2020年高中数学第六章推理与证明6 4页

‎6.3　数学归纳法(一)‎ 一、基础达标 ‎1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得 ‎ n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出 ‎(　　)‎ A．当n＝6时命题不成立 B．当n＝6时命题成立 C．当n＝4时命题不成立 D．当n＝4时命题成立 答案　B ‎2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则 ‎(　　)‎ A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案　B 解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．‎ ‎3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于 ‎(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．0‎ 答案　C 解析　因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.‎ ‎4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是 ‎(　　)‎ A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正确 答案　C ‎5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈‎ 4‎ N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．‎ 答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1‎ 解析　由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．‎ ‎6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.‎ 答案　f(k)＋＋＋－ ‎7．用数学归纳法证明…＝(n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 …＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ …·＝＝＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．‎ 二、能力提升 ‎8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为 ‎(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 答案　B 解析　n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．‎ ‎9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则 ‎(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 4‎ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，‎ ‎∴项数为n2－n＋1.‎ ‎10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．‎ 答案　缺少步骤(1)，没有递推的基础 证明　假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．‎ ‎11．用数学归纳法证明：‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，‎ 右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时，结论成立．‎ 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·(k＋1) ‎＝(－1)k·＝(－1)k＋1－1·.‎ 即n＝k＋1时结论也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．‎ ‎12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．‎ ‎(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，‎ a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，‎ 4‎ 猜想an＝.‎ ‎(2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，‎ 即ak＝5×2k－2，‎ 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ‎＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.‎ ‎＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2.‎ 故n＝k＋1时公式也成立．‎ 由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.‎ 所以数列{an}的通项公式为 an＝.‎ 三、探究与创新 ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ 解　(1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.‎ ‎(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，猜想显然成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.‎ 那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，‎ 即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.‎ 又Sk＝1－kak＝，‎ 所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，‎ 从而ak＋1＝＝.‎ 即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.‎ 4‎