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- 2021-06-09 发布
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2007 年高考数学山东卷(理科)详细解析
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选择
符合题目要求的选项。
1 若 cos sinz i (i 为虚数单位),则 2 1z 的 值可能是
(A)
6
(B)
4
(C)
3
(D)
2
【答案】:D【分析】:把
2
代入验证即得。
2 已知集合 1,1M , 11 2 4,2
xN x x Z
,则 M N
(A) 1,1 (B) 1 (C) 0 (D) 1,0
【答案】:B【分析】:求 11 2 4, 1,02
xN x x Z
。
3 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
(A) (1),(2) (B) (1),(3) (C) (1),(4) (D) (2),(4)
【答案】:D【分析】:从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。
4 设 11,1, ,32a
,则使函数 y x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 值为
(A)1,3 (B) 1,1 (C) 1,3 (D) 1,1,3
【答案】:A【分析】:观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。
5 函数 sin(2 ) cos(2 )6 3y x x 的最小正周期和最大值分别为
(A) ,1 (B) , 2 (C) 2 ,1 (D) 2 , 2
【答案】:A【分析】:化成 sin( )y A x 的形式进行判断即 cos2y x 。
6 给 出 下 列 三 个 等 式 : ( ) ( ) ( )f xy f x f y , ( ) ( ) ( )f x y f x f y ,
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f yf x y f x f y
。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
(A) ( ) 3xf x (B) ( ) sinf x x (C) 2( ) logf x x (D) ( ) tanf x x
【答案】:B【分析】:依据指、对数函数的性质可以发现 A,C 满足其中的一个等式,而 D
满足 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f yf x y f x f y
,B 不满足其中任何一个等式.
7 命题“对任意的 x R , 3 2 1 0x x ”的否定是
(A)不存在 x R , 3 2 1 0x x (B)存在 x R , 3 2 1 0x x
(C)存在 x R , 3 2 1 0x x (D)对任意的 x R , 3 2 1 0x x
【答案】:C【分析】:注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只对结论进行否定。
8 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间,将测试结果按如
下方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组,成绩大于等于 14 秒
且小于 15 秒;……第六组,成绩大于等于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到
的频率分布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ,成绩大于等
于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为
(A) 0.9,35 (B) 0.9,45 (C) 0.1,35 (D) 0.1,45
O 13 14 15 16 17 18 19
【答案】: A.【分析】:从频率分布直方图上可以看出 0.9x , 35y .
9 下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是
(1) : 2p m 或 6m ; 2: 3q y x mx m 有两个不同的零点。
(2) ( ): 1;( )
f xp f x
: ( )q y f x 是偶函数。
(3) :cos cos ;p : tan tanq 。
(4) : ;p A B A : U Uq C B C A 。
(A) (1),(2) (B) (2),(3) (C) (3),(4) (D) (1),(4)
0.36
0.34
0.18
0.06
0.04
0.02
【答案】: D.【分析】:(2)由 ( ) 1( )
f x
f x
可得 ( ) ( )f x f x ,但 ( )y f x 的定义域不一
定关于原点对称;(3) 是 tan tan 的既不充分也不必要条件。
10 阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是
(A) 2500,2500 (B) 2550,2550 (C) 2500,2550 (D) 2550,2500
【答案】:D.【试题分析】:依据框图可得 100 98 96 ... 2 2550S ,
99 97 95 ... 1 2500T 。
11 在直角 ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是
(A) 2
AC AC AB (B) 2
BC BA BC
(C)
2
AB AC CD (D) 2
2
( ) ( )AC AB BA BCCD
AB
否
是
开
始
输入n
S S n
结束
2?n
输 出
,S T
0, 0S T
1n n
T T n
1n n
【答案】:C.【分析】: 2
( ) 0 0AC AC AB AC AC AB AC BC ,A 是
正确的,同理 B 也正确,对于 D 答案可变形为 2 2 2 2
CD AB AC BC ,通过等积变换
判断为正确.
12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为
向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 1
2 .质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概率为
(A) 51( )2
(B) 2 5
5
1( )2C (C) 3 3
5
1( )2C (D) 2 3 5
5 5
1( )2C C
【答案】:B.【分析】:质点在移动过程中向右移动 2 次向上移动 3 次,因此质点 P 移动 5
次后位于点 (2,3) 的概率为 2 2 3
5
1 1( ) (1 )2 2P C 。
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,答案须填在题中横线上。
13. 设O 是坐标原点,F 是抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点,A 是抛物线上的一点,FA
与 x 轴正向的夹角为 60 ,则 OA
为________.
【答案】: 21
2 p【分析】:过 A 作 AD x 轴于 D,令 FD m ,则 2FA m , 2p m m ,
m p 。 2 2 21( ) ( 3 ) .2 2
pOA p p p
14.设 D 是不等式组
2 10
2 3
0 4
1
x y
x y
x
y
表示的平面区域,则 D 中的点 ( , )P x y 到直线 10x y 距
离的最大值是_______.
