高中数学人教a版选修4-1阶段质量检测（二）a卷word版含解析 7页

阶段质量检测(二) A 卷 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．在⊙O 中，∠AOB＝84°，则弦 AB 所对的圆周角是( ) A．42° B．138° C．84° D．42°或 138° 答案：D 2.如图，在⊙O 中，弦 AB 长等于半径，E 为 BA 延长线上一点，∠DAE ＝80°，则∠ACD 的度数是( ) A．60° B．50° C．45° D．30° 解析：选 B ∠BCD＝∠DAE＝80°， 在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝1 2AC， ∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°. 3．如图所示，在半径为 2 cm 的⊙O 内有长为 2 3 cm 的弦 AB.则此弦所 对的圆心角∠AOB 为( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：选 C 作 OC⊥AB 于 C，则 BC＝ 3， 在 Rt△BOC 中，cos ∠B＝BO OB ＝ 3 2 . ∴∠B＝30°. ∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°. 4.如图，已知⊙O 的半径为 5，两弦 AB，CD 相交于 AB 的中点 E，且 AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦 CD 的距离为( ) A.2 14 3 B.28 9 C.2 7 3 D.80 9 解析：选 A 过 O 作 OH⊥CD，连接 OD， 则 DH＝1 2CD. 由相交弦定理知， AE·BE＝CE·DE. 设 CE＝4x，则 DE＝9x， ∴4×4＝4x×9x，解得 x＝2 3 ， ∴OH＝ OD2－DH2＝ 52－ 13 3 2＝2 14 3 . 5.如图，PA 切⊙O 于 A，PBC 是⊙O 的割线，且 PB＝BC，PA＝3 2， 那么 BC 的长为( ) A. 3 B．2 3 C．3 D．3 3 解析：选 C 根据切割线定理 PA2＝PB·PC， 所以(3 2)2＝2PB2.所以 PB＝3＝BC. 6．两个同心圆的半径分别为 3 cm 和 6 cm，作大圆的弦 MN＝6 3 cm，则 MN 与小圆 的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：选 A 作 OA⊥MN 于 A.连接 OM. 则 MA＝1 2MN＝3 3. 在 Rt△OMA 中， OA＝ OM2－AM2＝3 cm. ∴MN 与小圆相切． 7.如图，⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E，AC 和 BD 的延长线相交 于点 P，连接 AB，CD，下面结论： ①PA·PC＝PD·PB； ②PC·CA＝PB·BD； ③CE·CD＝BE·BA； ④PA·CD＝PD·AB. 其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 A 根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确． 8．已知⊙O 的两条弦 AB，CD 交于点 P，若 PA＝8 cm，PB＝18 cm，则 CD 的长的最 小值为( ) A．25 cm B．24 cm C．20 cm D．12 cm 解析：选 B 设 CD＝a cm，CD 被 P 分成的两段中一段长 x cm，另一段长为(a－x) cm. 则 x(a－x)＝8×18，即 8×18≤ x＋a－x 2 2＝1 4a2. 所以 a2≥576＝242，即 a≥24. 当且仅当 x＝a－x，即 x＝1 2a＝12 时等号成立． 所以 CD 的长的最小值为 24 cm. 9．如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，连接 AC，BC，AB＝10， tan ∠BAC＝3 4 ，则阴影部分的面积为( ) A.25 2 π B.25 2 π－24 C．24 D.25 2 π＋24 解析：选 B ∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°， ∵tan ∠BAC＝3 4 ， ∴sin ∠BAC＝3 5. 又∵sin ∠BAC＝BC AB ，AB＝10， ∴BC＝3 5 ×10＝6. AC＝4 3 ×BC＝4 3 ×6＝8， ∴S 阴影＝S 半圆－S△ABC＝1 2 ×π×52－1 2 ×8×6＝25 2 π－24. 10．(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线 交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA； ③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( ) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 解析：选 D 由弦切角定理可得∠DBF＝∠DAB，又∠CBD＝∠CAD＝∠DAB，所以 ∠DBF＝∠CBD，即 BD 是∠CBF 的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由 相交弦定理可得AE CE ＝BE DE ，所以③错误；因为△ABF∽△BDF，所以AB AF ＝BD BF ，即 AF·BD＝ AB·BF，所以④正确．故正确结论的序号是①②④. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在题中的横线上) 11.如图所示，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 与 AB 相交于点 E，∠ACD ＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________. 