2020高中数学函数的概念 6页

‎1.2.1　‎函数的概念 学习目标：1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．函数的概念 定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么对称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}‎ 思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？‎ ‎(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？‎ ‎[提示]　(1)这种看法不对．‎ 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．‎ ‎(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．‎ ‎2．区间及有关概念 ‎(1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a0得x>－1.‎ 所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]‎ ‎3．若f(x)＝，则f(3)＝________. ‎ ‎【导学号：37102085】‎ ‎－　[f(3)＝＝－.]‎ ‎4．集合{x|x≤－2}用区间可表示为________．‎ ‎(－∞，－2]　[{x|x≤－2}表示小于等于－2的数组成的集合，即用区间表示为(－∞，－2]．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 函数的概念 ‎　(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．‎ ‎①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；‎ ‎②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；‎ ‎③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；‎ ‎④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．‎ ‎(2)下列各组函数是同一函数的是(　　)‎ ‎①f(x)＝与g(x)＝x；‎ ‎②f(x)＝x与g(x)＝；‎ - 6 -‎ ‎③f(x)＝x0与g(x)＝；‎ ‎④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.‎ A．①②　　　　　　　 B．①③‎ C．③④ D．①④‎ ‎[解]　(1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．‎ ‎②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．‎ ‎③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．‎ ‎④集合A不是数集，故不是函数．‎ ‎(2)C　[①f(x)＝＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．‎ ‎②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．‎ ‎③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．‎ ‎④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．‎ 由上可知是同一函数的是③④.‎ 故选C.]‎ ‎[规律方法]　判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集.‎ (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.,对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系 ‎[跟踪训练]‎ ‎1．下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)‎ ‎【导学号：37102086】‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D B　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]‎ - 6 -‎ 求函数值 ‎　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，‎ ‎(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．‎ ‎(2)求g(f(x))．‎ 思路探究：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；‎ ‎(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2，‎ 所以f(2)＝2×22＋2＝10，‎ f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝‎2a2＋‎12a＋20.因为g(x)＝，‎ 所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．‎ g(f(2))＝g(10)＝＝.‎ ‎(2)g(f(x))＝＝＝.‎ ‎[规律方法]　‎ 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.‎ (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(‎2a－1)和f(f(－1))的值. ‎ ‎【导学号：37102087】‎ ‎[解]　f(1)＝13＋2×1＋3＝6；‎ f(t)＝t3＋2t＋3；‎ f(‎2a－1)＝(‎2a－1)3＋2(‎2a－1)＋3＝‎8a3－‎12a2＋‎10a；‎ f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.‎ 求函数的定义域 ‎[探究问题]‎ ‎1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？‎ 提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．‎ ‎2．若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？‎ 提示：函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．‎ - 6 -‎ ‎3．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？‎ 提示：[1,2]是自变量x的取值范围．‎ 函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．‎ ‎　求下列函数的定义域 ‎(1)f(x)＝2＋；‎ ‎(2)f(x)＝(x－1)0＋；‎ ‎(3)f(x)＝·；‎ ‎(4)f(x)＝－.‎ 思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．‎ ‎[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，‎ 函数y＝2＋有意义，‎ 所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．‎ ‎(2)函数有意义，当且仅当 解得x>－1且x≠1，‎ 所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．‎ ‎(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，‎ 所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．‎ ‎(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，‎ 即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．‎ 母题探究：1.(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．‎ ‎[解]　由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.‎ 所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．‎ ‎2．(变化论)在本例(3)条件不变的前题下，求函数y＝f(x＋1)＋的定义域．‎ ‎[解]　由，得1≤x≤2.‎ ‎∴函数的定义域为[1,2]．‎ ‎[规律方法]　求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.‎ (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.‎ (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.‎ (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.‎ (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.‎ - 6 -‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知函数f(x)＝，则f＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C．a D．‎‎3a D　[f＝‎3a，故选D.]‎ ‎2．下列表示的是y关于x的函数的是(　　)‎ ‎【导学号：37102088】‎ A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x|‎ A　[结合函数的定义可知A正确，选A.]‎ ‎3．下列函数中，与函数y＝x相等的是(　　)‎ A．y＝()2 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D.]‎ ‎4．将函数y＝的定义域用区间表示为________．‎ ‎(－∞，0)∪(0,1]　[由 解得x≤1且x≠0，‎ 用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]‎ ‎5．已知函数f(x)＝x＋，‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(－1)，f(2)的值；‎ ‎(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值. ‎ ‎【导学号：37102089】‎ ‎[解]　(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，‎ ‎∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.‎ ‎(3)当a≠－1时，a＋1≠0，‎ ‎∴f(a＋1)＝a＋1＋.‎ - 6 -‎