• 138.22 KB
  • 2021-06-10 发布

2009年山东省高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

  • 13页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2009年山东省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 集合A={0, 2, a}‎,B={1, a‎2‎}‎,若A∪B={0, 1, 2, 4, 16}‎,则a的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎2. i是虚数单位,‎3-i‎1-i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1+2i B.‎1-2i C.‎2+i D.‎‎2-i ‎3. 将函数y=sin2x的图象向左平移π‎4‎个单位,再向上平移‎1‎个单位,所得图象的函数解析式是( )‎ A.y=2cos‎2‎x B.‎y=2sin‎2‎x C.y=1+sin(2x+π‎4‎)‎ D.‎y=cos2x ‎4. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A.‎2π+‎3‎π B.‎8‎‎3‎π C.‎2π+‎3‎‎3‎π D.‎‎4π+‎2‎‎3‎‎3‎π ‎5. 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的‎(‎        ‎‎)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎6. 函数y=‎ex‎+‎e‎-xex‎-‎e‎-x的图象大致为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7. 设P是‎△ABC所在平面内的一点,BC‎→‎‎+BA‎→‎=2‎BP‎→‎,则‎(        )‎ A.PA‎→‎‎+PB‎→‎=‎‎0‎‎→‎ B.‎PC‎→‎‎+PA‎→‎=‎‎0‎‎→‎ C.PB‎→‎‎+PC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ D.‎PA‎→‎‎+PB‎→‎+PC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是‎[96, 106]‎,样本数据分组为‎[96, 98)‎,‎[98, 100)‎,‎[100, 102)‎,‎[102, 104)‎,‎[104, 106]‎,已知样本中产品净重小于‎100‎克的个数是‎36‎,则样本中净重大于或等于‎98‎克并且小于‎104‎克的产品的个数是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎90‎ B.‎75‎ C.‎60‎ D.‎‎45‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎9. 设双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的一条渐近线与抛物线y=x‎2‎+1‎只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )‎ A.‎5‎‎4‎ B.‎5‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎5‎ ‎10. 设函数f(x)=‎x‎2‎‎-1(x≥2),‎log‎2‎x(0<x<2),‎      若f(m)=3,‎则实数m的值为(         )‎ A.-2 B.8 C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎11. 在区间‎[-1, 1]‎上随机取一个数x,cosπx‎2‎的值介于‎0‎到‎1‎‎2‎之间的概率为( )‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎π C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎12. 设x,y满足约束条件‎3x-y-6≤0‎x-y+2≥0‎x≥0,y≥0‎‎ ‎,若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)‎的值是最大值为‎12‎,则‎2‎a‎+‎‎3‎b的最小值为( )‎ A.‎25‎‎6‎ B.‎8‎‎3‎ C.‎11‎‎3‎ D.‎‎4‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. 不等式‎|x+3|-|x-2|≥3‎的解集为________.‎ ‎14. 若函数f(x)=ax-x-a(a>0‎,且a≠1)‎有两个零点,则实数a的取值范围是________.‎ ‎15. 执行程序框图,输出的T=‎________.‎ ‎16. 定义在R上的偶函数f(x)‎,满足f(x+2)=-f(x)‎且在‎[0, 2]‎上是减函数,若方程f(x)=m(m>0)‎在区间‎[-2, 6]‎上有四个不同的根x‎1‎,x‎2‎,x‎3‎,x‎4‎,则x‎1‎‎+x‎2‎+x‎3‎+x‎4‎=‎________.‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17. 