解析：如图，连接 BC.根据圆周角定理的推论 1，可知∠ACB＝90°. ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCB＝30°， »BD 的度数＝60°. ∵∠ADC＝45°，∴ ¼AC 的度数＝90°. ∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝1 2( »BD ＋ ¼AC )的度数＝75°. 答案：75° 12．如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF⊥DB，垂足为 F，若 AB ＝6，AE＝1，则 DF·DB＝________. 解析：由相交弦定理可知 ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得 DF·DB＝ED2＝5. 答案：5 13．如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 P 的割线与弦 AC 交于点 B， 与⊙O 交于 D，E 两点，且 PA＝PB＝BC，若 PD＝4，DE＝21，则 AB ＝________. 解析：由切割线定理知 PA2＝PD·PE＝4×25＝100， ∴PA＝10， ∴BD＝PB－PD＝PA－PD＝10－4＝6， BE＝DE－BD＝21－6＝15， 又 AB·BC＝BE·BD，BC＝PA＝10， ∴AB＝BE·BD BC ＝15×6 10 ＝9. 答案：9 14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝72°，圆 E 过 A，B 两点且与 BC 相切于点 B，与 AC 交于点 D，连接 BD，若 BC＝ 5－1，则 AC＝________. 解析：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝72°， 则∠BAC＝36°. ∵BC 切圆 E 于点 B，∴∠CBD＝∠BAC＝36°， ∴∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC，∴AD＝BD＝BC＝ 5－1， 设 CD＝x，由切割线定理得 BC2＝CD·AC， 即( 5－1)2＝x·(x＋ 5－1)， 即 x2＋( 5－1)x－( 5－1)2＝0， 由于 x>0，解得 x＝3－ 5， ∴AC＝CD＋AD＝(3－ 5)＋( 5－1)＝2. 答案：2 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15．(本小题满分 12 分)如图，E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点，过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG，G 为切点，已知 EF＝FG. 求证：(1)△DEF ∽△EAF； (2)EF∥CB. 证明：(1)由切割线定理得 FG2＝FA·FD. 又 EF＝FG，所以 EF2＝FA·FD， 即EF FA ＝FD EF. 因为∠EFA＝∠DFE， 所以△DEF ∽△EAF. (2)由(1)得∠FED＝∠FAE. 因为∠FAE＝∠DCB， 所以∠FED＝∠BCD，所以 EF∥CB. 16．(本小题满分 12 分)(江苏高考)如图，AB 是圆 O 的直径，C， D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点． 证明：∠OCB＝∠D. 证明：因为 B，C 是圆 O 上的两点， 所以 OB＝OC. 故∠OCB＝∠B. 又因为 C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点， 故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B＝∠D. 因此∠OCB＝∠D. 17．(本小题满分 12 分)如图，AF 是⊙O 的直径，以 OA 为直径的 ⊙C 与⊙O 的弦 AB 相交于点 D，DE⊥OB，垂足为 E. 求证：(1)D 是 AB 的中点； (2)DE 是⊙C 的切线； (3)BE·BF＝2AD·ED. 证明：(1)连接 OD. ∵OA 为⊙C 的直径， ∴OD⊥AB. 又∵OD 过⊙O 的圆心， ∴D 为 AB 的中点． (2)连接 CD. ∵C 为 OA 的中点， D 为 AB 的中点， ∴CD∥OB. 又∵DE⊥OB， ∴CD⊥DE，即 DE 为⊙C 的切线． (3)∵AF 为⊙O 的直径， ∴∠ABF＝90°. ∵DE⊥OB， ∴∠BED＝90°. ∴∠ABF＝∠BED. 又∵OA＝OB， ∴∠BAF＝∠EBD. ∴△ABF∽△BED. ∴AB BE ＝BF ED ，即 BE·BF＝AB·ED. 又 AB＝2AD， ∴BE·BF＝2AD·ED. 18．(本小题满分 14 分)如图，已知 AP 是⊙O 的切线，P 为 切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于 B，C 两点，圆心 O 在∠PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点． (1)证明：A，P，O，M 四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM 的大小． 解：(1)证明：如图，连接 OP，OM. ∵AP 与⊙O 相切于点 P， ∴OP⊥AP. ∵M 是⊙O 的弦 BC 的中点， ∴OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部， 可知四边形 APOM 的对角互补， ∴A，P，O，M 四点共圆． (2)由(1)得 A，P，O，M 四点共圆， ∴∠OAM＝∠OPM. 由(1)得 OP⊥AP. 由圆心 O 在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°. ∴∠OAM＋∠APM＝90°.