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- 2021-06-09 发布
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课时作业5 高度、角度问题
时间:45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1.某次测量中,若A在B的北偏东55°方向上,则B在A的( D )
A.北偏西35°方向上 B.北偏东55°方向上
C.南偏西35°方向上 D.南偏西55°方向上
解析:根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示.α=55°,则β=α=55°,所以B在A的南偏西55°方向上.
2.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为( A )
A.(30+30)m B.(30+15)m
C.(15+30)m D.(15+3)m
解析:设树高为h,则由题意得h-h=60,
∴h==30(+1)=(30+30)(m).
3.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6 m,下底长为10 m,高为2 m,那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别为( B )
A.,60° B.,60°
C.,30° D.,30°
8
解析:如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高DE=2 m,则AE==2 m,
∴tan∠DAE===,∴∠DAE=60°.
4.如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿( )方向行驶( )海里至海岛C( B )
A.北偏东60° 10
B.北偏东40° 10
C.北偏东30° 10
D.北偏东20° 10
解析:由已知得在△ABC中∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=BC=10,故∠BAC=30°,
所以从A到C的航向为北偏东70°-30°=40°,
由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC
=102+102-2×10×10×(-)=300,
所以AC=10.
5.如图,为了测量河对岸的塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200 m,在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,则塔高AB为( A )
8
A.200 m B.100 m
C.200 m D.300 m
解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,设AB=h,则BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h,在△BCD中,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(h)2-2·h·h·,解得h=200(h=-200舍去),即塔高AB=200 m.
6.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8海里,则灯塔S在B处的( C )
A.北偏东75°
B.东偏南75°
C.北偏东75°或东偏南75°
D.以上方位都不对
解析:根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×=16,BS=8,A=30°.
在△ABS中,由正弦定理得=,
sinS===.
∴S=45°或135°,∴B=105°或15°,
即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.
二、填空题
7.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔沿直线行走30米,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔前进10米,又测得塔顶的仰角为4θ,则塔高是15米.
解析:作出示意图如图所示,
8
由题意知∠ABC=θ,∠ACD=2θ,∠ADE=4θ,
AC=BC=30米,AD=CD=10米.
在△ACD中,cos2θ===,
所以sin2θ=.
在Rt△ACE中,AE=ACsin2θ=30×=15(米).
8.若某人从A处出发,沿北偏东60°方向行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地之间的距离为7 km.
解析:画出草图,如图所示,由题意可知AB=3,BC=2,∠ABC=150°.在△ABC中,由余弦定理,得AC2=27+4-2×3×2×cos150°=49,所以AC=7,所以A,C两地之间的距离为7 km.
9.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是3km.
解析:如图,由条件知,
AB=24×=6.
8
在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,
∴∠ASB=45°.
由正弦定理,得=,
∴BS==3.
三、解答题
10.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.
解:设B为塔正东方向一点,AE为塔,沿南偏西60°行走40 m后到达C处,即BC=40,
且∠CAB=135°,∠ABC=30°.
如图在△ABC中,
=,即=.
∴AC=20.
由点A向BC作垂线AG,此时仰角∠AGE最大等于30°.
在△ABC中,∠ACB=180°-135°-30°=15°,
AG=ACsin15°=20sin15°=10(-1).
∴AE=AG·tan30°=.
即塔高为 m.
11.某单位有A,B,C三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知AB=80 m,BC=70 m,CA=50 m.假定A,B,C,O四点在同一平面内.
(1)求∠BAC的大小;
(2)求点O到直线BC的距离.
解:(1)在△ABC中,因为AB=80 m,BC=70 m,CA=50 m,所以由余弦定理得
cos∠BAC===.
因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.
8
(2)设△ABC外接圆的半径为R,由(1)知A=,
所以sinA=,由正弦定理得2R===,即R=.
过点O作边BC的垂线,垂足为D,
在Rt△OBD中,OB=R=,BD==35,
所以OD===,
所以点O到直线BC的距离为 m.
——能力提升类——
12.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为( D )
A.15 m B.20 m
C.25 m D.30 m
解析:设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=2h m,PB=h m,PC=h m,∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=,①
cos∠PBC=.②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度为30 m.
13.如下图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于( C )
8
A.240(-1) m B.180(-1) m
C.120(-1) m D.30(+1) m
解析:由题意可知,AC==120.因为∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,所以sin∠ABC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC===120(-1).
14.一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点,那么x=.
解析:如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,
则∠AOB=60°.由正弦定理知:
x===(cm).
15.在海岛A上有一座海拔1 km的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15°,俯角为30°的B处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45°且俯角为60°的C处.
(1)求船的航行速度;
(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离.
解:(1)如图,在Rt△PAB中,∠PBA=30°,
∴AB==(km).
8
同理,在Rt△PCA中,AC==(km).
在△ACB中,∠CAB=15°+45°=60°,
∴由余弦定理得BC=
=(km),
∴÷=2 (km/h),
∴船的航行速度为2 km/h.
(2)作AD⊥BC于点D,连接PD.当船行驶到D时,离A点距离最小,从而离P点距离最小.此时,cos∠CBA===,
∴sin∠CBA=,即=,∴AD=(km).
∴PD== (km).
即船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km.
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