2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第9讲离散型随机变量及其分布列课件 53页

第 9 讲 离散型随机变量及其分布列 课标要求 考情风向标 1. 在对具体问题的分析中，理解 取有限值的离散型随机变量及 其分布列的概念，认识分布列对 于刻画随机现象的重要性 . 2. 通过实例 ( 如彩票抽奖 ) ，理解 超几何分布及其导出过 程，并能 进行简单的应用 . 3. 在具体情境中，了解条件概率 和两个事件相互独立的概念，理 解 n 次独立重复试验的模型及二 项分布，并能解决一些简单的实 际问题 对于离散型随机变量的分布列， 要注意利用它的两条性质检验所 列分布列是否正确，如果求出的 离散型随机变量的分布列不满足 这两条性质，这说明计算过程中 一定存在错误，即离散型随机变 量的这两条性质是判断计算过程 中是否存在错误的主要方法，在 实际应用中，要结合具体实例体 会随机变量的意义，找准概率模 型，确定随机变量各个值的概率， 从而列出其分布列 1. 随机变量 (1) 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字 母 X ， Y ， ξ ， η ， … 表示 . (2) 所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变 量 . (3) 随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫 做连续型随机变量 . 2. 条件概率及其性质 (1) 条件概率的定义： (3) 条件概率的性质： ① 条件概率具有一般概率的性质，即 ____≤ P ( B | A )≤____ ； ② 若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P ( B ∪ C | A ) ＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ). 3. 事件的相互独立性 (1) 设 A ， B 为两个事件，若 P ( AB ) ＝ __________ ，则称事件 A 与事件 B 相互独立 . 0 1 P ( A ) P ( B ) X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 4. 离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 ， x 2 ， … ， x i ， … ， x n ， X 取每一个值 x i ( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 的概率 P ( X ＝ x i ) ＝ p i ， 则表 称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列 . 有时为了表达简单，也用等式 P ( X ＝ x i ) ＝ p i ， i ＝ 1 ， 2 ， … ， n 表 示 X 的分布列 . X 0 1 P 1 － p p 5. 离散型随机变量分布列的性质 (1) p i ≥0( i ＝ 1,2 ， … ， n ).(2) p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1. 6. 常见的离散型随机变量的分布列 (1) 两点分布： 如果随机变量 X 的分布列为： 其中 0< p <1 ，称 X 服从两点分布，而称 p ＝ P ( X ＝ 1) 为成功 概率 . 1. 设随机变量 X 的分布列如下： C X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 2. 某射手射击所得环数 X 的分布列为： 则此射手“射击一次命中环数大于 7” 的概率为 ( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 C 解析： P ( X ＞ 7) ＝ P ( X ＝ 8) ＋ P ( X ＝ 9) ＋ P ( X ＝ 10) ＝ 0.28 ＋ 0.29 ＋ 0.22 ＝ 0.79. C 4. 装有形状大小相同的 3 个黑球和 2 个白球的盒子中依次 不放回地任意抽取 3 次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白 球的概率等于 ( ) A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 D 考点 1 离散型随机变量的分布列 考向 1 接口问题 例 1 ： 201 8 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男 子 500 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世 界纪录的优异表 现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国 男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破 . 根据短道速滑男子 500 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每 滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 A k ( k ＝ 1,2,3,4) ，如 图 9-9-1. 已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均 停止滑行，现在用 X 表示该运动员在滑行 最后一圈时在这一圈 后已经顺利通过的交接口数 . (1) 求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概 率； (2) 求 X 的分布列 . 图 9-9-1 考向 2 付费问题 例 2 ： 各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利 . 已知 某共享单车的收费标准是：每车使用不超过 1 小时 ( 包含 1 小时 ) 是免费的，超过 1 小时的部分每小时收费 1 元 ( 不足 1 小时的部 分按 1 小时计算，例如：骑行 2.5 小时收费为 2 元 ). 现有甲、乙 两人各自使用该种共享单车一次 . 设甲、乙不超过 1 小时还车的 (1) 求甲乙两人所付的车费相同的概率； (2) 设甲乙两人所付的车费之和为随机变量 ξ ，求 ξ 的分布列 . 考向 3 人数和问题 例 3 ： 《 中国好声音 》 是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星 制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于 2012 年 7 月 13 日正式在浙江卫视播出 . 每期节目有四位导师参加 . 导师背对 歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身 ，则该选手 可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练 . 已知某 期 《 中国好声音 》 中， 6 位选手演唱完后，四位导师为其转身 的情况如下表所示： 导师转身人数 / 人 4 3 2 1 获得相应导师转身 的选手人数 / 人 1 2 2 1 现从这 6 位选手中 随机抽取两人考查他们演唱完后导师的 转身情况 . (1) 求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率； (2) 记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X ，求 X 的分 布列 . 解： (1) 设 6 位选手中， A 有 4 位导师为其转身， B ， C 有 3 位导师为其转身， D ， E 有 2 位导师为其转身， F 只有 1 位导师 为其转身 . 考点 2 相互独立事件与独立重复试验的概率 例 4 ： (1) (2018 年河北衡水中学调研 ) 多家央企为了配合国 家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司 . 若 规定 每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片区中的一个片区设立 分公司，且申请其 中任一个片区设立分公司都是等可能的，每 家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区 建立分公司 . 