新教材高中物理第4章万有引力定律及航天拓展课天体运动中的三类典型问题学案鲁科版必修第二册 13页

拓展课　天体运动中的三类典型问题 核心要点 　人造卫星的发射、变轨问题 ‎[要点归纳]‎ ‎1.卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。‎ ‎(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。‎ ‎(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。‎ ‎(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。‎ ‎2.三个运行物理量的大小比较 ‎(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。‎ ‎(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。‎ ‎(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。‎ ‎[经典示例]‎ ‎[例1] 我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则(　　)‎ 13‎ A.飞行器在B点处点火后，动能增加 B.由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期 C.只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度 D.飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π 解析　在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则mg0＝mR，解得T3＝2π，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据开普勒第三定律＝k以及轨道Ⅲ的周期，可求出在轨道Ⅱ上的运行周期，故B错误，D正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B点的加速度相等，故C错误。‎ 答案　D ‎[针对训练1] (多选)2016年中国发射了“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接。“天宫二号”由“长征二号F”改进型无人运载火箭从酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面的高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上。“天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道，如图所示。已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R。则下列说法正确的是(　　)‎ A.“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，引力为动力 B.“天宫二号”在椭圆轨道的B点的加速度大于在预定圆轨道上B点的向心加速度 13‎ C.“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度大于在预定圆轨道上的B点的速度 D.根据题目所给信息，可以计算出地球质量 解析　“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，速度在变大，故受到的地球引力为动力，所以A正确；在B点“天宫二号”的加速度都是由万有引力产生的，因为同在B点万有引力大小相等，故不管在哪个轨道上运动，在B点时万有引力产生的加速度大小相等，故B错误；“天宫二号”在椭圆轨道的B点加速后做离心运动才能进入预定圆轨道，故“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度小于在预定圆轨道的B点的速度，故C错误；“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，故周期为T＝，根据万有引力提供向心力G＝m，得地球的质量M＝＝，故D正确。‎ 答案　AD 核心要点 　同步卫星、近地卫星、赤道上物体物理量的比较 ‎[要点归纳]‎ ‎1.相同点 ‎(1)都以地心为圆心做匀速圆周运动。‎ ‎(2)同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度。‎ ‎2.不同点 ‎(1)向心力不同 同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，＝；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，≠。‎ ‎(2)向心加速度不同 比较项目 卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度(不局限于赤道)‎ 产生原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生 方向 指向地心 垂直且指向地轴 大小 a＝(地面附近a近似等于g)‎ a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度 特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小 13‎ ‎[经典示例]‎ ‎[例2] (多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是(　　)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎【解题指导】‎ →→ →→ 解析　设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面随地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，选项D正确。‎ 答案　AD ‎[针对训练2] 地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)‎ A.F1＝F2＞F3 B.a1＝a2＝g＞a3‎ C.v1＝v2＝v＞v3 D.ω1＝ω3＜ω2‎ 解析　赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1＜F2，F2＞F3，加速度a1＜a2，a2＝g，a3＜a2；线速度v1＝ω1R，v3＝ω3(R＋h)，其中ω1＝ω3，因此v1＜v3，而v2＞v3；角速度ω＝，故有ω1＝ω3＜ω2，故选项D正确。‎ 答案　D 方法总结 处理这类题目的 13‎ 关键是受力分析，抓住随地球自转物体与卫星在向心力的具体来源上的差异。切忌不考虑实际情况、生搬硬套F向＝F引及其有关结论。‎ 核心要点 　双星问题 ‎[要点归纳]‎ ‎1.双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。‎ ‎2.双星问题的特点 ‎(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心在它们之间的连线上。‎ ‎(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。