝2.答案：2
3．(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；
当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log32
4．(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1，}→{1，}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)＝________.
解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，
令x＝－1得：－1＝b3；
再令x＝0与x＝1得，
解得b1＝－1，b2＝0.
答案：(－1,0，－1)
6．已知函数f(x)＝(1)求f(1－)，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝， 求a.
解：f(x)为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－＝1－(＋1)＝－<－1，∴f(－)＝－2＋3，
又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋＝.
(2)若3x－1>1，即x>，f(3x－1)＝1＋＝；
若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；
若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.
∴f(3x－1)＝
(3)∵f(a)＝，∴a>1或－1≤a≤1.
当a>1时，有1＋＝，∴a＝2；
当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a＝±.
∴a＝2或±.
B组
1．(2010年广东江门质检)函数y＝＋lg(2x－1)的定义域是________．
解析：由3x－2>0,2x－1>0，得x>.答案：{x|x>}
2．(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)＝则f(f(f()＋5))＝_.
解析：∵－1≤≤2，∴f()＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，
∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7
3．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为________．
解析：∵对任意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，
由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
由2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)，
∴f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1f(1)的解集是________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)>f(1)＝3时，令f(x)＝3，
解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3.
当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－33.
综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－33}．答案：{x|－33}
8．(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为________．
解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－2
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________．
解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95(20≤x≤)．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤)
10．函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．
解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，
(ⅰ)若a＝1时，f(x)＝，定义域为R，符合题意；
(ⅱ)当a＝－1时，f(x)＝，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．
②若1－a2≠0，则g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数．
由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立，
∴∴
∴－≤a<1.由①②可得－≤a≤1.
(2)由题意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两个根．
∴∴∴a＝2.
11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式．
解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1.
又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，
∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.
12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数)
(1)写出g(x)，h(x)的解析式；
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？
解：(1)g(x)＝(0f(x2)”的是________．
①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：①
2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(00时，f(x)＝ex＋，则满足f′(x)＝ex－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.
答案：－1≤a≤1
5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．
①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝
解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为0，即f(x)＝ex是有下确界的函数；
∵f(x)＝的下确界为－1.∴f(x)＝是有下确界的函数．答案：①③④
6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，
①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需
－≤m≤0.
②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x10.
∴∴－40)在(，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__．
解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上为增函数，∴≤，00，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．
解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴00，即x>0或x<－.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)．答案：(－∞，－)
10．试讨论函数y＝2(logx)2－2logx＋1的单调性．
解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logx，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－)2＋在u∈(－∞，)上是减函数，在u∈(，＋∞)上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得01时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．
12．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．
解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log3＝1.即a＋b＝2.
设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即＞恒成立．
由此得＞0恒成立．
又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.
设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴＜0恒成立．
∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件．
第三节 函数的性质
A组
1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．
解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)
2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．
解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：0
3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．
解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当60，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．
5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：1
6．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－，若当2a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为________．
解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)
8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.
解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－1
9．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：-8
10．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)．
∴f(x)＝即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．
11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)法一：设x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
法二：设x10，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2010]上的所有x的个数．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)
又设11，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于________．
解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2
2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.
解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝，则f(3)＝()3－3＝3－3.
答案：3－3
3．函数y＝()2x－x2的值域是________．
解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴()2x－x2≥.答案：[，＋∞)
4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)
5．(原创题)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
解析：由题意知无解或⇒a＝.答案：
6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)法一：由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
法二：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得＋<0
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0
整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
B组
1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．
①00 ②01且b<0 ④a>1且b>0
解析：当00，a≠1)；②g(x)≠0；若＋＝，则a等于________．
解析：由f(x)＝ax·g(x)得＝ax，所以＋＝⇒a＋a－1＝，解得a＝2或.答案：2或
4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f－1(x)．若f(2)＝9，则f－1()＋f(1)的值是________．
解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝，∴x＝－1，
故f－1()＝－1.又f(1)＝3，所以f－1()＋f(1)＝2.答案：2
5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()x上，∴y
＝()2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)
6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝的图象大致为________．
解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.
又∵y＝＝＝＝1＋在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①
7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.
解析：∵2<3<4＝22，∴10，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．
解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，
(1)当01时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值．
∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3.
11．已知函数f(x)＝.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；
(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－，
P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．
∴－2－y＝－2＋＝＝＝，
说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称．
(2)由f(x)≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数．
∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.
12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且
f(x)＝(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满足ap2时，g(x)＝
所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32.
当p1log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1－x<3p2－x3log32·3x－p2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)．
当p10，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝________.
解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，∴f(x)＝logx.答案：logx
2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是________．
解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈(，1)，c＝log3＝log32∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c
3．若函数f(x)＝，则f(log43)＝________.
解析：01.
又是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④
5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_．
解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2，
即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0
6．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)0；④f()<.上述结论中正确结论的序号是________．
解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f()＝lg，＝＝lg，∵≥，且x1≠x2，∴lg>lg，所以④错误．
答案：②③
3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：
a*b＝，则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________．
解析：在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，
由图象可得
f(x)＝，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]
4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为________．
解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以a＝.
答案：
5．已知函数f(x)满足f()＝log2，则f(x)的解析式是________．
解析：由log2有意义可得x>0，所以，f()＝f()，log2＝log2x，即有f()＝log2x，故f(x)＝log2＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0)
6．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________.
解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：
7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________．
解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2；
当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1；
当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0；
当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1；
当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2；
当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2
8．(2010年福建厦门模拟)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________．
解析：由题知，a＝，则f(x)＝()x＝b－x，g(x)＝－logbx，当01时，f(x)单调递减，g(x)单调递减．
答案：②
9．已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________．
解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9
10．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．
解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0.
①当0；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上可得当00，∴k>.
又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(，1)．
11．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－10且a≠1.
(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；
(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)，
∴f(x)＝(ax－a－x)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)是R上的奇函数．
当a>1时，>0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数；
当00且a≠1时，f(x)是R上的增函数．
(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
∴解得m∈(1，)．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x)1且01的解集为________．
解析：∵a>1,01⇔logb(x－3)>0⇔logb(x－3)>logb1⇔01时，＝x>1，∴x>x，∴排除①.答案：④
3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．
①2x>x>lgx ②2x>lgx>x ③x>2x>lgx ④lgx>x>2x
解析：∵x∈(0,1)，∴2>2x>1,00，即a<0.由a2≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝
(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a<0时，f()＝a2.若x>a，则由①知f(x)≥a2；
若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2.此时g(a)＝a2.
综上，得g(a)＝
(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
(ⅱ)当a∈[－，)时，解集为[，＋∞)；
(ⅲ)当a∈(－，－)时，解集为(a，]∪[，＋∞)．
B组
1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值是__________．
解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－)，则－＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝.答案：
2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．
解析：由表知＝()α，∴α＝，∴f(x)＝x.∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当k＝1时，F(x)的值域为__________．
解析：当x>0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以k＝1时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
4．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为__________．
解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4.又f(－2)＝0，可得c＝4，∴或可得－3≤x≤－1或x>0.答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}
5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是__________．
解析：函数f(x)＝的图象如图．
知f(x)在R上为增函数．
∵f(2－a2)>f(a)，即2－a2>a.
解得－20时，g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1＋x＝0，∴x2－x－1＝0，∴x＝2(舍)或x＝－，所以有两个零点．答案：2
8．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．
解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－，有一个实数根．答案：①②③
9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．
①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]
解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立．
答案：③
10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c0，
∴f(m－4)的符号为正．
11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.
证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，
∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－.
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，
①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．
②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
(3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，∴|x1－x2|＝＝ ＝ .∵－3<<－，∴≤|x1－x2|<.
12．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x1＋1)(x2＋1)<7.
解：(1)由f(x)＝x得ax2＋3x＋b＝0(a<0，a、b∈R)有两个不等实根为α、β，
∴Δ＝9－4ab>0，α＋β＝－，α·β＝.由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，
即(α＋β)2－4αβ＝－＝1，∴9－4ab＝a2，即a2＋4ab＝9(a<0，a、b∈R)．
(2)由(1)得a(a＋4b)＝9，∵a、b均为负整数，
∴或或显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有∴
故所求函数解析式为f(x)＝－x2＋4x－2.
(3)证明：由已知得x1＋x2＝－，x1·x2＝，又由α<1<β<2得α＋β＝－<3，α·β＝<2，∴－<1，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1·x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1<2＋4＋1＝7，
即(x1＋1)(x2＋1)<7.
第四节 函数的图像特征
A组
1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．
解析：可举实例说明如f(x)＝2x，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲
2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y＝·ax(a>1)的图象的基本形状是_____．
解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝，由指数函数图象易知①正确．
答案：①
3．已知函数f(x)＝()x－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且0log3x1，
∴f(x1)>0.答案：正值
4．(2009年高考安徽卷改编)设ab时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③
5．(原创题)已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是__________．
解析：在2x·x2≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即t2≥2t，由所给图象得2≤t≤4，
∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.
答案：－4≤x≤－2
6．已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．
B组
1.(2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln的图象只可能是__________．
解析：本题中f(x)的定义域为{x|－10时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．
解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)·g(x)→－∞答案：②
5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q1(吨)，加油机加油箱内余油Q2(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________.
解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为0.Q2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为__________．
解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数y＝f(x)为周期为2的周期函数，作图．
答案：6
7．函数y＝x(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示，则下列结论正确的是__________．
①mn>0，m，n均为奇数
②mn<0，m，n一奇一偶
③mn<0，m，n均为奇数
④mn>0，m，n一奇一偶
解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证<0，即mn<0，有y＝x＝x－；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n|定为偶数，n即为偶数，由于两个数互质，则m定为奇数．答案：②
8．(2009年高考福建卷改编)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是
①y＝x2＋1
②y＝|x|＋1
③y＝
④y＝
解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③
9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，且图象C′关于点(2，－3)对称，则a的值为__________．
解析：∵C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，
∴C′为x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1.整理得，y＋1＋a＝.
∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2.答案：2
10．作下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|.
解：(1)定义域{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝.先作函数y＝的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．
又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝的图象(如图(b)所示)．
(2)函数式可化为y＝其图象如图①所示．
(3)函数式化为y＝其图象如图②所示．
(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．
(5)先作出y＝2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象向右平移1个单位长度，即得y＝2|x－1|的图象，如图④所示．
11．已知函数f(x)＝－(a>0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－，则－1－y＝－1＋＝－.,f(1－x)＝－＝－＝－＝－.
∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
12．设函数f(x)＝(x∈R，且a≠0，x≠)．(1)若a＝，b＝－，指出f(x)与g(x)＝的图象变换关系以及函数
f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若ab＋1≠0，则f(x)的图象必关于直线y＝x对称．
解：(1)a＝，b＝－，f(x)＝＝＝2＋，
∴f(x)的图象可由g(x)的图象沿x轴右移2个单位，再沿y轴上移2个单位得到，f(x)的图象的对称中心为点(2,2)．
(2)证明：设P(x0，y0)为f(x)图象上任一点，则y0＝，P(x0，y0)关于y＝x的对称点为P′(y0，x0)．由y0＝得x0＝.∴P′(y0，x0)也在f(x)的图象上．故f(x)的图象关于直线y＝x对称.
第四章 函数应用
A组
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为________．
解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：3
2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
解析：据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．
答案：(1,2)
3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是__________．
解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.答案：2
4．(2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/千瓦时)
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．
故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．答案：148.4
5．(原创题)已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析：作f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即f(x)=a，当a=1时，g(x)有无数个零点；当a>1时，g(x)有2个零点；∴a的最小值为1.答案：1
6．(2009年高考上海卷)有时可用函数f(x)＝
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝.而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)单调递减．
∴当x≥7，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15ln＝0.85，整理得＝e0.05，
解得a＝·6≈20.50×6＝123.0，123．0∈(121,127]．
由此可知，该学科是乙学科．
B组
1．(2010年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________
①y＝2x－2 ②y＝()x ③y＝log2x ④y＝(x2－1)
解析：代入点(2,1.5)，(3,4)检验．答案：④
2．(2010年安徽省江南十校模拟)函数f(x)＝2x＋x－7的零点所在的区间是____．
①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4)
解析：因为f(0)＝－6<0，f(1)＝2＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0，所以函数的零点在区间(2,3)内．答案：③
3．已知函数f(x)＝x＋log2x，则f(x)在[，2]内的零点的个数是______．
解析：易知g(x)＝x与h(x)＝log2x均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2)·f()<0，故函数有且只有一个零点．答案：1
4．(2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于________分钟．
解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分钟．答案：200
5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
解析：由题知第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n·(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7
6．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：
f(x) ＝
令f(x)＝22.6，解得x＝9.答案：9
7.(2010年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A、B、C、D为圆心，以b(015000，解得00，f(x)是增函数；
当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
∴当x＝时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f()＝20000.
即当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元
第五章三角函数
第一节 角的概念的推广与弧度制
A组
1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos，sin)，即Q(－，)．答案：(－，)
2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tan ②sin ③cos ④cos2α
解析：α为第四象限角，则为第二、四象限角，因此tan<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①
3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角．
答案：三
4．函数y＝＋＋的值域为________．
解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；
当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；
当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；
当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}
5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为________．
解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝，易得tanα＝
eq
(3)或，则a＝－4或－.答案：－4或－
6．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－，y)(y≠0)，且sinα＝y，求cosα，tanα的值．
解：因为sinα＝y＝，所以y2＝5，
当y＝时，cosα＝－，tanα＝－；
当y＝－时，cosα＝－，tanα＝.
B组
1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．
解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝；
当a<0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝.答案：
2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．
解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，则
，解得α＝1或α＝4.答案：1或4
3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________．
解析：S＝|α|r2＝×π×100＝π(cm2)．答案：π cm2
4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°}
5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．
解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．
答案：一或三
6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．
解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝＝10|a|，
∴sinα－cosα＝－＝＝＝±.答案：±
7．(2010年北京东城区质检)若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．
解析：＝tan300°＝－tan60°＝－.答案：－
8．(2010年深圳调研)已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
解析：由sin>0，cos<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝.答案：
9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα<0，则k的值为________．
解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，
∴r＝＝|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，
∴r＝－x，且k<0.∴sinα＝＝＝－，又sinα＝.
∴－＝，∴k＝－2.答案：－2
10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝·π·10－·102sin60°＝50(－)(cm2)．
11．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝.∴S扇＝αr2＝α·＝≤4，
当且仅当α＝，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r＝＝2 (cm)，
∴|AB|＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．
12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角β的终边在直线y＝x上，用三角函数定义求sinβ的值．
解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝＝5|t|，
①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－，cosα＝，所以2sinα＋cosα＝－＋＝－.
②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝＝，cosα＝＝－，
所以2sinα＋cosα＝－＝.
(2)设P(a，a)(a≠0)是角β终边y＝x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝＝－；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，
此时sinβ＝＝.
第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组
1．若cosα＝－，α∈(，π)，则tanα＝________.
解析：cosα＝－，α∈(，π)，所以sinα＝，∴tanα＝＝－.
答案：－
2．(2009年高考北京卷)若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由sinθ＝－<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－.
答案：－
3．若sin(＋α)＝，则cos(－α)＝________.
解析：cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝.答案：
4．(2010年合肥质检)已知sinx＝2cosx，则＝______.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴＝＝.
答案：
5．(原创题)若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.
解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝时，有sinθ＝±.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或或－.答案：0或或－
6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，求cosα，sinα的值．
解：由题意，得2sinαcosα＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝，②－①得：(sinα－cosα)2＝.
又∵α∈(，)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝.③sinα－cosα＝，④
③＋④得：sinα＝.③－④得：cosα＝.
B组
1．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.
解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝＝＝.答案：
2．(2010年南京调研)cos＝________.
解析：cos＝cos＝－cos＝－.答案：－
3．(2010年西安调研)已知sinα＝，且α∈(，π)，那么的值等于________．
解析：cosα＝－＝－， ＝＝＝＝－.
答案：－
4．(2010年南昌质检)若tanα＝2，则＋cos2α＝_________________.
解析：＋cos2α＝＋＝＋＝.答案：
5．(2010年苏州调研)已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝___________________.
解析：∵tanx＝sin(x＋)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝.答案：
6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.
解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或.答案：0或
7．已知sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值等于________．
解析：由已知，得cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝－sin(α＋)＝－.
答案：－
8．(2008年高考浙江卷改编)若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
解析：由
将①代入②得(sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2.
答案：2
9．已知f(α)＝，则f(－)的值为________．
解析：∵f(α)＝＝－cosα，∴f(－π)＝－cos＝－.答案：－
10．求sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)(n∈Z)的值．
解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝sin·cos[(n＋1)π＋]
＝sin(π－)·cos＝sin·cos＝×＝.
(2)当n为偶数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝sin·cos＝sin(π－)·cos(π＋)＝sin·(－cos)＝×(－)＝－.
11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三内角．
解：由已知，得
①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±.
(1)当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.(2)当cosA＝－时，cosB＝－.又A、B是三角形内角，∴A＝π，B＝π，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝π.
12．已知向量a＝(，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求的值．
解：(1)∵a∥b，∴cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－cosα＝2sin(α－)．
又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－)＝－1时，mmin＝－2.
此时α－＝π，即α＝π.
(2)∵a⊥b，且m＝0，∴sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－.
∴＝＝tanα·2sinα·cosα
＝tanα·＝tanα·＝.
第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组
1．(2009年高考四川卷改编)已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是．
①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，]上是增函数
③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数
解析：∵y＝sin(x－)＝－cosx，y＝－cosx为偶函数，
∴T＝2π，在[0，]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④
2．(2009年高考广东卷改编)函数y＝2cos2(x－)－1是________．
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为的奇函数 ④最小正周期为的偶函数
解析：y＝2cos2(x－)－1＝cos(2x－)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．
答案：①
3．(2009年高考江西卷改编)若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝(1＋·)·cosx＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取得最大值2.答案：2
4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为________．
解析：∵x＝是对称轴，∴f(0)＝f()，即cos0＝asin＋cos，∴a＝.
答案：
5．(原创题)设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．
解析：∵T＝＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x＝对称，所以有sin(2×＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－)＝0得2x＋k1π－＝k2π(k2∈Z)，∴x＝＋(k2－k1)，当k1＝k2时，x＝，∴f(x)图象的一个对称中心为(，0)．答案：(，0)
6．(2010年宁波调研)设函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－.
(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和．
解：(1)f(x)＝(cos2x＋1)＋sin2x－＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)，
故T＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ＋，
所以单调递增区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋)＝1，则2x＋＝2kπ＋(k∈Z)．于是x＝kπ＋(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，则＋(π＋)＋(2π＋)＝.
∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为π.
B组
1．函数f(x)＝sin(x＋)＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：f(x)＝cos＋sin＝sin(＋)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝＝3π，∴＝.答案：
2．(2010年天津河西区质检)给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．
①y＝sin(＋) ②y＝sin(2x＋) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－)
解析：④中，∵T＝＝π，∴ω＝2.又2×－＝，所以x＝为对称轴．
答案：④
3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)若1，令tan2x－1＝t>0，则y＝tan2xtan3x＝＝＝－2(t＋＋2)≤－8，故填－8.答案：－8
4．(2010年烟台质检)函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．
解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间[－，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－. 答案：－
5．(2010年苏北四市调研)若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：由题意，得≥，∴0<ω≤，则ω的最大值为.答案：
6．(2010年南京调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]，则x0＝________.
