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  • 2021-06-10 发布

2019-2020学年高中数学课时作业12二项式系数的性质北师大版选修2-3

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课时作业(十二)‎ ‎1.在(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大项是(  )‎ A.第+1项        B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n+1项 答案 C ‎2.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(  )‎ A.10 B.20‎ C.30 D.120‎ 答案 B ‎3.(2015·厦门高二检测)若(x+3y)n展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为(  )‎ A.5 B.8‎ C.10 D.15‎ 答案 A 解析 (7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.‎ ‎4.(2013·课标全国Ⅰ)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(  )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.8‎ 答案 B 解析 由题意得:a=C2mm,b=C2m+1m,所以13C2mm=7C2m+1m,∴=,∴=13,解得m=6,经检验为原方程的解,选B.‎ ‎5.关于(a-b)10的说法,错误的是(  )‎ A.展开式中的二项式系数之和为1 024‎ B.展开式中第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 答案 C 解析 根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知:二项式系数之和为2n,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D 10‎ 也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的.‎ ‎6.在(x+y)n展开式中第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是(  )‎ A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项 答案 A 解析 Cn3=Cn7,所以n=10,系数最大的项即为二项式系数最大的项.‎ ‎7.1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n展开式的各项系数和为(  )‎ A.2n+1 B.2n+1+1‎ C.2n+1-1 D.2n+1-2‎ 答案 C 解析 令x=1得各项系数和为1+2+22+23+…+2n==2n+1-1.‎ ‎8.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=(  )‎ A.45 B.55‎ C.70 D.80‎ 答案 C 解析 (1+)5=C50+C51·+C52()2+C53()3+C54()4+C55()5=41+29=a+b,‎ ‎∴a+b=41+29=70.故选C.‎ ‎9.(a+)n的展开式中奇数项系数和为512,则展开式的第八项T8=________.‎ 答案 120a 解析 Cn0+Cn2+Cn4+…=2n-1,∴2n-1=512=29,n=10,∴T8=C107a3()7=120a.‎ ‎10.(2x-1)6展开式中各项系数的和为________;各项的二项式系数和为________.‎ 答案 1 64‎ 解析 令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1.各二项式系数之和为:C60+C61+C62+…+C66=26=64.‎ ‎11.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于________.‎ 答案 -256‎ 解析 令x=1,得a0+a1+…+a5=0;令x=-1,得a0-a1+a2-…-a5=25,∴a0+a2+a4=24,a1+a3+a5=-24,∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-28=-256.‎ ‎12.(x2+x-1)9(2x+1)4的展开式中所有x的奇次项的系数之和等于________,‎ 10‎ 所有x的偶次项的系数之和等于________.‎ 答案 41 40‎ 解析 设(x2+x-1)9(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a22x22.令x=1,得a0+a1+a2+…+a22=81;令x=-1,得a0-a1+a2-…-a21+a22=-1,∴所有x的奇次项的系数之和等于[81-(-1)]=41,所有x的偶次项的系数之和等于[81+(-1)]=40.‎ ‎13.已知(+2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展开式中二项式系数最大的项的系数.‎ 解析 由Cn0+Cn1+Cn2=37,得1+n+n(n-1)=37,得n=8.(+2x)8的展开式共有9项,其中T5=C84()4(2x)4=x4,该项的二项式系数最大,系数为.‎ ‎14.(2015·三明高二期末质检)已知fn(x)=(1+ax)n,且f5(x)的展开式的各项系数的和是243,a∈R.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若g(x)=f4(x)+2f5(x),求g(x)中含x4的系数.‎ 解析 (1)由已知f5(x)=(1+ax)5,‎ 令x=1,得f5(x)的展开式的各项系数的和为(1+a)5,‎ 即(1+a)5=243,解得a=2.‎ ‎(2)由题意可知,g(x)=(1+2x)4+2(1+2x)5.‎ 二项式(1+2x)4展开式的通项Tk+1=C4k(2x)k,‎ 二项式(1+2x)5展开式的通项Tk+1=C5k(2x)k,‎ 则g(x)中含x4的系数是C44×24+2C54×24=176.‎ ‎15.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,‎ 求下列各式的值.