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- 2021-06-10 发布
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第
2
课时
题型
1
圆锥曲线中的定点问题
(1)
求
C
的方程;
(2)
设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
,
B
两点
.
若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为-
1
,证明:
l
过定点
.
【
名师点评
】
(1)
圆锥曲线中定
点问题的两种解法:
①
引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示
变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点;
②
特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,
再证明该定点与变量无关
.
(2)
定点的探索与证明问题的两种策略:
①
探索直线过定点时,可设出直线方程为
y
=
kx
+
b
,然后
利用条件建立
b
,
k
的等量关系进行消元,借助于直
线系的思想
找出定点;
②
从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关
.
【
跟踪训练
】
且经过点
A
(0,1).
(1)
求椭圆
C
的方程;
(2)
设
O
为原点,直线
l
:
y
=
kx
+
t
(
t
≠±1)
与椭圆
C
交于两
个不同点
P
,
Q
,直线
AP
与
x
轴交于点
M
,直线
AQ
与
x
轴交
于点
N
,若
|
OM
|·|
ON
|
=
2
,求证:直线
l
经过定点
.
题型
2
圆锥曲线中的定值问题
例
2
:
(20
19
年新课标
Ⅰ
)
已知点
A
,
B
关于坐标原点
O
对称,
|
AB
|
=
4
,⊙
M
过点
A
,
B
且与直线
x
+
2
=
0
相切
.
(1)
若
A
在直线
x
+
y
=
0
上,求⊙
M
的半径;
(2)
是否存在定点
P
,使得当
A
运动时,
|
MA
|
-
|
MP
|
为定值?
并说明理由
.
解:
(1)∵⊙
M
过点
A
,
B
,∴圆心
M
在
AB
的垂直平分线
上
.
由已知
A
在直线
x
+
y
=
0
上,且
A
,
B
关于坐标原点
O
对称,
∴
M
在直线
y
=
x
上,故可设
M
(
a, a
).
∵⊙
M
与直线
x
+
2
=
0
相切,
∴⊙
M
的半径为
r
=
|
a
+
2|.
解得
a
=
0
或
a
=
4.
故⊙
M
的半径
r
=
2
或
r
=
6.
(2)
存在定点
P
(1,0)
,使得
|
MA
|
-
|
MP
|
为定值
.
理由如下:
设
M
(
x, y
)
,由已知得⊙
M
的半径为
r
=
|
x
+
2|
,
|
AO
|
=
2.
化简得
M
的轨迹方程为
y
2
=
4
x
.
∵
曲线
C
:
y
2
=
4
x
是以点
P
(1,0)
为焦点,以直线
x
=-
1
为
准线的抛物线,∴
|
MP
|
=
x
+
1.
∵|
MA
|
-
|
MP
|
=
r
-
|
MP
|
=
x
+
2
-
(
x
+
1)
=
1
,
∴
存在满足条件的定点
P
.
【
跟踪训练
】
(1)
求椭圆
C
的方程;
(2)
过点
M
(1,0)
的直线
l
与椭圆
C
相交于
A
,
B
两点,设点
N
(3,2)
,记直线
AN
,
BN
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,求证:
k
1
+
k
2
定
值
.
3.(2018
年北京
)
已知抛物线
C
:
y
2
=
2
px
经过点
P
(1,2).
过点
Q
(0,1)
的直线
l
与抛物线
C
有两个不同的交点
A
,
B
,且直线
PA
交
y
轴于
M
,直线
PB
交
y
轴于
N
.
(1)
求直线
l
的斜率的取值范围;
(1)
解:
∵
抛物线
y
2
=
2
px
经过点
P
(1,2)
,
∴4
=
2
p
,解得
p
=
2
,∴抛物线的方程为
y
2
=
4
x
.
由题意可知直线
l
的斜率存在且不为
0
,
设直线
l
的方程为
y
=
kx
+
1(
k
≠0).
依题意
Δ
=
(2
k
-
4)
2
-
4×
k
2
×1>0
,
解得
k
<0
或
0<
k
<1.
又
PA
,
PB
与
y
轴相交,故直线
l
不过点
(1
,-
2).
从而
k
≠
-
3.
∴
直线
l
斜率的取值范围是
(
-∞,-
3)∪(
-
3,0)∪(0,1).
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