解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x0＋)＝0，x0∈[－，0]，得x0＝－.答案：－
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋)②y＝2sin(2x＋)＋2③y＝2sin(4x＋)＋2 ④y＝2sin(4x＋)＋2
解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以，解得A＝m＝2，又最小正周期为＝，所以ω＝4，又直线x＝是其图象的一条对称轴，将x＝代入得sin(4×＋φ)＝±1，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，φ＝.答案：④
8．有一种波，其波形为函数y＝sinx的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
解析：函数y＝sinx的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥T＝5.答案：5
9．(2009年高考安徽卷改编)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵y＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．答案：[kπ－，kπ＋](k∈Z)
10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2)，其中ω>0，函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x∈[，]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2)＝sin2ωx＋(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋)＋.∵相邻两对称轴的距离为π，∴＝2π，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin(x＋)＋.
(2)∵x∈[，]，∴x＋∈[，]，∴2≤f(x)≤2＋.又∵|f(x)－m|<2，
∴－2＋m0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数 f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋)－1＋m.
依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即＝3π，解得ω＝.
∴f(x)＝2sin(＋)－1＋m.
当x∈[0，π]时，≤＋≤，≤sin(＋)≤1，
∴f(x)的最小值为m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(＋)－1.
(2)由题意，得f(C)＝2sin(＋)－1＝1，∴sin(＋)＝1.
而≤＋≤，∴＋＝，解得C＝.∴A＋B＝.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝.∵01时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于________．
解析：y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)．答案：
3．将函数f(x)＝sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ
的最小值为________．
解析：因为f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为.
答案：
4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f(x)的最小正周期为；
②函数f(x)的振幅为2；
③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π；
④函数f(x)的单调递增区间为[，π]；
⑤函数的解析式为f(x)＝sin(2x－π)．
解析：据图象可得：A＝，＝－⇒T＝π，故ω＝2，又由f()＝⇒sin(2×＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－，故f(x)＝sin(2x－)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤
5．(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，则2010≥⇒ω≥.答案：
6．(2010年苏北四市质检)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. (1)求ω；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋，
令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，
经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋，
当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．
B组
1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图可知，＝2π－π，
∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，
∴y＝sin(x＋φ)．
又∵sin(×π＋φ)＝－1，
∴sin(π＋φ)＝－1，
∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝π. 答案：π
2．(2010年南京调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知T＝2(－)＝π.
∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×＋φ＝，φ＝.答案：
3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴＝π，故ω＝2.
又f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x.
答案：向左平移个单位长度
4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.
解析：＝π－π＝，∴ω＝＝3.
又(π，0)是函数的一个上升段的零点，
∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
代入f()＝－，得A＝，∴f(0)＝. 答案：
5．将函数y＝sin(2x＋)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－
，0)中心对称．
解析：由y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)可知其函数图象关于点(－，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－，0)对称，只需向右平移即可．答案：右
6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．
解析：由题意，知f(x)＝sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)，
其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－＋m)，平移后其对称轴为x－＋m＝kπ＋，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋(k∈Z)，故m的最小值为.答案：
7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－)＋]，即y＝tan(ωx＋－)，显然当－＝＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为.答案：
8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是；②函数y＝sin(x－)在区间[π，]上单调递增；③x＝是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
解析：由于函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是，①正确；y＝sin(x－)＝cosx，该函数在[π，)上单调递增， ②正确；当x＝时，y＝sin(2x＋)＝sin(＋)＝sin(＋)＝cos＝－，不等于函数的最值，故x＝不是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
9．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．
当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．
故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：k≤1
10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋
)＋2，依题意，得＝，故ω＝.
(2)依题意，得g(x)＝sin[3(x－)＋]＋2＝sin(3x－)＋2.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．
解：(1)由最低点为M(，－2)得 A＝2.由T＝π得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上得2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈(0，)，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
12．(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，
即cos(＋φ)＝0.又|φ|<，∴φ＝.
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝，又T＝，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)．从而，最小正实数m＝.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝.又T＝，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋)＝sin(3x＋3m＋)对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋)＋cos(－3x)·sin(3m＋)
＝sin3xcos(3m＋)＋cos3xsin(3m＋)，
即2sin3xcos(3m＋)＝0对x∈R恒成立．∴cos(3m＋)＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.
第六章 三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
A组
1．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于________．
解析：∵α、β均为锐角，∴－<α－β<，∴cos(α－β)＝＝.
∵sinα＝，∴cosα＝ ＝.
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝.
∵0<β<，∴β＝.答案：
2．已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为________．
解析：∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<π.∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋(－)×＝－.答案：－
3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则＝
＝＝＝－.答案：－
4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是___．
解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，
得sin(α＋)＝，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－.答案：－
5．(原创题)定义运算ab＝a2－ab－b2，则sincos＝________.
解析：sincos＝sin2－sincos－cos2＝－(cos2－sin2)－×2sincos＝－cos－sin＝－.答案：－
6．已知α∈(，π)，且sin＋cos＝.
(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈(，π)，求cosβ的值．
解：(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方得sinα＝.
又<α<π.所以cosα＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－×＋×(－)＝－.
B组
1.·的值为________．
解析：·＝·
＝·＝·＝1.
2．已知cos(＋x)＝，则的值为________．
解析：∵cos(＋x)＝，∴cosx－sinx＝，
∴1－sin2x＝，sin2x＝，∴＝＝sin2x＝.
3．已知cos(α＋)＝sin(α－)，则tanα＝________.
解析：cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα，sin(α－)
＝sinαcos－cosαsin＝sinα－cosα，
由已知得：(＋)sinα＝(＋)cosα，tanα＝1.
4．设α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，则sin(α＋β)＝________.
解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝.
∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)]
＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝，
即sin(α＋β)＝.
5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于________．
解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.
6．已知角α在第一象限，且cosα＝，则＝________.
解析：∵α在第一象限，且cosα＝，∴sinα＝，则＝＝＝2(sinα＋cosα)＝2(＋)＝.
7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的值为________．
解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，又α∈(，π)，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝.
8.的值为______．
解析：由tan(70°－10°)＝＝，
故tan70°－tan10°＝(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
＝＝＝.
9．已知角α的终边经过点A(－1，)，则的值等于________．
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－，∴＝＝－.
10．求值：·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝＝2.
11．已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1.
(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝，f(B)＝，求f(C)的值．
解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx.
∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1,1]．
(2)∵f(A)＝，f(B)＝，∴sinA＝，sinB＝.
∵A，B都为锐角，∴cosA＝＝，cosB＝＝.
∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝.∴f(C)的值为.
12．(2010年南京调研)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，
∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos(－2β)＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.
第二节 两角和与差及二倍角的三角函数
A组
1．若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝________.
解析：由于α∈(－，)，sinα＝得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋)＝－(cosα－sinα)＝－.
2．已知π<θ<π，则 ＝________.
解析：∵π<θ<，∴<<，<<.
＝
＝ ＝sin.
3．(2010年南京市调研)计算：＝________.
解析：＝＝＝.
4．(2009年高考上海卷)函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
＝sin(2x＋)＋1≥1－.
5．(原创题)函数f(x)＝(sin2x＋)(cos2x＋)的最小值是________．
解析：f(x)＝
＝
＝sin2xcos2x＋－≥(－1)．
6．已知角α∈(，)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.
(1)求tan(α＋)的值；(2)求cos(－2α)的值．
解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，
又α∈(，)，∴tanα＝，sinα＝，cosα＝，
(1)tan(α＋)＝＝＝－7.
(2)cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sinαcosα＝，
cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α＝×(－)＋×＝.
B组
1．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)＝_____.
解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝＝.
2．(2009年高考陕西卷改编)若3sinα＋cosα＝0，则的值为________．
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则＝＝＝.
3．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是
解析：a＝sin59°，c＝sin60°，b＝sin61°，∴a1＋＝，c2＝，∴a0)．
（1）若求并猜测；
（2）若是等比数列，且是等差数列，求满足的条件．
解：（1）猜测．
（2）由，得．
当时，显然，是等比数列．
当时，因为只有时，才是等比数列．
由，得即，或．
由得．
当，显然是等差数列，
当时，，
只有时，才是等差数列．
由，得即．
综上所述：．
19.已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，试求其前项和。
解：由题设： 得： ∴
第九章 平面向量
1．已知三个向量a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，c=，sin)，满足，则a与b的夹角为
2、．下列命题：
(1)若a与b为非零向量，且a∥b时，则a—b必与a或b中之一的方向相同；
(2)若e为单位向量，且a∥e，则a=|a|e；
(3)a·a·a=|a|3
(4)若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线
(5)若平面内四个点A、B、C、D则必有AC+BD=BC+AD
正确的命题个数为（ D ）
A、1 B、2 C、3 D、0
3、若o为平行四边形ABCD的中心，=41, 等于（ B ）
A． B． C． D．
4、若，且（），则实数的值为____________.
5、已知，与的夹角为，则在上的投影为 3 。
6、在直角坐标平面上，向量，向量，两向量在直线上的正射影长度相等，则直线的斜率为
7、设平面向量=(-2,1)，=(1,)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 。
8、．已知向量,则向量的夹角范围是
。
9、将函数的图象按向量 平移后得到的图象，给出以下四个命题：
①的坐标可以是； ②的坐标可以是和；
③的坐标可以是； ④的坐标可以有无数种情况。
上述说法正确的是 ①②③④ 。
10、已知中，，则与的夹角为 。
11、若△ABC三边长AB=5，BC=7，AC=8，则等于 。
12.已知的夹角为120°，且，，当时，k= .
13.已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.
