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- 2021-06-09 发布
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高考数学 考前冲刺大题精做 专题 04 概率与统计(教师版)
【2013 高考会这样考】
1、 以实际生活中的问题为背景,结合概率的求解,以解答题的形式考查离散型随机变量的
期望与方差的实际应用;
2、 与相互独立事件、独立重复试验相结合,多以解答题的形式综合考查离散型随机变量的
期望与方差的求解;
3、 以统计中的茎叶图、频率分布直方图等为背景,结合古典概型,多以解答题的形式考查
离散型随机变量的期望与方差的求解.
【原味还原高考】
【高考还原 1:(2012 年高考(广东理))】某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方
图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: 40,50 、 50,60 、 60,70 、 70,80 、 80,90 、
90,100 .
(Ⅰ)求图中 x 的值;
(Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的
人数记为 ,求 的数学期望.
【名师点拨】(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质可以求出 x 的值;(Ⅱ)可知 的取值为 0、
1、2.,利用排列组合知识算出概率,进而确定数学期望.
P( =3)=
1000
729
10
1110
1 303
3 )()(C ,
所以,随机变量 的概率分布列为:
0 1 2 3
P
1000
1
1000
27
1000
243
1000
729
故随机变量 X 的数学期望为:E =0
10
27
1000
72931000
24321000
2711000
10 .
【高考还原 3:(2012 年高考(陕西理))】某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务
所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率;
(2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.
【名师点拨】(1)先对“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”的情况进行分类讨论,
进而求出概率;(2)利用相互独立事件的概率运算列出 X 的分布列,并计算期望.
【名师解析】设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②
第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第
一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟.
所以 ( ) ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) ( 2) ( 2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y
0.1 0.3 0.3 0.1 0.4 0.4 0.22
(2)解法一: X 所有可能的取值为 0,1,2
0X 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 ( 0) ( 2) 0.5P X P Y
1X 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超
过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟.
所以 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)P X P Y P Y P Y
0.1 0.9 0.4 0.49
2X 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 ( 2) ( 1) ( 1) 0.1 0.1 0.01P X P Y P Y
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51EX
解法二: X 所有可能的取值为 0,1,2
0X 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 ( 0) ( 2) 0.5P X P Y
2X 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 ( 2) ( 1) ( 1) 0.1 0.1 0.01P X P Y P Y
( 1) 1 ( 0) ( 2) 0.49P X P X P X
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51EX .
【细品经典例题】
【经典例题 1】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了
5 次试验,收集数据如下:
(1)在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 a、b,求事件 a、b 均小于 80 分钟的概率;
(2)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a
(3)根据(2)得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间,]
参考公式:
【经典例题 2】某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽
(1)根据上表完成下面的 2×2 列联表:
(2)根据题(1)中表格的数据计算,有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有
关系?
(3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来了解有关情况:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6
的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.
试求:①抽到 12 号的概率;
②抽到“无效序号(序号大于 20)”的概率.
试题注意点:在进行卡方判定的过程中,算得“8.802>6.635”,所以有 99%的把握认为:学
生的数学成绩与物理成绩之间有关系;若算出的数据小于 6.635,则没有 99%的把握认为:
学生的数学成绩与物理成绩之间有关系.
【精选名题巧练】
【名题巧练 1】工商部门对甲、乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后,决定对甲企业
的 5 种产品和乙企业的 3 种产品做进一步的检验.检验员从以上 8 种产品中每次抽取一种逐
一不重复地进行化验检验.
(Ⅰ)求前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率;
(Ⅱ)记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为 X,求 X 的分布列和数学期望.
【名题巧练 2】某数学兴趣小组共10 名学生,参加一次只有5 道填空题的测试。填空第i 题的难度
计算公式为 i
i
RP N
(其中 iR 为答对该题的人数,N 为参加测试的总人数)。该次测试每道填空题
的考前预估难度 '
ip 及考后实测难度 iP 的数据如下表:
题号 1 2 3 4 5
考前预估难度 '
ip 0.9 0.8
0.7
0.6 0.4
考后实测难度 iP 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2
( 1 ) 定 义 描 述 填 空 题 难 度 预 估 值 与 实 测 值 偏 离 程 度 的 统 计 量 为
2 2 2* ' ' '
1 1 2 2
1
n nS p P p P p Pn
,若 * 0.01S ,则称填空题的难度预估
是合理的,否则为不合理。请你判断该次测试中填空题的难度预估是否合理?并说明理由;
(2)从该小组中随机抽取 2 个考生,记被抽取的考生中第 5 题答对的人数为 ,求 的分
布列及数学期望。
【名题巧练 3】甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为 1
2
,乙,丙做对的
概率分 别为 m , n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该
题的人数,其分布列为:
0 1 2 3[
P 1
4
a b 1
24
(1)求至少有一位学生做对该题的概率;
(2) 求 m , n 的值;
(3) 求 的数学期望.