设函数f(x)=cos(2x+π‎3‎)+sin‎2‎x.‎ ‎(1)求函数f(x)‎的最大值和最小正周期.‎ ‎(2)设A,B,C为‎△ABC的三个内角,若cosB=‎‎1‎‎3‎,f(C‎3‎)=-‎‎1‎‎4‎,且C为非钝角,求sinA.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎18. 如图,在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,底面ABCD为等腰梯形,AB // CD,AB=4‎,AA‎1‎=2‎,BC=CD=2‎,E、F是AA‎1‎、AB的中点.‎ ‎(1)证明:直线EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎;‎ ‎(2)求二面角B-FC‎1‎-C的余弦值.‎ ‎19. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投‎3‎次;在A处每投进一球得‎3‎分,在B处每投进一球得‎2‎分;如果前两次得分之和超过‎3‎分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q‎1‎为‎0.25‎,在B处的命中率为q‎2‎,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎  ‎‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎p ‎0.03‎ ‎  ‎‎0.24‎ ‎0.01‎ ‎0.48‎ ‎0.24‎ ‎(1)求q‎2‎的值;‎ ‎(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ;‎ ‎(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过‎3‎分与选择上述方式投篮得分超过‎3‎分的概率的大小.‎ ‎20. 等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,已知对任意的n∈‎N‎+‎,点‎(n, Sn)‎均在函数y=bx+r(b>0‎且b≠1‎,b,r均为常数的图象上.‎ ‎(I)‎求r的值.‎ ‎(II)‎当b=2‎时,记bn‎=2(log‎2‎an+1)(n∈N‎+‎)‎,证明:对任意的n∈N+‎,不等式成立b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎⋅…bn‎+1‎bn>‎n+1‎.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎21. 两城市A和B相距‎20km,现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为‎4‎;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在AB的中点时,对城A和城B的总影响度为‎0.065‎.‎ ‎(1)将y表示成x的函数;‎ ‎(2)判断弧AB上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.‎ ‎22. 设椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a, b>0)M(2, ‎2‎)‎,N(‎6‎, 1)‎,O为坐标原点 ‎(I)‎求椭圆E的方程;‎ ‎(II)‎是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A,B且OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎?若存在,写出该圆的方程,关求‎|AB|‎的取值范围;若不存在,说明理由.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 参考答案与试题解析 ‎2009年山东省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.D ‎【分析】‎ 解:∵ A={0, 2, a}‎,B={1, a‎2‎}‎,A∪B={0, 1, 2, 4, 16}‎,‎ ‎∴ ‎a‎2‎‎=16,‎a=4,‎ ‎∴ a=4‎,‎ 故选D.‎ ‎2.C ‎【分析】‎ 解:‎‎3-i‎1-i‎=‎(3-i)(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=‎4+2i‎2‎=2+i 故选C.‎ ‎3.A ‎【分析】‎ 解:将函数y=sin2x的图象向左平移π‎4‎个单位,‎ 得到函数y=sin2(x+π‎4‎)=cos2x的图象,‎ 再向上平移‎1‎个单位,所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos‎2‎x,‎ 故选A.‎ ‎4.C ‎【分析】‎ 解:所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成.‎ ‎  其中圆锥的高为‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎.其体积为‎1‎‎3‎π⋅‎1‎‎2‎⋅‎3‎=‎3‎‎3‎π ‎  圆柱的体积为π⋅‎1‎‎2‎⋅2=2π ‎  故此简单组合体的体积V=‎3‎‎3‎π+2π ‎  故选C.