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- 2021-06-10 发布
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专题四
函数、不等式中的恒成立问题
纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重
点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用,图象、
渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等
数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目,分析原因除了这类
题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和
套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段
出现的这类问题进行总结和探讨.
利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值,
各类不等式与函数最值关系如下:
不等式类型
与最值的关系
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)>
M
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)
min
>
M
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)<
M
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)
max
<
M
∃
x
0
∈
D
,
f
(
x
0
)>
M
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)
max
>
M
∃
x
0
∈
D
,
f
(
x
0
)<
M
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)
min
<
M
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)>
g
(
x
)
∀
x
∈
D
,[
f
(
x
)-
g
(
x
)]
min
>0
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)<
g
(
x
)
∀
x
∈
D
,[
f
(
x
)-
g
(
x
)]
max
<0
∀
x
1
∈
D
1
,∀
x
2
∈
D
2
,
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
∀
x
∈
D
1
,∀
x
∈
D
2
,
f
(
x
)
min
>
g
(
x
)
max
∀
x
1
∈
D
1
,∃
x
2
∈
D
2
,
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
∀
x
∈
D
1
,∀
x
∈
D
2
,
f
(
x
)
min
>
g
(
x
)
min
∃
x
1
∈
D
1
,∀
x
2
∈
D
2
,
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
∀
x
∈
D
1
,∀
x
∈
D
2
,
f
(
x
)
max
>
g
(
x
)
max
∃
x
1
∈
D
1
,∃
x
2
∈
D
2
,
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
∀
x
∈
D
1
,∀
x
∈
D
2
,
f
(
x
)
max
>
g
(
x
)
min
注:
上述的大于、小于改为不小于、不大于,相应的与最
值对应关系的不等式也改变
.
如果函数没有最值,那么上述结果
可以用函数值域相应的端点值表述
.
例
1
:
已知两个函数
f
(
x
)=8
x
2
+16
x
-
k
,
g
(
x
)=2
x
3
+5
x
2
+
4
x
,
x
∈[-3,3],
k
∈
R
.
(1)若对∀
x
∈[-3,3],都有
f
(
x
)≤
g
(
x
)成立,求实数
k
的取
值范围;
(2)若∃
x
∈[-3,3],使得
f
(
x
)≤
g
(
x
)成立,求实数
k
的取值
范围;
(3)若对∀
x
1
,
x
2
∈[-3,3],都有
f
(
x
1
)≤
g
(
x
2
),求实数
k
的取
值范围.
解:
(1)设
h
(
x
)=
g
(
x
)-
f
(
x
)=2
x
3
-3
x
2
-12
x
+
k
,
问题转化为
x
∈[-3,3]时,
h
(
x
)≥0 恒成立,即
h
(
x
)
min
≥0,
x
∈[-3,3].
令
h
′(
x
)=6
x
2
-6
x
-12=0,得
x
=2 或
x
=-1,
∵
h
(-3)=
k
-45,
h
(-1)=
k
+7,
h
(2)=
k
-20,
h
(3)=
k
-9,
∴
h
(
x
)
min
=
k
-45≥0,得
k
≥45.
(2)据题意:∃
x
∈[-3,3],使
f
(
x
)≤
g
(
x
)成立,
即为
h
(
x
)=
g
(
x
)-
f
(
x
)≥0 在
x
∈[-3,3]上能成立,
∴
h
(
x
)
max
≥0.
∴
h
(
x
)
max
=
k
+7≥0,即
k
≥-7.
(3)据题意:
f
(
x
)
max
≤
g
(
x
)
min
,
x
∈[-3,3],
易得
f
(
x
)
max
=
f
(3)=120-
k
,
g
(
x
)
min
=
g
(-3)=-21,
∴120-
k
≤-21,得
k
≥141.
【名师点评】
已知不等式恒成立
(
或有解
)求参数问题的解
法
(
转化为最值问题
)
(1)
分离参数法:化为
a
>
f
(
x
)(
或
a
<
f
(
x
))
恒成立或有解
⇔
a
>
f
(
x
)
max
(
或
a
<
f
(
x
)
min
)
或
a
>
f
(
x
)
min
(
或
a
<
f
(
x
)
max
)
(2)
直接求最值法:①
f
(
x
)>0
恒成立
(
或有解
)⇔
f
(
x
)
min
>0(或
f
(
x
)
max
>0)
②解不等式,求参数的取值范围
.
(2)设函数
g
(
x
)在区间[0,2]上的值域是
A
.
∵对任意
x
1
∈[0,2],总存在
x
2
∈[0,2],
使
f
(
x
1
)-
g
(
x
2
)=0,
【规律方法】
(1)
求
f
(
x
)的值域可以利用导数,也可以利
用
基本不等式求解
.
(2)
若对任意
x
1
∈
[0,2]
,总存在
x
2
∈
[0,2]
,使
f
(
x
1
)
=
g
(
x
2
)的
本质就是函数
f
(
x
)
的值域是函数
g
(
x
)
值域的子集
.
(1)求曲线
f
(
x
)在
x
=1 处的切线方程;
(2)讨论函数
g
(
x
)的极小值;
(3)若对任意的
x
1
∈[-1,0],总存在
x
2
∈[e,3],使得
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
成立,求实数
a
的取值范围.
当
a
≤0 时,由
g
′(
x
)>0 得
x
>1,由
g
′(
x
)<0 得 0<
x
<1,即
g
(
x
)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
g
(
x
)
极小值
=
g
(1)=1-
a
.
综上,
g
(
x
)
极小值
=1-
a
.
(3)对任意的
x
1
∈[-1,0],总存在
x
2
∈[e,3],使得
f
(
x
1
)>
g
(
x
2
)
成立,等价于
f
(
x
)在[-1,0]上的最小值大于
g
(
x
)在[e,3]上最小值.
当
x
1
∈[-1,0]时,
f
′(
x
)=
x
(1-e
x
)≤0,
f
(
x
)在[-1,0]上递减,
f
(
x
)
min
=
f
(0)=1.
思维点拨:
(1)
首先求得导
函数的解析式,然后结合函数的
解析式确定函数的单调区间即可
.
(2)
由题意首先由函数在特殊点的函数值得到
a
的取值范
围,然后证明所得的范围满足题意即可
.
【方法点睛】
导数是研究函数的单调性、极值
(
最值
)最有
效的工具,而函数是高中数学中重要的知
识点,对导数的应用
的考查主要从以下几个角度进行:①考查导数的几何意义,往
往与解析几何、微积分相联系;②利用导数求函数的单调区间,
判断单调性;已知单调性,求参数;③利用导数求函数的最值
(
极
值
)
,解决生活中的优化问题;④考查数形结合思想的应用
.
【跟踪训练】
已知函数
f
(
x
)=
x
2
e
ax
(
a
<0).
(1)若
a
=-1,求曲线
y
=
f
(
x
)在(1,
f
(1))处的切线方程;
a
的取值范围.
x
(-∞,-1)
(-1,1)
(1,+∞)
g
′(
x
)
-
+
-
g
(
x
)
单调递减
单调递增
单调递减
当
x
变化时,
g
′(
x
),
g
(
x
)的变化情况如下表:
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