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- 2021-06-10 发布
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1
专题 05 平面向量
易错点 1 忽略了零向量的特殊性
给出下列命题:
①向量 AB
的长度与向量 BA
的长度相等.
②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反.
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.
④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是 .
【错解】④
【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方
向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
【试题解析】① AB
与 BA
是相反向量、模相等,正确;②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行,不
正确;③相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同,正确;④零向量与任意数的乘积都为
零向量,不正确,故不正确命题的序号是②④.
【参考答案】②④
解决向量的概念问题应关注六点:
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向
量.
(4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈.
2
(5)非零向量 a 与
| |
a
a
的关系:
| |
a
a
是 a 方向上的单位向量.
(6)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.
1.下列命题正确的是
A. a b a b B. a b a b
C. ∥a b a b D. 0 0a a
【答案】D
【解析】A中,两个向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正确;
B中,两个向量不能比较大小,所以错误;
C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以错误;
D中,如果一个向量的模等于 0,则这个向量是 .
易错点 2 忽视平行四边形的多样性失误
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.
【错因分析】此题的错解原因为思维定势,错误的认为平行四边形只有一种情形,在解题思路中出现了漏
解.实际上,题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点,并没有给出相应的顺序,故可能有三种不同的
情形.
【试题解析】如图所示,设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).
①若四边形 ABCD1为平行四边形,则 1AD
=BC
,而 1AD
=(x+1,y), BC
=(-2,-5).
3
由 1AD
=BC
,得
+ 2
= 5
1
y
x
,∴
= 5
3x
y
,∴D1(-3,-5).
②若四边形 ACD 2B为平行四边形,则 AB
= 2CD
.而 AB
=(4,0), 2CD
=(x-1,y+5).
∴
+ =
1+
0
4
5
x
y
,∴
= 5
5x
y
,∴D2(5,-5).
③若四边形 ACBD3为平行四边形,则 3AD
=CB
.而 3AD
=(x+1,y),CB
=(2,5),∴
1+
=5
2
y
x
,∴
=5
1
y
x
,
∴D3(1,5).
综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5).
1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点
是原点时,其终点坐标就是向量坐标.
2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么
位置,它们的坐标都是相同的.
3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成
x1
x2
=
y1
y2
,因为 x2,y2有可能等于 0,所以应表
示为 x1y2-x2y1=0.
2.若四边形 满足 , =0AB CD AB AD AC 0
,则该四边形一定是
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.直角梯形
【答案】A
4
错点 3 忽视两向量夹角的范围
已知向量 (1, 2), ( ,1)x a b
(1)若 , a b 为锐角,求 x的取值范围;
(2)当 ( 2 ) (2 ) ⊥a b a b 时,求 x的值.
【错解】(1)若 , a b 为锐角,则 0 a b 且 ,a b不同向.
2 0x a b ,∴ 2x .
(2)由题意,可得 2 (1 2 ,4), (2 ) (2 ,3)x x a b a b ,
又 ( 2 ) (2 ) ⊥a b a b ,
(2 1)(2 ) 3 4 0x x ,
即
22 3 14 0x x ,
解得
7
2
x 或 2x .
【错因分析】(1)利用向量夹角公式即可得出,注意去掉同方向情况;
(2)利用向量垂直与数量积的关系即可得出..
【试题解析】(1)若 , a b 为锐角,则 0 a b 且 ,a b不同向.
2 0x a b ,∴ 2x .
当
1
2
x 时, ,a b同向,
12
2
x x 且 .
5
即若 , a b 为锐角, x的取值范围是{x| 2x 且
1
2
x }.
【参考答案】(1){x| 2x 且
1
2
x };(2)
7
2
x 或 2x .
1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移动,
使其起点相同,再观察夹角.
2.两向量夹角的范围为[0,π],特别地当两向量共线且同向时,其夹角为 0,共线且反向时,其夹角为π.
3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围.
3.已知向量 ( 2, 1), ( ,1) a b ,且a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .
【答案】
1( , 2) (2, )
2
【解析】∵a与b 的夹角为钝角,
∴ 0 a b ,即 ( 2, 1) ( ,1) 2 1 0 ,
∴
1
2
.
又当a与b反向时,夹角为 180°,即 | || | a b a b ,则 22 1 5 1 ,解得 2 .
应该排除反向的情形,即排除 2 ,
于是实数λ的取值范围为
1( , 2) (2, )
2
.