‎ ‎5.B ‎【分析】‎ 解:由平面与平面垂直的判定定理知,‎ 如果m为平面α内的一条直线,‎ 且m⊥β,则α⊥β,‎ 反之,α⊥β时,若m平行于α和β的交线,则m // β,‎ 所以不一定能得到m⊥β,‎ 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎6.A ‎【分析】‎ 解析:函数有意义,需使ex‎-e‎-x≠0‎,‎ 其定义域为‎{x|x≠0}‎,排除C,D,‎ 又因为y=ex‎+‎e‎-xex‎-‎e‎-x=e‎2x‎+1‎e‎2x‎-1‎=1+‎‎2‎e‎2x‎-1‎,‎ 所以当x>0‎时函数为减函数,故选A 故选:A.‎ ‎7.B ‎【分析】‎ 解:∵ BC‎→‎‎+BA‎→‎=2‎BP‎→‎,‎ ‎∴ BC‎→‎‎-BP‎→‎=BP‎→‎-‎BA‎→‎,‎ ‎∴ PC‎→‎‎=‎AP‎→‎,‎ ‎∴ PC‎→‎‎-AP‎→‎=‎‎0‎‎→‎,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎∴ PC‎→‎‎+PA‎→‎=‎‎0‎‎→‎.‎ 故选B.‎ ‎8.A ‎【分析】‎ 解:净重大于或等于‎98‎克并且小于‎104‎克的产品的个数设为N‎2‎,‎ 产品净重小于‎100‎克的个数设为N‎1‎‎=36‎,样本容量为N,‎ 则N‎2‎N‎1‎‎=‎(0.1+0.15+0.125)×2×N‎(0.05+0.1)×2×N=‎‎375‎‎150‎,‎ N‎2‎‎=‎375‎‎150‎×36=90‎‎.‎ 故选A.‎ ‎9.D ‎【分析】‎ 解:双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的一条渐近线为y=bax,‎ 由方程组y=baxy=x‎2‎+1‎,消去y,‎ x‎2‎‎-bax+1=0‎有唯一解,‎ 所以‎△=(ba‎)‎‎2‎-4=0‎,‎ 所以ba‎=2‎,e=ca=a‎2‎‎+‎b‎2‎a=‎1+(‎ba‎)‎‎2‎=‎‎5‎,‎ 故选D ‎10.C ‎【分析】‎ 解:将m代入分段函数当中,当m‎2‎‎-1=3‎时,m=2,-2.‎ ‎∵ x≥2‎‎,所以m=-2‎舍去.‎ 当log‎2‎x=3‎时,x=8‎.‎∵ ‎0<x<2,‎∴ ‎x=8舍去,‎ 故m=2.‎ 故选D.‎ ‎11.A ‎【分析】‎ 在区间‎[-1, 1]‎上随机取一个数x,‎ 即x∈[-1, 1]‎时,要使cosπx‎2‎的值介于‎0‎到‎1‎‎2‎之间,‎ 需使‎-π‎2‎≤πx‎2‎≤-‎π‎3‎或π‎3‎‎≤πx‎2‎≤‎π‎2‎ ‎∴ ‎-1≤x≤-‎‎2‎‎3‎或‎2‎‎3‎‎≤x≤1‎,区间长度为‎2‎‎3‎,‎ 由几何概型知cosπx‎2‎的值介于‎0‎到‎1‎‎2‎之间的概率为‎2‎‎3‎‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎12.A ‎【分析】‎ 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,‎ 当直线ax+by=‎z(a>0, b>0)‎ 过直线x-y+2‎=‎0‎与直线‎3x-y-6‎=‎0‎的交点‎(4, 6)‎时,‎ 目标函数z=ax+by(a>0, b>0)‎取得最大‎12‎,‎ 即‎4a+6b=‎12‎,即‎2a+3b=‎6‎,而‎2‎a‎+‎3‎b=(‎2‎a+‎3‎b)‎2a+3b‎6‎=‎13‎‎6‎+(ba+ab)≥‎13‎‎6‎+2=‎‎25‎‎6‎,‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎{x|x≥1}‎ ‎【分析】‎ 解:当x<-3‎时,因为原不等式‎|x+3|-|x-2|≥3‎去绝对值号得:‎-(x+3)+(x-2)≥3‎可推出‎-5≥3‎,这显然不可能,‎ 当‎-3≤x≤2‎时,因为原不等式‎|x+3|-|x-2|≥3‎去绝对值号得:‎(x+3)+(x-2)≥3‎可推出,x≥1‎,故当‎1≤x≤2‎不等式成立.‎ 当x>2‎时,因为原不等式‎|x+3|-|x-2|≥3‎去绝对值号得:‎(x+3)-(x-2)≥3‎可推出‎5≥3‎,这显然恒成立.‎ 故综上所述,不等式的解集为x|x≥1‎,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 故答案为‎{x|x≥1}‎.‎ ‎14.‎‎(1, +∞)‎ ‎【分析】‎ 解:令g(x)=ax(a>0‎,且a≠1)‎,h(x)=x+a,有‎01‎两种情况.如图所示:‎ 在同一坐标系中画出两个函数的图象,若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点,则函数g(x)‎,h(x)‎的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当a>1‎时符合题目要求.‎ 故答案为:‎(1, +∞)‎.‎ ‎15.‎‎30‎ ‎【分析】‎ 解:按照程序框图依次执行为S=5‎,n=2‎,T=2‎;‎ S=10‎‎,n=4‎,T=2+4=6‎;S=15‎,n=6‎,T=6+6=12‎;‎ S=20‎‎,n=8‎,T=12+8=20‎;S=25‎,n=10‎,T=20+10=30>S,输出T=30‎.‎ 故答案为:‎30‎.‎ ‎16.‎‎8‎ ‎【分析】‎ 解:∵ ‎f(x+2)=-f(x)‎ ‎∴ ‎f(x)=-f(x-2)‎ ‎∴ ‎f(x-2)=f(x+2)‎ 即 ‎f(x)=f(x+4)‎ ‎∴ f(x)‎是一个周期函数,周期为‎4‎ 又函数是偶函数,所以f(x)‎关于y轴对称.