‎ ‎(3)两星的运动周期、角速度相同。‎ ‎(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L。‎ ‎3.双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2。‎ 由此得出：‎ ‎(1)轨道半径之比与双星质量之比相反：＝。‎ ‎(2)线速度之比与质量之比相反：＝。‎ ‎(3)由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两颗星的质量之和m1＋m2＝。‎ ‎[经典示例]‎ ‎[例3] 2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为(　　)‎ A. B. C. D. 13‎ 解析　对双黑洞中任一黑洞：G＝m1r1‎ 得G＝r1‎ 对另一黑洞：G＝m2r2得G＝r2‎ 又r1＋r2＝L，联立可得 G＋G＝r1＋r2‎ 则G＝(r1＋r2)，即G＝L 双黑洞总质量M＝。‎ 答案　A ‎[针对训练3] (多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的(　　)‎ A.角速度大小约为冥王星的7倍 B.向心力大小约为冥王星的 C.轨道半径约为冥王星的7倍 D.周期与冥王星周期相同 解析　由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈所用的时间相同，故D正确，A错误；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力提供向心力，即G＝M冥ω2r冥＝m卡ω2r卡，故＝＝，B错误，C正确。‎ 答案　CD ‎1.(卫星的变轨问题)(多选)我国天宫一号飞行器已完成了所有任务，于2018年4月2日8时15分坠入大气层后烧毁。如图所示，设天宫一号原来在圆轨道Ⅰ上飞行，到达P点时转移到较低的椭圆轨道Ⅱ上(未进入大气层)，则天宫一号(　　)‎ 13‎ A.在P点减速进入轨道Ⅱ B.在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期 C.在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅱ上的加速度 D.在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能 解析　天宫一号在P点减速，提供的向心力大于需要的向心力，天宫一号做靠近圆心的运动进入轨道Ⅱ，故A正确；由开普勒行星运动第三定律得＝，由题意知轨道Ⅰ半径大于轨道Ⅱ的半长轴，所以在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B正确；根据万有引力提供向心力：G＝ma，解得a＝G，可知在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度，其在P点时加速度大小相等，故C错误；由于在P点需减速进入轨道Ⅱ，故天宫一号在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能，故D正确。‎ 答案　ABD ‎2.(卫星的变轨问题)(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　)‎ A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 解析　由于空气阻力做负功，卫星轨道半径变小，由G＝m可知，卫星线速度增大，地球引力做正功，引力势能一定减小，故动能增大，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小，选项D正确。‎ 答案　BD 13‎ ‎3.(同步卫星、近地卫星、赤道上物体物理量的比较)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)‎ A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1‎ C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3‎ 解析　卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r知a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，选项D正确，选项A、B、C错误。‎ 答案　D ‎4.(双星问题)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体.两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知(　　)‎ A.m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3‎ B.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2‎ C.m1做圆周运动的半径为L D.m2做圆周运动的半径为L 解析　双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A错误；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2得r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3，由v＝ωr得m1、m2做圆周运动的线速度之比为v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项B错误；m1做圆周运动的半径为L，m2做圆周运动的半径为L，选项C正确，D错误。‎ 13‎ 答案　C ‎1.(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船，并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在离地面约300 km高的圆轨道上正常运行，则下列说法中正确的是(　　)‎ A.“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度 B.对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速 C.对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等 D.对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度 解析　地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度，A错误；若“神舟八号”在与“天宫一号”同一轨道上点火加速，那么“神舟八号”受到地球对它的万有引力小于其做圆周运动需要的向心力，其将做离心运动，不可能实现对接，B错误；对接时，“神舟八号”与“天宫一号”必须在同一轨道上，根据a＝G可知，它们的加速度大小相等，C正确；第一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度，所以对接后，“天宫一号”的速度仍然要小于第一宇宙速度，D正确。‎ 答案　CD ‎2.(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先从发射点P进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)‎ A.