14. 若=（1，2），=（，2）， k为何值时:
（1）k+与－3垂直；（2）k+与 －3平行？
15. 已知||=4，||=3，（2－3）·（2+）=61，求：(i)与的夹角θ; (ii)
16. 已知的顶点坐标分别为A（1,2），B（2,3），C（－2,5），求.
17. 设=（sinx－1，cosx－1），=（，）. （1）若为单位向量，求x的值；（2）设f（x）=·，则函数y=f（x）的图象是由y=sinx的图象如何平移得到？
18.已知,且.
（i）求 及; （ii）求函数的最小值.
第十章 算法
第一节 程序框图
A组
1．(2009年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是________．
解析：试将程序分步运行：
第一循环：S＝＝－1，n＝2；
第二循环：S＝＝，n＝3；
第三循环：S＝＝2，n＝4.答案：4
2．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序框图，输入x＝－2，h＝0.5，那么输出的各个数的和等于________．
解析：由框图可知，当x＝－2时，y＝0；
当x＝－1.5时，y＝0；当x＝－1时，y＝0；
当x＝－0.5时，y＝0；当x＝0时，y＝0；
当x＝0.5时，y＝0.5；当x＝1时，y＝1；
当x＝1.5时，y＝1；当x＝2时，y＝1.
∴输出的各数之和为3.5. 答案：3.5
3．(2009年高考山东卷改编)执行下面的程序框图，输出的T＝________.
第2题 第3题
解析：据框图依次为：
故此时应输出T＝30.答案：30
4．(2010年南京市高三调研)阅读下面的流程图，若输入a＝6，b＝1，则输出的结果是________．
解析：a＝6，b＝1，则x＝5>2，再次进入循环得a＝4，b＝6，此时x＝2，退出循环．故输出2.答案：2
5．(2010年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是多少？
第5题 第6题
解析：由循环结构可得S＝100＋99＋…＋3＋2＝5049.
故输出的变量S的值为5049.答案：5049
6．(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，求m＋n的值．
解：(1)当箭头a指向①时，输出S和i的结果如下：
S 0＋1 0＋2 0＋3 0＋4 0＋5
i 2 3 4 5 6
∴S＝m＝5.
(2)当箭头a指向②时，输出S和i的结果如下：
S 0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4
i 2 3 4 5
S 0＋1＋2＋3＋4＋5
i 6
∴S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，于是m＋n＝20.
B组
1．(2010年温州调研)如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝720，则在判断框中应填入的关于k的判断条件是__________．
解析：s＝10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8判断条件为“否”，跳出循环，输出s.答案：k≥8
（第1题） （第2题） （第3题）
2．若R＝8，则下列流程图的运行结果为___4___．
3．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为________．
解析：x≤2时，x2＝x，∴x＝0或x＝1；25时，＝x，∴x＝－1或x＝1(都舍去)．所以共有3个可取值．答案：3
4．如图，该程序运行后输出的结果为________．
解析：A＝1≤9，“是”，则S＝0＋1，A变为2；A＝2≤9，“是”，则S＝0＋1＋2，A变为3；…；A＝9≤9，“是”，则S＝0＋1＋…＋9，A变为10；A＝10≤9，“否”，则输出S＝45.
答案：45
5．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填____．
解析：a＝1时进入循环，此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环，此时b＝24＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3，∴填3.
答案：3
（第4题） （第5题） （第6题）
6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是________．
解析：A＝1≤M，“是”，则S＝2×1＋1＝3，A变为2；
A＝2≤M，“是”，则S＝2×3＋1＝7，A变为3；
A＝3≤M，“是”，则S＝2×7＋1＝15，A变为4；
A＝4≤M，“是”，则S＝2×15＋1＝31，A变为5；
A＝5≤M，“是”，则S＝2×31＋1＝63，A变为6；
A＝6≤M，“否”，则跳出循环，故填5.
7．(2009年高考广东卷改编)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填______，输出的s＝______.
(注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”)
（第7题） （第8题）
解析：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i<7，输出s为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6.
8．(2009年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________．
解析：由程序框图的条件结构知：x>1时，y＝x－2；x≤1时，y＝2x.
故y＝
9．某流程如图所示，现输入如下四个函数
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝lnx；④f(x)＝sinx.
则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________.
解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必是同一函数，分析上述四个函数，易知只有y＝sinx满足条件．答案：④
（第9题） （第10题）
10．如图所示的算法中，令a＝tanθ，b＝sinθ，c＝cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，求θ值所在的范围．
解：由框图知，要输出a、b、c中最大的，当θ∈(，π)时，sinθ最大．
∴θ值所在的范围为(，π)．
11．画出计算1＋＋＋…＋＋值的一个算法的流程图．
（第11题） （第12题）
12．到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，只画出流程图．
解：要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意知y＝
流程图如上图所示．
第二节 程序语句
A组
1．(2010年徐州调研)如图，给出一个算法的伪代码，
T←1
I←3
While I<50
T←T＋I
I←I＋2
End While
Print T
则f(－3)＋f(2)＝____－8____.
Input x
If x<0 Then
y←(x＋1)(x－1)
Else
y←(x－1)2
End If
Print y
End
Input x
If x≤0 Then
f(x)←4x
Else
f(x)←2x
End If
Print f(x)
（第1题） （第2题） （第3题）
2．输入x＝5，运行下面的程序之后得到的y等于___16_____．
3．(2010年泰州质检)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为___625_____．
4．(2009年高考安徽卷改编)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是___127_____．
Input n
S←0
I←1
While________
S←S＋I
I←I＋1
Wend
Print “S＝”；S
End
（第4题） （第5题） （第6题）
5．(原创题)编写程序求S＝1＋2＋3＋…＋n的和(n由键盘输入)，程序如图，则横线上应填_____ I≤n
___．
6．(2009年高考江苏卷改编)下图是一个算法的流程图，求最后输出的W的值．
解：第一次：T＝1，S＝12－0＝1；
第二次：T＝3，S＝32－1＝8；
第三次：T＝5，S＝52－8＝17.
此时满足S≥10.
所以W＝S＋T＝17＋5＝22.
B组
n←5
S←0
While S<15
S←S＋n
n←n－1
End While
Print n
1．右面程序执行后输出的结果是___0_____．
2．下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．则填入的条件应该是_____ x≤0___．
x←Input(“x＝”)
If________
y←－x；
Else
y←x2
End If
Print y
3．程序如下：
a←Input(“a＝”)
b←Input(“b＝”)
c←Input(“c＝”)
a←b
b←c
c←a
Print a，b，c
若输入10,20,30，则输出结果为____20,30,20____．
4．(2010年南通调研)程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序输出的结果是____24____．
5．有下面算法：
p←1
For k From 1 To 10 Step 3
p←p＋2×k－6
End For
Print p
则运行后输出的结果是____21____．
6．(2010年南京第一次调研)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为___5_____．
S←1
I←1
While S<5
S←S×
I←I＋1
End While
Print I
7．现欲求1＋＋＋…＋的和(其中n的值由键盘输入)，已给出了其程序框图，请将其补充完整并设计出程序．
解：①i←i＋1 ②S←S＋
程序如下：
Input n
S←0
i←0
While i30)＝________.
解析：P(ξ>30)＝1－P(ξ<10)－P(10≤ξ≤30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.3
5．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．
解析：设电子元件接通记为1，没有接通记为0.又设A表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)(0,0,0)}．Ω
由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，＝{(0,0,0)}，事件由1个基本事件组成，因此P()＝，∵P(A)＋P()＝1，∴P(A)＝1－P()＝1－＝.答案：
6．(2010年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：从图中可以看出，3个球队共有20名队员，
(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A，则P(A)＝＝.故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为.
(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B，则P(B)＝1－P()＝1－＝.
故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为.
B组
1．(2009年高考安徽卷)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
答案：
2．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么，甲、乙不全击中靶心的概率为________．
解析：P＝1－×＝.答案：
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
解析：P＝1－0.42－0.28＝0.30.答案：0.30
4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．
解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种．
答案：
5．(2008年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是___．
解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个．故P＝＝.答案：
6．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1、2、3、4，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为________．
解析：由于正四面体各面都完全相同，故每个数字向上都是等可能的，被5整除的可能为(2,3)，(3,2)，(1,4)，(4,1)共4种，而总共有4×4＝16(种)，故P＝＝.答案：
7．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为________．
解析：由已知可得前九组共有(1＋2＋3＋…＋9)＝45(个)奇数，第十组共有10个奇数且依次构成公差为2的等差数列，且第一个奇数为a1＝1＋2×(46－1)＝91，所以，第十组的奇数为91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这十个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝.答案：
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足log2xy＝1的概率为________．
解析：由log2xy＝1得y＝2x，满足条件的x、y有3对，而骰子朝上的点数x、y共有6×6＝36，∴概率为＝.答案：
9．(2010年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为____________．
解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为b2≥4c.
b
1
2
3
4
5
6
使b2≥4c的基本事件个数
0
1
2
4
6
6
由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程有实根的概率为P＝.答案：
10．如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率．
解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率P＝＝.
11．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于60分)的概率．
解：设小明的数学考试成绩在90分及以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分分别为事件B，C，D，E，这4个事件是彼此互斥的．
根据互斥事件的加法公式，小明的考试成绩在80分及以上的概率为P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率，即成绩在60分及以上的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，所以小明考试不及格的概率为1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07.
12．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品．
解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．
(1)取到的2只都是次品的情况有22＝4(种)，因而所求概率为P＝＝.
(2)由于取到的2只中正品、次品各1只有2种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率为
P＝＋＝.
(3)由于“取到的2只中至少有1只正品”是事件“取到的2只都是次品”
的对立事件，因而所求的概率为P＝1－＝.
