高考数学模拟试卷 (18) 12页

- 1 - 长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联合考试试题 数学（理科）(18) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 | | 3z z i   ，则 z 对应点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.设集合  2 2( , ) | 1A x y x y   ，  ( , ) | 3xB x y y  ，则 A B 的子集的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知双曲线 2 2 2 2 1y x a b   （ 0a  ， 0b  ）的一个焦点为 (0, 2)F  ，一条渐近线的斜率为 3 ， 则该双曲线的方程为（ ） A． 2 2 13 x y  B． 2 2 13 yx   C． 2 2 13 y x  D． 2 2 13 xy   4.在数列 na 中， 1 2a  ， 1 1ln(1 )1 n na a n n n     ，则 na  （ ） A． 2 lnn n B． 2 ( 1)lnn n n  C． 2 lnn n n D．1 lnn n n  5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和 等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ） A．3 4 2  B． 4( 2 1)   C． 4( 2)  D． 4( 1)  6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三 十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加 右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 n 是 8 的整 - 2 - 数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入 24n  ，则输出的 结果为（ ） A．23 B．47 C．24 D．48 7.郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排 一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种 8.设 A ，B ，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，OA OB  ，则 ( ) ( )OC OA OC OB      的最大 值是（ ） A．1 2 B．1 2 C． 2 1 D．1 9.将函数 2sin cosy x x  的图象向右平移 个单位长度，得到函数 2sin cosy x x  的图 象，则sin 的值为（ ） A． 3 2 B． 3 5 C． 1 2 D． 4 5 10.已知 1 0 5 1 xe dx n e    ，其中 2.71e  …，e 为自然对数的底数，则在 4( 2)nx x   的展开式中 2x - 3 - 的系数是（ ） A．240 B．80 C． 80 D． 240 11.过抛物线C ： 2 4y x 的焦点 F 的直线l 与抛物线 C 交于 P ，Q 两点，与抛物线准线交于 M ，且 3FM FP  ，则| |FP  （ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 4 3 D． 3 4 12.已知函数 ( ) sin 2f x x 的图象与直线 2 2 0kx y k   （ 0k  ）恰有三个公共点，这三 个点的横坐标从小到大分别为 1x ， 2x ， 3x ，则 1 3 2 3( ) tan( 2 )x x x x   （ ） A． 2 B． 1 C． 0 D．1 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知实数 x ， y 满足 1, 1, 0, x y x y x        则 2 2x y x   的最小值为 ． 14.已知点 ( , )P a b 在函数 2ey x  （其中 2.71e  …，e 为自然对数的底数）的图象上，且 1a  ， 1b  ，则 lnba 的最大值为 ． 15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 3，则其包装盒的体积的 最小值为 ． 16.在平面四边形 ABCD 中， 120ABC   ， 2 19AC  ， 2 3AB BC ， 2AD BD ， BCD 的面积为 2 3 ，则 AD  ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若数列 na 的前 n 项和 nS 满足 2n nS a   （ 0  ， *n N ）． （1）证明：数列 na 为等比数列，并求 na ； （2）若 4  ， 2 , , log , n n n a nb a n    是奇 是偶 （ *n N ），求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 18.如图 1，菱形 ABCD 的边长为 12， 60BAD   ， AC 与 BD 交于O 点，将菱形 ABCD - 4 - 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 B ACD ，点 M 是棱 BC 的中点， 6 2DM  ． （1）求证：平面ODM  平面 ABC ； （2）求二面角 M AD C  的余弦值． 19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去 50 周的资料显示，该地周 光照量 X （小时）都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周，不低于 50 小时且不超 过 70 小时的周数有 35 周，超过 70 小时的周数有 10 周．根据统计，该基地的西红柿增加量 y （百斤）与使用某种液体肥料 x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图． （1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系？请计算相关系数 r 并加 以说明（精确到 0.01）；（若| | 0.75r  ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周 光照控制仪最多可运行台数受周光照量 X 限制，并有如表关系： 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则 该台光照控制仪周亏损 1000 元．