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- 2021-06-10 发布
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2016—2017 学年度下学期第一次阶段性考试
高二数学(文)试卷
一、选择题
1.给出下列四个命题,其中正确的是
①空间四点共面,则其中必有三点共线;
②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;
③空间四点中存在三点共线,则此四点共面;
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面
A.②③ B.①②③ C.①② D.②③④
2.过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是
A.三角形 B.三角形或梯形
C.不是梯形的四边形 D.梯形
3.已知 a 、b 是异面直线, a 平面 ,b 平面 ,则 、 的位置关系是
A.相交 B.平行 C.重合 D.不能确定
4.如图所示,正方形 O′A′B′C′的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形
的周长是
A.6 B.8
C.2+3 2 D.2+2 3
5.设 a,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则
A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,a∥β,则α∥β
C.若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α D.若 a∥α,α⊥β,
则α⊥β
6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅制
造一种标准量器﹣商鞅铜方升,其三视图(单位:寸)如图所
示,若π取 3,其体积为 12.6(立方寸),则图中 x 的为
A.2.5 B.3 C.3.2 D.4
7.已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形, PA 平面 ABC .则下列结论不正确...的是
A. //CD 平面 PAF B. DF 平面 PAF
C. //CF 平面 PAB D. CF 平面 PAD
8.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图
面积为
A. 3
2
B. 3
4
C.1 D. 1
2
9.在梯形 ABCD 中,∠ABC=π
2
,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2。将梯
形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A.2π
3
B.4π
3
C.5π
3
D.2π
10.正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2,截面 AB1C1D 与底面 ABCD 所成二面角
的正切值为 2,则 B1 点到平面 AD1C 的距离为
A. 8
3
B. 2 2
3
C. 4 2
3
D. 4
3
11.如图,点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C,D 的动点,将△ADE 沿 AE 翻折成△SAE,使得平面
SAE⊥平面 ABCE,则下列说法中正确的有
①存在点 E 使得直线 SA⊥平面 SBC; ②平面 SBC 内存在直线与 SA 平行
③平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行; ④存在点 E 使得 SE⊥BA.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
12 . 如 图 , 已 知 正 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 棱 长 为 1, 动 点 P 在 此 正 方 体 的 表 面 上 运 动 , 且
(0 3)PA x x ,记点 P 的轨迹的长度为 ( )f x ,则函数 ( )f x 的图像可
能是
二、填空题
13.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是∠ABC 为直角的等腰
直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,
当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF.
14. 如 图 , 三 棱 锥 S-ABC 中 , SA=AB=AC=2 ,
30ASB BSC CSA ,M、N 分别为 SB、SC 上的点,则△AMN
周长最小值为 .
15. 已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长取最小值时,沿对角线 AC 把 ACD 折起,则三棱锥
D ABC 的外接球的表面积为 。
16.空间中任意放置的棱长为 2 的正四面体 ABCD.下列命题正确的是_________.(写出所有正确
的命题的编号)
①正四面体 ABCD的主视图面积可能是 2 ;
②正四面体 ABCD的主视图面积可能是
3
62 ;
③正四面体 ABCD的主视图面积可能是 3 ;
④正四面体 ABCD的主视图面积可能是 2
⑤正四面体 ABCD的主视图面积可能是 4 .
A
B
C
S
N
M
第 14 题
三、解答题
17(本小题满分 10 分)
如图,正四棱锥 P﹣ABCD 中底面边长为 2 ,侧棱 PA 与底面 ABCD
所成角的正切值为 .
(I)求正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球半径;
(II)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值.
18(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ACC1A1⊥侧面 ABB1A1,
∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=1.
(Ⅰ)求证:A1B1⊥B1C1;
(Ⅱ)求三棱锥 ABC﹣A1B1C1 的侧面积.
19.(本题满分 12 分)
如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AB=AC=2, .
(Ⅰ)求证:平面 PCD⊥平面 PAC;
(Ⅱ)如果 M 是棱PD 上的点,N 是棱 AB 上一点,AN=2NB,且三
棱锥 N﹣BMC 的体积为 ,求 的值.
20(本小题满分 12 分)
如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, ,O 为 AD 上一点,且 AO=1,平面外
两点 P,E 满足 ,AE=1,EA⊥平面 ABCD,PO∥EA.
(I)证明:BE∥平面 PCD.
(II)求该几何体的体积.
21(本小题满分 12 分)
曲线 1C 上任意一点 M 满足 4|||| 21 MFMF , 其中 F 1 (- ),0,3 F 2 ( ),0,3 抛物线 2C 的焦
点是直线 y=x-1 与 x 轴的交点, 顶点为原点 O.
(I)求 1C , 2C 的标准方程;
(II)请 问是否存在直线 l 满足条件:① 过 2C 的焦点 F ;② 与 1C 交于不同两点 M , N ,
且满足 ONOM ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
22.(本题满分 12 分)已知函数 ln .x kf x k Rx x
(1)若曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线斜率为 10,求函数 f x 的最大值;
(2)若不等式 2 1 01x f x x
与 2 21 2 72
xk x e x e 在 1, 上均恒成立,求实
数 k 的取值范围.
2016—2017 学年度下学期第一次阶段性考试
高二数学(文)试卷
1-12 ABABC BDBCA AB
13.a 或 2a
14. 2 2
15.16
16.①②③④
【解析】对于四面体 ABCD,如下图:
当光线垂直于底面 BCD 时,主视图为 BCD ,其面积为 1 2 3= 32
,③正确;
当光线平行于底面 BCD ,沿CO 方向时,主视图为以 BD 为底,正四面体的高 AO 为高的三角形,
则其面积为 2 21 3 2 62 2 (2 )2 3 3
,②正确;
当 光 线 平 行 于 底 面 BCD , 沿 CD 方 向 时 , 主 视 图 为 图 中 △ ABE , 则 其 面 积 为
2 21 3 32 2 (2 ) 22 2 3
,①正确;
将正四面体放入正方体中,如上右图,光线垂直于正方体正对我们的面时,主视图是正方形,其面
积为 2 2 2 ,并且此时主视图面积最大,故④正确,⑤不正确.