第二节 概率的应用
A组
1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．
解析：当取出的小球标注的数字之和为3时只有{1,2}一种取法；当取出的小球标注的数字之和为6时，有{1,5}，{2,4}两种取法，所以符合条件的取法种数为3种，而所有的取法有10种，故所求的概率为.答案：
2．已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若|A|≤4，则△ABC是直角三角形的概率为________．
解析：|A|≤4，k2＋1≤16，k2≤15，k＝－3，－2，－1,0,1,2,3.
B＝(2－k,3)．若A·B＝－k2＋2k＋3＝0，则k＝－1，k＝3；若B·A＝0，则k＝8(舍)；若A·A＝0，则k＝－2.故P＝.答案：
3．(2010年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字1,2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
解析：数字之和为奇数的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)共4种情形，而从两个盒子中各抽取一张卡片共有8种情况，所以所求概率为.答案：
4．(2009年高考江苏卷)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5,2.6)，(2.5，2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共10种情况．满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝.答案：
5．(原创题)连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)，若在△ABC中，A与a同向，C与b反向，则∠ABC是钝角的概率是________．
解析：要使∠ABC是钝角，必须满足A·C<0，即a·b＝n－m>0.连掷两次骰子所得点数m，n共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是.
6．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．
解：(1)设红色球有x个，依题意得＝，解得x＝4，∴红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A
包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A)＝.
B组
1．(2009年高考浙江卷)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________.
解析：对于大于14的情况通过列举可得有5种情况：
(7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19)，而基本事件有20种，因此P(A)＝.
答案：
2．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图形中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．
解析：白色地砖构成等差数列：8,13,18，…，5n＋3，…
∴an＝5n＋3，a100＝503，第100个图形中有地砖503＋100＝603，故所求概率P＝.答案：503
3．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．
解析：分别从A和B中各取1个数，一共有6种等可能的取法，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝2上的取法只有1种：(1,1)；恰好落在直线x＋y＝3上的取法有2种：(1,2)，(2,1)；恰好落在直线x＋y＝4上的取法也有2种：(1,3)，(2,2)；恰好落在直线x＋y＝5上的取法只有1种：(2,3)，故事件Cn的概率分别为，，，(n＝2,3,4,5)，故当n＝3或4时概率最大．答案：3和4
4．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于________．
解析：基本事件共有4×4＝16个，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，所以所求概率为＝.答案：
5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量m与向量n垂直的概率是________．
解析：显然m·n＝a－2b＝0，所有可能的结果为(a，b)＝(2,1)、(4,2)、(6,3)．基本事件总数为36，则概率为.答案：
6.(2010年南京高三调研)如图，将一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm3小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 .
解析：据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正方体的各条棱的中点时满足条件．正方体共12条棱，所以两面涂色的小正方体有12个，而所有小正方体有27个，所以，所求的概率为P＝＝.答案：
7．集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m>n
的概率是________．
解析：基本事件总数为25个．m＝2时，n＝1；m＝4时，n＝1,3；m＝6时，n＝1,3,5；m＝8时，n＝1,3,5,7；m＝10时，n＝1,3,5,7,9；共15个．故P＝＝0.6.答案：0.6
8．集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得点数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 .
解析：如图：满足(a，b)∈(A∩B)的(a，b)值共有8个，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．∴P＝＝.答案：
9．(2010年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，则当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率为________．
解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈Z，则基本事件总数为n＝25，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，∴满足条件的整点有(0,2)，(1,2)，(2,2)，(1,1)，(2,1)，(2,0)6个，故P＝.答案：
10．(2010年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体，六个面上分别为1,2,3,4,5,6点)，所得点数分别为x，y.
(1)求x0}，在集合A中任取一个元素x ，则事件“x∈A∩B”的概率是________．
解析：由题意得A＝{x|－1R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为＝.
答案：
7．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落入区域E的概率为________．
解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB边界及其内部的部分，区域E表示的平面区域为△COD边界及其内部的部分，所以点P落入区域E的概率为＝＝.答案：
8．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是从区间[0,4]任取的一个数，则f(1)＞0成立的概率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即a－b＞1，如图：
A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝，P＝＝＝.答案：
9．在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．
解析：f′(x)＝x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－－a－b)(＋a－b)<0，则(＋a＋b)(
＋a－b)>0，可化为或由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为.答案：
10．设不等式组表示区域为A，不等式组表示的区域为B.
(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；
(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．
解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P(M)＝＝＝.
(2)设点(x，y)在区域B为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为36个，其中在区域B中的点(x，y)有21个，故P(N)＝＝.
11．(2010年江苏南通模拟)已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}．
(1)若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；(2)若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．
解：(1)因为a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．
令函数f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则f′(x)＝a＋bln2·2x.
因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)＞0，即f(x)在[－1,0]上是单调递增函数．
f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋－1.要使A∩B≠∅，只需－a＋－1＜0，
即2a－b＋2＞0.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．所以A∩B≠∅的概率为.
(2)因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，
所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.
由(1)可知，要使A∩B＝∅，
只需f(x)min＝－a＋－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝∅的(a，b)对应的区域是如图阴影部分．
所以S阴影＝×1×＝，所以A∩B＝∅的概率为P＝＝.
12．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(≤a≤1)的概率．
解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，
第三段的长度为1－x－y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为.
事件“三段的长度都不超过a(≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当≤a≤时，为(3a－1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a(≤a≤1)”的概率为P＝＝(3a－1)2；
当≤a≤1时，为－.此时事件“三段的长度都不超过a(≤a≤
1)”的概率为P＝1－3(1－a)2.
第十二章 导数
1、函数是定义在R上的可导函数，则是函数在时取得极
值的________条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
2、函数是定义在R上的可导函数，则为R上的单调增函数是的________条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
3、已知上有最大值为3，那么此函数在
[－2，2]上的最小值为
A、－37 B、－29 C、－5 D、－11
4、若函数
A、2 B、4 C、18 D、20
5、方程
A、0 B、1 C、2 D、3
6、若函数
7、函数
A、0 B、1 C、5 D、6
8、曲线
9、已知曲线上一点P处的切线与直线垂直，则此切线方程为
A、 B、 C、 D、
10、设点P是上的任一点，P点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为
A、 B、 C、 D、
11、的图像如图（1）所示，则的图像最有可能的是
y
O
2
1
x
y
O
2
1
x
y
O
2
1
x
y
O
2
1
x
y
O
2
1
x
图（1） A B C D
12、已知等于
A、0 B、－4 C、－2 D、2
13、已知函数；
14、若函数的值为 ；
15、若直线的切线，则；
16、函数上是增函数，则实数 的取值范围为 ；
17、若函数；
18、已知曲线
轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－4，求p、q的值。
19、设函数交于点P，若过P的切线方程为，且当x=2时，函数取极值－16，试求的解析式，并求这个函数的单调递减区间。
20、已知函数.（1）若函数在区间上递增，在区间上递减，求实数的值；（2）当时，设函数图像上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数，＋，求的取值范围。
第十三章 不等式
1、若为R上的减函数，且的充分不必要条件，则实数t的取值范围为 ( )
A、t≤0 B、t≥0 C、t≤－3 D、t≥－3
2、已知的取值范围为
A、 B（0,1） C、（0,1） D、（0,1）
3、已知奇函数
4、是定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，则不等式的解集 是
A．（0，1）（2，3）B．
C．（0，1） D．（0，1）（1，3）
5、函数在（－1，1）上有定义且的取值范围为
A、（－2，1） B、（0，） C、（0，1） D、（－2，）
6、已知函数，若，则的取值范围为
A、 B、 C、 D、
7、设奇函数在[－1，1]上是增函数，且，若函数对所有的都成立，当时t的取值范围为
A、[-2,2] B、 C、 D、
C(4,2)
B(5,1)
a(1,1)
y
x
O
8、设点所在的区域的面积为
A、1 B、2 C、4 D、8
9、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），
目标函数取得最优解有无数个，则的一个可能值为
A、－3 B、3 D、－1 D、1
10、若关于不等式的解集为 ；
11、若关于不等式的解集为 ；
12、若关于不等式的取值范围是 ，若此不等式有解，则的取值范围是
13、为定义域为R的奇函数，不等式，则不等式的解集为 ；
14、已知关于的不等式取值范围为 ；
15、不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 ；
16、已知恒成立的实数的取值范围为 ；
17、关于的方程的两根分别在区间（0,1）与(1,2)，则的取值范围为 ；
18、设的最小值为 ；
19、设的最大值为 ；
20、设
21、解关于的不等式
22.若a,b∈R,求证：≤+.
证明 当|a+b|=0时，不等式显然成立.
当|a+b|≠0时，由0＜|a+b|≤|a|+|b|≥,
所以=≤=≤+.
23. （2008·苏中三市调研）已知x、y、z均为正数.
求证：≥++.
证明 因为x,y,z全为正数.
所以(+)≥,
同理可得≥,≥,
当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立.
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,
得≥++.
24. 已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证： ++…+≥n2.
证明 ++…+=(x1+x2+…+xn)（ ++…+）
≥=n2.
第十四章 立体几何
第一节 简单几何体
A组
1．下列命题中，不正确的是______．
①棱长都相等的长方体是正方体
②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱
④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体
解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：③
2．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．
解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．答案：北
3．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
4．下列三个命题，其中正确的有________个．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．
解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：0
5．下面命题正确的有________个．
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱
②过圆锥侧面上一点有无数条母线
③三棱锥的每个面都可以作为底面
④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形
解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：2
6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？
解：长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：
＝3，＝4，＝，三者比较得是从点A沿表面到C1的最短距离，∴最短距离是 cm.
B组
1．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
2．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，设四面体为D－ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA＝DB＝DC，故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综上，①④为真命题．答案：①④
3.关于如图所示几何体的正确说法为________．
①这是一个六面体 ②这是一个四棱台
③这是一个四棱柱 ④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱
答案：①②③④⑤
4．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
5．给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．
解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形．故填③.
