2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习新人教A版 6页

二 一般形式的柯西不等式 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：由柯西不等式得 ‎(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，‎ 所以－3≤x＋2y＋2z≤3.‎ 当且仅当x＝＝时，等号成立．‎ 所以x＋2y＋2z的最大值为3.‎ 答案：C ‎2．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是(　　)‎ A．1 B．n C．n2 D． 解析：设n个正数为x1，x2，…，xn，‎ 由柯西不等式，得 ‎(x1＋x2＋…＋xn) ‎≥2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.‎ 当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号．‎ 答案：C ‎3．设a、b、c为正数，则(a＋b＋c)·(＋＋)的最小值为(　　)‎ A．11 B．121‎ C．49 D．7‎ 解析：(a＋b＋c)·≥2＝121.‎ 答案：B ‎4．设a，b，c均为正数且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为(　　)‎ A．81 B．9‎ C．7 D．49‎ 6‎ 解析：考虑以下两组向量：‎ u＝，v＝(，，)．‎ 由(u·v)2≤|u|2·|v|2得 2‎ ‎≤(a＋b＋c)，‎ 当且仅当＝＝，即a＝2，b＝3，c＝4时取等号，‎ 可得·9≥(2＋3＋4)2＝81，‎ 所以＋＋≥＝9.‎ 答案：B ‎5．设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，‎ 则y＝＋＋…＋－n的最小值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：为了利用柯西不等式，注意到 ‎(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，‎ 所以(2n－1) ‎＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]· ‎≥2＝n2，‎ 所以y＋n≥，y≥－n＝.‎ 等号当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时成立，从而y有最小值.‎ 答案：A ‎6．同时满足2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82的实数x、y、z的值分别为______，______，________.‎ 解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，‎ 则x1＋x2＋x3＝18且x＋x＋x＝108，‎ 6‎ 由此及柯西不等式得182＝(x1＋x2＋x3)2≤(x＋x＋x)(12＋12＋12)＝108×3，‎ 上式等号成立的充要条件是＝＝⇒x1＝x2＝x3＝6⇒x＝3，y＝1，z＝4.‎ 所以3,1,4是所求实数x，y，z的值．‎ 答案：3　1　4‎ ‎7．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．‎ 解析：4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，‎ 即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2.‎ ‎∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.‎ 答案： ‎8．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，‎ ax＋by＋cz＝30，则＝________.‎ 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，‎ 当且仅当＝＝＝k时取等号．‎ 由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝.‎ 所以＝k＝.‎ 答案： ‎9．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．‎ 解析：由柯西不等式，得 ‎[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，‎ 即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，‎ 即16≤14(x2＋y2＋z2)．‎ 所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即当x＝，y＝－，z＝－时，‎ x2＋y2＋z2的最小值为.‎ ‎10．在△ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，‎ 求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.‎ 6‎ 证明：由正弦定理知＝＝＝2R，‎ ‎∴(a2＋b2＋c2) ‎≥2＝36R2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)‎ A．1 B． C. D．2‎ 解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥‎ (1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.‎ 答案：B ‎2．若‎2a>b>0，则a＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．8 D．12‎ 解析：∵‎2a>b>0，∴‎2a－b>0.‎ ‎∴a＋＝[(‎2a－b)＋b＋]‎ ‎≥·3 ＝3.‎ 当且仅当‎2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立．‎ ‎∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.‎ 答案：B ‎3．若a，b，c为正数，则·的最小值为________．‎ 解析：由柯西不等式可知，‎ ‎(＋＋)·(＋＋)‎ ‎≥( ·＋·＋·)2‎ ‎＝32＝9.‎ 6‎ 答案：9‎ ‎4．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．‎ 解析：利用柯西不等式．‎ 由于(x＋y＋z) ‎≥2＝36，‎ 所以＋＋≥36.‎ 当且仅当x2＝y2＝z2，‎ 即x＝，y＝，z＝时，‎ 等号成立．∴＋＋的最小值为36.‎ 答案：36‎ ‎5．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．‎ 解析：＋＋≤＋＋ ‎＝(1× ＋1× ＋1× )‎ ‎≤[(12＋12＋12)(＋＋)]＝，‎ 故λ的取值范围是[，＋∞)．‎ ‎6．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋‎3c≥9.‎ 解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，‎ 所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.‎ ‎(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，‎ 6‎ 由柯西不等式得a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.‎ 6‎