17.【解答】解:(1)连结 AC,BD 交于点 O,连结 PO,则 PO⊥面 ABCD,
∴∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角,
∴tan∠PAO= . 又 AB=2 ,则 PO=AO•tan∠PAO= .
设 F 为外接球球心,连 FA, 易知 FA=FP,设 FO=x,则 x2+4=( ﹣x)2, ∴x= ,
∴正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球半径为 ;
(2)连结 EO,由于 O 为 BD 中点,E 为 PD 中点,所以 EO .
∴∠AEO 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角.
在 Rt△POD 中, . ∴ .
由 AO⊥BD,AO⊥PO 可知 AO⊥面 PBD. 所以 AO⊥EO,
在 Rt△OAE 中,tan∠AEO= = = ,
即异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值为 .
18.【解答】证明:(Ⅰ)取 AA1 中点 O,连结 OC1,AC1,
∵AA1=AC=A1C1=4,∠C1A1A=60°,∴△AC1A1 为正三角形,
∴OC1⊥AA1,OC1=2 ,
又侧面 ACC1A1⊥侧面 ABB1A1,面 ACC1A1∩面 ABB1A1=AA1,OC1⊂面 ACC1A1,
∴OC1⊥平面 ABB1A1,
又 A1B1⊂平面 ABB1A1,∴OC1⊥A1B1,
在△OA 1B1 中,∵∠OA1B1=60°,A1B1=AB=1,OA1=2,
∴ =1+4﹣2×1×2×cos60°=3,解得 OB1= ,
∴OA1
2=OB1
2+ ,∴A1B1⊥OB1,
又 OB1∩OC1=O,OB1⊂平面 OB1C1,OC1⊂平面 OB1C1,
∴A1B1⊥平面 OB1C1,
∵B1C1⊂平面 OB1C1,∴A1B1⊥B1C1.
解:(Ⅱ)依题意, =8 ,
在平行四边形 ABB1A1 中,过 B1 作 B1E⊥1 于点 E,
过 O 作 OF⊥BB1 于点 F,则 OFB1E 为矩形,∴OF=B1E,
由(1)知 OC1⊥平面 ABB1A1,BB1⊂平面 ABB1A1,
∴BB1⊥OC1,
∵BB1⊥OF,OC1∩OF=O,OC1⊂平面 OC1F,OF⊂平面 OC1F,
∴BB1⊥平面 OC1F,∵C1F⊂平面 OC1F,
∴C1F⊥BB1,
∵ ,
在 Rt△OC1F 中,OC1=2 ,OF=B1E= ,
∴C1F= = ,
∴ =BB1× ,
∴ 三 棱 锥 ABC ﹣ A1B1C1 的 侧 面 积
S=2 = .
19.【解答】证明:(Ⅰ)连结 AC,在△ABC 中,AB=AC=2, ,
∴BC2=AB2+AC2,则 AB⊥AC. ∵AB∥CD,∴AC⊥CD.
又∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD, ∵AC∩PA=A,∴CD⊥平面 PAC,
∵CD⊆面 PCD,∴平面 PCD⊥平面 PAC;
解:(Ⅱ)设 M 点到面 ABCD 的距离为 d,
则 .
由 VN﹣BMC=VM﹣BNC= = ,
得 .
∵ ,
∴ .
20.【分析】(1)在平面 PCD 内作直线 FC,利用直线与平面平行的判定定理证明 BE∥平面 PCD.
(2)分割几何体为两个棱锥,利用已知数据即可求该几何体的体积.
【解答】解:(1)作 EF∥AD,交 PD 于 F,连结 FC,OB,作 FG∥EA,交 AD 于 G,连结 GC,
∵AD∥BC, ,EF∥AD,
∴AEFG 是矩形,∵BC AG,∴EF BC,
∴BCFE 是平行四边形,BE∥CF,CF⊂面 PCD,BE⊄ 面 PCD,
∴BE∥平面 PCD.
(2)由题意,几何体看作 P﹣BCDO,B﹣POAE 两个棱锥的体积的和,
∵EA⊥平面 ABCD,PO∥EA,∴PO⊥平面 ABCD,
∵AO=1,平面外两点 P,E 满足 ,AE=1,等腰梯形 ABCD 中 ,
AD∥BC, ,
∴BO⊥平面 PEAO,
∴ 几 何 体 的 体 积 为 : VP ﹣ BCDO+VB ﹣
POAE= = .
21.解:(1) 1C 的方程为: 14
2
2
yx , 2C 的方程为: xy 42 。
(2)假设存在这样的直线l ,设其方程为 myx 1 ,两交点坐标为 ),(),,( 2211 yxNyxM ,
由
14
1
2
2
yx
myx
消去 x ,得 0324 22 myym ,
,
4
3,
4
2
221221
m
yy
m
myy ①
21
2
212121 111 yymyymmymyxx
4
44
4
3
4
21 2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
mm ,②
ONOM , ,0,0 2121 yyxxONOM ③
将①②代入③得, ,0
4
3
4
44
22
2
mm
m 解得
2
1m
所以假设成立,即存在直线l 满足条件,且l 的方程为 22 xy 或 22 xy .
22.
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