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- 2021-06-10 发布
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无为县高中数学新课程研讨活动观摩课教案
平面与平面垂直的性质
无为二中 胡婷婷
一、教学目标
1、知识与技能
(1)使学生掌握平面与平面垂直的性质定理及证明;
(2)了解性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题。
2、过程与方法
(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;
(2)性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点
对性质定理的理解
三、教学难点
性质定理的引入和证明
四、学法与用具
(1)学法:直观感知、操作确认,猜想与证明;
(2)用具:两个互相垂直的平面,一根直的细棍;
(3)多媒体课件。
五、教学设计
(一)复习回顾
1、面面垂直的定义;
2、面面垂直的判定。
(二)探究新知
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面面垂直的定义既提供了两个平面垂直的判定方法,又指出了两个平面互相垂直的性质。应用判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线,由线面垂直推出面面垂直。那么现在从面面垂直出发,能否得到线面垂直呢?面面垂直具有哪些性质呢?这就是我们这节课所要探究的内容。
问题:教室的黑板所在的平面与地面是什么关系?能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
1、 探究
取出平面与平面垂直的模型,并拿细棍在其中一个面上移动。让学生观察
模型,探究细棍移动时,细棍与另一个平面的位置关系。
2、 猜想
在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、推理证明
下面我们一起来完成这个命题的证明.先分析命题的条件和结论,然后画出图形,再结合图形,用符号语言叙述已知、求证。
已知:α⊥β,α∩β=AB,CDα,CD⊥AB.
求证:CD⊥β.
引导:这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些,由本题的已知看看哪种方法最适合.
证明:在平面β内,过D作DE⊥AB,
因为 CD⊥AB,CDα,
所以 ∠CDE是α-AB-β的平面角,
又 α⊥β,所以 ∠CDE=90°
即CD⊥DE.
又ABβ,DEβ,
故 CD⊥β.
此命题就是面面垂直的性质定理。
定理剖析:(1)面面垂直得到线面垂直;
(2)为判定和作出线面垂直提供依据。
(三)概念巩固
练习:判断下列命题的真假
7
1、若α⊥β,那么α内的所有直线都垂直于β。
2、两平面互相垂直,分别在这两平面内的两直线互相垂直。
3、两平面互相垂直,分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直。
4、两平面互相垂直,过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线,则此直线必垂直于另一个平面。
关键点:①线在平面内;
②线垂直于交线。
(四)巩固深化、发展思维
思考:设平面α⊥平面β,点C在平面α内,过点C作平面β的垂线CD,直线CD与平面α具有什么位置关系?
猜想:直线CD必在平面α内。
推理证明
(引导)要证直线在平面内,直接证法是依据公理1,需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α,再找合题意的点很困难.应该采用什么对策?
证明: 过点C在平面α内作CE⊥AB于E.
因为 α⊥β, 所以 CE⊥β.
又因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直,
所以直线CE和直线CD重合,
所以 CDα.
注:(1)此题运用了“同一法”来证明;
(2)这是面面垂直的另一个性质,它的作用是判定直线在平面内.
用语言叙述就是:
如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。
(五)应用巩固
上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效方法,性质2是判定直线在平面内的一种方法。
(拿出教具,把两个相交平面直立的放在桌面上,观察交线与桌面的关系)
7
猜想:交线与桌面垂直,即垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面.
推理证明
已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=a。
求证:a⊥γ.
(引导)本题条件是面面垂直,结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法,给出证明.
证明:设α∩γ=b,β∩γ=c,
在γ内任取一点P,作PM⊥b于M,PN⊥C于N.
因为 α⊥γ,β⊥γ,所以 PM⊥α,PN⊥β.
因为 α∩β=a,所以 PM⊥a,PN⊥a,
所以 a⊥γ.
此题还可采用间接的证明方法,请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。
(六)课堂总结
1.这节课我们学习了哪些内容?我们是如何得到这些结论的?
2.空间垂直关系有哪些?如何实现垂直关系的相互转化?指出下图中空间垂直关系转化的依据?
线线垂直 线面垂直 面面垂直
(七)课堂作业
课本82页 习题B组第3题
六、教后记
课后反思
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各位老师你们好!这次观摩活动终于结束了,应该说这节观摩课经过本人及全组共同努力上得还是相当成功的.此课得到了我县数学教研员石老师、我校数学组组长钱老师及校内外众多同行的一致肯定,在此对他们给予我工作上的肯定和支持表示感谢!
