2019-2020学年高中数学课时作业13数学归纳法北师大版选修4-5 6页

课时作业(十三)‎ ‎1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则当n＝1时，f(n)为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋ 答案　C 解析　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，故f(1)＝1＋＋.故选C.‎ ‎2．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋‎1”‎时，等式左边需增添的项是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　当n＝k(k∈N＋)时，等号左边＝＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，等式左边＝＋＋＋…＋＋，所以当n＝k到n＝k＋1时，等式左边需增添的项为.故选D.‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．试归纳猜想出Sn的表达式为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　因为a1＝1，所以S1＝1；又S2＝‎4a2＝a1＋a2，‎ 所以‎3a2＝1，所以a2＝，S2＝；‎ 又S3＝‎9a3＝S2＋a3，‎8a3＝，所以a3＝，‎ 所以S3＝＝，由此可猜想Sn＝(n∈N＋)．‎ ‎4．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，在利用数学归纳法证明时，‎ 6‎ 从n＝k到n＝k＋1需添的项为(　　)‎ A. B. C.＋ D.－ 答案　D ‎5．设平面内有k条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋k D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2‎ 答案　C 解析　当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．‎ ‎6．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”时，在验证当n＝1成立时，左边计算所得的结果是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ 答案　C 解析　左边n＝1时，幂指数最大值为1＋1＝2，∴左边结果为1＋a＋a2.‎ ‎7．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成(　　)‎ A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1) B．6k(k＋1)(2k＋1)‎ C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2 D．以上都不对 答案　C ‎8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　)‎ A. B．π C.π D．2π 答案　B 解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k＋1)＝f(k)＋π.故选B.‎ ‎9．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，‎ 6‎ 第二步正确的证明方法是(　　)‎ A．假设n＝k(k∈N*)时成立，证明n＝k＋1时命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N*)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立 D．假设n＝2k－1(k∈N*)时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立 答案　D 解析　由完全归纳法知，只有当n的初始值取值成立，且n＝k成立，能推出n＝k＋1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可．A，B选项都是错误的，因为n是正奇数．C选项当k＝1时的起始值为3，所以也不正确，故选D.‎ ‎10．某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：‎ ‎(1)当n＝1时，S1＝a1显然成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，公式成立，即 Sk＝ka1＋.‎ 当n＝k＋1时，‎ Sk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1‎ ‎＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋a1＋(k－1)d＋a1＋kd ‎＝(k＋1)a1＋d ‎＝(k＋1)a1＋d.‎ ‎∴当n＝k＋1时公式成立．‎ ‎∴由(1)(2)可知对n∈N*，公式成立．‎ 以上证明错误的是(　　)‎ A．当n取第一个值1时，证明才对 B．归纳假设写法不对 C．从n＝k到n＝k＋1的推理中未用归纳假设 D．从n＝k到n＝k＋1的推理有错误 答案　C 解析　因为没有用上归纳假设，所以是错误的．‎ ‎11．若凸k边形对角线条数为f(k)，则凸k＋1边形对角线条数f(k＋1)＝f(k)＋________．‎ 答案　k－1‎ 解析　凸k＋1边形A‎1A2A3…Ak＋1的对角线条数由下列三部分相加而得．‎ ‎①凸k边形A‎1A2A3…Ak的对角线条数f(k)．‎ 6‎ ‎②A1Ak由原凸k边形的边变为凸k＋1边形的对角线．‎ ‎③顶点Ak＋1与另外k－2个顶点A2、A3、…、Ak－1生成k－2条对角线．所以，f(k＋1)＝f(k)＋1＋(k－2)＝f(k)＋k－1.‎ ‎12．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，且n≥2)第一步要证明的式子是________．‎ 答案　2＋f(1)＝‎2f(2)‎ 解析　n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝‎2f(2)．‎ ‎13．用数学归纳法证明：(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1左端需增乘的代数式为________．‎ 答案　2(2k＋1)‎ 解析　当n＝k时，(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝‎ ‎2k·1·3·…·(2k－1)，‎ 当n＝k＋1时，(k＋2)·(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝2k＋1·1·3·…·2k·(2k＋1)．‎ ‎∴左端需增乘＝2(2k＋1)．‎ ‎14．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，‎ 右边＝，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时命题成立，即有 ‎1－＋－＋…＋－ ‎＝＋＋…＋.‎ 当n＝k＋1时，‎ 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ‎＝＋＋…＋＋－ ‎＝＋＋…＋＋.‎ 从而可知，当n＝k＋1时，命题亦成立．‎ 由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立．‎ ‎15．用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．‎ 6‎ 证明　(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．‎ ‎(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．‎ 当n＝k＋1时，‎ Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1‎ ‎＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1‎ ‎＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.‎ ‎∴n＝k＋1时，命题也成立．‎ 根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．‎ ‎1．对于不等式23－1，‎ 由此猜想：an≥2n－1.‎ 下面用数学归纳法证明这个猜想：‎ ‎①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；‎ ‎②假设当n＝k(n∈N*)时结论成立，‎ 即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，‎ 由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，‎ 即n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①，②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.‎ 即1＋an≥2n，所以≤.‎ 所以＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－()n<1.‎ 6‎