宁夏银川一中2019届高三上学期第五次月考 数学（理）试卷（PDF版） 8页

1 银川一中 2019 届高三年级第五次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知集合 },3125|{ RxxxA  ， },0)8(|{ ZxxxxB  ，则 AB A．  0, 2 B． 0,2 C． 0, 2 D． 0,1,2 2．在等比数列 11 2 9 119753 ,243,}{ a aaaaaaan 则若中  的值为 A．3 B． 3 1 C．  3 D． 3 3．已知复数 1 cos23 sin 23zi 和复数 2 cos37 sin37zi，则 21 zz  为 A． i2 3 2 1  B． i2 1 2 3  C． i2 3 2 1  D． i2 1 2 3  4．下列命题错误的是 A．三棱锥的四个面可以都是直角三角形； B．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n=1,2,3…)，若当首项 a1 和公差 d 变化时，a5+a8+a11 是一个定值，则 S16 为定值; C． ABC 中， BA sinsin  是 BA  的充要条件； D．若双曲线的渐近线互相垂直，则这条双曲线是等轴双曲线． 5．在椭圆 22 221( 0)xy abab    中，焦点 ( ,0)Fc ．若 a 、b 、 c 成等比数列，则椭圆的离心率e  A． 2 2 B． 31 2  C． 51 2  D． 21 6．实数 yx, 满足条件       0,0 022 04 yx yx yx ,则 yx2 的最小值为 A．16 B．4 C．1 D． 2 1 7．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m） 则该几何体的体积为（ ）m3． 2 A． 7 3 B． 9 2 C． 7 2 D． 9 4 8．已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点，且 |||| OBOAOBOA  ，其中 O 为坐标原点，则实 数 a 的值为 A．2 B．±2 C．－2 D． 2 9．已知函数 44( ) sin cosf x x x，则 ()fx的值域为 A． 1 ,12   B． 2 ,22    C． 2 ,12    D． 12,22    10．已知函数 R xxf sin3)(  的图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆 222 Ryx  上， 则 )(xf 的最小正周期为 A．3 B．4 C．2 D．1 11．已知抛物线 1)0(2 2 2 2 2 2  b y a xppxy 与双曲线 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A． 12  B． 13  C． 2 15  D． 2 122  12．若函数 1)( 2  xxf 的图象与曲线 C:  01)(  aaexg x 存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A．      ，2 6 e B．    2 8,0 e C．      ，2 2 e D．    2 4,0 e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若双曲线的焦点在 y 轴上，离心率 2,e  则其渐近线方程为_______． 14．从抛物线 xy 42  上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 |PM|=5，设抛物线的焦点为 F，则 △MPF 的面积为______________ 15．已知 2 na n n，数列 1 na    的前项和为 nS ，数列 nb 的通项公式为 8 nbn ，则 nnSb 的最小值为 ______ 16．如图所示，在等腰梯形 ABCD 中， 2 2 2AB CD， 60DAB ， E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分别沿 ECED, 向上翻折， 使 BA, 重合，则形成的三棱锥的外接球的表面积为_______． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分) 17．(本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 }{ na 的前 4 项和为 10，且 732 ,, aaa 成 等比数列． 2 , 4 , 6 3 （1）求通项公式 na ； （3）设 na nb 2 ,求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 18． （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是内角 A、 B 、 C 所对边长，并且 )3sin()3sin()sin)(sinsin(sin BBBABA   ． （1）若 ABC 是锐角三角形，求角 A 的值； （2）若 4a  ，求三角形 ABC 周长的取值范围． 