高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第一章　常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 5页

§1.4 全称量词与存在量词 【课时目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判 定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命 题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 1．全称量词和全称命题 (1)短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示， 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)含有____________的命题，叫做全称命题． (3)全称命题：“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为____________． 2．存在量词和特称命题 (1)短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表 示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等． (2)含有____________的命题，叫做特称命题． (3) 特 称 命 题 ： “ 存 在 M 中 的 元 素 x0 ， 有 p(x0) 成 立 ” ， 可 用 符 号 简 记 为 ________________________． 3．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p：________________； (2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈 p：________________. 4．命题的否定与否命题 命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图象关于 y 轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于 3 3．下列是全称命题且是真命题的是( ) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q C．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 x0，使 x20>0 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数 x0，使1 x0 >2 5．已知命题 p：∀x∈R，sin x≤1，则( ) A．綈 p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．綈 p：∀x∈R，sin x≥1 C．綈 p：∃x0∈R，sin x0>1 D．綈 p：∀x∈R，sin x>1 6．“存在整数 m0，n0，使得 m20＝n20＋2 011”的否定是( ) A．任意整数 m，n，使得 m2＝n2＋2 011 B．存在整数 m0，n0，使得 m20≠n20＋2 011 C．任意整数 m，n，使得 m2≠n2＋2 011 D．以上都不对 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7 ． 命 题 “ 有 些 负 数 满 足 不 等 式 (1 ＋ x)(1 － 9x)>0” 用 “ ∃ ” 或 “ ∀ ” 可 表 述 为 ________________． 8．写出命题：“对任意实数 m，关于 x 的方程 x2＋x＋m＝0 有实根”的否定为： ________________________________________________________________________. 9．下列四个命题： ①∀x∈R，x2＋2x＋3>0； ②若命题“p∧q”为真命题，则命题 p、q 都是真命题； ③若 p 是綈 q 的充分而不必要条件，则綈 p 是 q 的必要而不充分条件． 其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上) 三、解答题 10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)若 a>0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax>0. (2)对任意实数 x1，x2，若 x13”的否定是________． 14．已知綈 p：∃x∈R，sin x＋cos x≤m 为真命题，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 为真命题， 求实数 m 的取值范围． 1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或 存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉 及的意义去判断． 2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立； 但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即 可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集 合 M 中，至少能找到一个 x＝x0，使得 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． 3．全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存 在量词变为全称量词．具有性质 p 变为具有性质綈 p.全称命题的否定是特称命题，特称 命题的否定是全称命题． §1.4 全称量词与存在量词 知识梳理 1．(1)所有的 任意一个 ∀ (2)全称量词 (3)∀x∈M，p(x) 2．(1)存在一个 至少有一个 ∃ (2)存在量词 (3)∃x0∈M，p(x0) 3．(1)∃x0∈M，綈 p(x0) (2)∀x∈M，綈 p(x) 4．结论 结论 条件 作业设计 1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命 题．] 2．D [“存在”是存在量词．] 3．B [A、B、D 中命题均为全称命题，但 A、D 中命题是假命题．] 4．B 5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．] 6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．] 7．∃x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0 8．存在实数 m，关于 x 的方程 x2＋x＋m＝0 没有实根 9．①②③ 10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵ax>0 (a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在 x1＝0，x2＝π，x10，∴命题(4)是假命题． 11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命 题． (2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不 是开口向上”，真命题． (3)“∃x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，真命题． (4)“不论 m 取何实数，方程 x2＋2x－m＝0 都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实 数 m，使得方程 x2＋2x－m＝0 没有实数根”，真命题． 12．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0， 即 a>1 3 或 a<－1. 乙命题为真时，2a2－a>1，即 a>1 或 a<－1 2. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集， ∴a 的取值范围是{a|a<－1 2 或 a>1 3}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，1 3m 为假命题，由 sin x＋cos x＝ 2sin x＋π 4 ∈[－ 2， 2]， 又 sin x＋cos x>m 不恒成立，∴m≥－ 2. 又对∀x∈R，q 为真，即不等式 x2＋mx＋1>0 恒成立， ∴Δ＝m2－4<0，即－2