‎ 由f(x)‎在‎[0, 2]‎上是减函数,可做函数图象示意图如图 设x‎1‎‎=‎|n‎→‎||‎n‎1‎‎|‎‎→‎‎˙‎=‎2‎‎2×‎‎7‎=‎‎7‎‎7‎,‎ 由图可知二面角B-FC‎1‎-C为锐角,所以二面角B-FC‎1‎-C的余弦值为‎7‎‎7‎.‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证明:因为AB=4‎,BC=CD=2‎,F是棱AB的中点,‎ 所以BF=BC=CF,‎△BCF为正三角形,‎ 因为ABCD为等腰梯形,所以‎∠BAD=∠ABC=‎‎60‎‎∘‎,‎ 取AF的中点M,并连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,‎ 以DM为x轴,DC为y轴,DD‎1‎为z轴建立空间直角坐标系,‎ 则D(0, 0, 0)‎,A(‎3‎, -1, 0)‎,F(‎3‎, 1, 0)‎,C(0, 2, 0)‎,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 C‎1‎‎(0, 2, 2)‎‎,E(‎3‎‎2‎, -‎1‎‎2‎, 0)‎,E‎1‎‎(‎3‎, -1, 1)‎,‎ 所以EE‎1‎‎→‎‎=(‎3‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,1)‎,‎ CF‎→‎‎=(‎3‎,-1,0)‎‎,CC‎1‎‎→‎‎=(0,0,2)‎,‎FC‎1‎‎→‎‎=(-‎3‎,1,2)‎ 设平面CC‎1‎F的法向量为n‎→‎‎=(x,y,z)‎ 则n‎→‎‎⋅CC‎1‎‎→‎=0‎‎˙‎所以‎3‎x-y=0‎z=0‎ 取n‎→‎‎=(1,‎3‎,0)‎,‎ 则n‎→‎‎⋅EE‎1‎‎→‎=‎3‎‎2‎×1-‎1‎‎2‎×‎3‎+1×0=0‎,‎ 所以n‎→‎‎⊥‎EE‎1‎‎→‎,所以直线EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎.‎ ‎(2)解:FB‎→‎‎=(0,2,0)‎,‎ 设平面BFC‎1‎的法向量为n‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎,‎ 则n‎1‎‎→‎‎⋅FC‎1‎‎→‎=0‎‎˙‎所以y‎1‎‎=0‎‎-‎3‎x‎1‎+y‎1‎+2z‎1‎=0‎,‎ 取n‎1‎‎→‎‎=(2,0,‎3‎)‎,‎ 则n‎→‎‎⋅n‎1‎‎→‎=2×1-‎3‎×0+0×‎3‎=2‎,‎|n‎→‎|=‎1+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=2‎,‎ ‎|n‎1‎‎→‎|=‎2‎‎2‎‎+0+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎7‎‎,‎ 所以cos⟨n‎→‎,n‎1‎‎→‎>=‎|n‎→‎||‎n‎1‎‎|‎‎→‎‎˙‎=‎2‎‎2×‎‎7‎=‎‎7‎‎7‎,‎ 由图可知二面角B-FC‎1‎-C为锐角,所以二面角B-FC‎1‎-C的余弦值为‎7‎‎7‎.‎ ‎19.解:(1)设该同学在A处投中为事件A,‎ 在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,‎ 且P(A)=0.25‎,P(A‎¯‎)=0.75‎,P(B)=‎q‎2‎,P(B‎¯‎)=1-‎q‎2‎.‎ 根据分布列知:ξ=0‎时P(A‎¯‎B‎¯‎B‎¯‎)=P(A‎¯‎)P(B‎¯‎)P(B‎¯‎)=0.75(1-q‎2‎‎)‎‎2‎=0.03‎,‎ 所以‎1-q‎2‎=0.2‎,q‎2‎‎=0.8‎;‎ ‎(2)当ξ=2‎时,‎P‎1‎‎=P=(A‎¯‎BB‎¯‎+A‎¯‎B‎¯‎B)=P(A‎¯‎BB‎¯‎)+P(A‎¯‎B‎¯‎B)‎ ‎=P(A‎¯‎)P(B)P(B‎¯‎)+P(A‎¯‎)P(B‎¯‎)P(B)‎ ‎=0.75q‎2‎(1-q‎2‎)×2=1.5q‎2‎(1-q‎2‎)=0.24‎ 当ξ=3‎时,P‎2‎‎=P(AB‎¯‎B‎¯‎)=P(A)P(B‎¯‎)P(B‎¯‎)=0.25(1-q‎2‎‎)‎‎2‎=0.01‎,‎ 当ξ=4‎时,P‎3‎‎=P(A‎¯‎BB)P(A‎¯‎)P(B)P(B)=0.75q‎2‎‎2‎=0.48‎,‎ 当ξ=5‎时,‎P‎4‎‎=P(AB‎¯‎B+AB)=P(AB‎¯‎B)+P(AB)‎ ‎=P(A)P(B‎¯‎)P(B)+P(A)P(B)=0.25q‎2‎(1-q‎2‎)+0.25q‎2‎=0.24‎ 随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63‎;‎ ‎(3)该同学选择都在B处投篮得分超过的概率为P(B‎¯‎BB+BB‎¯‎B+BB)‎ ‎=P(B‎¯‎BB)+P(BB‎¯‎B)+P(BB)=2(1-q‎2‎)q‎2‎‎2‎+q‎2‎‎2‎=0.896‎‎;‎ 该同学选择(1)中方式投篮得分超过‎3‎分的概率为‎0.48+0.24=0.72‎.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过‎3‎分的概率大.‎ ‎【分析】‎ 解:(1)设该同学在A处投中为事件A,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,‎ 且P(A)=0.25‎,P(A‎¯‎)=0.75‎,P(B)=‎q‎2‎,P(B‎¯‎)=1-‎q‎2‎.