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- 2021-06-10 发布
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2014年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N=( )
A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5}
2.(5分)已知复数z满足(3﹣4i)z=25,则z=( )
A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i
3.(5分)已知向量=(1,2),=(3,1),则﹣=( )
A.(﹣2,1) B.(2,﹣1) C.(2,0) D.(4,3)
4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值等于( )
A.7 B.8 C.10 D.11
5.(5分)下列函数为奇函数的是( )
A.2x﹣ B.x3sinx C.2cosx+1 D.x2+2x
6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
8.(5分)若实数k满足0<k<5,则曲线﹣=1与﹣=1的( )
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定
10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下命题:
①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)
②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)
③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);
④z1*z2=z2*z1
则真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)
11.(5分)曲线y=﹣5ex+3在点(0,﹣2)处的切线方程为 .
12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 .
13.(5分)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】
14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为 .
【几何证明选讲选做题】
15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .
四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).
17.(13分)某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄(岁)
工人数(人)
19
1
28
3
29
3
30
5
31
4
32
3
40
1
合计
20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.
18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2作如图2折叠;折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
(1)证明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱锥M﹣CDE的体积.
19.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.
20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
21.(14分)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x0)=f().
2014年广东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N=( )
A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,5},
∴M∩N={2,3},
故选:B.
【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2.(5分)已知复数z满足(3﹣4i)z=25,则z=( )
A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i
【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.
【解答】解:∵满足(3﹣4i)z=25,则z===3+4i,
故选:D.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.
3.(5分)已知向量=(1,2),=(3,1),则﹣=( )
A.(﹣2,1) B.(2,﹣1) C.(2,0) D.(4,3)
【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可.
【解答】解:∵向量=(1,2),=(3,1),
∴﹣=(2,﹣1)
故选:B.
【点评】本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.
4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值等于( )
A.7 B.8 C.10 D.11
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=2x+y,得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B(4,2)时,
直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,此时z=2×4+2=10,
故选:C.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
5.(5分)下列函数为奇函数的是( )
A.2x﹣ B.x3sinx C.2cosx+1 D.x2+2x
【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.
【解答】解:对于函数f(x)=2x﹣,由于f(﹣x)=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f(x),故此函数为奇函数.
对于函数f(x)=x3sinx,由于f(﹣x)=﹣x3(﹣sinx)=x3sinx=f(x),故此函数为偶函数.
对于函数f(x)=2cosx+1,由于f(﹣x)=2cos(﹣x)+1=2cosx+1=f(x),故此函数为偶函数.
对于函数f(x)=x2+2x,由于f(﹣x)=(﹣x)2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f(x),且f(﹣x)≠f(x),
故此函数为非奇非偶函数.
故选:A.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题.
6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.
【解答】解:∵从1000名学生中抽取40个样本,
∴样本数据间隔为1000÷40=25.
故选:C.
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用,比较基础.
7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可.
【解答】解:由正弦定理可知⇒=,
∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于180°,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,
∴a,b,sinA,sinB都是正数,
∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”.
∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件.
故选:A.
【点评】本题考查三角形中,角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用,基本知识的考查.
8.(5分)若实数k满足0<k<5,则曲线﹣=1与﹣=1的( )
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论.
【解答】解:当0<k<5,则0<5﹣k<5,11<16﹣k<16,
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=16,b2=5﹣k,c2=21﹣k,
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=16﹣k,b2=5,c2=21﹣k,
即两个双曲线的焦距相等,
故选:D.
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.
9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定
【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论.
【解答】解:在正方体中,若AB所在的直线为l2,CD所在的直线为l3,AE所在的直线为l1,
若GD所在的直线为l4,此时l1∥l4,
若BD所在的直线为l4,此时l1⊥l4,
故l1与l4的位置关系不确定,
故选:D.
【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断,比较基础.
10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下命题:
①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)
②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)
③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);
④z1*z2=z2*z1
则真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12,其中2是ω2的共轭复数,结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假,可得答案.
【解答】解:①(z1+z2)*z3=(z1+z2)=(z1+z2=(z1*z3)+(z2*z3),正确;
②z1*(z2+z3)=z1()=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),正确;
③(z1*z2)*z3=z1,z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1()=z1z3
,等式不成立,故错误;
④z1*z2=z1,z2*z1=z2,等式不成立,故错误;
综上所述,真命题的个数是2个,
故选:B.
【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了复数的运算性质,细心运算即可,属于基础题.
二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)
11.(5分)曲线y=﹣5ex+3在点(0,﹣2)处的切线方程为 5x+y+2=0. .
【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可.
【解答】解:y′=﹣5ex,
∴y′|x=0=﹣5.
因此所求的切线方程为:y+2=﹣5x,即5x+y+2=0.
故答案为:5x+y+2=0.
【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程,属于基础题.
12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 .
【分析】求得从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母、取到字母a的情况,利用古典概型概率公式求解即可.
【解答】解:从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,共有=10种情况,取到字母a,共有=4种情况,
∴所求概率为=.
故答案为:.
【点评】
本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
13.(5分)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 5 .
【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2,再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3,代入即可求出答案.
【解答】解:log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3.
又等比数列{an}中,a1a5=4,即a3=2.
故5log2a3=5log22=5.
故选为:5.
【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易.
(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】
14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为 (1,2) .
【分析】直接由x=ρcosθ,y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得答案.
【解答】解:由2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ,
即y=2x2.
由ρcosθ=1,得x=1.
联立,解得:.