【名题巧练 4】2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中
规定:居民区中的 PM2.5(PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称可入肺
颗粒物)年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克
/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监
测数据,数据统计如下:
组别 PM2.5(微克/立方米) 频数(天) 频率
第一组 (0,15] 4 0.1
第二组 (15,30] 12 0.3
第三组 (30,45] 8 0.2
第四组 (45,60] 8 0.2
第三组 (60,75] 4 0.1
第四组 (75,90) 4 0.1
(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);
(Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断
该居民区的环境是否需要改进?说明理由;
(Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓
度符合环境空气质量标准的天数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 )(XE .
【名题出处】2013 山西省山大附中高中毕业班质量检查
【名师点拨】(1)观察表格,根据众数的定义进行估计;(2)利用区间的中点值乘以概率累
加可以得到平均数;(3)可知“ 9(2, )10B ”,利用二项分布的知识进行求解.
【名师解析】(1)众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米………4 分
(2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为
7.5 0.1 22.5 0.3 37.5 0.2 52.5 0.2 67.5 0.1 82.5 0.1 40.5 (微克/立方
米).
因为 40.5 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,
故该居民区的环境需要改进. ………………………8 分
(3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”,
则 9( ) 10P A . 随机变量 的可能取值为 0,1,2.且 9(2, )10B .
所以 2
2
9 9( ) ( ) (1 ) ( 0,1,2)10 10
k k kP k C k , 所以变量 的分布列为
0 1 2
p 1
100
18
100
81
100
1 18 810 1 2 1.8100 100 100E (天),或 92 1.810E nP (天) ……12 分
【名题巧练 5】在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目。
已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:
科目甲 科目乙 总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况.
(1)求选出的 4 人均选科目乙的概率;
(2)设 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 的分布列和数学期望.
, , ,
… 9 分
的分布列为:
∴ 的数学期望 …12 分
【名题巧练 6】一个袋子装有大小形状完全相同的9 个球,其中 5 个红球编号分别为 1,2,
3,4,5,4 个白球编号分剐为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球.
(I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率;
(II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望.
【名题巧练 7】某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高
‘数学应用题’得分率作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班
为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的
得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示:
现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀.
(1)试分析估计两个班级的优秀率;
(2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并问是否有 75%的把握认为“加强‘语文阅读
理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
参考公式及数据:K2= n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,
【名题巧练 8】某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训,以促进教师的
专业发展,每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培.现知垒市教师中,选
择心理学培训的教师有 60%,选择计算机培训的教师有 75%,每位教师对培训项目的选择是
相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选 1 名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率;
(2)任选 3 名教师,记 为 3 人中选择不参加培训的人数,求 的分布列和期望.
【名题出处】2013 广东省东莞市高三上学期期末调研
【名师点拨】(1)利用相互独立事件的概率求出教师选择只参加一项培训的概率;(2)先算
出任选 1 名教师该人选择不参加培训的概率,可以看出 3 人中选择不参加培训的人数符合二
项分布,运用二项分布的知识进行求解.
【名师解析】任选 1 名教师,记“该教师选择心理学培训”为事件 A ,“该教师选择
【名题巧练 9】在一个盒子 中,放有标号分别为1, 2 ,3 的三张卡片,现从这个盒子中,
有放回...地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为
( 2, )x x y ,记
2
OP .
(1)求随机变量 的最大值,并求事件“ 取得最大值”的概率;
(2)求随机变量 的分布列和数学期望.
【名题出处】2013 福建省三明一中、三明二中高中毕业班质量检查
【名师点拨】(1)利用绝对值不等式的性质可以得到
2
OP 的最大值,再使用求古典概
率 的 列 举 法 可 以 求 出 概 率 ;( 2 ) 依 题 意 , 的 所 有 取 值 为 0 ,1, 2 , 5 ,
【名题巧练 10】某高校组织自主招生考试,共有 2000 名优秀学生参加笔试,成绩均介于195
分到 275 分之间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成八
组:第一组 205,195 ,第二组 )215,205[ ,…,第八组 275,265 .如图是按上述分组方法得
到的频率分布直方图,且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上的同学进入面试.
(1)估计所有参加笔试的 2000 名学生中,参加面试的学生人数;
(2)面试时,每位考生抽取三个问题,若三个问 题全答错,则不能取得该校的自主招生
资格;若三个 问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上,则获 A 类资格;其它情况下获 B
类资格.现已知某中学有三人获得面试资格,且仅有一人笔试成绩为 270 分以上,在回答三
个面试问题时,三人对每一 个问题正确回答的概率均为
2
1 ,用随机变量 X 表示该中学获
得 B 类资格的人数,求 X 的分布列及期望 .EX
91( 2) ( ) 256P X P MN R M NR M NR ,
147( 3) ( ) 256P X P MNR ,
所以随机变量 X 的分布列为:
]
X 0 1 2 3
P 1
256
17
256
91
256
147
256 [
1 17 91 147 5( ) 0 1 2 3256 256 256 256 2E X .
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