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  • 2021-06-10 发布

专题05 平面向量-备战2021年高考数学(文)之纠错笔记系列(原卷版)

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1 专题 05 平面向量 易错点 1 忽略了零向量的特殊性 给出下列命题: ①向量 AB  的长度与向量 BA  的长度相等. ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反. ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同. ④零向量与任意数的乘积都为零. 其中不正确命题的序号是 . 【错解】④ 【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方 向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 【试题解析】① AB  与 BA  是相反向量、模相等,正确;②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行,不 正确;③相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同,正确;④零向量与任意数的乘积都为 零向量,不正确,故不正确命题的序号是②④. 【参考答案】②④ 解决向量的概念问题应关注六点: (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关. 相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向 量. (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈. 2 (5)非零向量 a 与 | | a a 的关系: | | a a 是 a 方向上的单位向量. (6)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小. 1.下列命题正确的是 A.     a b a b B.   a b a b C.  ∥a b a b D. 0   0a a 【答案】D 【解析】A中,两个向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正确; B中,两个向量不能比较大小,所以错误; C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以错误; D中,如果一个向量的模等于 0,则这个向量是 . 易错点 2 忽视平行四边形的多样性失误 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标. 【错因分析】此题的错解原因为思维定势,错误的认为平行四边形只有一种情形,在解题思路中出现了漏 解.实际上,题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点,并没有给出相应的顺序,故可能有三种不同的 情形. 【试题解析】如图所示,设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y). ①若四边形 ABCD1为平行四边形,则 1AD  =BC  ,而 1AD  =(x+1,y), BC  =(-2,-5). 3 由 1AD  =BC  ,得 + 2 = 5 1 y x       ,∴ = 5 3x y       ,∴D1(-3,-5). ②若四边形 ACD 2B为平行四边形,则 AB  = 2CD  .而 AB  =(4,0), 2CD  =(x-1,y+5). ∴ + = 1+ 0 4 5 x y     ,∴ = 5 5x y      ,∴D2(5,-5). ③若四边形 ACBD3为平行四边形,则 3AD  =CB  .而 3AD  =(x+1,y),CB  =(2,5),∴ 1+ =5 2 y x    ,∴ =5 1 y x    , ∴D3(1,5). 综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5). 1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点 是原点时,其终点坐标就是向量坐标. 2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么 位置,它们的坐标都是相同的. 3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 x2 = y1 y2 ,因为 x2,y2有可能等于 0,所以应表 示为 x1y2-x2y1=0. 2.若四边形 满足  , =0AB CD AB AD AC   0      ,则该四边形一定是 A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.直角梯形 【答案】A 4 错点 3 忽视两向量夹角的范围 已知向量 (1, 2), ( ,1)x a b (1)若 , a b 为锐角,求 x的取值范围; (2)当 ( 2 ) (2 ) ⊥a b a b 时,求 x的值. 【错解】(1)若 , a b 为锐角,则 0 a b 且 ,a b不同向. 2 0x   a b ,∴ 2x   . (2)由题意,可得 2 (1 2 ,4), (2 ) (2 ,3)x x     a b a b , 又 ( 2 ) (2 ) ⊥a b a b , (2 1)(2 ) 3 4 0x x     , 即 22 3 14 0x x    , 解得 7 2 x  或 2x   . 【错因分析】(1)利用向量夹角公式即可得出,注意去掉同方向情况; (2)利用向量垂直与数量积的关系即可得出.. 【试题解析】(1)若 , a b 为锐角,则 0 a b 且 ,a b不同向. 2 0x   a b ,∴ 2x   . 当 1 2 x  时, ,a b同向, 12 2 x x   且 . 5 即若 , a b 为锐角, x的取值范围是{x| 2x   且 1 2 x  }. 【参考答案】(1){x| 2x   且 1 2 x  };(2) 7 2 x  或 2x   . 1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移动, 使其起点相同,再观察夹角. 2.两向量夹角的范围为[0,π],特别地当两向量共线且同向时,其夹角为 0,共线且反向时,其夹角为π. 3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围. 3.已知向量 ( 2, 1), ( ,1)   a b ,且a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 . 【答案】 1( , 2) (2, ) 2   【解析】∵a与b 的夹角为钝角, ∴ 0 a b ,即 ( 2, 1) ( ,1) 2 1 0        , ∴ 1 2    . 又当a与b反向时,夹角为 180°,即 | || |  a b a b ,则 22 1 5 1     ,解得 2  . 应该排除反向的情形,即排除 2  , 于是实数λ的取值范围为 1( , 2) (2, ) 2   . 