高中数学人教a版必修四课时训练：3-1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3-1-2（一） word版含答案 5页

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活 运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明． 1．两角和与差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝__________________. C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________. 2．两角和与差的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________. S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________. 3．两角互余或互补 (1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π 4 －α与__________互 余，π 6 ＋α与________互余． (2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π 4 ＋α与______________ 互补，____________与2 3π－α互补． 一、选择题 1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A.1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A．－ 3 2 B．－1 2 C.1 2 D. 3 2 3．若锐角α、β满足 cos α＝4 5 ，cos(α＋β)＝3 5 ，则 sin β的值是( ) A.17 25 B.3 5 C. 7 25 D.1 5 4．已知 cos αcos β－sin αsin β＝0，那么 sin αcos β＋cos αsin β的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．±1 5．若函数 f(x)＝(1＋ 3tan x)cos x,0≤x<π 2 ，则 f(x)的最大值为( ) A．1 B．2 C．1＋ 3 D．2＋ 3 6．在三角形 ABC 中，三内角分别是 A、B、C，若 sin C＝2cos Asin B，则三角形 ABC 一定 是( ) A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．化简 sin π 6 ＋α ＋cos π 3 ＋α 的结果是________． 8．函数 f(x)＝sin x－cos x 的最大值为________． 9．已知 sin(α＋β)＝2 3 ，sin(α－β)＝1 5 ，则tan α tan β 的值是__________． 10．式子sin 68°－cos 60°sin 8° cos 68°＋sin 60°sin 8° 的值是________． 三、解答题 11．已知π 2<β<α<3π 4 ，cos(α－β)＝12 13 ，sin(α＋β)＝－3 5 ，求 sin 2α的值． 12．证明：sin2α＋β sin α －2cos(α＋β)＝sin β sin α. 能力提升 13．已知 sin α＋cos α－π 6 ＝4 3 5 ，则 sin α＋7π 6 的值是________． 14．求函数 f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R 的最值及取到最值时 x 的值． 1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例 如：sin 3π 2 －α ＝sin 3π 2 cos α－cos 3π 2 sin α＝－cos α. 2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋ β)时，不要将 cos(α＋β)和 sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β) －cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角 与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解． 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 答案 知识梳理 1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β 2．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 3．(1)π 2 π 4 ＋α π 3 －α (2)π 3 4π－α α＋π 3 作业设计 1．A 2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－1 2.] 3．C [∵cos α＝4 5 ，cos(α＋β)＝3 5 ， ∴sin α＝3 5 ，sin(α＋β)＝4 5. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝4 5 ×4 5 －3 5 ×3 5 ＝ 7 25.] 4．D [cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.] 5．B [f(x)＝(1＋ 3tan x)cos x＝cos x＋ 3sin x＝2(1 2cos x＋ 3 2 sin x)＝2sin(x＋π 6)， ∵0≤x<π 2 ， ∴π 6 ≤x＋π 6<2π 3 . ∴f(x)max＝2.] 6．C [∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B ∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.] 7．cos α 解析 原式＝sin π 6cos α＋cos π 6sin α＋cos π 3cos α－sin π 3sin α＝cos α. 8. 2 解析 f(x)＝sin x－cos x＝ 2 2 2 sin x－ 2 2 cos x ＝ 2 sin xcos π 4 －cos xsin π 4 ＝ 2sin x－π 4 . 9.13 7 解析 sinα＋β＝sin αcos β＋cos αsin β＝2 3 ， sinα－β＝sin αcos β－cos αsin β＝1 5 ， ∴ sin αcos β＝13 30 cos αsin β＝ 7 30 ， ∴tan α tan β ＝sin αcos β cos αsin β ＝13 7 . 10. 3 解析 原式＝sin60°＋8°－cos 60°sin 8° cos60°＋8°＋sin 60°sin 8° ＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°－cos 60°sin 8° cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°＋sin 60°sin 8° ＝sin 60°cos 8° cos 60°cos 8° ＝tan 60°＝ 3. 11．解 因为π 2<β<α<3π 4 ， 所以 0<α－β<π 4 ， π<α＋β<3π 2 . 又 cos(α－β)＝12 13 ，sin(α＋β)＝－3 5 ， 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－ 12 13 2＝ 5 13 ， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－ 1－ －3 5 2＝－4 5. 所以 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝ 5 13 × －4 5 ＋12 13 × －3 5 ＝－56 65. 12．证明 sin2α＋β sin α －2cos(α＋β) ＝sin2α＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋β＋α]－2sin αcosα＋β sin α ＝sinα＋βcos α＋cosα＋βsin α－2sin αcosα＋β sin α ＝sinα＋βcos α－cosα＋βsin α sin α ＝sin β sin α. 13．－4 5 解析 sin α＋cos α－π 6 ＝sin α＋cos αcos π 6 ＋sin αsin π 6 ＝3 2sin α＋ 3 2 cos α ＝ 3 3 2 sin α＋1 2cos α ＝ 3 sin αcos π 6 ＋cos αsin π 6 ＝ 3sin α＋π 6 ＝4 3 5 . ∴sin α＋π 6 ＝4 5. ∴sin α＋7π 6 ＝－sin α＋π 6 ＝－4 5. 14．解 设 sin x＋cos x＝t， 则 t＝sin x＋cos x＝ 2 2 2 sin x＋ 2 2 cos x ＝ 2sin x＋π 4 ， ∴t∈[－ 2， 2]， ∴sin x·cos x＝sin x＋cos x2－1 2 ＝t2－1 2 . ∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x 即 g(t)＝t＋t2－1 2 ＝1 2(t＋1)2－1，t∈[－ 2， 2]． 当 t＝－1，即 sin x＋cos x＝－1 时，f(x)min＝－1. 此时，由 sin x＋π 4 ＝－ 2 2 ， 解得 x＝2kπ－π或 x＝2kπ－π 2 ，k∈Z. 当 t＝ 2，即 sin x＋cos x＝ 2时，f(x)max＝ 2＋1 2. 此时，由 2sin x＋π 4 ＝ 2，sin x＋π 4 ＝1. 解得 x＝2kπ＋π 4 ，k∈Z. 综上，当 x＝2kπ－π或 x＝2kπ－π 2 ，k∈Z 时，f(x)取最小值且 f(x)min＝－1；当 x＝2kπ＋π 4 ，k ∈Z 时，f(x)取得最大值，f(x)max＝ 2＋1 2.