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 ABCDP  的底面为矩形， PA 是四棱锥的高， PB 与平面 PAD 所成角为 45º， F 是 PB 的中点，E 是 BC 上的动点． （1）证明：PE⊥AF； （2）若 BC=2AB，PE 与 AB 所成角的余弦值为 17 172 ， 求二面角 D-PE-B 的余弦值． 20．（本小题满分 l2 分） 设椭圆 22 221( 0)xy abab    的焦点分别为 12( 1,0), (1,0),FF ， 直线 2:l x a 交 x 轴于点 A，且 122AF AF ． （1）试求椭圆的方程； （2）过 12,FF分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边 形 DMEN 面积的最大值和最小值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ()fx是奇函数， ()fx的定义域为( , )  ．当 0x  时， ()fx ln( )ex x  ．(e 为自然对数的底数)． (1)若函数 ()fx在区间 1( , )( 0)3a a a上存在极值点，求实数a 的取值范 围； (2)如果当 x≥1 时，不等式 () 1 kfx x  恒成立，求实数 k 的取值范围． (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 已知直线 l ： )( 2 3 2 11 为参数t ty tx         , 曲线 )(sin cos:1 为参数       y xC ． (1)设 l 与 1C 相交于 BA, 两点,求 || AB ； 4 (2)若把曲线 1C 上各点的横坐标压缩为原来的 2 1 倍,纵坐标压缩为原来的 2 3 倍,得到曲线 2C ,设点 P 是 曲线 2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值． 23．选修 4－5：不等式选讲 设不等式 1|12| x 的解集是 M ， Mba , ． （1）试比较 1ab 与 ba  的大小； （2）设 max 表示数集 A的最大数．        bab ba a h 2,,2max 22 ,求证： 2h ． 5 银川一中 2018 届高三第五次月考数学(理科)参考答案 一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B C D C B A B A D 二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分) 13. 3 3yx 14. 10 15. 4 16. 3 三、解答题： 17. 解：（1）由题意知      ).6)(()2( ,1064 11 2 1 1 dadada da ………………3 分 解得      3 21 d a 所以 an=3n－5.…………………6 分 （Ⅱ）∵ 153 84 122   nna n nb ∴数列{bn}是首项为 4 1 ，公比为 8 的等比数列，---------9 分 所以 ;28 18 81 )81(4 1    n n nS ………………………12 分 18. 解：（Ⅰ） )3sin()3sin()sin)(sinsin(sin BBBABA   ，  )sin2 1cos2 3()sin2 1cos2 3(sinsin 22 BBBBBA  ， 即 BBBA 2222 sin4 1cos4 3sinsin  ， 4 3sin 2 A . 又 ABC 是锐角三角形， 2 3sin A ，从而 3 A . …5 分 （Ⅱ）由 4, 3aA及余弦定理知， 2216 2 cos 3b c bc    ，即 22216 2 cos ( ) 33b c bc b c bc      ， 2 2( ) 3 16 3( ) 162 bcb c bc      …10 分 2( ) 64, 8b c b c     .又 ,b c a 8,a b c    2 8 ,a a b c a      三角形 ABC 周长的取值范围是 8 12.abc     ……..12 分. 19. 解 ：（Ⅰ ）方法一： 建立如图所示空间直角坐标系．设 ,,AP AB b BE a   ，则， (0,0,0), (0, ,0), ( , ,0), (0,0, ),A B b E a b P b于是， ( , , ), (0, , ).22 bbPE a b b AF ， 6 则 0 AFPE ，所以 AF PE ．