高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（六）圆周角定理word版含解析 5页

课时跟踪检测(六) 圆周角定理 一、选择题 1．如图，△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则∠OCD 的度数是( ) A．40° B．25° C．50° D．60° 解析：选 A 连接 OB.因为∠A＝50°，所以 BC 弦所对的圆心角 ∠BOC＝100°，∠COD＝1 2 ∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝ 90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°. 2．如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，∠BCD＝25°， 则下列结论错误的是( ) A．AE＝BE B．OE＝DE C．∠AOD＝50° D．D 是 »AB 的中点 解析：选 B 因为 CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD， 所以 ¼AD ＝ »BD ，AE＝BE. 因为∠BCD＝25°， 所以∠AOD＝2∠BCD＝50°， 故 A、C、D 项结论正确，选 B. 3．Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2 3，则此三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B．2 C．2 3 D．4 解析：选 B 由推论 2 知 AB 为 Rt△ABC 的外接圆的直径，又 AB＝ 2 3 cos 30° ＝4，故外 接圆半径 r＝1 2AB＝2. 4．如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD，BC 相交于点 P，若 CD＝3，AB＝4，则 tan ∠BPD 等于( ) A.3 4 B.4 3 C.5 3 D. 7 3 解析：选 D 连接 BD，则∠BDP＝90°. ∵△CPD∽△APB，∴CD AB ＝PD PB ＝3 4. 在 Rt△BPD 中，cos ∠BPD＝PD PB ＝3 4 ， ∴tan ∠BPD＝ 7 3 . 二、填空题 5．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________. 解析：AB 是⊙O 的直径，所以弧 ACB 的度数为 180 °，它所对的圆周角 为 90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°. 答案：22° 6．如图，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC＝4，AD⊥BC， 垂足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为______． 解析：如图，连接 AB，AC， 由 A，E 为半圆周上的三等分点， 得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°， ∠ACB＝30°. 由 BC＝4， 得 AB＝2，AD＝ 3，BD＝1， 则 DF＝ 3 3 ，故 AF＝2 3 3 . 答案：2 3 3 7．如图所示，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，AB＝AC＝6，弦 AE 交 BC 于点 D，若 AD＝4，则 AE＝________. 解析：连接 CE，则∠AEC＝∠ABC. 又△ABC 中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴AD AC ＝AC AE ， ∴AE＝AC2 AD ＝9. 答案：9 三、解答题 8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 N，点 M 在⊙O 上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥MD； (2)若 BC＝4，sin M＝2 3 ，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角， 所以∠C＝∠M. 又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M， 所以 CB∥MD(内错角相等，两直线平行)． (2)由 sin M＝2 3 知，sin C＝2 3 ， 所以BN BC ＝2 3 ，BN＝2 3 ×4＝8 3. 由射影定理得：BC2＝BN·AB，则 AB＝6. 所以⊙O 的直径为 6. 9.如图，已知△ABC 内接于圆，D 为 »BC 的中点，连接 AD 交 BC 于点 E. 求证：(1)AE EC ＝BE ED ； (2)AB·AC＝AE2＋EB·EC. 证明：(1)连接 CD. ∵∠1＝∠3，∠4＝∠5， ∴△ABE∽△CDE.∴AE EC ＝BE ED. (2)连接 BD. ∵AE EC ＝BE DE ， ∴AE·DE＝BE·EC. ∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE ＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.① 在△ABD 与△AEC 中，∵D 为 »BC 的中点， ∴∠1＝∠2. 又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB， ∴△ABD∽△AEC.∴AB AE ＝AD AC ， 即 AB·AC＝AD·AE② 由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC. 10.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交 于点 I，延长 AI 交⊙O 于点 D，连接 BD，DC. (1)求证：BD＝DC＝DI； (2)若⊙O 的半径为 10 cm，∠BAC＝120°，求△BCD 的面积． 解：(1)证明：因为 AI 平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠DAC， 所以 »BD ＝ ¼DC ，所以 BD＝DC. 因为 BI 平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI， 因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， 所以∠BAD＝∠DBC. 又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI， ∠DIB＝∠ABI＋∠BAD， 所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI 为等腰三角形， 所以 BD＝ID，所以 BD＝DC＝DI. (2)当∠BAC＝120°时， △ABC 为钝角三角形， 所以圆心 O 在△ABC 外． 连接 OB，OD，OC， 则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD ＝120°， 所以∠DBC＝∠DCB＝60°， 所以△BDC 为正三角形． 所以 OB 是∠DBC 的平分线． 延长 CO 交 BD 于点 E，则 OE⊥BD， 所以 BE＝1 2BD. 又因为 OB＝10， 所以 BC＝BD＝2OBcos 30°＝2×10× 3 2 ＝10 3， 所以 CE＝BC·sin 60°＝10 3× 3 2 ＝15， 所以 S△BCD＝1 2BD·CE＝1 2 ×10 3×15＝75 3. 所以△BCD 的面积为 75 3.