答案：③
6．下列结论正确的是
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
②错误．如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
④正确．答案：④
7．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是________．
解析：设截面的圆心为O′，由题意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12＝π.答案：π
8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________．
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②.答案：②
9．(2008年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2))
有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号)．
解析：设正四棱柱底面边长为b，高为h1，正四棱锥高为h2，则原题图(1)中水的体积为b2h2－b2h2＝b2h2，
图(2)中水的体积为b2h1－b2h2＝b2(h1－h2)，
所以b2h2＝b2(h1－h2)，所以h1＝h2，故A错误，D正确．
对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2>b2h2，矛盾，故C不正确．答案：BD
10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1∶h2∶h3的值．
解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a，h2＝h3，h1＝ ＝a，h2＝ ＝a，
故h1∶h2∶h3＝∶2∶2.
11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．
解：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE＝EF＝x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，
则EG＝＝，FI＝＝，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝2，在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋(2)2，解得x＝2.即该三角形的斜边长为2.
12．(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．
解：设地球的半径为R，那么对应的赤道线的大圆的半径为R，而对应的北纬60°纬线所在的小圆的半径为R，那么它们对应的长度之比为R∶R＝.
即所求比值为.
第二节 空间图形的基本关系与公理
A组
1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1
2．给出下列四个命题：
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
其中真命题的个数为________．
解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1
3．(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．
解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：5
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．
解析：边长是正方体棱长的倍的正六边形．答案：正六边形
5．(原创题)已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．
解析：如图1，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．
答案：(1)(2)(4)
6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．
如图，设AB∩CD=M.
又∵AB⊂α，CD⊂β，
∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点
B组
1．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________．
解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③
2．(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________．
①若△ABC在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．
解析：在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①②
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交
其中使三条直线共面的充分条件有：________.
解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④
4．(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．
①a⊂α，b⊂α ②a⊂α，b∥α ③a⊥α，b⊥α ④a⊂α，b⊥α
解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面．当a、b异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a⊥b时④才成立．答案：②
5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交
6．(2010年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④
7．(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是________．
解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④
8．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是________．
①AC⊥BE
②EF∥平面ABCD
③三棱锥A－BEF的体积为定值
④异面直线AE，BF所成的角为定值
解析：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥BE.故①正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，
∴EF∥平面ABCD.故②正确．
③中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA－BEF为定值．
当点E在D1处，F为D1B1的中点时，
建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F.∴A＝(0，－1,1)，B＝(，－，1)，
∴A·B＝.又||＝，||＝，∴cos〈A，B〉＝＝，
∴AE与BF成30°角．当E为D1B1中点，F在B1处时，
此时E，F(0,1,1)，∴A＝，B＝(0,0,1)，
∴A·B＝1，|A|＝ ，∴cos〈A，B〉＝ ＝≠.故④错．
答案：④
9.(2008年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n.若a＞b，则θ与φ的大小关系为______，m与n的大小关系为______.
解析：AB与β成的角为∠ABC＝φ，
AB与α成的角为∠BAD＝θ，
sin φ＝sin∠ABC＝，
sinθ＝sin∠BAD＝.
∵a>b，∴sinφ>sinθ.∴θ<φ.
AB在α内的射影AD＝，
AB在β内的射影BC＝，
∴AD.BC，即m>n.
答案：θ＜φ m＞n
10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置．
解：在正方体AC1中，连结PQ，
∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，
同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．
∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ.
又A1C∩平面BDEF＝R，
∴R∈A1C，
∴R∈平面A1C1CA，
R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点．如图．
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心．
(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；
(2)求PQ的长．
解：(1)连结ON，由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．
∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．
∴DA与CM必相交，记交点为Q，∴OQ是α与β的交线．
连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，
故直线OPQ即为所求作的直线．
(2)在Rt△APQ中，易知AQ＝1，又易知△APQ ∽△OPN，
∴＝＝2，AN＝，∴AP＝，
∴PQ＝＝.
12．(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．
(3)证明：连结EG.由AB＝BE，BE綊AG及∠BAG＝90°知ABEG是正方形，
故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，
因此EA是ED在平面FABE内的射影．根据三垂线定理，BG⊥ED.
又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.
由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.
由(2)知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.
第三节 平行关系
A组
1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．
①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β
②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n
③如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n
④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
解析：m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m，n没有公共点．又m，n共面，
所以m∥n.答案：③
2．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m⊂α，则m∥β.
其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
解析：②中α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④
3．(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m, 则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中为真命题的是________．
解析：③中若l⊂β，m⊂α，α∥β⇒l∥m或l，m异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④
4．(2009年高考福建卷改编)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．
①m∥β且l1∥α ②m∥l1且n∥l2 ③m∥β且n∥β ④m∥β且n∥l2
解析：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，
∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．答案： ②
5．(原创题)直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．
答案：1或0
6．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD.
解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，AD＝AB＝BD，
∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B，
AB，PB⊂平面PAB，BD⊥平面PAB，
PA⊂平面PAB，∴PA⊥BD.
(2)证明：假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，
AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，
又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥CD.
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾．
∴PA≠PD.
(3)在l上取一点E，使PE＝BC，连结BE，DE，
∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，
∴PC∥BE，PC⊄平面EBD，BE⊂平面EBD，
∴PC∥平面EBD.
B组
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．
①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
③若m∥n，m∥α，则n∥α ④若n⊥α，n⊥β，则α∥β
解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；③错，直线n不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．答案：④
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题有_．
解析：对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线n作垂直于m的平面β，由m⊥α，n⊄α可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③
3．已知m，n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________条件．
解析：由于直线m，n在平面外，且m∥n，故若m∥α，则必有n∥α，反之也成立．答案：充要
4．设l1，l2是两条直线，α，β是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是________．
①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线
②若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β
③l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β
④若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α或l2⊂α
解析：①错，两直线可相交于点A；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错，不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：④
5．(2010年广东深圳模拟)若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是________．
①α内的所有直线与a异面
②α内与a平行的直线不存在
③α内存在唯一的直线与a平行
④α内的直线与a都相交
解析：由题设知，a和α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P
的直线与a共面，①错；在α内不过点P的直线与a异面，④错；(反证)假设α内直线b∥a，∵a⊄α，∴a∥α，与已知矛盾，③错．答案：②
6．设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面α，使m⊂α且n∥α；(2)一定存在平面α，使m⊂α且n⊥α；(3)一定存在平面γ，使m、n到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β.上述4个命题中正确命题的序号为________．
解析：(1)成立；(2)不成立，m、n不一定垂直；(3)过m、n公垂线段中点分别作m、n的平行线所确定平面到m、n距离就相等，(3)正确；满足条件的平面只有一对，(4)错．答案：(1)(3)
7．如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.
答案：a
8．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
解析：①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP.
②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．
③易知AB∥MP，∴AB∥面MNP.
④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，∴AB与面MNP不平行．
答案：①③
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC中点．点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈FH
10．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．
(1)证明：DE⊥平面A1AE；
(2)证明：BM∥平面A1ED.
证明：(1)在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，
∴AE⊥DE.
∵A1A⊥平面ABCD，
∴A1A⊥DE，
∴DE⊥平面A1AE.
(2) 设AD的中点为N，连结MN、BN.
在△A1AD中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1D，
∵BE∥ND且BE＝ND，
∴四边形BEDN是平行四边形，
∴BN∥ED，
∴平面BMN∥平面A1ED，
∴BM∥平面A1ED.
11．(2010年扬州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点．
(1)求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
(2)若在棱DD1上有一点P，使BD1∥平面PMN，求线段DP与PD1的比
解：(1)证明：连结AC，则AC⊥BD ，
又M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴BB1⊥平面ABCD，
∵MN⊂平面ABCD，
∴BB1⊥MN，
∵BD∩BB1＝B，
∴MN⊥平面BB1D1D，
∵MN⊂平面B1MN，
∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.
(2)设MN与BD的交点是Q，连结PQ，PM，PN
∵BD1∥平面PMN，BD1⊂平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面PMN＝PQ，
∴BD1∥PQ，
∴DP∶PD1＝DQ∶QB＝3∶1.
12．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE.
证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，
所以AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
所以AE⊥BF，
又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE，
又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.
(2)取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点．
所以PN∥DC，且PN＝DC，
又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM＝DC，
所以PN∥AM，且PN＝AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP，
而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE.
第四节 垂直关系
A组
1．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．
①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β
解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c⊂α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．
答案：④
2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．
解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m⊂平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个
3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件．
解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．
解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范围是(，1)．答案：(，1)
5．(原创题)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．
①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．
解析：若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．
答案：④
6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1，
所以F1∈平面FCC1.
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连结A1D，F1C，
由于A1F1綊D1C1綊CD，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，
得EE1∥F1C.
而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
法二：因为F为AB的中点，
CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
所以CD綊AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1.
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，
又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.
因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，
所以AC⊥平面BB1C1C.
而AC⊂平面D1AC，
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
B组
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是____．
①a⊥α，b∥β，α⊥β ②a⊥α，b⊥β，α∥β
③a⊂α，b⊥β，α∥β ④a⊂α，b∥β，α⊥β
解析：由α∥β，b⊥β ⇒b⊥α，又a⊂α，故a⊥b.答案：③
2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．
①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
解析：由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α.答案：②
3．设m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．
①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β ②α∥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n
③α⊥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β
解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．答案：②
4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．
①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
解析：易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α⇒m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①
5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．
①c⊥α，若c⊥β，则α∥β
②b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
③b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
④b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
解析：当b⊂β，若β⊥α，则未必有b⊥α.答案：③
6．已知二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为________．
解析：∵m⊥α，n⊥β，
∴m、n所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补．
∵二面角α－l－β为30°，
∴异面直线m、n所成的角为30°.答案：30°
7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．
解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．答案：AB
8．(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________．
解析：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP.