该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，且小于11.2 km/s B.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s C.在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 13‎ 解析　地球卫星的发射速度应大于7.9 km/s且小于11.2 km/s，故A正确；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D正确。‎ 答案　ACD ‎3.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在距离月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行。然后卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如图所示。下列说法正确的是(　　)‎ A.卫星在三个轨道上运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ B.不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能EⅢ>EⅡ>EⅠ C.卫星在不同轨道运动到P点(尚未制动)时的加速度都相等 D.不同轨道的半长轴(或者半径)的二次方与周期的三次方的比值都相等 解析　轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ三个轨道的半长轴关系为RⅠ>RⅡ>RⅢ，根据开普勒第三定律，卫星在三个轨道上运动的周期关系为TⅠ>TⅡ>TⅢ，选项A错误；不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能关系为EⅠ>EⅡ>EⅢ，选项B错误；不同轨道上的P点，到地心的距离相同，所受万有引力相同，根据牛顿第二定律，卫星在不同轨道运动到P点(尚未制动)时的加速度都相等，选项C正确；根据开普勒第三定律，卫星在不同轨道的半长轴(或者半径)的三次方与周期的二次方的比值都相等，选项D错误。‎ 答案　C ‎4.(多选)神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室在太空中自动交会对接的成功，显示了我国航天科技力量的雄厚。已知对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下列说法正确的是(　　)‎ A.为实现对接，神舟十一号飞船与天宫二号运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加 13‎ C.如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低 D.进入天宫二号的航天员处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 解析　第一宇宙速度为最大环绕速度，神舟十一号飞船与天宫二号的线速度一定小于第一宇宙速度，A错误；若天宫二号轨道半径不变，则因空气阻力作用，天宫二号的线速度减小，万有引力提供的向心力大于所需的向心力，故天宫二号做近心运动，由v＝可知，随r的减小，天宫二号的线速度增大，动能增大，选项B、C均正确；航天员处于失重状态，但航天员仍受地球引力作用，万有引力提供其随天宫二号做圆周运动的向心力，故D错误。‎ 答案　BC ‎5.有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则有(　　)‎ A.a的向心加速度等于重力加速度g B.b在相同时间内转过的弧长最长 C.c在4 h内转过的圆心角是 D.d的运行周期有可能是20 h 解析　对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得G－N＝ma向，又由G＝mg，故卫星a的向心加速度小于重力加速度g，A项错误；由G＝m得，v＝，故轨道半径越小，线速度越大，故b、c、d三颗卫星的线速度的大小关系为vb>vc>vd，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，B项正确；由c是地球同步卫星，可知卫星c在4 h内转过的圆心角是，C项错误；由G＝mr得，T＝2π，轨道半径越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错误。‎ 答案　B ‎6.(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)‎ 13‎ A.甲星所受合外力为 B.乙星所受合外力为 C.甲星和丙星的线速度相同 D.甲星和丙星的角速度相同 解析　由万有引力定律可知，甲、乙和乙、丙之间的万有引力大小均为F1＝G，甲、丙之间的万有引力为F2＝G＝，甲星所受两个引力的方向相同，故合力为F1＋F2＝，A项正确；乙星所受两个引力等大、反向，合力为零，B项错误；甲、丙两星线速度方向始终不同，C项错误；由题知甲、丙两星周期相同，由角速度定义可知，两星角速度相同，D项正确。‎ 答案　AD ‎7.(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则(　　)‎ A.星球A的质量一定大于B的质量 B.星球A的线速度一定大于B的线速度 C.双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 解析　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两者间距为L，周期为T，角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律可知＝mAω2RA，①‎ ＝mBω2RB，②‎ RA＋RB＝L，③‎ 由①②式可得＝，而AO＞OB，故A项错误；‎ 13‎ vA＝ωRA，vB＝ωRB，B项正确；‎ 联立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3，又因为T＝，‎ 故T＝2π，可知C项错误，D项正确。‎ 答案　BD ‎8.引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测。1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小，则(　　)‎ A.两星的运动周期均逐渐减小 B.两星的运动角速度均逐渐减小 C.两星的向心加速度均逐渐减小 D.两星的运动线速度均逐渐减小 解析　双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力。根据G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，得m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离减小，则双星的轨道半径都变小，根据万有引力提供向心力，知角速度变大，周期变小，故A正确，B错误；根据G＝m1a1＝m2a2知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；根据G＝m1，解得v1＝，由于L平方的减小比r1的减小量大，则线速度增大，故D错误。‎ 答案　A 13‎