2019-2020学年高中数学课时作业12二项式系数的性质北师大版选修2-3 10页

课时作业(十二)‎ ‎1．在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大项是(　　)‎ A．第＋1项　　　　　　　 B．第n项 C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 答案　C ‎2．若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．120‎ 答案　B ‎3．(2015·厦门高二检测)若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)‎ A．5 B．8‎ C．10 D．15‎ 答案　A 解析　(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.‎ ‎4．(2013·课标全国Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由题意得：a＝C2mm，b＝C2m＋1m，所以13C2mm＝7C2m＋1m，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.‎ ‎5．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)‎ A．展开式中的二项式系数之和为1 024‎ B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 答案　C 解析　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D 10‎ 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．‎ ‎6．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)‎ A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 答案　A 解析　Cn3＝Cn7，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．‎ ‎7．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n展开式的各项系数和为(　　)‎ A．2n＋1 B．2n＋1＋1‎ C．2n＋1－1 D．2n＋1－2‎ 答案　C 解析　令x＝1得各项系数和为1＋2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－1.‎ ‎8．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)‎ A．45 B．55‎ C．70 D．80‎ 答案　C 解析　(1＋)5＝C50＋C51·＋C52()2＋C53()3＋C54()4＋C55()5＝41＋29＝a＋b，‎ ‎∴a＋b＝41＋29＝70.故选C.‎ ‎9．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．‎ 答案　120a 解析　Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1，∴2n－1＝512＝29，n＝10，∴T8＝C107a3()7＝120a.‎ ‎10．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．‎ 答案　1　64‎ 解析　令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1.各二项式系数之和为：C60＋C61＋C62＋…＋C66＝26＝64.‎ ‎11．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．‎ 答案　－256‎ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a5＝25，∴a0＋a2＋a4＝24，a1＋a3＋a5＝－24，∴(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－28＝－256.‎ ‎12．(x2＋x－1)9(2x＋1)4的展开式中所有x的奇次项的系数之和等于________，‎ 10‎ 所有x的偶次项的系数之和等于________．‎ 答案　41　40‎ 解析　设(x2＋x－1)9(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a22x22.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a22＝81；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a21＋a22＝－1，∴所有x的奇次项的系数之和等于[81－(－1)]＝41，所有x的偶次项的系数之和等于[81＋(－1)]＝40.‎ ‎13．已知(＋2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数．‎ 解析　由Cn0＋Cn1＋Cn2＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.(＋2x)8的展开式共有9项，其中T5＝C84()4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.‎ ‎14．(2015·三明高二期末质检)已知fn(x)＝(1＋ax)n，且f5(x)的展开式的各项系数的和是243，a∈R.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f4(x)＋2f5(x)，求g(x)中含x4的系数．‎ 解析　(1)由已知f5(x)＝(1＋ax)5，‎ 令x＝1，得f5(x)的展开式的各项系数的和为(1＋a)5，‎ 即(1＋a)5＝243，解得a＝2.‎ ‎(2)由题意可知，g(x)＝(1＋2x)4＋2(1＋2x)5.‎ 二项式(1＋2x)4展开式的通项Tk＋1＝C4k(2x)k，‎ 二项式(1＋2x)5展开式的通项Tk＋1＝C5k(2x)k，‎ 则g(x)中含x4的系数是C44×24＋2C54×24＝176.‎ ‎15．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，‎ 求下列各式的值．‎ ‎(1)a0；‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；‎ ‎(3)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.‎ 解析　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.‎ ‎(2)令x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)‎ 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.‎ ‎(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99]‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)‎ 10‎ ‎＝[(2－)(2＋)]100‎ ‎＝1100＝1.‎ ‎16．已知(x＋)n的展开式中前三项的系数成等差数列．‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(3)展开式中系数最大的项．‎ 解析　(1)由题设，(x＋)n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cnkxn－k()k＝()kCnkxn－k，‎ 故Cn0＋Cn2＝2×Cn1，即n2－9n＋8＝0.‎ 解得n＝8或n＝1(舍去)．‎ 所以n＝8.‎ ‎(2)展开式中二项式系数最大的为第5项，则T5＝()4C84x8－×4＝x2.‎ ‎(3)设第r＋1项的系数最大，则即 解得r＝2或r＝3.‎ 所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x.‎ ‎1．若n为正奇数，则7n＋Cn1·7n－1＋Cn2·7n－2＋…＋Cnn－1·7被9除所得的余数是(　　)‎ A．0 B．2‎ C．7 D．8‎ 答案　C ‎2．试判断7777－1能否被19整除？‎ 答案　能 ‎1．(2012·新课标全国Ⅰ)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种　　　　　　　　　 B．10种 C．9种 D．8种 10‎ 答案　A 解析　将4名学生均分为2个小组共有＝3种方法，‎ 将2个小组的同学分给两名教师带有A22＝2种分法，‎ 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22＝2种方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．‎ ‎2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)‎ A．232 B．252‎ C．472 D．484‎ 答案　C 解析　完成这件事可分为两类：第一类3张卡片颜色各不相同共有C43C41C41C41＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C31C31C42C41＝216种，由分类加法计数原理共有472种，故选C项．‎ ‎3．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ‎(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)3‎ C．(3！)4 D．9!‎ 答案　C 解析　完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A33种排法；第二步排列每个家庭的三个成员，共有A33A33A33种排法，由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33A33，故选C项．