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).
故答案为:(1,2).
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.
【几何证明选讲选做题】
15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= 3 .
【分析】证明△CDF∽△AEF,可求.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,EB=2AE,
∴AB∥CD,CD=3AE,
∴△CDF∽△AEF,
∴==3.
故答案为:3.
【点评】本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题.
四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).
【分析】(1)通过函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,直接求A的值;
(2)利用函数的解析式,通过f(θ)﹣f(﹣θ)=,θ∈(0,),求出cosθ,利用两角差的正弦函数求f(﹣θ).
【解答】解:(1)∵函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,
∴f()=Asin(+)=Asin=,
∴.
(2)由(1)可知:函数f(x)=3sin(x+),
∴f(θ)﹣f(﹣θ)=3sin(θ+)﹣3sin(﹣θ+)
=3[()﹣()]
=3•2sinθcos=3sinθ=,
∴sinθ=,
∴cosθ=,
∴f(﹣θ)=3sin()=3sin()=3cosθ=.
【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.
17.(13分)某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄(岁)
工人数(人)
19
1
28
3
29
3
30
5
31
4
32
3
40
1
合计
20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.
【分析】(1)根据众数和极差的定义,即可得出;
(2)根据画茎叶图的步骤,画图即可;
(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.
【解答】解:(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40﹣19=21;
(2)茎叶图如下:
(3)年龄的平均数为:=30.
这20名工人年龄的方差为S2=[(19﹣30)2+3×(28﹣30)2+3×(29﹣30)2+5×(30﹣30)2+4×(31﹣30)2+3×(32﹣30)2+(40﹣30)2]=12.6.
【点评】本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题.
18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2作如图2折叠;折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
(1)证明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱锥M﹣CDE的体积.
【分析】(1)要证CF⊥平面MDF,只需证CF⊥MD,且CF⊥MF即可;由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即证MD⊥平面PCD,得CF⊥MD;
(2)求出△CDE的面积S△CDE,对应三棱锥的高MD,计算它的体积VM﹣CDE.
【解答】解:(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥平面ABCD;
又平面PCD∩平面ABCD=CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,
∴MD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥MD;
又CF⊥MF,MD、MF⊂平面MDF,MD∩MF=M,
∴CF⊥平面MDF;
(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,
又∵Rt△PCD中,DC=1,PC=2,
∴∠P=30°,∠PCD=60°,
∴∠CDF=30°,CF=CD=;
∵EF∥DC,∴=,即=,
∴DE=,∴PE=,
∴S△CDE=CD•DE=;
MD===,
∴VM﹣CDE=S△CDE•MD=××=.
【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题,解题时应结合图形,明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么,几何体的体积计算公式是什么,是中档题.
19.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.
【分析】(1)本题可以用n=1代入题中条件,利用S1=a1求出a1的值;
(2)利用an与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an;
(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论.
【解答】解:(1)令n=1得:,即.
∴(S1+3)(S1﹣2)=0.
∵S1>0,∴S1=2,即a1=2.
(2)由得:
.
∵an>0(n∈N*),
∴Sn>0.
∴.
∴当n≥2时,,
又∵a1=2=2×1,
∴.
(3)由(2)可知=,
∀n∈N*,=<=(),
当n=1时,显然有=<;
当n≥2时,
<+=﹣•<
所以,对一切正整数n,有.
【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.
20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.
(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△=0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x0和y0的关系式,即P点的轨迹方程.
【解答】解:(1)依题意知,求得a=3,b=2,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,
②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y0)的切线为y=k(x﹣x0)+y0,
+=+=1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,
∴△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,
整理得(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,
∴﹣1=k1•k2==﹣1,
∴x02+y02=13.
把点(±3,±2)代入亦成立,
∴点P的轨迹方程为:x2+y2=13.
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.
21.(14分)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x0)=f().
【分析】对第(1)问,先求导,再通过一元二次方程的实根讨论单调性;
对第(2)问,可将f(x0)=f()转化为f(x0)﹣f()=0,即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理.
【解答】解:(1)由f(x)得f′(x)=x2+2x+a,
令f′(x)=0,即x2+2x+a=0,判别式△=4﹣4a,
①当△≤0即a≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数.
②当△>0即a<1时,方程f′(x)=0的两根为,即,
当x∈(﹣∞,﹣1﹣)时,f′(x)>0,则f(x)为增函数;
当时,f′(x)<0,则f(x)为减函数;
当,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)为增函数.
综合①、②知,a≥1时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),
a<1时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,和,+∞),
f(x)的单调递减区间为.
(2)∵=
=
=
=
=.
∴若存在∪,使得,即,
则关于x的方程4x2+14x+7+12a=0在∪内必有实数解.
∵a<0,∴△=142﹣16(7+12a)=4(21﹣48a)>0,
方程4x2+14x+7+12a=0的两根为,即,
∵x0>0,∴,
依题意有,且,
即,且,∴49<21﹣48a<121,且21﹣48a≠81,
得,且.
∴当∪时,存在唯一的∪,使得成立;
当∪∪{}时,不存在∪,使得成立.
【点评】1.求含参数的函数的单调区间时,导函数的符号往往难以确定,如果受到参数的影响,应对参数进行讨论,讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定.如本题中导函数为一元二次函数,就有必要考虑对应方程中的判别式△.
2.对于存在性问题,一般先假设所判断的问题成立,再由假设去推导,若求得符合题意的结果,则存在;若得出矛盾,则不存在.
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