8
6
4
2
-10
-5
5
10
【答案】: 4 2.【分析】:画图确定可行域,从而确定 (1,1) 到直线直线 10x y 距离的最
大为 4 2.
15.与直线 2 0x y 和曲线 2 2 12 12 54 0x y x y 都相切的半径最小的圆的标准
方程是_________.
【答案】:. 2 2( 2) ( 2) 2x y 【分析】:曲线化为 2 2( 6) ( 6) 18x y ,其圆心到
直线 2 0x y 的距离为 6 6 2 5 2.
2
d
所求的最小圆的圆心在直线 y x 上,其
到直线的距离为 2 ,圆心坐标为 (2,2). 标准方程为 2 2( 2) ( 2) 2x y 。
14
12
10
8
6
4
2
-2
-10
-5
5
10
16.函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 1 0mx ny
上,其中 0mn ,则 1 2
m n
的最小值为_______.
【答案】: 8。【分析】:函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a 的图象恒过定点 ( 2, 1)A ,
( 2) ( 1) 1 0m n , 2 1m n , , 0m n ,
1 2 1 2 4 4( ) (2 ) 4 4 2 8.n m n mm nm n m n m n m n
三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 12 分)设数列 na 满足 2 1 *
1 2 33 3 ...3 , .3
n
n
na a a a n N
(I)求数列 na 的通项; (II)设 ,n
n
nb a
求数列 nb 的前 n 项和 nS .
解:: (I) 2 1
1 2 33 3 ...3 ,3
n
n
na a a a 2 2
1 2 3 1
13 3 ...3 ( 2),3
n
n
na a a a n
1 1 13 ( 2).3 3 3
n
n
n na n 1 ( 2).3n na n
验证 1n 时也满足上式, *1 ( ).3n na n N
(II) 3n
nb n ,
2 31 3 2 3 3 3 ... 3n
nS n
2 3 12 3 3 3 3 3n n
nS n
1
13 32 31 3
n
n
nS n
,
1 11 33 32 4 4
n n
n
nS
18(本小题满分 12 分)设 b c和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 表示方
程 2 0x bx c 实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 2 0x bx c 有实根的概率;
(II) 求 的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 2 0x bx c 有实根的概率.
解::(I)基本事件总数为 6 6 36 ,
若使方程有实根,则 2 4 0b c ,即 2b c 。
当 1c 时, 2,3,4,5,6b ;
当 2c 时, 3,4,5,6b ;
当 3c 时, 4,5,6b ;
当 4c 时, 4,5,6b ;
当 5c 时, 5,6b ;
当 6c 时, 5,6b ,
目标事件个数为5 4 3 3 2 2 19,
因此方程 2 0x bx c 有实根的概率为 19 .36
(II)由题意知, 0,1,2 ,则
17( 0) 36P , 2 1( 1) ,36 18P 17( 2) 36P ,
2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 ... 3n
nS n
故 的分布列为
0 1 2
P 17
36
1
18
17
36
的数学期望 17 1 170 1 2 1.36 18 36E
(III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M,“方程 2 0ax bx c 有实根” 为事件
N,则 11( ) 36P M , 7( ) 36P MN ,
( ) 7( ) ( ) 11
P MNP N M P M
.
19(本小题满分 12 分)如图,在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,已知
1 2 2DC DD AD AB , AD DC , AB DC .
(I)设 E 是 DC 的中点,求证: 1 1D E A BD 平面 ;
(II)求二面角 1 1A BD C 的余弦值.
E
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
解::(I)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,
1 1BE AD A D ,且 1 1BE AD A D ,
1 1A D EB四边形 为平行四边形,
1 1D E A B .
1 1 1 1D E A BD A B A BD 平面 , 平面 ,
1 1 .D E A BD 平面
(II) 以 D 为原点, 1, ,DA DC DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,
不妨设 1DA ,则 1 1(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,2,2), (1,0,2).D A B C A
1 (1,0,2), (1,1,0).DA DB
设 ( , , )n x y z 为平面 1A BD 的一个法向量,
由 1,n DA n DB 得 2 0
0
x y
x y
,取 1z ,则 ( 2, 2,1)n
.
设 1 1 1( , , )m x y z 为平面 1C BD 的一个法向量,
由 ,m DC m DB 得 1 1
1 1
2 2 0
0
y z
x y
,
取 1 1z ,则 (1, 1,1)m
.