‎ 根据分布列知:ξ=0‎时P(A‎¯‎B‎¯‎B‎¯‎)=P(A‎¯‎)P(B‎¯‎)P(B‎¯‎)=0.75(1-q‎2‎‎)‎‎2‎=0.03‎,‎ 所以‎1-q‎2‎=0.2‎,q‎2‎‎=0.8‎;‎ ‎(2)当ξ=2‎时,‎P‎1‎‎=P=(A‎¯‎BB‎¯‎+A‎¯‎B‎¯‎B)=P(A‎¯‎BB‎¯‎)+P(A‎¯‎B‎¯‎B)‎ ‎=P(A‎¯‎)P(B)P(B‎¯‎)+P(A‎¯‎)P(B‎¯‎)P(B)‎ ‎=0.75q‎2‎(1-q‎2‎)×2=1.5q‎2‎(1-q‎2‎)=0.24‎ 当ξ=3‎时,P‎2‎‎=P(AB‎¯‎B‎¯‎)=P(A)P(B‎¯‎)P(B‎¯‎)=0.25(1-q‎2‎‎)‎‎2‎=0.01‎,‎ 当ξ=4‎时,P‎3‎‎=P(A‎¯‎BB)P(A‎¯‎)P(B)P(B)=0.75q‎2‎‎2‎=0.48‎,‎ 当ξ=5‎时,‎P‎4‎‎=P(AB‎¯‎B+AB)=P(AB‎¯‎B)+P(AB)‎ ‎=P(A)P(B‎¯‎)P(B)+P(A)P(B)=0.25q‎2‎(1-q‎2‎)+0.25q‎2‎=0.24‎ 随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63‎;‎ ‎(3)该同学选择都在B处投篮得分超过的概率为P(B‎¯‎BB+BB‎¯‎B+BB)‎ ‎=P(B‎¯‎BB)+P(BB‎¯‎B)+P(BB)=2(1-q‎2‎)q‎2‎‎2‎+q‎2‎‎2‎=0.896‎‎;‎ 该同学选择(1)中方式投篮得分超过‎3‎分的概率为‎0.48+0.24=0.72‎.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过‎3‎分的概率大.‎ ‎20.解:‎(1)‎因为对任意的n∈‎N‎+‎,点‎(n, Sn)‎,‎ 均在函数y=bx+r(b>0‎且b≠1‎,b,r均为常数的图象上.‎ 所以得Sn‎=bn+r,当n=1‎时,a‎1‎‎=S‎1‎=b+r,‎ 当n≥2‎时,an‎=Sn-Sn-1‎=bn+r-(bn-1‎+r)=bn-bn-1‎=(b-1)‎bn-1‎,‎ 又因为‎{an}‎为等比数列,所以r=-1‎,公比为b,‎an‎=(b-1)‎bn-1‎ ‎(2)‎当b=2‎时,an‎=(b-1)bn-1‎=‎‎2‎n-1‎,‎bn‎=2(log‎2‎an+1)=2(log‎2‎‎2‎n-1‎+1)=2n 则bn‎+1‎bn‎=‎‎2n+1‎‎2n,‎ 所以b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bn‎+1‎bn=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎‎2n+1‎‎2n 下面用数学归纳法证明不等式b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bn‎+1‎bn=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎2n+1‎‎2n>‎n+1‎成立.‎ 当n=1‎时,左边‎=‎‎3‎‎2‎,右边‎=‎‎2‎,‎ 因为‎3‎‎2‎‎>‎‎2‎,所以不等式成立.‎ 假设当n=k时不等式成立,‎ 即b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bn‎+1‎bn=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎2k+1‎‎2k>‎k+1‎成立 则当n=k+1‎时,‎ 左边‎=b‎1‎‎+1‎b‎1‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bk‎+1‎bk⋅bk+1‎‎+1‎bk+1‎=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎2k+1‎‎2k⋅‎2k+3‎‎2k+2‎>k+1‎⋅‎2k+3‎‎2k+2‎=‎(2k+3‎‎)‎‎2‎‎4(k+1)‎=‎4(k+1‎)‎‎2‎+4(k+1)+1‎‎4(k+1)‎=‎(k+1)+1+‎‎1‎‎4(k+1)‎>‎‎(k+1)+1‎ 所以当n=k+1‎时,不等式也成立.‎ 由①、②可得不等式恒成立.‎ ‎【分析】‎ 解:‎(1)‎因为对任意的n∈‎N‎+‎,点‎(n, Sn)‎,‎ 均在函数y=bx+r(b>0‎且b≠1‎,b,r均为常数的图象上.‎ 所以得Sn‎=bn+r,当n=1‎时,a‎1‎‎=S‎1‎=b+r,‎ 当n≥2‎时,an‎=Sn-Sn-1‎=bn+r-(bn-1‎+r)=bn-bn-1‎=(b-1)‎bn-1‎,‎ 又因为‎{an}‎为等比数列,所以r=-1‎,公比为b,‎an‎=(b-1)‎bn-1‎ ‎(2)‎当b=2‎时,an‎=(b-1)bn-1‎=‎‎2‎n-1‎,‎bn‎=2(log‎2‎an+1)=2(log‎2‎‎2‎n-1‎+1)=2n 则bn‎+1‎bn‎=‎‎2n+1‎‎2n,‎ 所以b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bn‎+1‎bn=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎‎2n+1‎‎2n 下面用数学归纳法证明不等式b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bn‎+1‎bn=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎2n+1‎‎2n>‎n+1‎成立.