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- 2021-06-09 发布
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数 学
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
17.C2[2016·上海卷] 设a∈R,b∈[0,2π).若对任意实数x都有sin(3x-)=sin(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
17.B [解析] 由sin(3x-)=sin(3x-+2π)=sin(3x+),得(a,b)=(3,).
由sin(3x-)=sin[π-(3x-)]=sin(-3x+),得(a,b)=(-3,).因为b∈[0,2π),所以只有这两组满足条件.
6.C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan θ=-,则cos 2θ=( )
A.- B.-
C. D.
6.D [解析] cos 2θ====.
11.C2[2016·四川卷] sin 750°=________.
11. [解析] sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=.
14.C2,C5[2016·全国卷Ⅰ] 已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=________.
14.- [解析] 方法一:因为θ是第四象限角,且sin(θ+)=>0,所以θ+为第一象限角,所以cos(θ+)=)=,所以tan(θ-)=tan(θ+-)=-cot(θ+)=-=-.
方法二:由sin(θ+)=,得sin θ+cos θ=,两边分别平方得2sin θcos θ=-,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.因为θ是第四象限角,所以sin θ-cos θ=-
,所以tan(θ-)====-.
15.C2、C5、C8[2016·天津卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.
(1)求B;
(2)若cos A=,求sin C的值.
15.解:(1)在△ABC中,由=,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=bsin A=asin B,所以cos B=,得B=.
(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin [π-(A+B)]=sin(A+B)=sin(A+)=sin A+cos A=.
C3 三角函数的图象与性质
4.B6,B7,C3[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
A.y= B.y=cos x
C.y=ln(x+1) D.y=2-x
4.D [解析] 选项A中函数y==-在区间(-1,1)上是增函数;选项B中函数y=cos x在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C中函数y=ln(x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D中函数y=2-x=()x在区间(-1,1)上是减函数.
4.C3[2016·四川卷] 为了得到函数y=sin(x+)的图像,只需把函数y=sin x的图像上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度
D.向下平行移动个单位长度
4.A [解析] 根据“左加右减”的原则,要得到y=sin的图像,只需把y=sin x的图像向左平移个单位长度.
17.C3、C7[2016·山东卷] 设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
,再把得到的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,求g()的值.
17.解:(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin xcos x)=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin(2x-)+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z)或(kπ-,kπ+)(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-)+-1,
把y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-)+-1的图像,
再把得到的图像向左平移个单位,
得到y=2sin x+-1的图像,
即g(x)=2sin x+-1,
所以g()=2sin+-1=.
9.C3[2016·江苏卷] 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图像与y=cos x的图像的交点个数是________.
9.7 [解析] 方法一:令sin 2x=cos x,即2sin xcos x=cos x,解得cos x=0或sin x=,
即x=kπ+或x=2kπ+或x=2kπ+π(k∈Z),又x∈[0,3π],故x=,,或x=,,,,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.
方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.
16.C3,C5,C6[2016·北京卷] 已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
16.解:(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=sin(2ωx+),
所以f(x)的最小正周期T==.依题意,=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+).
函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
C4 函数的图象与性质
3.C4[2016·全国卷Ⅱ] 函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图11所示,则( )
图11
A.y=2sin(2x-) B.y=2sin(2x-)
C.y=2sin(x+) D.y=2sin(x+)
3.A [解析] 由图知,A=2,最小正周期T=π,所以ω==2,所以y=2sin(2x+φ).又因为图像过点(,2),所以2sin(2×+φ)=2,即+φ=2kπ+(k∈Z),当k=0时,得φ=-,所以y=2sin(2x-).
6.C4[2016·全国卷Ⅰ] 将函数y=2sin(2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为( )
A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(2x-) D.y=2sin(2x-)
6.D [解析] 函数y=2sin(2x+)的周期为=π,将函数 y=2sin(2x+)的图像向右平移个周期,即平移个单位,所得图像对应的函数为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-).