面面垂直的性质这节课是立体几何初步的最后一节课,重点在于学生对性质定理的理解,难点是性质定理的引入及证明,为了突出重点、突破难点,整节课按照“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明”的方式进行,为了加深学生对性质定理的理解,教学中设置了四个辨析题对概念进行巩固,每介绍一个性质定理或结论前,让学生观察模型,自己猜想结论,然后引导学生对猜想结论进行证明,引导过程中巧设问题,及时组织学生思考,交流,讨论。通过模型演示激发学生探索新知的欲望,通过“探究”、“猜想”等活动多维度构建学生“自主参与、自主探究”的实践活动,通过学生思考、交流、讨论、发言多形式提供学生“展示自我、发展自我”的教学平台,在突破重难点的同时,注重培养学生空间概念,空间想象能力以及逻辑推理能力,使不同层次学生有所收获。
当然这节课还存在着很多不足之处,如教学中所选例题开放性较大,课堂时间不足,导致该问题学生难以消化,未达到预期效果,教案中也出现丢词和错词的现象,等等,在这里就不再赘述。
通过这次观摩活动,我觉得自己在教学上收获很大,特别是很多老师给我提出了许多宝贵意见,让我收益非浅。我期盼学校以后能多提供给我们年轻教师展示自我的平台、提高教学水平的机会!
胡婷婷老师公开课点评意见
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无为二中 钱光学
本节课是立体几何初步的最后一节课内容,也是高考中文科学生的最后一节新课,如何使本节课成为立体几何的点睛之笔,胡老师作了一些有益的探究,教师通过“模型演示、直观感知、操作确认、推理证明”培养了学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力,较好地揭示了知识、规律发生、发展过程,较好地体现出高中数学新课程标准所倡导的教学理念,教师语言流畅,亲切,课堂气氛活跃,学生积极参与。主要特色如下:
1. 教学思路清晰,教学重点突出
整节课的教学思路清晰,突出了对主干知识的深入研讨,本节课的主线就是面面垂直的性质及应用,课堂上的每一个环节和片段都是围绕这个主线展开,每一个知识点,每一个结论的发现,教师总是设法由学生自己得出,教师只是在关键处加以引导,尤其是,课堂上给予学生充足的思考时间和空间,让学生动手,动脑,相互讨论,充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。
2. 设问合乎情理,探究活动自然
一位哲人说过“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上,只有通过适当的设问,才能在教学中真正实现“人人动脑筋,积极思考”。本节课,教师十分注意提问的艺术,设计的探究问题围绕面面垂直性质而进行,引导学生充分经历“模型演示——直观感知——操作确认——推理证明”这一完整的探究活动,让学生感受到数学知识产生的合理性,是大自然赋予数学的和谐美、自然美。
3. 注重方法引导,揭示研究方法
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无论是面面垂直的定义,面面垂直的判定的复习,还是研究面面垂直的性质,教师都很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学,教师总是问“你是怎样想的”、“为什么这样做”、“还可以怎样做”等问题,问思路,问道理,问方法,及时组织学生思考,交流,讨论,遇到学生表述不准确或有错误时及时纠正,对待学生大胆的尝试,给予充分的肯定,借此引导学生学会必要的思维策略,展现问题解决的途径,揭示研究问题的基本方法,注重数学思想方法的渗透。
1. 整合教材资源,巧用信息技术
如何把握新课标,新教材,教育对象三者关系是考验教师教学水平的重要尺子,我们既要使一部分学生通过高中阶段数学学习有一定的数学素养,又要为另一部分学生继续深造打下扎实的数学基础,为了体现这点,本节课教师对教材的内容作了必要的整合,通过观察感知,猜想得出结论,同时对有些结论进行必要的证明,如本课的例题就选用了课本上的一道习题,虽然这道题有点难度,但恰好和本节课面面垂直的两个性质相呼应,较好地培养了学生思维的严谨性,也反映出教师对教学内容的深入思考;另外,本节课信息技术的运用也较得法,不是通过电教来灌学生,而是通过信息技术来辅助教学,使师生有时间对重点、难点内容进行突破。
作为刚走上讲台三个来月的年轻教师,本节课还存在很多不足和值得商榷的地方,这里不再赘述。
2006年12月29日
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