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 当n=1‎时,左边‎=‎‎3‎‎2‎,右边‎=‎‎2‎,‎ 因为‎3‎‎2‎‎>‎‎2‎,所以不等式成立.‎ 假设当n=k时不等式成立,‎ 即b‎1‎‎+1‎b‎1‎‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bn‎+1‎bn=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎2k+1‎‎2k>‎k+1‎成立 则当n=k+1‎时,‎ 左边‎=b‎1‎‎+1‎b‎1‎⋅b‎2‎‎+1‎b‎2‎…bk‎+1‎bk⋅bk+1‎‎+1‎bk+1‎=‎3‎‎2‎⋅‎5‎‎4‎⋅‎7‎‎6‎…‎2k+1‎‎2k⋅‎2k+3‎‎2k+2‎>k+1‎⋅‎2k+3‎‎2k+2‎=‎(2k+3‎‎)‎‎2‎‎4(k+1)‎=‎4(k+1‎)‎‎2‎+4(k+1)+1‎‎4(k+1)‎=‎(k+1)+1+‎‎1‎‎4(k+1)‎>‎‎(k+1)+1‎ 所以当n=k+1‎时,不等式也成立.‎ 由①、②可得不等式恒成立.‎ ‎21.解:(1)由题意得y=‎4‎x‎2‎+‎k‎400-‎x‎2‎,‎ 又∵ 当x=10‎‎2‎时,y=0.065‎,‎ ‎∴ ‎k=9‎ ‎∴ ‎y=‎4‎x‎2‎+‎9‎‎400-‎x‎2‎(x∈(0,20))‎ ‎(2)y=‎4‎x‎2‎+‎9‎‎400-‎x‎2‎=‎‎5(x‎2‎+320)‎‎-x‎4‎+400‎x‎2‎,‎ 令t=x‎2‎+320∈(320, 720)‎,‎ 则y=‎5‎‎-(t+‎230400‎t)+1040‎≥‎‎1‎‎16‎,当且仅当t=480即x=4‎‎10‎时,等号成立.‎ ‎∴ 弧AB上存在一点,该点到城A的距离为‎4‎‎10‎时,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为‎0.0625‎.‎ ‎【分析】‎ 解:(1)由题意得y=‎4‎x‎2‎+‎k‎400-‎x‎2‎,‎ 又∵ 当x=10‎‎2‎时,y=0.065‎,‎ ‎∴ ‎k=9‎ ‎∴ ‎y=‎4‎x‎2‎+‎9‎‎400-‎x‎2‎(x∈(0,20))‎ ‎(2)y=‎4‎x‎2‎+‎9‎‎400-‎x‎2‎=‎‎5(x‎2‎+320)‎‎-x‎4‎+400‎x‎2‎,‎ 令t=x‎2‎+320∈(320, 720)‎,‎ 则y=‎5‎‎-(t+‎230400‎t)+1040‎≥‎‎1‎‎16‎,当且仅当t=480即x=4‎‎10‎时,等号成立.‎ ‎∴ 弧AB上存在一点,该点到城A的距离为‎4‎‎10‎时,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为‎0.0625‎.‎ ‎22.解:‎(1)‎因为椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a, b>0)‎ 过M(2, ‎2‎)‎,N(‎6‎, 1)‎两点,‎ 所以‎4‎a‎2‎‎+‎2‎b‎2‎=1‎‎6‎a‎2‎‎+‎1‎b‎2‎=1‎解得‎1‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎8‎‎1‎b‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎ 所以a‎2‎‎=8‎b‎2‎‎=4‎椭圆E的方程为x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ ‎(2)‎假设存在圆心在原点的圆,‎ 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,‎ 且OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组y=kx+mx‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 得x‎2‎‎+2(kx+m‎)‎‎2‎=8‎,即‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4kmx+2m‎2‎-8=0‎,‎ 则‎△=16k‎2‎m‎2‎-4(1+2k‎2‎)(2m‎2‎-8)=8(8k‎2‎-m‎2‎+4)>0‎,‎ 即‎8k‎2‎-m‎2‎+4>0‎x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4km‎1+2‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎,‎y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎=k‎2‎‎(2m‎2‎-8)‎‎1+2‎k‎2‎-‎4‎k‎2‎m‎2‎‎1+2‎k‎2‎+m‎2‎=‎m‎2‎‎-8‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎ 要使OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,‎ 需使x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 即‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎‎+m‎2‎‎-8‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎=0‎,‎ 