‎ ‎4．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 答案　C 解析　甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C32＝3种情况；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C42＝6种情况，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C项．‎ ‎5．(2012·大纲全国)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)‎ 10‎ A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 答案　C 解析　由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为A41，剩余5人进行全排列：A55，故总的情况有：A41·A55＝480种．故选C项．‎ ‎6．(2013·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　)‎ A．12种 B．24种 C．30种 D．36种 答案　B 解析　先从4人中选2人选修甲课程，有C42种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，则共有C42×22＝24种方法．‎ ‎7．(2014·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．30 B．20‎ C．15 D．10‎ 答案　C 解析　根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求出相应的系数．‎ 因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C6rxr，x(1＋1)6的展开式中含x3的项为C62x3＝15x3，所以系数为15.‎ ‎8．(2013·辽宁)使(3x－)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 答案　B 解析　Tr＋1＝Cnr(3x)n－r(－x)－r＝Cnr·3n－r·xn－r－r＝Cnr·3n－r·(－1)－r·xn－(r＝0，1，2，…，n)，若Tr＋1是常数项，则有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0，1，…，n)，当r＝0，1时，n＝0，，不满足条件；当r＝2时，n＝5，故选B.‎ ‎9．(2012·安徽)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．2 D．3‎ 答案　D 10‎ 解析　(－1)5的通项为Tr＋1＝C5r()5－r(－1)r＝(－1)rC5r.要使(x2＋2)(－1)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(－1)4×C54＋2×(－1)5×C55＝3.‎ ‎10．(2012·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．11 D．12‎ 答案　D 解析　∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其通项为Tr＋1＝C2 012r522 012－r·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余数为C2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 012＋12被13整除．‎ ‎11．(2013·重庆)(＋)8的展开式中常数项为(　　)‎ A. B. C. D．105‎ 答案　B 解析　二项式(＋)8的通项为Tr＋1＝C8r()8－r·(2)－r＝2－rC8rx，令8－2r＝0，得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2－4C84＝，故选B项．‎ ‎12．(2012·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)‎ A．80 B．40‎ C．20 D．10‎ 答案　B 解析　由二项式定理可知(1＋2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C5r15－r(2x)r＝C5r·2r·xr，令r＝2，得T3＝C52·22·x2＝40x2.∴x2的系数等于40.‎ ‎13．(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)‎ A．45 B．60‎ C．120 D．210‎ 答案　C 解析　利用二项式定理得到xmyn的系数，运用组合数公式计算．‎ 因为f(m，n)＝C6mC4n，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C63C40＋C62C41＋C61C42‎ 10‎ ‎＋C60C43＝120.‎ ‎14．(2015·新课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 答案　C 解析　易知Tr＋1＝C5r(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C52(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tr＋1＝C3t(x2)3－t·xt＝C3tx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为C52C31＝30.‎ ‎15．(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　B 解析　由题意得基本事件的总数为C152，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C101C51，所以所求概率P＝＝.‎ ‎16．(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212 B．211‎ C．210 D．29‎ 答案　D 解析　因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn3＝Cn7，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.‎ ‎17．(2013·广东)(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)‎ 答案　20‎ 解析　Tr＋1＝C6r·(x2)6－r·()r＝C6r·x12－3r，∴要求展开式中x3的系数，即12－3r＝3，∴r＝3，即T4＝C63·x3＝20x3.∴x3的系数为20.‎ ‎18．(2013·大纲全国)若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为______．‎ 答案　56‎ 解析　∵Cn2＝Cn6，∴n＝8.Tr＋1＝C8rx8－r()r＝C8rx8－2r.令8－2r＝－2，解得r＝5.∴ 10‎ 的系数为C85＝56.‎ ‎19．(2014·山东)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　本题利用二项式定理求出x3项的系数，从而求得ab的值，再应用基本不等式解决．‎ ‎(ax2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C6r(ax2)6－r·()r＝C6ra6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3.由C63a6－3b3＝20，得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值为2.‎ ‎20．(2015·新课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．‎ 答案　3‎ 解析　方法一　直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.‎ 方法二　(1＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝C4rxr，由题意可知，a(C41＋C43)＋C40＋C42＋C44＝32，解得a＝3.‎ ‎21．(2015·北京)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________．(用数字作答)‎ 答案　40‎ 解析　在(2＋x)5的展开式中，含x3的项为C5322x3＝40x3，所以x3系数为40.‎ ‎22．(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)‎ 答案　1 560‎ 解析　由题意得A402＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．‎ ‎23．(2015·安徽)(x3＋)7的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)‎ 答案　35‎ 解析　由题意知，展开式的通项为Tr＋1＝C7r(x3)7－r()r＝C7rx21－4r，令21－4r＝5，则r＝4，∴T5＝C74x5＝35x5，故x5的系数为35.‎ ‎24．(2015·天津)在(x－)6的展开式中，x2的系数为________．‎ 答案　 解析　二项式(x－)6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C6rx6－r·(－)rx－r＝C6r(－)rx6－2r，‎ 10‎ 令6－2r＝2，解得r＝2，故x2的系数为C62(－)2＝.‎ ‎25．(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 答案　 解析　从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为.‎ 10‎