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- 2021-06-10 发布
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2008年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
2. 设集合A={x|xx-1<0}，B={x|00x≤2则yx的取值范围是（ ）
A.(0, 2) B.(0, 2) C.(2, +∞) D.[32, +∞)
9. 函数f(x)=cosx(x∈R)的图象按向量(m, 0)平移后，得到函数y=-f'(x)的图象，则m的值可以为（ ）
A.π2 B.π C.-π D.-π2
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2-b2)tanB=3ac，则角B的值为（ ）
A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
11. 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A.(1, 3) B.(1, 3] C.(3, +∞) D.[3, +∞]
12. 已知函数y=f'(x)，y=g'(x)的导函数的图象如图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是（ ）
A. B.
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C. D.
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5=________．（用数字作答）
14. 若直线3x+4y+m=0与曲线x=1+cosθ,y=-2+sinθ,（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是________．
15. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．
16. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，ab∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F={a+b2|a, b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号填填上）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知向量m→=(sinA,cosA)，n→=(1,-2)，且m→⋅n→=0．
（1）求tanA的值；
（2）求函数f(x)=cos2x+tanAsinx,(x∈[0,π4])的值域．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由．
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19. 已知函数f(x)=13x3+x2-2．
（1）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3．若点(an, an+12-2an+1)(n∈N*)在函数y=f'(x)的图象上，求证：点(n, Sn)也在y=f'(x)的图象上；
（2）求函数f(x)在区间(a-1, a)内的极值．
20. 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．
8 / 8
21. 如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1, 0)，O为坐标原点．
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2<|AB|2，求a的取值范围．
22. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x
（1）求f(x)的单调区间；
（2）记f(x)在区间[0, n](n∈N*)上的最小值为bn令an=ln(1+n)-bn
(I)如果对一切n，不等式an10或m<0
15.9π
16.③④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)m→⋅n→=sinA-2cosA=0即sinA=2cosA
∴ tanA=2
（2）f(x)=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx
令sinx=t
∵ x∈[0,π4]∴ t∈[0,22]
∴ y=-2t2+2t+1=-2(t-12)2+32，∴ t∈[0,22]
∴ 当t=12时，y最大为32；当t=0时，y最小为1
域为[1, 32]．
18.解：（1）证明：在△PAD中，PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD
所以PO⊥平面ABCD．
（2）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC // AD，AD=2AB=2BC=2有OD // BC
且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB // DC
由（1）知PO⊥OB，∠PBC是锐角，
所以∠PBC是异面直线PB与CD所成的角
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=2
在Rt△AOP中 因为AP=2AO=1，所以OP=1
在Rt△AOP中tan∠PBC=PCBC=12=22，∠PBC=arctan22
所以：异面直线PB与CD所成角的大小arctan22．
（3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32．
设QD=x，则S△DQC=12x，由（2）得CD=OB=2，
在Rt△POC中，PC=OC2+OP2=2，
所以PC=CD=DP，S△PCD=34⋅(2)2=32，
由Vp-DQC=VQ-PCD，得x=32，所以存在点Q满足题意，此时AQQD=13．
解法二：
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（1）同解法一．
（2）以O为坐标原点，OC→、OD→、OP→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，
依题意，易得A(0, -1, 0)，B(1, -1, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，
所以CD→=(-1,1,0)，PB→=(1,-1,-1)．
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63，
（3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，
由（2）知CP→=(-1,0,1)，CD→=(-1,1,0)．
设平面PCD的法向量为n=(x0, y0, z0)．
则n⋅CP→=0n⋅CD→=0所以-x0+z0=0-x0+y0=0即x0=y0=z0，
取x0=1，得平面PCD的一个法向量为n→=(1, 1, 1)．
设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),CQ→=(-1,y,0)，由|CQ⋅n→||n|=32，得|-1+y||3|=32，
解y=-12或y=52（舍去），
此时|AQ|=12，|QD|=32，所以存在点Q满足题意，此时AQQD=13．
19.解：（1）证明：因为f(x)=13x3+x2-2，所以f'(x)=x2+2x，
由点(an, an+12-2an+1)(n∈N+)在函数y=f'(x)的图象上，
又an>0(n∈N+)，所以(an-1-an)(an+1-an-2)=0，
所以Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n，又因为f'(n)=n2+2n，所以Sn=f'(n)，
故点(n, Sn)也在函数y=f'(x)的图象上．
（2）解：f'(x)=x2+2x=x(x+2)，由f'(x)=0，得x=0或x=-2．
当x变化时，f'(x)﹑f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, -2)
-2
(-2, 0)
0
(0, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
注意到|(a-1)-a|=1<2，从而
①当，此时f(x)无极小值；
②当a-1<01)，
因此，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2．
（2）当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：x=my+1，代入x2a2+y2b2=1，
整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0，
所以y1+y2=-2b2ma2+b2m2，y1y2=b2-a2b2a2+b2m2
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．
即OA→⋅OB→=(x1,y1)⋅(x2,y2)=x1x2+y1y2<0恒成立．
x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1
=(m2+1)(b2-a2b2)a2+b2m2-2b2m2a2+b2m2+1
=-m2a2b2+b2-a2b2+a2a2+b2m2<0．
又a2+b2m2>0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立，
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立．
当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0．
a20，b>0，所以a<b2，即a2-a-1>0，
解得a>1+52或a<1-52（舍去），即a>1+52，
综合(1)(II)，a的取值范围为(1+52, +∞)．
22.解：（1）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为(-1, +∞)，且f'(x)=11+x-1=-x1+x．
由f'(x)>0得-10，f(x)的单调递减区间为(0, +∞)．
（2）因为f(x)在[0, n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n，
则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n．
(I)因为can+21因此c≤1，即实数c的取值范围是(-∞, 1]．
(II)由(I)知12n+1<2n+1-2n-1．
下面用数学归纳法证明不等式1⋅3⋅5⋅⋅(2n-1)2⋅4⋅6⋅⋅(2n)<12n+1(n∈N+)
①当n=1时，左边=12，右边=13，左边<右边．不等式成立．
②假设当n=k时，不等式成立．即1⋅3⋅5⋅⋅(2k-1)2⋅4⋅6⋅⋅(2k)<12n+1．
当n=k+1时，1⋅3⋅5⋅…(2k-1)(2k+1)2⋅4⋅6⋅…2k(2k+2)<12k+1⋅2k+12k+2=2k+12k+2=2k+2˙⋅12k+3
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=4k2+8k+34k2+8k+4⋅12k+3<12k+3=12(k+1)+1，
即n=k+1时，不等式成立
综合①、②得，不等式1⋅3⋅5⋅⋅(2n-1)2⋅4⋅6⋅⋅(2n)<12n+1(n∈N*)成立．
所以1⋅3⋅5⋅⋅(2n-1)2⋅4⋅6⋅⋅(2n)<2n+1-2n-1，
所以12+1⋅32⋅4+…+1⋅3⋅…⋅(2n-1)2⋅4⋅…⋅(2n)<3-1+5-3+...+2n+1-2n-1=2n+1-1．
即a1a2+a1a3a2a4++a1a3a2n-1a2a4a2n<2an+1-1(n∈N*)．
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