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为 0°时, cos 1 0 ;当夹角
为 180°时, cos 1 0 ,这是容易忽略的地方.
6
1.在求 ABC△ 的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形 ABC中,
AB
与 BC
的夹角应为 120°而不是 60°.
2.在平面向量数量积的运算中,不能从 a·b=0推出 a=0或 b=0 成立.实际上由 a·b=0可推出以下四种
结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,a⊥b.
3.实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a.在向量数量积的运算中,若 a·b=a·c(a≠0),则不一定
有 b=c.
4.实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c),
这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线.
易错点 4 三角形的“四心”的概念混淆不清
已知 O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足
+ ( + )OP OA AB AC
,λ∈(0,+∞),则点 P的轨迹一定通过 ABC△ 的]
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
【错解】A
【错因分析】对三角形“四心”的意义不明,向量关系式的变换出错,向量关系式表达的向量之间的相互位置
关系判断错误等.
【试题解析】由原等式,得OP OA
= ( + )AB AC
,即 AP
= ( + )AB AC
,
根据平行四边形法则,知 +AB AC
是 ABC△ 的中线 AD(D为 BC的中点)所对应向量 AD
的 2倍,
所以点 P的轨迹必过 ABC△ 的重心,故选 C.
【参考答案】C
7
三角形的“四心”与平面向量
1. 重心. 若点 G是 ABC△ 的重心,则 + =GA GB GC
0 或
1 ( + )
3
PG PA PB PC
(其中 P为平面内任意
一点).反之,若 + =GA GB GC
0,则点 G是 ABC△ 的重心.
2. 垂心. 若H是 ABC△ 的垂心,则 = =HA HB HB HC HA HC
或
2 2 2 2 2 2
= =HA BC HB AC HC AB
.
反之,若 = =HA HB HB HC HA HC
,则点 H是 ABC△ 的垂心.
3. 内 心 . 若 点 I 是 ABC△ 的 内 心 , 则 有 | | + | | + | |BC IA AC IB AB IC
=0. 反 之 , 若
| | + | | + | |BC IA AC IB AB IC
=0,则点 I是 ABC△ 的内心.
4. 外心 . 若点 O 是 ABC△ 的外心,则 ( ) ( ) ( )OA OB AB OB OC BC OA OC AC
=0 或
| | | | | |OA OB OC
.反之,若 | | | | | |OA OB OC
,则点 O是 ABC△ 的外心.
4.G是 ABC△ 的重心,a、b、c分别是角 A、B、C的对边,若
3
3
aGA bGB cGC 0
,则角 A
A.90° B.60°
C.45° D.30°
【答案】D
【解析】因为 G是 ABC△ 的重心,所以有GA GB GC 0
.又
3
3
aGA bGB cGC 0
,所以 a∶
b∶ 3
3
c=1∶1∶1,设 c= 3,则有 a=b=1,由余弦定理可得,cosA=
1+3-1
2 3
=
3
2
,所以 A=30°,故
选 D.
向量与三角形的交汇是高考常见题型,解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等
变形问题或解三角形问题.
8
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
9
2.向量的线性运算
3.共线向量定理及其应用
10
向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一的一个实数λ,使得 b=λa.
[提醒]限定 a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
二、平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数λ1,
λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;把一个向量分
解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,对于平面内的一个
向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj,这样,平面内的任一向量 a
都可由 x、y唯一确定,我们把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 x叫做 a 在 x轴上的
坐标,y叫做 a 在 y轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB
=(x2-x1,y2-y1).
(2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x2+x1,y2+y1),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),
|a|= 2 2
1 1+x y ,|a+b|= 2 2
1 2 1 2( + ) +( + )x x y y .学科+网
(3)平面向量共线的坐标表示
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
(4)向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b,作OA
=a,OB
=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角.如果向
量 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.
三、平面向量的数量积
1.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫作 a 与 b 的数量积(或内积),
记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0.
(2)几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
11
2.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量 a,b 的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
(2)模:|a|= ·a a = 2 2
1 1+x y .
(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B两点间的距离|AB|= | |AB
= 2 2
1 2 1 2( ) +( )x x y y .
(4)夹角:cos θ=
| | | |
a b
a b
= 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+
+ +
x x y y
x y x y
.
(5)已知两非零向量 a 与 b,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,a∥b⇔a·b=±|a||b|.