3 3cos , .39 3
m nm n
m n
由于该二面角 1 1A BD C 为锐角,所以所求的二面角 1 1A BD C 的余弦值为 3 .3
(20)(本小题满分 12 分)如图,甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定
方向匀速直线航行,当甲船位于 1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105 的方向 1B 处,此时两船相
距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 2B 处,此时
两船相距10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
解:如图,连结 1 2A B , 2 2 10 2A B , 1 2
20 30 2 10 260A A ,
1 2 2A A B 是等边三角形, 1 1 2 105 60 45B A B ,
在 1 2 1A B B 中,由余弦定理得
2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
2 2
2 cos45
220 (10 2) 2 20 10 2 2002
B B A B A B A B A B
,
北
1B
2B
1A
2A120
105
乙 甲
1 2 10 2.B B
因此乙船的速度的大小为10 2 60 30 2.20
答:乙船每小时航行30 2 海里.
(21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦
点的距离的最大值为 3,最小值为 1.
(I)求椭圆 C 的标准方程;
(II)若直线 :l y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆
过椭圆 C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
解:(I)由题意设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
3, 1a c a c , 22, 1, 3a c b
2 2
1.4 3
x y
(II)设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,由 2 2
14 3
y kx m
x y
得
2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m ,
2 2 2 264 16(3 4 )( 3) 0m k k m , 2 23 4 0k m .
2
1 2 1 22 2
8 4( 3), .3 4 3 4
mk mx x x xk k
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3( 4 )( ) ( ) ( ) .3 4
m ky y kx m kx m k x x mk x x m k
以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D
1 1 2 2( 2, ) ( 2, ) 0DA DB x y x y
,
1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x ,
2 2 2
2 2 2
3( 4 ) 4( 3) 16 4 03 4 3 4 3 4
m k m mk
k k k
,
2 27 16 4 0m mk k ,解得
1 2
22 , 7
km k m ,且满足 2 23 4 0k m .
当 2m k 时, : ( 2)l y k x ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;
当 2
7
km 时, 2: ( )7l y k x ,直线过定点 2( ,0).7
综上可知,直线l 过定点,定点坐标为 2( ,0).7
(22)(本小题满分 14 分)设函数 2( ) ln( 1)f x x b x ,其中 0b .
(I)当 1
2b 时,判断函数 ( )f x 在定义域上的单调性;
(II)求函数 ( )f x 的极值点;
(III)证明对任意的正整数 n ,不等式 2 3
1 1 1ln( 1)n n n
都成立.
解:(I) 函数 2( ) ln( 1)f x x b x 的定义域为 1, .
22 2'( ) 2 1 1
b x x bf x x x x
,
令 2( ) 2 2g x x x b ,则 ( )g x 在 1 ,2
上递增,在 11, 2
上递减,
min
1 1( ) ( )2 2g x g b .
当 1
2b 时, min
1( ) 02g x b ,
2( ) 2 2 0g x x x b 在 1, 上恒成立.
' ( ) 0,f x
即当 1
2b 时,函数 ( )f x 在定义域 1, 上单调递增。
(II)分以下几种情形讨论:
(1)由(I)知当 1
2b 时函数 ( )f x 无极值点.
(2)当 1
2b 时,
212( )2'( ) 1
x
f x x
,
11, 2x
时, ' ( ) 0,f x
1 ,2x
时, ' ( ) 0,f x
1
2b 时,函数 ( )f x 在 1, 上无极值点。
(3)当 1
2b 时,解 ' ( ) 0f x 得两个不同解 1
1 1 2
2
bx , 2
1 1 2
2
bx .
当 0b 时, 1
1 1 2 12
bx , 2
1 1 2 12
bx ,
1 21, , 1, ,x x
此时 ( )f x 在 1, 上有唯一的极小值点 2
1 1 2
2
bx .
当 10 2b 时, 1 2, 1, ,x x
' ( )f x 在 1 21, , ,x x 都大于 0 , ' ( )f x 在 1 2( , )x x 上小于 0 ,
此时 ( )f x 有一个极大值点 1
1 1 2
2
bx 和一个极小值点 2
1 1 2
2
bx .
综上可知, 0b 时, ( )f x 在 1, 上有唯一的极小值点 2
1 1 2
2
bx ;
10 2b 时, ( )f x 有一个极大值点 1
1 1 2
2
bx 和一个极小值点 2
1 1 2
2
bx ;
1
2b 时,函数 ( )f x 在 1, 上无极值点。
(III) 当 1b 时, 2( ) ln( 1).f x x x
令 3 3 2( ) ( ) ln( 1),h x x f x x x x 则
3 2
' 3 ( 1)( ) 1
x xh x x
在 0, 上恒正,
( )h x 在 0, 上单调递增,当 0,x 时,恒有 ( ) (0) 0h x h .
即当 0,x 时,有 3 2 ln( 1) 0,x x x 2 3ln( 1)x x x ,
对任意正整数 n ,取 1x n
得 2 3
1 1 1ln( 1)n n n
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