河北省保定市 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 文 13页

河北省保定市 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 文 考试时间 120 分钟、分值 150 分 一、选择题（共 22 小题，每题 4 分，共 88 分） 1．已知复数 4 3 23 4 iz i   ，（i 为虚数单位），则 z 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．曲线的极坐标方程  sin4 化为直角坐标方程为（ ） A. 4)2( 22  yx B. 4)2( 22  yx C. 4)2( 22  yx D. 4)2( 22  yx 3．若大前提是：任何实数的平方都大于 0 ，小前提是： a R ，结论是： 2 0a  ，那么这个演绎推 理出错在（ ） A．大前提 B．小前提 C. 推理过程 D．没有出错 4．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨）标准煤 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 0.7 0.35y x  ，则表中 m 的值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 A. 4 B. 3 C. 3.5 D. 4.5 5．已知复数 2 1 2 (1 ) iz i    ， z 为 z 的共轭复数，则 z =（ ） A. 3 1 4 4 i  B. 1 3 4 4 i  C. 11 2 i  D. 11 2 i  6．圆 5cos 5 3sin    的圆心是（ ） A． 4( 5, )3   B． ( 5, )3  C． (5, )3  D． 5( 5, )3  7． i 为虚数单位，若 ( 3 ) 3i z i   ，则| |z  （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 8．设某大学的女生体重 y (单位： kg )与身高 x (单位： cm )具有线性相关关系，根据一组样本数 据 ( , )i ix y ( 1,2, , )i n  ，用最小二乘法建立的回归方程为 ˆ 0.85 85.71y x  ，则下列结论中不正 确的是（ ） A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 ( , )x y C. 若该大学某女生身高增加 1 cm ，则其体重约增加 0.85 kg D. 若该大学某女生身高增加为 170 cm ，则可断定其体重必为 58.79 kg 9．下列说法正确的个数有 ①用           n i i n i ii yy yy R 1 2 1 2 2 ˆ 1 刻画回归效果,当 2R 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好； ②可导函数  xf 在 0xx  处取得极值，则   00  xf ； ③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 由上表求得回归方程 9.4 9.1y x    ，当广告费用为 3 万元时销售额为（ ） A．39 万元 B．38 万元 C．38.5 万元 D．37.3 万元 11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四 人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于 60 度 B．假设三内角都大于 60 度 C．假设三内角至多有一个大于 60 度 D．假设三内角至多有两个大于 60 度 13．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某种运动，得到如下的列联表： 由公式 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      算得： 2 7.8K  附表： 参照附表：得到的正确的结论是（ ） A. 在犯错的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关” B. 在犯错的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关” D. 有 99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关” 14．若复数 1 1 iz i   ， z 为 z 的共轭复数，则 2017( )z =（ ） A. i B. i C. 20172 i D. 20172 i 15．欲将方程 2 2 14 3 x y  所对应的图形变成方程 2 2 1x y  所对应的图形，需经过伸缩变换 为 （ ） A. 2 3 x x y y     B. 1 2 3 3 x x y y       C. 4 3 x x y y      D. 1 4 1 3 x x y y       16．已知直线l 的极坐标方程为 2 sin( ) 24     ，点 A 的极坐标为 )4 7,22(  ，则点 A 到直线l 的距离为（ ） A． 33 5 B. 32 5 C． 23 5 D． 22 5 17．极坐标方程 cos 2sin 2   表示的曲线为（ ） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 18．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ） A． a为正相关，b 为负相关， c 为不相关 B． a为负相关，b 为不相关， c 为正相关 C． a为负相关，b 为正相关， c 为不相关 D． a为正相关，b 为不相关， c 为负相关 19．观察下列各式： ，则 的末四位数字为 （ ） A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125 20．