以过去 50 周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率， 商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 附：相关系数公式 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ，参考数据 0.3 0.55 ， 0.9 0.95 ． - 5 - 20.设点 A 为圆C ： 2 2 4x y  上的动点，点 A 在 x 轴上的投影为Q ，动点 M 满足 2MQ AQ  ，动点 M 的轨迹为 E ． （1）求 E 的方程； （2）设 E 与 y 轴正半轴的交点为 B ，过点 B 的直线l 的斜率为 k （ 0k  ），l 与 E 交于另一 点为 P ，若以点 B 为圆心，以线段 BP 长为半径的圆与 E 有 4 个公共点，求 k 的取值范围． 21.已知函数 2( ) x x xf x ae ae xe   （ 0a  ， 2.718e  …， e 为自然对数的底数），若 ( ) 0f x  对于 x R 恒成立． （1）求实数 a 的值； （2）证明： ( )f x 存在唯一极值点 0x ，且 02 ln 2 1 1( )2 4 4f xe e    ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线l 过点 ( 2, 4)M   ，以原点 O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2cos   ． （1）写出直线l 的参数方程（ 为常数）和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与C 交于 A 、 B 两点，且| | | | 40MA MB  ，求倾斜角 的值． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1| | 1|f x m x x     ． （1）当 5m  时，求不等式 ( ) 2f x  的解集； （2）若二次函数 2 2 3y x x   与函数 ( )y f x 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围． - 6 - 长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联合考试试题数学（理科）答案(18) 一、选择题 1-5: DACCA 6-10: BBADB 11、12：CB 二、填空题 13.4 14. e 15.72 16. 4 3 三、解答题 17.解：（1）由题意可知 1 12S a   ，即 1a  ； 当 2n  时， 1 1 1(2 ) (2 ) 2 2n n n n n n na S S a a a a           ，即 12n na a  ； 所以数列 na 是首项为  ，公比为 2 的等比数列， 所以 12n na    ． （2）由（1）可知当 4  时 12n na  ，从而 12 , 1, n n nb n n    是奇， 是偶． n 为偶数时， 2 (3 1)4(1 4 ) 2 1 4 2 n n n n T    ； n 为奇数时， 1 1n n nT T b   1 2 1(3 1 1)4(1 4 ) 2 ( 2)1 4 2 n n n n         14(2 1) ( 1)( 5) 23 4 n n n n        14(2 1) ( 1)( 3) 3 4 n n n     ， 综上， 1 4(2 1) ( 4) ,3 4 4(2 1) ( 1)( 3) ,3 4 n n n n n n T n n n          是偶， 是奇． 18.（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD DC ，OD AC ， ADC 中， 12AD DC  ， 120ADC   ， ∴ 6OD  ， - 7 - 又 M 是 BC 中点，∴ 1 62OM AB  ，又 6 2MD  ， ∵ 2 2 2OD OM MD  ，∴ DO OM ， ∵OM ， AC  平面 ABC ，OM AC O ， ∴OD  平面 ABC ， 又∵OD  平面ODM ，∴平面ODM  平面 ABC ． （2）解：由题意，OD DC ，OB OC ， 又由（1）知OB OD ，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知： (6,0,0)D ， (0, 6 3,0)A  ， (0,3 3,3)M ， 故 (0,9 3,3)AM  ， (6,6 3,0)AD  ， 设平面 MAD 的法向量 ( , , )m x y z ， 则 0, 0, m AM m AD          即 9 3 3 0, 6 6 3 0, y z x y      令 3y   ，则 3x  ， 9z  ， ∴ (3, 3,9)m   ． 由条件知 OB  平面 ACD ，故取平面 ACD 的法向量为 (0,0,1)n  ， 所以， 3 93cos , 31| | | | m nm n m n          ， 由图知二面角 M AD C  为锐二面角， 故二面角 M AD C  的余弦值为 3 93 31 ． 19.解：（1）由已知数据可得 2 4 5 6 8 55x      ， 3 4 4 4 5 45y      ， 因为 5 1 ( )( ) ( 3) ( 1) 0 0 0 3 1 6i i i x x y y              ， 5 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 3) ( 1) 0 1 3 2 5i i x x           ， 5 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 1) 0 0 0 1 2i j y y          ， - 8 - 所以相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i j x x y y r x x y y            6 9 0.95102 5 2     ， 因为 0.75r  ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需要安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪． ①安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元； ②安装 2 台光照控制仪的情形： 当 70X  时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 3000 1000 2000Y    元， 当30 70X  时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 2 3000 6000Y    元， 故Y 的分布列为： Y 2000 6000 P 0.2 0.8 所以 ( ) 1000 0.2 5000 0.7 9000 0.1 4600E Y        元． 综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪． 