∴在Rt△ABH中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ.
在△BHC中，CH2＝(3cosθ)2＋42－2×4×3cosθ×cos(90°－θ)，
∴在Rt△ACH中，
AC2＝25－12sin2θ，
∴θ＝45°时，AC长最小．答案：45°
9．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．
解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a.
由PM⊥BC，
∴PM＝＝a，
连结PG并延长与AD相交于N点，
则PN＝a，MN＝AB＝a，
∴PM2＋PN2＝MN2，
∴PM⊥PN，又PM⊥AD，
∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数
10．如图，在三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．
(1)求证：OE∥平面SAB；
(2)求证：平面SOF⊥平面SAB.
证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG，
∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A，
∴平面EGO∥平面SAB，OE⊂平面OEG
∴OE∥平面SAB
(2)∵SO⊥平面ABC，
∴SO⊥OB，SO⊥OA，
又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋OB2，
∴SA＝SB，又F为AB中点，
∴SF⊥AB，∵SO⊥AB，
∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面SOF，
∵AB⊂平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB.
11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱
AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F；
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
证明：(1)取CC1的中点G，连结B1G交C1F于点F1，连结E1F1，A1G，FG，
∵F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，
∵四边形FGC1B1也是矩形，
∴FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点．
又E1是A1B1的中点，∴A1G∥E1F1.
又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点，
∴A1E綊CG，∴四边形A1ECG是平行四边形，
∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE.
∵CE⊄平面C1E1F，E1F1⊂平面C1E1F，
∴CE∥平面C1E1F.
(2)∵长方形BCC1B1中，BB1＝2BC，F是BB1的中点，
∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形，
∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°，
∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°，
∴C1F⊥CF.
∵E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，
∴EF∥AB.
又AB⊥平面BCC1B1，又C1F⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F.
又CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面CEF.
∵C1F⊂平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF.
12．(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．
求证：(1)AB⊥平面CDE；
(2)平面CDE⊥平面ABC；
(3)若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.
证明：(1)⇒CE⊥AB，同理，
⇒DE⊥AB，
又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.
(2)由(1)知AB⊥平面CDE，
又∵AB⊂平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC.
(3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，则＝，
在AE上取点F使得＝，
则GF∥EH，
第五节 简单几何体的面积和体积
A组
1．(2010年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的表面积为________．
解析：设外接球半径为r，则(2r)2＝12＋()2＋22＝8，故r2＝2.∴S球＝4πr2＝8π.答案：8π
2．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．
解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V＝S·h＝πR2·h
＝π×22×2＝.答案：
3．(2010年南京调研)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角
三角形，则此三棱柱的体积为________．
解析：设AC＝a，CC1＝b，则由BC12＝BC2＋CC12，BC12＝DC12＋DB2，即得(a2＋b2)×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×a2＝6，∴a2＝8，∴V＝×8×4＝8.
答案：8
4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．
解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝π×()3＝.答案：
5．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．
解析：如右图，设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，则OO′⊥面ABC.在Rt△ACD中，cosA＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得＝2R，R＝，即O′C＝.
在Rt△OCO′中，由题意得r2－r2＝，得r＝.球的表面积S＝4πr2＝4π×＝54π.
答案： 54π
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体
积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．
解：(1)证明：法一：如图，连结D1C，
∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，
∴A1D1∥BC且A1D1＝BC.
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥D1C.
∵A1B⊄平面CDD1C1，D1C⊂平面CDD1C1，
∴A1B∥平面CDD1C1.
法二：∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，
∴平面A1AB∥平面CDD1C1.
∵A1B⊂平面A1AB，A1B⊄平面CDD1C1.
∴A1B∥平面CDD1C1.
(2)设A1A＝h，∵几何体ABCD－A1C1D1的体积为，
∴VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝，
即SABCD×h－×S△A1B1C1×h＝，
即2×2×h－××2×2×h＝，解得h＝4.
∴A1A的长为4.
(3)如图，连结D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD.
∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB.
∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B.
∴OA1＝D1B.同理OD＝OC1＝D1B.
∴OA1＝OD＝OC1＝OB.
∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O.
∵D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24.
∴S球＝4π×(OD1)2＝4π×()2＝π×D1B2＝24π.
故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π.
B组
1．(2008年高考湖北卷)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．
解析：截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1，所以球的半径R＝，故球的体积V＝πR3＝π.答案：
2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为________．
解析：AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝，∴AB＝，AC＝1，AD＝.∴V＝··1··＝.答案：
3．(2010年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．
解析：由πR3＝，得R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2.∴a＝4.∴V＝(4)2·4＝48.答案：48
4．(2009年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．
解析：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1＝×1×＝，故八面体体积V＝2V1＝.答案：
5．(2009年高考全国卷Ⅰ)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于__________．
解析：由题意得圆M的半径r＝，又球心到圆M的距离为，由勾股定理得R2＝r2＋()2，∴R
＝2，则球的表面积为4π×22＝16π.答案：16π
6．(2009年高考江西卷)体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．
解析：设正方体棱长为a，则a3＝8，∴a＝2.
∵S正方体＝S球，∴6×22＝4πR2，∴R＝ .
V球＝πR3＝π( )3＝.答案：
7．若长方体的三个共顶点的面的面积分别是，，，则长方体的体积是__．
解析：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，列出方程组解得所以长方体的体积V＝1××＝.
8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________
解析：利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方．
答案：1∶3
9．(2010年南通调研)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则四面体A－B1CD1的外接球的体积为________．
解析：四面体A－B1CD1的外接球即为正方体的外接球，所以2r＝.∴r＝3，V球＝πr3＝π×27＝36π.答案：36π
10．(2009年高考宁夏、海南卷)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.
(1)证明：AB⊥PC；
(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．
解：(1)证明：因为△PAB是等边三角形，
∠PAC＝∠PBC＝90°，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC＝BC.
如图，取AB中点D，连结PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC.
(2)作BE⊥PC，垂足为E，连结AE.
因为Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE＝BE.
由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.
因为Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，
△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥P－ABC的体积V＝×S×PC＝.
11．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．
(1)求证：AF⊥平面CDE；
(2)求证：AF∥平面BCE；
(3)求四棱锥C－ABED的体积．
解：(1)证明：∵F为等边三角形CD边上的中点，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
∴AF⊥DE，
又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.
(2)证明：取CE的中点G，连FG、BG.∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB.
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.
(3)取AD中点M，连结CM，
∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE⊂平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED＝AD，∴CM⊥平面ABED，
∴CM为四棱锥C－ADEB的高，
∴V＝CM·SABED＝AF·SABED＝.
12．(2010年广州质检)如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2.
(1)求证：BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．
解：(1)证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC.
∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴AA1⊥BC.
∵AA1∩AC＝A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，
∴BC⊥平面AA1C.
(2)设AC＝x，在Rt△ABC中，
BC＝＝(0＜x＜2)，
故VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝··AC·BC·AA1
＝x(0＜x＜2)，
即VA1－ABC＝x＝
＝.
∵0＜x＜2,0＜x2＜4，∴当x2＝2，即x＝时，
三棱锥A1－ABC的体积最大，其最大值为.
第十五章 解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率及方程
A组
1．已知θ∈R，则直线xsinθ－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
解析：k＝sinθ，∵θ∈R，∴k∈[－，]，∴倾斜角α∈[0°，30°]∪[150°，180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，180°)
2．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是________．
解析：kl1＝a，l1与y轴的交点为(0，b)，kl2＝b，l2与y轴的交点为(0，－a)，可知④对．答案：④
3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是______________．
解析：mx－y＋2m＋1＝0⇒m(x＋2)＋(1－y)＝0，
∴x＝－2时，y＝1，即过定点(－2,1)．答案：(－2,1)
4．(2008年高考浙江卷)已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
解析：由kAB＝kBC，即＝，可得a(a2－2a－1)＝0，即a＝1±或a＝0，又a>0，故a＝1＋.答案：1＋
5．(原创题)若点A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过第________象限．
解析：点A在第一象限内，∴ab>0且a＋b>0，即a>0，b>0，
由bx＋ay－ab＝0⇒y＝－x＋b，∴－<0，y轴的交点为(0，b)，
∴直线不过第三象限．答案：三
6．求过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)倾斜角等于直线x－3y＋4＝0的倾斜角的二倍的直线方程；
(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解：(1)由题意，可知tanα＝，k＝tan2α＝＝＝，
y－3＝(x－2)，所以所求直线的方程为：3x－4y＋6＝0.
(2)当直线过原点时方程为：y＝x，当直线不过原点时方程为：＋＝1，故所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
B组
1．直线l的倾角α满足4sinα＝3cosα，而且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是________________．
解析：由4sinα＝3cosα，得tanα＝，∴k＝，直线l在x轴上的截距为3，∴l与x轴的交点为(3,0)，∴直线l：y－0＝(x－3)，即3x－4y－9＝0.
2．已知直线y＝kx－2k－1与直线x＋2y－4＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
解析：由，解之得，∵交点在第一象限，∴x>0，y>0，得k>或k<－.
3．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点恰为(1，－1)，则直线l的斜率为________．
解析：设直线l与两直线的交点分别为(a,1)，(b，c)，P、Q的中点为(1，－1)，∴c＝－2－1＝－3，代入x－y－7＝0可得b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，∴kPQ＝＝－.
4．若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0不过第二象限，则实数k的取值范围是________．
解析：由直线方程可化为y＝(k2－1)x＋2k－1，直线不过第二象限，
∴或或，解之得k≤－1.
5．(2010年苏州模拟)若ab<0，则过点P(0，－)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角的取值范围是__________．
解析：kPQ＝＝<0.又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线PQ的倾斜角的取值范围是(，π)．
6．函数y＝asinx－bcosx的一个对称轴方程为x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为______．
解析：令f(x)＝asinx－bcosx，由于f(x)的一条对称轴为x＝，得f(0)＝f()，即－b＝a，＝－1.∴直线ax－by＋c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.