已知如下等式： ;30282624222018;161412108;642  ……以此类推， 则 2018 会出现在第（ ）个等式中. A.33 B.30 C.31 D.32 21．设 , ,m n t 都是正数，则 4m n  ， 4n t  ， 4t m  三个数（ ） A. 都大于 4 B. 都小于 4 C. 至少有一个大于 4 D. 至少有一个不小于 4 22．面积为 S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为 ( 1,2,3,4)ia i  ，此四边形内任一点 P 到第i 条 边的距离记为 ( 1,2,3,4)ih i  ，若 31 2 4 1 2 3 4 aa a a k    ，则 1 2 3 4 22 3 4 Sh h h h k     ．类比以上 性质，体积为 V 的三棱锥的第i 个面的面积记为 ( 1,2,3,4)iS i  ，此三棱锥内任一点 Q 到第i 个面的 距离记为 ( 1,2,3,4)iH i  ，若 31 2 4 1 2 3 4 SS S S K    ，则 1 2 3 42 3 4H H H H   等于（ ） A． 2V K B． 3V K C． 2 V K D． 3 V K 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 23．某学校的组织结构图如下： 则保卫科的直接领导是________． 24．若 3 ,1 z i ii   是虚数单位，则复数 z 的虚部为_________． 25．在极坐标系中，点 (2, ), (2, )2A B  ，C 为曲线 2cos  的对称中心，则三角形 ABC 面积等 于________． 26．二维空间中圆的一维测度（周长） 2l r ，二维测度（面积） 2S r ，观察发现 S l  ；三 维空间中球的二维测度（表面积） 24S r ，三维测度（体积） 34 3V r ，观察发现V S  ．则 四维空间中“超球”的三维测度 38V r ，猜想其四维测度 W= ． 三、解答题（共 4 小题，其中 27、28、29 每题 10 分，30 题 12 分） 27．自极点 O 任意作一条射线与直线 cos 3   相交于点 M ，在射线 OM 上取点 P ，使得 12OM OP  ，求动点 P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程. 28．已知复数 1 2z ai  （其中 a R 且 0,a i 为虚数单位），且 2 1z 为纯虚数． （1）求实数 a 的值； （2）若 1 1 zz i   ，求复数 z 的模 z ． 29．某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是 否与年龄有关，现随机抽取了 50 名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于 60 分，说明购买意 愿弱；若得分不低于 60 分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示. （1）根据茎叶图中的数据完成 列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与 年龄有关？ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 20~40 岁 大于 40 岁 合计 （2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5 人，从这 5 人中随机抽取 2 人进行采访， 求这 2 人都是年龄大于 40 岁的概率. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      . 30．某同学的父亲决定今年夏天卖西瓜赚钱，根据去年 6 月份的数据统计连续五天内每天所卖西瓜 的个数与温度之间的关系如下表： 温度 32 33 35 37 38 西瓜个数 20 22 24 30 34 （1）求这五天内所卖西瓜个数的平均值和方差； （2）求变量 之间的线性回归方程，并预测当温度为 时所卖西瓜的个数. 附： 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx         ， ˆˆa y bx  (精确到 ). 201 6——2017 学年度第二学期 3 月月考 高二数学文科答案 1．D 因为 ，则 对应点为 ，其在第四象限，故选 D. 2． B 由极坐标与直角坐标之间的关系是； cos sin x y        ，极坐标方程；  sin4 两边同乘以 得， 2 4 sin   ，又； 2 2 2x y   化为直角坐标方程为， 2 2 2 24 0, 2 4x y y x y     （ ） 3．A 根据实数的性质可知， 20 0 ，所以任何实数的平方都大于 0 是错误的，所以推理中的大前提 是错误的，故选 A. 4．B 由已知中的数据可得： ，∵数据中心点 一定在回归直线上∴ ，解得 ，故选：B． 5．C 因为 ，所以 ，故选 C. 6．A 2 2 25cos 5 3sin 5 cos 5 3 sin 5 5 3x y x y                2 2 5 5 3 0x y x y     ，圆心为 5 5 3,2 2      ，所以圆心极坐标为 4( 5, )3   7．A 根据复数的运算，可知 3 3 1 2 3 1 3 4 2 23 i iz i i        ，所以 1 3 14 4z    ． 8．D 本题主要考查回归分析的基本思想及其初步应用。A 项，由回归直线方程为 知 随 的增大而增大，所以 与 具有正的线性相关关系，故 A 项不符合题意； B 项，由最小二乘法建立回归方程的过程知 ，所以回归直线过样本点的中心 ，故 B 项不 符合题意；C 项，由回归直线方程为 知该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加 ，故 C 项不符合题意；D 项，线性回归方程只能估计总体，所以该大学某女生身高为 ， 不能断定其体重必为 ，故 D 项符合题意. 9．C ①．