‎ ‎(1)a0;‎ ‎(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;‎ ‎(3)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.‎ 解析 (1)令x=0,则展开式为a0=2100.‎ ‎(2)令x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2-)100,(*)‎ 所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.‎ ‎(3)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]·[(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99]‎ ‎=(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)‎ 10‎ ‎=[(2-)(2+)]100‎ ‎=1100=1.‎ ‎16.已知(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)展开式中二项式系数最大的项;‎ ‎(3)展开式中系数最大的项.‎ 解析 (1)由题设,(x+)n的展开式的通项公式为Tk+1=Cnkxn-k()k=()kCnkxn-k,‎ 故Cn0+Cn2=2×Cn1,即n2-9n+8=0.‎ 解得n=8或n=1(舍去).‎ 所以n=8.‎ ‎(2)展开式中二项式系数最大的为第5项,则T5=()4C84x8-×4=x2.‎ ‎(3)设第r+1项的系数最大,则即 解得r=2或r=3.‎ 所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7x.‎ ‎1.若n为正奇数,则7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7被9除所得的余数是(  )‎ A.0 B.2‎ C.7 D.8‎ 答案 C ‎2.试判断7777-1能否被19整除?‎ 答案 能 ‎1.(2012·新课标全国Ⅰ)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(  )‎ A.12种          B.10种 C.9种 D.8种 10‎ 答案 A 解析 将4名学生均分为2个小组共有=3种方法,‎ 将2个小组的同学分给两名教师带有A22=2种分法,‎ 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22=2种方法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.‎ ‎2.(2012·山东)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为(  )‎ A.232 B.252‎ C.472 D.484‎ 答案 C 解析 完成这件事可分为两类:第一类3张卡片颜色各不相同共有C43C41C41C41=256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C31C31C42C41=216种,由分类加法计数原理共有472种,故选C项.‎ ‎3.(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 ‎(  )‎ A.3×3! B.3×(3!)3‎ C.(3!)4 D.9!‎ 答案 C 解析 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有A33种排法;第二步排列每个家庭的三个成员,共有A33A33A33种排法,由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33A33,故选C项.‎ ‎4.(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(  )‎ A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 答案 C 解析 甲获胜有三种情况,第一种共打三局,甲全胜,此时,有一种情形;第二种共打四局,甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜,此时,共有C32=3种情况;第三种共打五局,甲第五局获胜且前四局只有两局获胜,此时,共有C42=6种情况,所以甲赢共有10种情况,同理乙赢也有10种情形,故选C项.‎ ‎5.(2012·大纲全国)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有(  )‎ 10‎ A.240种 B.360种 C.480种 D.720种 答案 C 解析 由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为A41,剩余5人进行全排列:A55,故总的情况有:A41·A55=480种.故选C项.‎ ‎6.(2013·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(  )‎ A.12种 B.24种 C.30种 D.36种 答案 B 解析 先从4人中选2人选修甲课程,有C42种方法,剩余2人再选修剩下的2门课程,有22种方法,则共有C42×22=24种方法.‎ ‎7.(2014·四川)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(  )‎ A.30 B.20‎ C.15 D.10‎ 答案 C 解析 根据二项式定理先写出其展开式的通项公式,然后求出相应的系数.‎ 因为(1+x)6的展开式的第r+1项为Tr+1=C6rxr,x(1+1)6的展开式中含x3的项为C62x3=15x3,所以系数为15.‎ ‎8.(2013·辽宁)使(3x-)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(  )‎ A.4 B.5‎ C.6 D.7‎ 答案 B 解析 Tr+1=Cnr(3x)n-r(-x)-r=Cnr·3n-r·xn-r-r=Cnr·3n-r·(-1)-r·xn-(r=0,1,2,…,n),若Tr+1是常数项,则有n-r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0,,不满足条件;当r=2时,n=5,故选B.‎ ‎9.(2012·安徽)(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是(  )‎ A.-3 B.-2‎ C.2 D.3‎ 答案 D 10‎ 解析 (-1)5的通项为Tr+1=C5r()5-r(-1)r=(-1)rC5r.