所以‎3m‎2‎-8k‎2‎-8=0‎,所以k‎2‎‎=‎3m‎2‎-8‎‎8‎≥0‎又‎8k‎2‎-m‎2‎+4>0‎,‎ 所以m‎2‎‎>2‎‎3m‎2‎≥8‎,所以m‎2‎‎≥‎‎8‎‎3‎,‎ 即m≥‎‎2‎‎6‎‎3‎或m≤-‎‎2‎‎6‎‎3‎,‎ 因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,‎ 所以圆的半径为r=‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎,‎ r‎2‎‎=m‎2‎‎1+‎k‎2‎=m‎2‎‎1+‎‎3m‎2‎-8‎‎8‎=‎‎8‎‎3‎‎,‎ r=‎‎2‎‎6‎‎3‎‎,所求的圆为x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎8‎‎3‎,‎ 此时圆的切线y=kx+m都满足m≥‎‎2‎‎6‎‎3‎或m≤-‎‎2‎‎6‎‎3‎,‎ 而当切线的斜率不存在时切线为x=±‎‎2‎‎6‎‎3‎与椭圆x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎的两个交点为‎(‎2‎‎6‎‎3‎,±‎2‎‎6‎‎3‎)‎或‎(-‎2‎‎6‎‎3‎,±‎2‎‎6‎‎3‎)‎满足OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,综上,‎ 存在圆心在原点的圆x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎8‎‎3‎,‎ 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎.‎ 因为x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4km‎1+2‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎,‎ 所以‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎=(-‎4km‎1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎-4×‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎=‎‎8(8k‎2‎-m‎2‎+4)‎‎(1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎,‎|AB|=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎=‎(1+k‎2‎)(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎=‎(1+k‎2‎)‎‎8(8k‎2‎-m‎2‎+4)‎‎(1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎=‎32‎‎3‎‎⋅‎‎4k‎4‎+5k‎2‎+1‎‎4k‎4‎+4k‎2‎+1‎=‎‎32‎‎3‎‎[1+k‎2‎‎4k‎4‎+4k‎2‎+1‎]‎,‎ ‎①当k≠0‎时‎|AB|=‎‎32‎‎3‎‎[1+‎1‎‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4‎]‎ 因为‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4≥8‎所以‎0<‎1‎‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4‎≤‎‎1‎‎8‎,‎ 所以‎32‎‎3‎‎<‎32‎‎3‎[1+‎1‎‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4‎]≤12‎,‎ 所以‎4‎‎3‎‎6‎‎<|AB|≤2‎‎3‎当且仅当k=±‎‎2‎‎2‎时取”‎=‎”.‎ ‎2‎当k=0‎时,‎‎|AB|=‎‎4‎‎6‎‎3‎ ‎【分析】‎ 解:‎(1)‎因为椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a, b>0)‎ 过M(2, ‎2‎)‎,N(‎6‎, 1)‎两点,‎ 所以‎4‎a‎2‎‎+‎2‎b‎2‎=1‎‎6‎a‎2‎‎+‎1‎b‎2‎=1‎解得‎1‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎8‎‎1‎b‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎ 所以a‎2‎‎=8‎b‎2‎‎=4‎椭圆E的方程为x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ ‎(2)‎假设存在圆心在原点的圆,‎ 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,‎ 且OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组y=kx+mx‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 