相关指数 2R 越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好． 错误； ②．可导函数  xf 在 0xx  处取得极值，则   00  xf ，正确； ③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；正确． ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．正确 10．A 由题意得， 4 2 3 5 7 4 2x     ， 49 26 54 129 4 4 y yy      ，即数据的样本中心点 为 7 129( , )2 4 y ，代入回归直线方程，得129 79.4 9.14 2 y    ，解得 39y  . 11．B 这四人的供词中，都提到乙，我们假设乙是犯罪，那么，甲和丙的供词是真话，乙和丁的供 词是假话，符合题意.假设成立.如果我们假设其他人为罪犯，如丙，那么，说真话的就有甲、乙、 丁三人；如果丁是罪犯，那么，说真话的只有甲；如果罪犯是甲，说真话的只有丙；后面三个假设 都与题目要求不符合，假设不成立.答：罪犯是乙. 12．B “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”的反面是“没有一个不大于 60 度”，即“三内 角都大于 60 度”，故选 B. 13．C 由 知, 有 即 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 14．B 因 ，则 ，故 ，应选答案 B。 15．B 设伸缩变换 为 ,( , 0)x hx h ky ky      ,则 xx h yy k     ，代入 2 2 14 3 x y  得 2 2 2 2 14 3 x y h k   , 2 2 1 4 1 2 33 1 3 hh k k         16．D 直线 l 的极坐标方程为 2ρsin （θ- 4  ）＝ 2 ，对应的直角坐标方程为：y-x=1， 点 A 的极坐标为 A )4 7,22(  ，它的直角坐标为（2，-2）．点 A 到直线 l 的距离为： 2 2 1 5 2 22    17．C cos 2sin 2 2sin cos cos 0         或 2sin  ，表示的曲线为一条直线和一 个圆 18．D 根据散点图，由相关性可知：图 a 各点散步在从左下角到右上角的区域内，是正相关；图b 中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；图 c 中各点分布从左上角到右上角的区域里， 是负相关，故选 D. 19．D 写出幂的前几项，观察后四位， ，发现以 4 为周期，2011 除以 4 余 3，所以与 后四位相同，故选 D． 20．C 因 173132100922018  ,故依据所给等式左右两边的数字特点及个数特征,数 2018 应在第31个等式中,故应选 C. 21．D 依题意，令 ，则三个数为 ，排除 选项.故选 . 22 ． B 根 据 三 棱 锥 的 体 积 公 式 1 3V SH ， 1 1 2 2 3 3, 3V S H S H S H    , 因 为 31 2 4 1 2 3 4 SS S S K    ，∴ 1 2 3 42 3 4H H H H    3V K 。故选 B． 23.副校长乙 由结构图可知，保卫科的直接领导为副校长乙． 24． 2 因为 iiiiiz 24313)3)(1(  ,所以复数 z 的虚部为 2 . 25．3 将点 BA, 化为直角坐标为 )2,0(),0,2( BA  ,极坐标方程化为直角坐标为 0222  xyx , 所以圆心为 )0,1(C ,所以 ABC 的面积为 3232 1 S ． 26. 42 r ∵二维空间中圆的一维测度（周长） 2l r ，二维测度（面积） 2S r ，观察发 现 'S l 三维空间中球的二维测度（表面积） 24S r ，三维测度（体积） 34 3V r ，观察发现 'V S ∴四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3，猜想其四维测度W ，则 W 38V r 3；∴ W 42 r ； 故答案为 42 r ． 27．解：设  ,P   ，  ',M   . 12OM OP  ， ' 12  .又 ' cos 3   ， 12 cos 3   . 则动点 P 的极坐标方程为 4cos  .………（5分） 极点在此曲线上，方程两边可同时乘  ，得 2 4 cos   . 2 2 4 0x y x    . ………（10 分） 28．（1） 2 2 2 1 (2 ) 4 4z ai a ai     ,因为 2 1z 为纯虚数，所以       0 0 04 2 a a a ，解得： 2a  ……5 分 （2） 1 2 2z i  ， 2 2 (2 2 )(1 ) 4 21 (1 )(1 ) 2 i i i iz ii i i         ， 2z  ．．．．．． 10 分 29．（Ⅰ）由茎叶图可得： 购买意愿强 购买意愿弱 合计 20~40 岁 20 8 28 大于 40 岁 10 12 22 合计 30 20 50 由列联表可得： ． 所以，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （Ⅱ）购买意愿弱的市民共有 20 人，抽样比例为 ， 所以年龄在 20~40 岁的抽取了 2 人，记为 a，b， 年龄大于 40 岁的抽取了 3 人，记为 A，B，C， 从这 5 人中随机抽取 2 人，所有可能的情况为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B）， （b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共 10 种， 其中 2 人都是年龄大于 40 岁的有 3 种情况，所以概率为 ． 30．（1）由总数除以天数得平均数，根据方差公式 ，代入可得方差，（2）求线性回归 方程实质求 ，根据公式求 ，再根据 求 .最后根据 求 值，即为温度为 时所卖西瓜的个数. 试题解析:（1） ， 方差为 . （2） ， ， ， 所以 ， ， 所以回归直线方程为 ， 当 时， ，所以预测当温度为 时所卖西瓜的个数为 .