20.解：（1）设点 ( , )M x y ，由 2MQ AQ  ，得 ( ,2 )A x y ， 由于点 A 在圆C ： 2 2 4x y  上，则 2 24 4x y  ， 即点 M 的轨迹 E 的方程为 2 2 14 x y  ． （2）由（1）知， E 的方程为 2 2 14 x y  ， 因为 E 与 y 轴的正半轴的交点为 B ，所以 (0,1)B ， 所以故 B 且斜率为 k 的直线l 的方程为 1y kx  （ 0k  ）． 由 2 2 1, 1,4 y kx x y     得 2 2(1 4 ) 8 0k x kx   ， 设 1 1( , )B x y ， 2 2( , )P x y ，因此 1 0x  ， 2 2 8 1 4 kx k    ， 2 2 1 2 2 8| || | 1 | | 11 4 kBP k x x kk      ． - 9 - 由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点 P ，T ， 满足| | | |BP BP ，此时直线 BP 斜率 0k  ， 设直线 BT 的斜率为 1k ，且 1 0k  ， 1k k ， 则 21 12 1 8| || | 11 4 kBT kk   ， 故 2 21 12 2 1 8| | 8| |1 11 4 1 4 k kk kk k     ，所以 2 4 2 4 1 1 2 2 1 01 4 1 4 k k k k k k     ， 即 2 2 4 2 2 4 1 1 1(1 4 ) (1 4 )k k k k k k     ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1( )(1 8 ) 0k k k k k k     ， 由于 1 2k k ，因此 2 2 2 2 1 11 8 0k k k k    ， 故 2 2 1 2 2 1 1 1 1 9 8 1 8 8(8 1) kk k k     ． 因为 2 0k  ，所以 2 18 1 0k   ， 因此 2 2 1 1 9 1 8 8(8 1) 8k k    ，又因为 0k  ，所以 2 4k  ， 又因为 1k k ，所以 2 2 2 21 8 0k k k k    ， 所以 4 28 2 1 0k k   ，又因为 0k  ，解得 2 2k  ， 所以 2 2 2( , ) ( , )4 2 2k   ， 综上所述， k 的取值范围为 2 2 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2 4 4 2 2        ． - 10 - 21.解：（1）由 ( ) ( ) 0x xf x e ae a x    ，可得 ( ) 0xg x ae a x    ， 因为 (0) 0g  ，所以 ( ) (0)g x g ， 从而 0x  是 ( )g x 的一个极小值点， 由于 '( ) 1xg x ae  ，所以 '(0) 1 0g a   ，即 1a  ． 当 1a  时， ( ) 1xg x e x   ， '( ) 1xg x e  ， ∵ ( ,0)x  时， '( ) 0g x  ， ( )g x 在 ( ,0) 上单调递减， (0, )x  时， '( ) 0g x  ， ( )g x 在 (0, ) 上单调递增； ∴ ( ) (0) 0g x g  ，故 1a  ． （2）当 1a  时， 2( ) x x xf x e e xe   ， '( ) (2 2)x xf x e e x   ． 令 ( ) 2 2xh x e x   ，则 '( ) 2 1xh x e  ， ∵ ( , ln 2)x   时， '( ) 0h x  ， ( )h x 在 ( , ln 2)  上为减函数； ( ln 2, )x   时， '( ) 0h x  ， ( )h x 在 ( ln 2, )  上为增函数， 由于 ( 1) 0h   ， ( 2) 0h   ，所以在 ( 2, 1)  上存在 0x x 满足 0( ) 0h x  ， ∵ ( )h x 在 ( , ln 2)  上为减函数， ∴ 0( , )x x  时， ( ) 0h x  ，即 '( ) 0f x  ， ( )f x 在 0( , )x 上为增函数， 0( , ln 2)x x  时， ( ) 0h x  ，即 '( ) 0f x  ， ( )f x 在 0( , ln 2)x  上为减函数， ( ln 2,0)x  时， ( ) 0h x  ，即 '( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( ln 2,0) 上为减函数， - 11 - (0, )x  时， ( ) 0h x  ，即 '( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数， 因此 ( )f x 在 ( ln 2, )  上只有一个极小值点 0， 综上可知， ( )f x 存在唯一的极大值点 0x ，且 0 ( 2, 1)x    ． ∵ 0( ) 0h x  ，∴ 0 02 2 0xe x   ， 所以 0 0 0 2 2 20 0 0 0 0 0 0 2 2 2( ) ( ) ( )( 1)2 2 4 x x x x x x xf x e e x e x          ， 0 ( 2, 1)x    ， ∵ ( 2, 1)x   时， 2 2 1 4 4 x x  ，∴ 0 1( ) 4f x  ； ∵ 1ln ( 2, 1)2e    ，∴ 0 2 1 ln 2 1( ) (ln )2 2 4f x f e e e    ； 综上知： 02 ln 2 1 1( )2 4 4f xe e    ． 22.解：（1）∵倾斜角为 的直线过点 ( 2, 4)M   ， ∴直线l 的参数方程是 2 cos , 4 sin x t y t          （t 是参数）， ∵曲线C 的极坐标方程为 2sin 2cos   ，∴曲线C 的直角坐标方程是： 2 2y x ． （2）把直线的参数方程代入 2 2y x ，得 2 2sin (2cos 8sin ) 20 0t t      ， ∴ 1 2 2 2cos 8sin sint t      ， 1 2 2 20 sint t  ， 根据直线参数方程的几何意义 1 2 2 20| || | | | 40sinMA MB t t    ，故 4   或 3 4   ， 又∵ 2 2(2cos 8sin ) 80sin 0       ， ∴ 3 4   ． 23.解：（1）当 5m  时， 5 2 , 1, ( ) 3, 1 1, 5 2 , 1. x x f x x x x           由 ( ) 2f x  得不等式的解集为 3 3| 2 2x x      ． - 12 - （2）由二次函数 2 22 3 ( 1) 2y x x x      ，该函数在 1x   取得最小值 2， 因为 2 , 1, ( ) 2, 1 1, 2 , 1, m x x f x m x m x x            在 1x   处取得最大值 2m  ， 所以要使二次函数 2 2 3y x x   与函数 ( )y f x 的图象恒有公共点， 只需 2 2m   ，即 4m  ．