得x‎2‎‎+2(kx+m‎)‎‎2‎=8‎,即‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4kmx+2m‎2‎-8=0‎,‎ 则‎△=16k‎2‎m‎2‎-4(1+2k‎2‎)(2m‎2‎-8)=8(8k‎2‎-m‎2‎+4)>0‎,‎ 即‎8k‎2‎-m‎2‎+4>0‎x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4km‎1+2‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎,‎y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎=k‎2‎‎(2m‎2‎-8)‎‎1+2‎k‎2‎-‎4‎k‎2‎m‎2‎‎1+2‎k‎2‎+m‎2‎=‎m‎2‎‎-8‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎ 要使OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,‎ 需使x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 即‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎‎+m‎2‎‎-8‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎=0‎,‎ 所以‎3m‎2‎-8k‎2‎-8=0‎,所以k‎2‎‎=‎3m‎2‎-8‎‎8‎≥0‎又‎8k‎2‎-m‎2‎+4>0‎,‎ 所以m‎2‎‎>2‎‎3m‎2‎≥8‎,所以m‎2‎‎≥‎‎8‎‎3‎,‎ 即m≥‎‎2‎‎6‎‎3‎或m≤-‎‎2‎‎6‎‎3‎,‎ 因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,‎ 所以圆的半径为r=‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎,‎ r‎2‎‎=m‎2‎‎1+‎k‎2‎=m‎2‎‎1+‎‎3m‎2‎-8‎‎8‎=‎‎8‎‎3‎‎,‎ r=‎‎2‎‎6‎‎3‎‎,所求的圆为x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎8‎‎3‎,‎ 此时圆的切线y=kx+m都满足m≥‎‎2‎‎6‎‎3‎或m≤-‎‎2‎‎6‎‎3‎,‎ 而当切线的斜率不存在时切线为x=±‎‎2‎‎6‎‎3‎与椭圆x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎的两个交点为‎(‎2‎‎6‎‎3‎,±‎2‎‎6‎‎3‎)‎或‎(-‎2‎‎6‎‎3‎,±‎2‎‎6‎‎3‎)‎满足OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,综上,‎ 存在圆心在原点的圆x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎8‎‎3‎,‎ 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎.‎ 因为x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4km‎1+2‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎,‎ 所以‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎=(-‎4km‎1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎-4×‎2m‎2‎-8‎‎1+2‎k‎2‎=‎‎8(8k‎2‎-m‎2‎+4)‎‎(1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎,‎|AB|=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎=‎(1+k‎2‎)(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎=‎(1+k‎2‎)‎‎8(8k‎2‎-m‎2‎+4)‎‎(1+2‎k‎2‎‎)‎‎2‎=‎32‎‎3‎‎⋅‎‎4k‎4‎+5k‎2‎+1‎‎4k‎4‎+4k‎2‎+1‎=‎‎32‎‎3‎‎[1+k‎2‎‎4k‎4‎+4k‎2‎+1‎]‎,‎ ‎①当k≠0‎时‎|AB|=‎‎32‎‎3‎‎[1+‎1‎‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4‎]‎ 因为‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4≥8‎所以‎0<‎1‎‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4‎≤‎‎1‎‎8‎,‎ 所以‎32‎‎3‎‎<‎32‎‎3‎[1+‎1‎‎4k‎2‎+‎1‎k‎2‎+4‎]≤12‎,‎ 所以‎4‎‎3‎‎6‎‎<|AB|≤2‎‎3‎当且仅当k=±‎‎2‎‎2‎时取”‎=‎”.‎ ‎2‎当k=0‎时,‎‎|AB|=‎‎4‎‎6‎‎3‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页