(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ 2 2
1 1+x y 2 2
2 2· +x y .
|a|= 2 2
1 1+x y ,|a+b|= 2 2
1 2 1 2( + ) +( + )x x y y
四、平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用
若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(3)cos θ=
| | | |
a b
a b
= 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+
+ +
x x y y
x y x y
.
2.向量在三角函数中的应用
向量与三角的交汇是高考常见题型,解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等
变形问题或解三角形问题.
3.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用,主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线
的位置关系的相关知识来解答.
4.向量在物理中的应用
12
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识
来解决某些物理问题.
1.已知两点 ,则与向量 AB
同向的单位向量是
A.±( ) B.
C. D.
2.设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点,O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点,则
OA OB OC OD
等于
A. OM
B. 2OM
C.3OM
D.4OM
3.已知 ,若 ,则
A. B.
C. D.
4.设向量 , 2 , 1, 1x a b ,且 a b b,则 x的值为
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(2018年高考新课标Ⅰ卷文科)在 ABC△ 中, AD为 BC边上的中线, E为 AD的中点,则EB
A.
3 1
4 4
AB AC
B.
1 3
4 4
AB AC
C.
3 1
4 4
AB AC
D.
1 3
4 4
AB AC
6.(2017年高考新课标Ⅱ卷文科)设非零向量a ,b 满足 + = a b a b ,则
A.a ⊥b B. =a b
C.a ∥b D. a b
7.(2018浙江)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为
π
3
,向量b满足b2−4e·b+3=0,
则|a−b|的最小值是
13
A. 3 −1 B. 3 +1
C.2 D.2− 3
8.(2018天津文科)在如图的平面图形中,已知 1, 2, 120OM ON MON , 2 , 2 ,BM MA CN NA
则 ·BC OM
的值为
A. 15 B. 9
C. 6 D.0
9.(2017年高考北京卷文科)设 m,n 为非零向量,则“存在负数,使得 m n ”是“ 0<m n ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.双曲线 的左,右焦点分别为 , , 为右支上一点,且 ,则双曲线的
离心率为
A.3 B.5
C. D.
11.设向量 , 满足 且 ,则向量 在向量 方向的投影为
A.-2 B.-1
C.1 D.2
12.在 ABC△ 中, 是线段 的三等分点,则 的值为
A. B.
C. D.
13.如图,在 ABC△ 中,点 在 边上,且 ,点 在 边上,且 ,则用向量 表示
为
14
A. B.
C. D.
14.(2017 年高考浙江卷)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与 BD交
于点 O,记 1 ·I OAOB
, 2 ·I OBOC
, 3 ·I OCOD
,则
A. 1 2 3I I I B. 1 3 2I I I
C. 3 1 2I I I D. 2 1 3I I I
15.已知 ABC△ 是边长为 2的等边三角形, P为平面 ABC内一点,则 ( )PA PB PC
的最小值是
A. 2 B.
3
2
C.
4
3
D. 1
16.在矩形 ABCD中,AB=1,AD=2,动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上.若 AP AB AD
,
则 的最大值为
A.3 B.2 2
C. 5 D.2
17.(2018新课标全国Ⅲ文科)已知向量 = 1,2a , = 2, 2b , = 1, λc .若 2∥c a + b ,则 ________.
18.平面向量 满足 ,且| |=2,| |=4,则 与 的夹角等于___________.
15
19.已知向量 ,如果 ∥a b ,那么 的值为___________.
20.已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2b |=___________.
21.如图,在矩形 ABCD中, 2AB , 2BC ,点E为 BC的中点,点F 在边CD上,且 2DF FC
,
则 AE BF
的值是 .
A B
C
E
FD
22.(2017年高考天津卷文)在 ABC△ 中, 60A ∠ , 3AB , 2AC .若 2BD DC
,AE AC
( )AB R
,且 4AD AE
,则的值为___________.
23.在Rt ABC△ 中, 是 ABC△ 内一点,且 ,若 ,则
的最大值为___________.
24.已知 1 2,e e 是互相垂直的单位向量,若 1 23 e e 与 1 2e e 的夹角为60,则实数 的值是___________.
25.(2017年高考浙江卷)已知向量 a,b 满足 1, 2, a b 则 a b a b 的最小值是________,最大值
是___________.
26.(2017江苏)如图,在同一个平面内,向量OA
,OB
,OC
的模分别为 1,1, 2,OA
与OC
的夹
角为 ,且 tan =7,OB
与OC
的夹角为 45°.若OC mOA nOB
( , )m nR ,则
m n _________.
16
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