……6 分 方法二： ,,BC AB BC PA BC面 PAB ,面 PBA  面 PBC , 又 ,PA AB AF PB AF面 , PE 面 AF PE （Ⅱ）设 2AB  则 4,BC  , (4,0,0), (0,2,0), ( ,2,0), (0,0,2),D B E a P (0,2,0), ( ,2, 2),AB PE a   若，则由 2 17 17 ABPE AB PE  得 3, (3,2,0)aE ， 设平面PDE 的法向 量为 ),,( zyxn  ， (4,0, 2), (3, 2,0),PD ED    由      0 0 PEn PDn ，得： 4 2 0,20 2 2 xx xz xyxy zx       ，于是 (2,1,4), 21.nn，而 , (0,1,1), 2.AF PBC AF AF   设二面角 D-PE-B 为 ，则为钝角 所以， 1 5 5 42cos .4221 2 nAF n AF        20.解：（1）由题意， 2 12| | 2 2, ( ,0),F F c A a   21 2AFAF  2F 为 1AF 的中点 2,3 22  ba 即：椭圆方程为 .123 22  yx …………………(５分) （2）方法一：当直线 DE 与 x 轴垂直时， 3 42|| 2  a bDE ，此时 322||  aMN ，四边形 DMEN 的面 积 | | | | 42 DE MNS  ．同理当 MN 与 轴垂直时，也有四边形 的面积 | | | | 42 DE MNS ． 当直线 ， 均与 轴 不 垂 直 时 ， 设 : )1(  xky ， 代 入 消 去 y 得： .0)63(6)32( 2222  kxkxk 设           ,32 63 ,32 6 ),,(),,( 2 2 21 2 2 21 2211 k kxx k kxx yxEyxD 则 所以， 23 1344)(|| 2 2 21 2 2121   k kxxxxxx ， 所以， 2 2 21 2 32 )1(34||1|| k kxxkDE   ，同理 2 2 2 2 114 3[( ) 1] 4 3( 1) | | .132 3( ) 2 kkMN kk        所以四边形的面积 2 2 2 2 32 )11(34 32 )1(34 2 1 2 |||| k k k kMNDES     13)1(6 )21(24 2 2 2 2    kk kk 7 令 uu uSkku 613 44613 )2(24,1 2 2   得 因为 ,21 2 2  kku 当 25 96,2,1  Suk 时 ，且 S 是以 u 为自变 量的增函数，所以 425 96  S ． 综上可知， 96 425 S ．故四边形 DMEN 面积的最大值为 4，最小值为 25 96 ．…（12 分） 21．解：x>0 时， ln( ) 1 ln( ) ( ) ex xf x f x xx      ………3 分 （ 1 ）当 x>0 时，有 22 1 (1 ln ) 1 ln() xx xxfx xx         ， ( ) 0 ln 0 0 1f x x x       ； ( ) 0 ln 0 1f x x x      所以 ()fx在（0，1）上单调递增，在(1, ) 上单调递减，函数 ()fx在 1x  处取得唯一的极值．由 题意 0a  ，且 11 3aa   ，解得所求实数 a 的取值范围为 2 13 a …6 分 （2）当 1x  时， 1 ln ( 1)(1 ln )() 11 k x k x xf x kx x x x        令 ( 1)(1 ln )( ) ( 1)xxg x xx ，由题意， ()k g x 在 1,  上恒成立 ……8 分   22 ( 1)(1 ln ) ( 1)(1 ln ) ln() x x x x x x xxgx xx           令 ( ) ln ( 1)h x x x x   ，则 1( ) 1 0hx x     ，当且仅当 1x  时取等号． 所以 ( ) lnh x x x 在 1,  上单调递增， ( ) (1) 1 0h x h   因此， 2 ()( ) 0hxgx x   ()gx在 上单调递增， min( ) (1) 2g x g．……10 分 所以 2k  ．所求实数 k 的取值范围为 ,2 ………12 分 22. 解.（I）  的普通方程为 1),1(3 Cxy  的普通方程为 .122  yx 联立方程组      ,1 ),1(3 22 yx xy 解得  与 1C 的交点为 )0,1(A , )2 3,2 1( B , 则 1|| AB . （II） 2C 的参数方程为    ( .sin2 3 ,cos2 1        y x 为参数).故点 P 的坐标是 )sin2 3,cos2 1(  ,从而点 P 到直 8 线  的距离是 ]2)4sin(2[4 3 2 |3sin2 3cos2 3|      d , 由此当 1)4sin(   时, d 取得最小值,且最小值为 )12(4 6  . 23．解：由| 2 1| 1 1 2 1 1, 0 1.x x x       得 解得 所以 { | 0 1}.M x x   （I） 由 Mba , ，得 10,10  ba ， 所以 ( 1) ( ) ( 1)( 1) 0.ab a b a b       故 1.ab a b   （II）由 }2,,2max 22     bab ba a h ，得 ,2 a h  ab bah 22  ， b h 2 ， 所以 8)(422 2222 3  ab ba bab ba a h ， 故 2h .