14.C4[2016·全国卷Ⅲ] 函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移________个单位长度得到.
14. [解析] 函数y=sin x-cos x=2sin(x-)的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移个单位长度得到.
11.C4[2016·浙江卷] 已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=________,b=________.
11. 1 [解析] 2cos2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+)+1,故A=,b=1.
5.C4[2016·上海卷] 若函数f(x)=4sin x+acos x的最大值为5,则常数a=________.
5.±3 [解析] 根据题意得f(x)=sin(x+φ),其中tan φ=,故函数f(x)的最大值为,则=5,解得a=±3.
12.C4,F3[2016·上海卷] 如图11,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上一个动点,则·的取值范围是________.
图11
12.[-1,] [解析] 由题意,设P(cos α,sin α),α∈[0,π],则=(cos α,sin α).又=(1,1),所以·=cos α+sin α=sin(α+)∈[-1,].
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
14.C2,C5[2016·全国卷Ⅰ] 已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=________.
14.- [解析] 方法一:因为θ是第四象限角,且sin(θ+)=>0,所以θ+为第一象限角,所以cos(θ+)=)=,所以tan(θ-)=tan(θ+-)=-cot(θ+)=-=-.
方法二:由sin(θ+)=,得sin θ+cos θ=,两边分别平方得2sin θcos θ=-
,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.因为θ是第四象限角,所以sin θ-cos θ=-,所以tan(θ-)====-.
15.C2、C5、C8[2016·天津卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.
(1)求B;
(2)若cos A=,求sin C的值.
15.解:(1)在△ABC中,由=,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=bsin A=asin B,所以cos B=,得B=.
(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin [π-(A+B)]=sin(A+B)=sin(A+)=sin A+cos A=.
15.C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cosA-的值.
15.解:(1)因为cos B=,00)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
16.解:(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=sin(2ωx+),
所以f(x)的最小正周期T==.依题意,=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+).
函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
C6 二倍角公式
12.B12,C6,E3[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.[-1,]
C.[-, ] D.[-1,-]
12.C [解析] 方法一:对函数f(x)求导得f′(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+,因为函数f(x)在R上单调递增,所以f′(x)≥0,即-cos2x+acos x+≥0恒成立.设t=cos x∈[-1,1],则g(t)=4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,所以有
解得-≤a≤.
方法二:取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不满足f(x)在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D,故选C.
6.C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan θ=-,则cos 2θ=( )
A.- B.-
C. D.
6.D [解析] cos 2θ====.
11.C6[2016·全国卷Ⅱ] 函数f(x)=cos 2x+6cos-x的最大值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
11.B [解析] 由已知得f(x)=-2sin x-2+,而sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.
8.C6,C7[2016·上海卷] 方程3sin x=1+cos 2x在区间[0,2π]上的解为________.
8.或 [解析] 化简3sin x=1+cos 2x得3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为或.
16.C3,C5,C6[2016·北京卷] 已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
16.解:(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=sin(2ωx+),
所以f(x)的最小正周期T==.依题意,=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+).
函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
C7 三角函数的求值、化简与证明
8.C6,C7[2016·上海卷] 方程3sin x=1+cos 2x在区间[0,2π]上的解为________.
8.或 [解析] 化简3sin x=1+cos 2x得3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为或.
17.C3、C7[2016·山东卷] 设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,求g()的值.
17.解:(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin xcos x)=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin(2x-)+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z)或(kπ-,kπ+)(k∈Z
).
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-)+-1,
把y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-)+-1的图像,
再把得到的图像向左平移个单位,
得到y=2sin x+-1的图像,
即g(x)=2sin x+-1,
所以g()=2sin+-1=.
C8 解三角形
8.C8[2016·山东卷] △ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=( )
A. B.
C. D.
8.C [解析] ∵b=c,a2=2b2(1-sin A),∴2b2sin A=b2+c2-a2=2bccos A=2b2cos A,∴tan A=1,即A=.
4.C8[2016·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( )
A. B.
C.2 D.3
4.D [解析] 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去),故选D.
