高中数学第四章数列4-2等差数列4-2-2第2课时等差数列前n项和的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册 28页

第 2 课时　等差数列前 n 项和的性质及应用 激趣诱思 知识点拨 等差数列的前 n 项和公式是一个关于 n 的函数 , 那么这个函数和二次函数有什么关系呢 ? 等差数列的前 n 项和公式又具有什么独特的性质呢 ? 这一节课我们就来研究一下这些问题 . 激趣诱思 知识点拨 一、等差数列前 n 项和的函数 特征 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 若 a 1 < 0, d> 0, 则数列的前面若干项为负数项 ( 或 0), 所以将这些项相加即得 S n 的最小值 . (2) 若 a 1 > 0, d< 0, 则数列的前面若干项为正数项 ( 或 0), 所以将这些项相加即得 S n 的最大值 . (3) 特别地 , 若 a n > 0, d> 0, 则 S 1 是 { S n } 的最小项 ; 若 a n < 0, d< 0, 则 S 1 是 { S n } 的最大项 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知在公差 d< 0 的等差数列 { a n } 中 , S 8 =S 18 , 则此数列的前多少项和最大 ? 因为 S 8 =S 18 , d< 0, 所以抛物线 f ( x ) 的对称轴是直线 x= 13, 且抛物线开口向下 , 故当 n= 13 时 , f ( n ) 有最大值 , 即数列 { a n } 的前 13 项和最大 . 激趣诱思 知识点拨 二、等差数列前 n 项和的 性质 (2) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , S n 为其前 n 项和 , 则 S m , S 2 m -S m , S 3 m -S 2 m , … 仍构成等差数列 , 且公差为 m 2 d. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知某等差数列共有 10 项 , 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为 ( 　　 ) A.5 　 B.4 　 C.3 　 D.2 (2) 在等差数列 { a n } 中 , 其前 n 项和为 S n , S 2 = 4, S 4 = 9, 则 S 6 = 　　　　　 .   解析 : (1) 设等差数列的公差为 d , 由题意 , 得 S 偶 -S 奇 = 30 - 15 = 5 d , 解得 d= 3 . (2) ∵ S 2 , S 4 -S 2 , S 6 -S 4 成等差数列 , ∴ 4 + ( S 6 - 9) = 2 × 5, 解得 S 6 = 15 . 答案 : (1)C 　 (2)15 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列前 n 项和的性质及其应用 例 1 (1) 等差数列 { a n } 的前 m 项和为 30, 前 2 m 项和为 100, 则数列 { a n } 的前 3 m 项的和 S 3 m 为 　　　　　 .   分析 : 运用等差数列前 n 项和的性质解决问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 方法一 　 在等差数列中 , ∵ S m , S 2 m -S m , S 3 m -S 2 m 成等差数列 , ∴ 30,70, S 3 m - 100 成等差数列 . ∴ 2 × 70 = 30 + ( S 3 m - 100), ∴ S 3 m = 210 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用等差数列前 n 项和的性质简化计算 (1) 在解决等差数列问题时 , 先利用已知条件求出 a 1 , d , 再求所求 , 是基本解法 ( 有时运算量大些 ) . (2) 如果利用等差数列前 n 项和的性质或利用等差数列通项公式的性质 , 可简化运算 , 为最优解法 . (3) 设而不求 , 整体代换也是很好的解题方法 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 已知等差数列的前 12 项和为 354, 前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为 32 ∶ 27, 则公差 d= 　　　　　 .   (2) 一个等差数列的前 10 项和为 100, 前 100 项和为 10, 则前 110 项之和为 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : (1)5 　 (2) - 110 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列前 n 项和的最值问题 例 2 在等差数列 { a n } 中 , S n 为前 n 项和 , 且 a 1 = 25, S 17 =S 9 , 请问数列 { a n } 前多少项和最大 ? 分析 : 解答本题可用多种方法 , 根据 S 17 =S 9 找出 a 1 与 d 的关系 , 转化为 S n 的二次函数求最值 , 也可以先用通项公式找到通项的变号点 , 再求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 =- ( n- 13) 2 + 169 . 故该数列的前 13 项之和最大 , 最大值是 169 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解法三 : ∵ S 17 =S 9 , ∴ a 10 +a 11 + … +a 17 = 0 . ∴ a 10 +a 17 =a 11 +a 16 = … =a 13 +a 14 = 0 . ∵ a 1 = 25 > 0, ∴ 当 n ≤ 13 时 , a n > 0; 当 n ≥ 14 时 , a n < 0 . ∴ S 13 最大 . 故当 n= 13 时 , S n 有最大值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 一般地 , 在等差数列 { a n } 中 , 若 a 1 > 0, d< 0, 则其前 n 项和 S n 有最大值 ; 若 a 1 < 0, d> 0, 则其前 n 项和 S n 有最小值 , 具体求解方法如下 : (2) 利用等差数列的性质 , 找出数列 { a n } 中正、负项的分界项 . 当 a 1 > 0, d< 0 时 , 前 n 项和 S n 有最大值 , 可由 a n ≥ 0 且 a n+ 1 ≤ 0, 求得 n 的值 ; 当 a 1 < 0, d> 0 时 , 前 n 项和 S n 有最小值 , 可由 a n ≤ 0 且 a n+ 1 ≥ 0, 求得 n 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知 { a n } 为等差数列 , a 3 = 7, a 1 +a 7 = 10, S n 为其前 n 项和 , 则使 S n 取得最大值的 n 等于 　　　　 .   