【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为 0°时, cos 1 0   ;当夹角 为 180°时, cos 1 0    ,这是容易忽略的地方. 6 1.在求 ABC△ 的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形 ABC中, AB  与 BC  的夹角应为 120°而不是 60°. 2.在平面向量数量积的运算中,不能从 a·b=0推出 a=0或 b=0 成立.实际上由 a·b=0可推出以下四种 结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,a⊥b. 3.实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a.在向量数量积的运算中,若 a·b=a·c(a≠0),则不一定 有 b=c. 4.实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c), 这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线. 易错点 4 三角形的“四心”的概念混淆不清 已知 O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足 + ( + )OP OA AB AC     ,λ∈(0,+∞),则点 P的轨迹一定通过 ABC△ 的] A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【错解】A 【错因分析】对三角形“四心”的意义不明,向量关系式的变换出错,向量关系式表达的向量之间的相互位置 关系判断错误等. 【试题解析】由原等式,得OP OA   = ( + )AB AC   ,即 AP  = ( + )AB AC   , 根据平行四边形法则,知 +AB AC   是 ABC△ 的中线 AD(D为 BC的中点)所对应向量 AD  的 2倍, 所以点 P的轨迹必过 ABC△ 的重心,故选 C. 【参考答案】C 7 三角形的“四心”与平面向量 1. 重心. 若点 G是 ABC△ 的重心,则 + =GA GB GC    0 或 1 ( + ) 3 PG PA PB PC      (其中 P为平面内任意 一点).反之,若 + =GA GB GC    0,则点 G是 ABC△ 的重心. 2. 垂心. 若H是 ABC△ 的垂心,则 = =HA HB HB HC HA HC         或 2 2 2 2 2 2 = =HA BC HB AC HC AB         . 反之,若 = =HA HB HB HC HA HC         ,则点 H是 ABC△ 的垂心. 3. 内 心 . 若 点 I 是 ABC△ 的 内 心 , 则 有 | | + | | + | |BC IA AC IB AB IC         =0. 反 之 , 若 | | + | | + | |BC IA AC IB AB IC         =0,则点 I是 ABC△ 的内心. 4. 外心 . 若点 O 是 ABC△ 的外心,则 ( ) ( ) ( )OA OB AB OB OC BC OA OC AC                 =0 或 | | | | | |OA OB OC     .反之,若 | | | | | |OA OB OC     ,则点 O是 ABC△ 的外心. 4.G是 ABC△ 的重心,a、b、c分别是角 A、B、C的对边,若 3 3 aGA bGB cGC   0    ,则角 A  A.90° B.60° C.45° D.30° 【答案】D 【解析】因为 G是 ABC△ 的重心,所以有GA GB GC   0    .又 3 3 aGA bGB cGC   0    ,所以 a∶ b∶ 3 3 c=1∶1∶1,设 c= 3,则有 a=b=1,由余弦定理可得,cosA= 1+3-1 2 3 = 3 2 ,所以 A=30°,故 选 D. 向量与三角形的交汇是高考常见题型,解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等 变形问题或解三角形问题. 8 一、平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 9 2.向量的线性运算 3.共线向量定理及其应用 10 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一的一个实数λ,使得 b=λa. [提醒]限定 a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性. 二、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量的基本定理 如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数λ1, λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;把一个向量分 解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,对于平面内的一个 向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj,这样,平面内的任一向量 a 都可由 x、y唯一确定,我们把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 x叫做 a 在 x轴上的 坐标,y叫做 a 在 y轴上的坐标. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB  =(x2-x1,y2-y1). (2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x2+x1,y2+y1),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1), |a|= 2 2 1 1+x y ,|a+b|= 2 2 1 2 1 2( + ) +( + )x x y y .学科+网 (3)平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b⇔x1y2-x2y1=0. (4)向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作OA  =a,OB  =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角.如果向 量 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 三、平面向量的数量积 1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫作 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0. (2)几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 11 2.