9.C8[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=( )
A. B.
C. D.
9.D [解析] 作AD⊥BC交BC于点D,设BC=3,则有AD=BD=1,AB=,由余弦定理得AC=.由正弦定理得=,解得sin A==.
14.C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是________.
14.8 [解析] 方法一:∵sin A=2sin Bsin C,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,
两边同除以cos Bcos C,可得tan B+tan C=2tan Btan C,
tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=-·tan Btan C=
eq f(2(tan Btan C)2,tan Btan C-1),
由三角形为锐角三角形得tan B>0,tan C>0,tan A=>0,即tan Btan C-1>0.令tan Btan C-1=t(t>0),则tan Atan Btan C==2t++2≥8,
当t=1,即tan Btan C=2时取等号.
方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan Btan C,
又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan Btan C)·tan(B+C)=tan A-tan A+tan Atan Btan C=tan Atan Btan C,
所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8,
当且仅当tan A=2tan Btan C=4时取等号.
10.C8[2016·上海卷] 已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于________.
10. [解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为=-,所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=,所以R=.
15.C8[2016·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=________.
15. [解析] 因为cos A=,cos C=,且A,C为三角形的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.又因为=,所以b==.
13.C8[2016·北京卷] 在△ABC中,∠A=,a=c,则=________.
13.1 [解析] 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得,3c2=b2+c2-2bccos,整理得()2+-2=0,解得=1或=-2(舍去).
15.C2、C5、C8[2016·天津卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.
(1)求B;
(2)若cos A=,求sin C的值.
15.解:(1)在△ABC中,由=,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=bsin A=asin B,所以cos B=,得B=.
(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin [π-(A+B)]=sin(A+B)=sin(A+)=sin A+cos A=.
16.E5[2016·天津卷] 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
16.C8[2016·浙江卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若cos B=,求cos C的值.
16.解:(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,
所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以A=2B.
(2)由cos B=得sin B=,
cos 2B=2cos2B-1=-,
故cos A=-,sin A=,
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin A sin B=.
15.C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cosA-的值.
15.解:(1)因为cos B=,00,tan C>0,tan A=>0,即tan Btan C-1>0.令tan Btan C-1=t(t>0),则tan Atan Btan C==2t++2≥8,
当t=1,即tan Btan C=2时取等号.
方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan Btan C,
又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan Btan C)·tan(B+C)=tan A-tan A+tan Atan Btan C=tan Atan Btan C,
所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8,
当且仅当tan A=2tan Btan C=4时取等号.
C9 单元综合
8.C9[2016·天津卷] 已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )
A.(0,]
B.(0,]∪[,1)
C.(0, ]
D.(0,]∪[,]
8.D [解析] f(x)=sin2+sin ωx-=+sin ωx-=sin ωx-cos ωx
=sin(ωx-).
因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,所以>2π-π,即>π,所以0<ω<1.当x∈(π,2π)时,ωx-∈.若函数f(x)在区间(π,2π)内有零点,则ωπ-0),
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,
代入+=中,有
+=,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cos A==,
所以sin A==.
由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+sin B,
故tan B==4.
1. [2016·合肥一检] sin 18°·sin 78°-cos 162°·cos 78°=( )
A. - B. - C. D.
1. D [解析] sin 18°·sin 78°-cos 162°·cos 78°=sin 18°·sin 78°+cos 18
°·cos 78°=cos=cos 60°=.
1. [2016·湖北八校一联]要得到函数f(x)=cos的图像,只需将函数g(x)=sin的图像( )
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
1. C [解析] 易知f(x)=cos=sin, 故把g(x)=sin的图像向左平移个单位长度,就可得到f(x)=sin=cos的图像.
1. [2016·广州高三适应性考试] f(x)=sin+cos 2x的振幅和最小正周期分别是( )
A. , B. ,π
C. , D. ,π
1. B [解析] f(x)=sin+cos 2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos,故振幅A=,最小正周期T==π.