答案 : 6 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求数列 { |a n | } 的前 n 项和 问题 分析 : 先求出通项 a n , 再确定数列中项的正负 , 最后利用 S n 求解 . 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 =- 3 n+ 104 . ∵ n= 1 也适合上式 , ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 a n =- 3 n+ 104( n ∈ N * ) . 即当 n ≤ 34 时 , a n > 0; 当 n ≥ 35 时 , a n < 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 当 n ≥ 35 时 , T n =|a 1 |+|a 2 |+ … +|a 34 |+|a 35 |+ … +|a n | = ( a 1 +a 2 + … +a 34 ) - ( a 35 +a 36 + … +a n ) = 2( a 1 +a 2 + … +a 34 ) - ( a 1 +a 2 + … +a n ) = 2 S 34 -S n 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知等差数列 { a n }, 求 { |a n | } 的前 n 项和的步骤 1 . 确定通项公式 a n ; 2 . 根据通项公式确定数列 { a n } 中项的符号 , 即判断数列 { a n } 是先负后正 , 还是先正后负 ; 3 . 去掉数列 { |a n | } 中各项的绝对值 , 转化为 { a n } 的前 n 项和求解 , 转化过程中有时需添加一部分项 , 以直接利用数列 { a n } 的前 n 项和公式 ; 4 . 将 { |a n | } 的前 n 项和写成分段函数的形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 在本例中 , 若将条件改为 “ 等差数列 { a n } 的通项公式为 a n = 3 n- 23”, 求数列 { |a n | } 的前 n 项和 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列前 n 项和性质的灵活应用 典例 项数为奇数的等差数列 , 奇数项之和为 44, 偶数项之和为 33, 求这个数列的中间项及项数 . 分析 : 由于本题涉及等差数列的奇数项和及偶数项和 , 因此可以利用与奇、偶数项和有关的性质解题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解法一 : 设此等差数列为 { a n }, 公差为 d , S n 为其前 n 项和 , S 奇 、 S 偶 分别表示奇数项之和与偶数项之和 . 由题意知项数为奇数 , 可设为 (2 n+ 1) 项 , 则奇数项为 ( n+ 1) 项 , 偶数项为 n 项 , a n+ 1 为中间项 . 由性质知 S 奇 -S 偶 =a n+ 1 , ∴ a n+ 1 = 11 . 又 S 2 n+ 1 =S 奇 +S 偶 = 44 + 33 = 77, ∴ (2 n+ 1)( a 1 +nd ) = 77 . 又 a 1 +nd=a n+ 1 = 11, ∴ 2 n+ 1 = 7 . 故这个数列的中间项为 11, 项数为 7 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ∴ 项数为 2 n+ 1 = 7 . 又由 S 奇 -S 偶 =a 中 , 得 a 中 = 44 - 33 = 11 . 故中间项为 11, 项数为 7 . 方法点睛 本题两种解法均使用性质 “ 等差数列项数为 2 n+ 1 时 , S 奇 -S 偶 =a 中 ”, 从而求得中间项 . 求项数时 , 解法一用 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 在项数为 2 n+ 1 的等差数列中 , 所有奇数项的和为 165, 所有偶数项的和为 150, 则 n 的值为 ( 　　 ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析 : ∵ 等差数列有 2 n+ 1 项 , S 奇 -S 偶 =a 中 , ∴ a 中 = 15 . 又 S 2 n+ 1 = (2 n+ 1) a 中 , ∴ 165 + 150 = (2 n+ 1) × 15, ∴ n= 10 . 答案 : B 2 . 已知 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 且 S n = 20, S 2 n = 80, 则 S 3 n = ( 　　 ) A.130 B.180 C.210 D.260 解析 : 因为 S n , S 2 n -S n , S 3 n -S 2 n 仍然构成等差数列 , 所以 20,60, S 3 n - 80 成等差数列 , 所以 2 × 60 = 20 +S 3 n - 80, 解得 S 3 n = 180 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 在数列 { a n } 中 , a 1 = 32, a n+ 1 =a n - 4, 则当 n= 　　　 时 , 前 n 项和 S n 取得最大值 , 最大值是 　　　　 .   解析 : 由 a n+ 1 =a n - 4, 得 { a n } 为等差数列 , 且公差 d=a n+ 1 -a n =- 4, 故 a n =- 4 n+ 36 . 令 a n =- 4 n+ 36 ≥ 0, 得 n ≤ 9, 故当 n= 8 或 n= 9 时 , S n 最大 , 且 S 8 =S 9 = 144 . 答案 : 8 或 9 　 144 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 在等差数列 { a n } 中 , S n 为其前 n 项和 . 若 S 2 = 16, S 4 = 24, 求数列 { |a n | } 的前 n 项和 T n . 解 : 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 , 公差为 d , 所以等差数列 { a n } 的通项公式为 a n = 11 - 2 n ( n ∈ N * ) . ① 当 n ≤ 5 时 , T n =|a 1 |+|a 2 |+ … +|a n |=a 1 +a 2 + … +a n =-n 2 + 10 n ; ② 当 n ≥ 6 时 , T n =|a 1 |+|a 2 |+ … +|a n |=a 1 +a 2 + … +a 5 -a 6 -a 7 - … - a n = 2 S 5 -S n = 2 × ( - 5 2 + 10 × 5) - ( -n 2 + 10 n ) =n 2 - 10 n+ 50 .