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|= ·a a = 2 2 1 1+x y . (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B两点间的距离|AB|= | |AB  = 2 2 1 2 1 2( ) +( )x x y y  . (4)夹角:cos θ= | | | |   a b a b = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 + + + x x y y x y x y . (5)已知两非零向量 a 与 b,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,a∥b⇔a·b=±|a||b|. (6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ 2 2 1 1+x y 2 2 2 2· +x y . |a|= 2 2 1 1+x y ,|a+b|= 2 2 1 2 1 2( + ) +( + )x x y y 四、平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (3)cos θ= | | | |   a b a b = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 + + + x x y y x y x y . 2.向量在三角函数中的应用 向量与三角的交汇是高考常见题型,解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等 变形问题或解三角形问题. 3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线 的位置关系的相关知识来解答. 4.向量在物理中的应用 12 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识 来解决某些物理问题. 1.已知两点 ,则与向量 AB  同向的单位向量是 A.±( ) B. C. D. 2.设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点,O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点,则 OA OB OC OD       等于 A.  OM  B. 2OM  C.3OM  D.4OM  3.已知 ,若 ,则 A. B. C. D. 4.设向量    , 2 , 1, 1x  a b ,且   a b b,则 x的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2018年高考新课标Ⅰ卷文科)在 ABC△ 中, AD为 BC边上的中线, E为 AD的中点,则EB   A. 3 1 4 4 AB AC   B. 1 3 4 4 AB AC   C. 3 1 4 4 AB AC   D. 1 3 4 4 AB AC   6.(2017年高考新课标Ⅱ卷文科)设非零向量a ,b 满足 + = a b a b ,则 A.a ⊥b B. =a b C.a ∥b D. a b 7.(2018浙江)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 π  3 ,向量b满足b2−4e·b+3=0, 则|a−b|的最小值是 13 A. 3 −1 B. 3 +1 C.2 D.2− 3 8.(2018天津文科)在如图的平面图形中,已知 1, 2, 120OM ON MON     , 2 , 2 ,BM MA CN NA      则 ·BC OM   的值为 A. 15 B. 9 C. 6 D.0 9.(2017年高考北京卷文科)设 m,n 为非零向量,则“存在负数,使得 m n ”是“ 0<m n ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.双曲线 的左,右焦点分别为 , , 为右支上一点,且 ,则双曲线的 离心率为 A.3 B.5 C. D. 11.设向量 , 满足 且 ,则向量 在向量 方向的投影为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 12.在 ABC△ 中, 是线段 的三等分点,则 的值为 A. B. C. D. 13.如图,在 ABC△ 中,点 在 边上,且 ,点 在 边上,且 ,则用向量 表示 为 14 A. B. C. D. 14.(2017 年高考浙江卷)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与 BD交 于点 O,记 1 ·I OAOB   , 2 ·I OBOC   , 3 ·I OCOD   ,则 A. 1 2 3I I I  B. 1 3 2I I I  C. 3 1 2I I I  D. 2 1 3I I I  15.已知 ABC△ 是边长为 2的等边三角形, P为平面 ABC内一点,则 ( )PA PB PC     的最小值是 A. 2 B. 3 2  C. 4 3  D. 1 16.在矩形 ABCD中,AB=1,AD=2,动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上.若 AP AB AD      , 则  的最大值为 A.3 B.2 2 C. 5 D.2 17.(2018新课标全国Ⅲ文科)已知向量  = 1,2a ,  = 2, 2b ,  = 1, λc .若  2∥c a + b ,则   ________. 18.平面向量 满足 ,且| |=2,| |=4,则 与 的夹角等于___________. 15 19.已知向量 ,如果 ∥a b ,那么 的值为___________. 20.已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2b |=___________. 21.如图,在矩形 ABCD中, 2AB  , 2BC  ,点E为 BC的中点,点F 在边CD上,且 2DF FC   , 则 AE BF   的值是 . A B C E FD 22.(2017年高考天津卷文)在 ABC△ 中, 60A  ∠ , 3AB  , 2AC  .若 2BD DC   ,AE AC    ( )AB  R  ,且 4AD AE     ,则的值为___________. 23.在Rt ABC△ 中, 是 ABC△ 内一点,且 ,若 ,则 的最大值为___________. 24.已知 1 2,e e 是互相垂直的单位向量,若 1 23 e e 与 1 2e e 的夹角为60,则实数  的值是___________. 25.(2017年高考浙江卷)已知向量 a,b 满足 1, 2, a b 则   a b a b 的最小值是________,最大值 是___________. 26.(2017江苏)如图,在同一个平面内,向量OA  ,OB  ,OC  的模分别为 1,1, 2,OA  与OC  的夹 角为 ,且 tan =7,OB  与OC  的夹角为 45°.若OC mOA nOB     ( , )m nR ,则 m n  _________. 16 ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________