向雄安新区申请建立分公司的任意 4 家央企中， ① 求恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概 率； ② 用 X 表示这 4 家央企中在“雄县”片区建立分公司的个 数，用 Y 表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数， 记 ξ ＝ | X － Y | ，求 ξ 的分布列 . (2)(2018 年河南洛阳模拟 ) 某学校举行知识竞赛，第一轮选 拔共设有 1,2,3 三个问题，每位参赛者按问题 1,2,3 的顺序作答， 竞赛规则如下： ⅰ) 每位参赛者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 1,2,3 分别加 1 分， 2 分， 3 分，答错任一题减 2 分； ⅱ) 每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 12 分时， 答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足 12 分时， 答题结束，淘汰出局 . 且各题回答正确与否相互之间没有影响 . ① 求甲同学能进入下一轮的概率； ② 用 X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求 X 的分 布列 . 【 规律方法 】 1. 求复杂事件的 概率，要正确分析复杂事件 的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件， 还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概 率公式求解 . 2.(1) 注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中， 试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件 发生的概率相同 . 【 跟踪训练 】 思想与方法 ⊙ 分类讨论思想与离散型随机变量的结合 例题： 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的 球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获 的奖励额 . (1) 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其 余 3 个均为 10 元，求： ① 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ② 顾客 所获的奖励额的分布列及数学期望 . (2) 商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个 球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 为 20 元和 40 元的两种球组成 . 为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋 中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 . ∴ 顾客所获的奖励额的期望为 E ( X ) ＝ 20×0.5 ＋ 60×0.5 ＝ 40. (2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元 . ∴ 先寻找期望为 60 元的可能方案 . 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择 (10,10,10,50) 的方案，∵ 60 元是面值之和的最大值，∴期望不可能为 60 元； 如果选择 (50,50,50,10) 的方案，∵ 60 元是面值之和的最小值， ∴ 期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是 (10,10,50,50) ，记 为方案一； 对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 组 成 的 情 况 ， 同 理 可 排 除 (20,20,20,40) 和 (40,40,40,20) 的 方 案 ， ∴ 可 能 的 方 案 是 (20,20,40,40) ，记为方案二 . 以下是对两个方案的分析： 对于方案一，即方案 (10,10,50,50) ，设顾客所获的奖励 额为 X 1 ，则 X 1 的分布列为： ∵ 两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案二奖励额 的方差比方案一的小，∴应该选择方案二 . 【 规律方法 】 本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率 的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力 . 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时 候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质 来检查分类讨论是否有所遗漏或重复 . 【 跟踪训练 】 2. 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过 去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X ( 年入流量：一年内 上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米 ) 都在 40 以上，其 中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率 作为相应段的 概率，并假设各年的年入流量相互独立 . (1) 求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概 率； 年入流量 X / 亿立方米 40< X <80 80≤ X ≤120 X >120 发电机最多可运行台数 / 台 1 2 3 (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最 多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系： 若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发 电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的 均值达到最大， 应安装发电机多少台？ (2) 记水电站年总利润为 Y 万元 . ① 安装 1 台发电机的情形 . 由于水库年入流量总大于 40 ， 故 1 台发电机运行的概率为 1 ，对应的年利润 Y ＝ 5000 ， E ( Y ) ＝ 5000×1 ＝ 5000 ； ② 安装 2 台发电机的情形 . 依题意，当 40< X <80 时， 1 台发电机运行，此时 Y ＝ 5000 － 800 ＝ 4200 ，因此 P ( Y ＝ 4200) ＝ P (40< X <80) ＝ p 1 ＝ 0.2 ；当 X ≥80 时， 2 台发电机运行，此时 Y ＝ 5000×2 ＝ 10 000 ，因此 P ( Y ＝ 10 000) ＝ P ( X ≥80) ＝ p 2 ＋ p 3 ＝ 0.8. Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 由此得 Y 的分布列 如下 ∴ E ( Y ) ＝ 4200×0.2 ＋ 10 000×0.8 ＝ 8840 ； ③ 安装 3 台发电机的情形 . 依题意，当 40< X <80 时， 1 台发电机运行，此时 Y ＝ 5000 － 1600 ＝ 3400 ，因此 P ( Y ＝ 3400) ＝ P (40< X <80) ＝ p 1 ＝ 0.2 ；当 80≤ X ≤120 时， 2 台发电机运行，此时 Y ＝ 5000×2 － 800 ＝ 9200 ， 因此 P ( Y ＝ 9200) ＝ P (80≤ X ≤120) ＝ p 2 ＝ 0.7 ；当 X >120 时， 3 台 发电机运行，此时 Y ＝ 5000×3 ＝ 15 000 ，因此 P ( Y ＝ 15 000) ＝ P ( X >120) ＝ p 3 ＝ 0.1. Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 由此得 Y 的分布列 如下 ∴ E ( Y ) ＝ 3400×0.2 ＋ 9200×0.7 ＋ 15 000×0.1 ＝ 8620. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装 发电机 2 台 . 1. 对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以 及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变 量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值 的概率 . 2. 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值 的概率 . 要会根据分布列的两个性质来检验求 得的分布列的正 误 . 3. 对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要弄清楚 基本模型 .