7．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0与a2x＋b2y＋1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是______________________．
解析：由条件可得2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，显然点(a1，b1)与(a2，b2)在直线2x＋3y＋1＝0上．
8．直线ax＋y＋1＝0与连结A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是__．
解析：∵直线ax＋y＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在直线AC与BC之间时，必与线段AB相交，故应满足－a≥或－a≤，即a≤－2或a≥1.
9．(2010年湛江质检)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P是AB上的一动点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是________．
解析：以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，所以A(3,0)，B(0,4)．直线AB：＋＝1，设P(x，y)，所以P到AC、BC的距离乘积为xy，xy＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－[(x－)2－]≤×＝3.
答案：3
10．已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)证明：直线恒过定点M；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
解：(1)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.由得，∴直线必过定点(－1，－2)．
(2)设直线的斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，∴OA＝－1，OB＝k－2，
S△AOB＝·|OA|·|OB|＝|(－1)(k－2)|＝|－|.
∵k<0，∴－k>0，∴S△AOB＝[－]＝[4＋(－)＋(－k)]≥4.
当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB的面积最小值是4，
直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.
11．已知直线l：ay＝(3a－1)x－1.
(1)求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；
(2)a取何值时，直线l不过第二象限？
解：(1)证明：由直线l：ay＝(3a－1)x－1，得a(3x－y)＋(－x－1)＝0，
由，得，
所以直线l过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限．
(2)直线l不过第二象限，应有斜率k＝≥0且－≤0.
∴a≥时直线l不过第二象限．
12．若直线l过点P(3,0)且与两条直线l1：2x－y－2＝0，l2：x＋y＋3＝0分别相交于两点A、B，且点P平分线段AB，求直线l的方程．
解：设A(m,2m－2)，B(n，－n－3)．∵线段AB的中点为P(3,0)，
∴∴∴∴A(，)，
∴直线l的斜率k＝＝8，
∴直线l的方程为y－0＝8(x－3)，即8x－y－24＝0
第二节 点与直线、直线与直线的位置关系
A组
1．(2009年高考安徽卷改编)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是________．
解析：由题意知，直线l的斜率为－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
2．(2010年西安调研)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于________．
解析：∵两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1.
3．(2010年苏州质检)直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是a＝________.
解析：由两条直线平行可知∴a＝－2.
4．若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为________．
解析：由＝4得a＝7或－3，又2a＋3－3<0，得a<0，∴a＝－3.
5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l过点A(－2,3)，且法向量为n＝(1，－2)，则直线l的方程为 _________．
解析：设P(x，y)是直线l上任意一点，则＝(－2－x,3－y)，且⊥n，故·n＝0，即(－2－x,3－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直线l的方程为x－2y＋8＝0.答案：x－2y＋8＝0
6．直线y＝2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线，若A、B的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标，并判断△ABC的形状．
解：设A(－4,2)关于直线y＝2x对称的点A′的坐标是(m，n)
由解得即A′的坐标是(4， －2)，
由B、A′得BC所在的直线方程，3x＋y－10＝0，由解得C的坐标是(2,4)，又∵kAC′＝，kBC′＝－3，
∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形．
B组
1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．
解析：kPQ＝＝－1，PQ的中点为(，)，即(2,3)，
∴kl＝1，∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即x－y＋1＝0.
2．若三条直线l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0不能围成三角形，则c的值为________．
解析：由l1，l2，l3的方程可知l1，l2，l3不平行，由解得交点(3,4)，代入l3的方程得c＝－10.
3．已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的________条件．
解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且an－bm＝0⇒/ l1∥l2.答案：必要不充分
4．过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)距离相等，则直线l的方程为________________．
解析：直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线，当l与MN平行时，斜率为－4，故直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当l经过MN的中点时，MN的中点为(3，－1)，直线l的斜率为－，故直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.答案：3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
5．已知直线l经过点(，2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围为________．
解析：设直线方程为＋＝1，∴＋＝1，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝＋＋≥，故c≤.答案：(－∞，]
6．(2010年苏南四市调研)若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________.
解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得，所以a＋b＝2.答案：2
7．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是______．
解析：分别求点P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点，为P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P1P2＝2.答案：2
8．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是______．
解析：由bsinA－asinB＝0知，两直线垂直．答案：垂直
9．(2010年江苏常州模拟)已知00)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．
解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得10)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.
(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
(2)设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在？求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．
解：(1)直线CD方程为y＝x＋4，圆心E(，)，半径r＝a.
由题意得＝a，解得a＝4.
(2)∵|CD|＝＝4，∴当△PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只须圆E半径＝5，解得a＝10，
此时，⊙E的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50.
11．在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值．
解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝(OA＋OB－AB)＝＝2.∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则
d＝PA2＋PB2＋PO2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.
∵点P(x，y)在圆C上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．
∴当x＝0时，dmax＝88；当x＝4时，dmin＝72.
12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
解：(1)显然b≠0.否则，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2＋2x＋b＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b>0，即b<1.
所以b的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
(2)由方程x2＋2x＋b＝0，得x＝－1±.
于是，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与坐标轴的交点是(－1－，0)，(－1＋，0)，(0，b)．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得
解上述方程组，因b≠0，
得所以，圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C过定点．证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x02＋y02＋2x0－y0＝0.
解得或经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，
因此，圆C过定点．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
A组
1．(2009年高考天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，
如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1
2．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意，过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S＝××5＝.答案：
3．(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|＝5，
∴OP＝＝2.∴tan∠POC＝＝.在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：4
4．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.
若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，
即d＝＝>1，∴m<0或m>10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
5．(原创题)已知直线x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．
解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m－1＝n，所以
2m－1－m<5，因为m，n∈N*，所以，，，，故有序实数对(m，n)共有4个．答案：4个
6．(2010年南京调研)已知：以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.
∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝，
∴直线OC的方程是y＝x.∴＝t，解得：t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
B组
1．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．
解析：直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交
2．(2010年秦州质检)已知直线y＝－x与圆x2＋y2＝2相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则∠APB＝____________.
解析：弦心距长为，半径为，所以弦AB所对的圆心角为，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB＝.答案：
3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα＋ysinα＝0与圆(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是________．
解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，
d＝＝|cos(α－β)|＝>＝r.答案：相离
4．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有__条．
解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：32
5．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．
解析：A∩B有4个子集，即A∩B有2个元素，∴半圆x2＋(y－1)2＝4(y≥1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(－2,1)，kPA＝，过P与半圆相切时，k＝，∴0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离PQ＝
＝ ，显然当x＝，y＝0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心．
第十六章 圆锥曲线
1．椭圆（a>b>0）的两焦点为F1F2，连接点F1，F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为
2．已知N（3，1），点A、B分别在直线y=x和y=0上，则△ABN的周长的最小值是 。
3．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必经过点______________
4．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为
5．椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为
6．已知椭圆的焦点是是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 圆 （写出曲线类型）
7．椭圆的焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么
8．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线方程是 及
9．函数的图象为C,则C与x轴围成的封闭图形的面积为 ______2－______.
10．若椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点为，若，则此椭圆的离心率为
11．已知双曲线的右顶点为A，而B、C是双曲线右支上两点，若三角形ABC为等边三角形，则m的取值范围是 。
12．长度为的线段AB的两个端点A、B都在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到y轴的最短距离为 。
13．已知△ABC的顶点A（1,4），若点B在y轴上，点C在直线y=x上，则△ABC的周长的最小值是 。
14．设过点的直线l的斜率为k，若圆上恰有三点到直线l的距离等于1，则k的值是 1或7 。
15．设、是方程的两个不相等的实数根，那么过点和点 的直线与圆的位置关系是（ A ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．随的值变化而变化
16．已知圆C过三点O（0，0），A（3，0），B（0，4），则与圆C相切且与坐标轴上截距相等的切线方程是 或 ．
17．P是双曲线左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心横坐标为 ．
18．在直角坐标平面上，O为原点，N为动点，｜｜＝6，．过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作
NN1⊥x轴于点N1，＝＋，
记点T的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线L与双曲线C1：5x2－y2＝36
的右支相交于P、Q两点
（其中点P在第一象限），
线段OP交轨迹C于A，
若＝3，SΔPAQ＝－26tan∠PAQ，
求直线L的方程．
解：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x1，y1），则N1（x1，0）．又＝（x1，y1），∴M1（0，y1），＝（x1，0），＝（0，y1）．于是＝＋＝（x1，y1），即（x，y）＝（x1，y1）．代入｜｜＝6，得5x2＋y2＝36．所求曲线C的轨迹方程为5x2＋y2＝36．
（II）设由及在第一象限得解得即设则 ①
由得，
，即②
联立①， ②，解得或因点在双曲线C1的右支，故点的坐标为
由得直线的方程为即
19．设椭圆：的左、右焦点分别为，已知椭圆上任意一点，满足，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
解：（1）设点，则，
，又，
，∴椭圆的方程为：
（2）当过直线的斜率不存在时，点，则；当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，设
由 得：
综合以上情形，得：
20．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为的直线l过右焦点F与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M，N两点．
（1）若双曲线的离心率为，求圆的半径；
（2）设AB的中点为H，若，求双曲线的方程．
解答：（1）设所求方程为．由已知2a＝2，∴a＝1，又e＝＝2，∴c＝2．
∴双曲线方程为右焦点F(2，0)，L；y＝x－2，代入得
．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
∴，∴r＝3．
(2)设双曲线方程为 L；y＝x－2，代入并整理得
．
∴．
设半径为R， ，则．
∵，∴，∴．
∴，代入得：＝3．
∴为所求．
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