要使(x2+2)(-1)5的展开式为常数,须令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是(-1)4×C54+2×(-1)5×C55=3.‎ ‎10.(2012·湖北)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=(  )‎ A.0 B.1‎ C.11 D.12‎ 答案 D 解析 ∵52能被13整除,∴512 012可化为(52-1)2 012,其通项为Tr+1=C2 012r522 012-r·(-1)r.故(52-1)2 012被13除余数为C2 0122 012·(-1)2 012=1,则当a=12时,512 012+12被13整除.‎ ‎11.(2013·重庆)(+)8的展开式中常数项为(  )‎ A. B. C. D.105‎ 答案 B 解析 二项式(+)8的通项为Tr+1=C8r()8-r·(2)-r=2-rC8rx,令8-2r=0,得r=4,所以二项展开式的常数项为T5=2-4C84=,故选B项.‎ ‎12.(2012·福建)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(  )‎ A.80 B.40‎ C.20 D.10‎ 答案 B 解析 由二项式定理可知(1+2x)5的展开式的第r+1项为Tr+1=C5r15-r(2x)r=C5r·2r·xr,令r=2,得T3=C52·22·x2=40x2.∴x2的系数等于40.‎ ‎13.(2014·浙江)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(  )‎ A.45 B.60‎ C.120 D.210‎ 答案 C 解析 利用二项式定理得到xmyn的系数,运用组合数公式计算.‎ 因为f(m,n)=C6mC4n,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63C40+C62C41+C61C42‎ 10‎ ‎+C60C43=120.‎ ‎14.(2015·新课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.20‎ C.30 D.60‎ 答案 C 解析 易知Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr,令r=2,则T3=C52(x2+x)3y2,对于二项式(x2+x)3,由Tr+1=C3t(x2)3-t·xt=C3tx6-t,令t=1,所以x5y2的系数为C52C31=30.‎ ‎15.(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 B 解析 由题意得基本事件的总数为C152,恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C101C51,所以所求概率P==.‎ ‎16.(2015·湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  )‎ A.212 B.211‎ C.210 D.29‎ 答案 D 解析 因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10,所以二项式(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29.‎ ‎17.(2013·广东)(x2+)6的展开式中x3的系数为________.(用数字作答)‎ 答案 20‎ 解析 Tr+1=C6r·(x2)6-r·()r=C6r·x12-3r,∴要求展开式中x3的系数,即12-3r=3,∴r=3,即T4=C63·x3=20x3.∴x3的系数为20.‎ ‎18.(2013·大纲全国)若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为______.‎ 答案 56‎ 解析 ∵Cn2=Cn6,∴n=8.Tr+1=C8rx8-r()r=C8rx8-2r.令8-2r=-2,解得r=5.∴ 10‎ 的系数为C85=56.‎ ‎19.(2014·山东)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.‎ 答案 2‎ 解析 本题利用二项式定理求出x3项的系数,从而求得ab的值,再应用基本不等式解决.‎ ‎(ax2+)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(ax2)6-r·()r=C6ra6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.由C63a6-3b3=20,得ab=1,所以a2+b2≥2=2,故a2+b2的最小值为2.‎ ‎20.(2015·新课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.‎ 答案 3‎ 解析 方法一 直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.‎ 方法二 (1+x)4展开式的通项为Tr+1=C4rxr,由题意可知,a(C41+C43)+C40+C42+C44=32,解得a=3.‎ ‎21.(2015·北京)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为________.(用数字作答)‎ 答案 40‎ 解析 在(2+x)5的展开式中,含x3的项为C5322x3=40x3,所以x3系数为40.‎ ‎22.(2015·广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)‎ 答案 1 560‎ 解析 由题意得A402=1 560,故全班共写了1 560条毕业留言.‎ ‎23.(2015·安徽)(x3+)7的展开式中x5的系数是________.(用数字填写答案)‎ 答案 35‎ 解析 由题意知,展开式的通项为Tr+1=C7r(x3)7-r()r=C7rx21-4r,令21-4r=5,则r=4,∴T5=C74x5=35x5,故x5的系数为35.‎ ‎24.(2015·天津)在(x-)6的展开式中,x2的系数为________.‎ 答案  解析 二项式(x-)6展开式的第r+1项为Tr+1=C6rx6-r·(-)rx-r=C6r(-)rx6-2r,‎ 10‎ 令6-2r=2,解得r=2,故x2的系数为C62(-)2=.‎ ‎25.(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.‎ 答案  解析 从4只球中一次随机摸出2只球,有6种结果,其中这2只球颜色不同有5种结果,故所求概率为.‎ 10‎