黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟 数学（文）（PDF版） 8页

- 1 - 2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知    1|B3,2,1,0,1-A  xx， ，则 AB的元素个数为 A．0 B．2 C．3 D．5 2．复数 )()2( 2 为虚数单位ii iz  ,则 || z A． 5 B． 5 C． 25 D． 41 3．函数 1cos22sin)( 2  xxxf 的最小正周期为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π 4. 已知向量 a ＝(－1,2)， b ＝(3,1)， ）（ 4,xc  ，若 cba  )( ，则 x ＝ A．1 B．2 C．3 D．4 5．若双曲线 12 2 2 2  b y a x 的一条渐近线方程为 xy 2 ,则其离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是 A．1 B. 3 2 C.2 D.3 7．若 x、y 满足约束条件 的最小值为，则 yxz y yx yx 34 0 02 03        A．0 B．-1 C．-2 D．-3 8．函数 )43(log)( 2 2  xxxf 的单调减区间为 A． ），（ 1 B. ），（ 2 3 C. ），（ 2 3 D. ），（ 4 9．在数学解题中，常会碰到形如“ xy yx   1 ”的结构，这时可类比正切的和角公式． - 2 - 如：设 ba, 是非零实数，且满足 15 8tan 5sin5cos 5cos5sin   ba ba ，则 a b ＝ A．4 B． 15 C．2 D． 3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A． ii,iSS,i 2120  B． ii,iSS,i 2120  C． 1220  ii,SS,i D． 1220  ii,SS,i 11．从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡 片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A． 10 1 B． 10 3 C． 5 3 D． 5 2 12. 已知点 A(0,2)，抛物线 C1： )0(2  aaxy 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相 交于点 N,若|FM|∶|MN|＝1∶ 5 ，则 a 的值为 A．1 4 B．1 2 C．1 D．4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知函数 xxxf sin2)(  ，当  1,0x 时，函数 )(xfy  的最大值为_________. 14．已知函数 )x(f 是奇函数，当 ))(f(f,xlg)x(fx 100 10 则时，  的值为_________. 15 ． 已知直三棱柱 111 CBAABC  的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 若 AB= 6 ， AC= 10 ， ACAB  , ,521 AA 则球 O 的表面积为 . 16．在△ABC 中，已知 (a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3； ④若 b＋c＝8，则△ABC 的面积是15 3 2 . 其中正确结论的序号是 . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. - 3 - (一)必考题：(共 60 分) 17．(12 分) 已知等差数列 na 中， 1673 aa ， 064  aa （1）求 的通项公式 na ； （2）求 的前 n 项和 nS . 18．(12 分) 如图所示，四棱锥 S-ABCD 中，SA  底面 ABCD， CDAB // , ,3 ABACAD ,4 CDSA P 为线段 AB 上一点， ,2PBAP  SQ=QC . （1）证明：PQ//平面 SAD ; （2）求四面体 C-DPQ 的体积. 19．(12 分) 随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人)，另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人)， 从该工厂的工人中共抽查了 100 名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)得到 A 类工人生产能力的茎叶图(图 1)，B 类工人生产能力的频率分布直方图(图 2)． (1)问 A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的 x； (2)求 A 类工人生产能力的中位数，并估计 B 类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)； (3)若规定生产能力在[130,150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的 2×2 列联表， 并判断是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关． 能力与培训时间列联表 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 能力不优秀 合计 - 4 - 参考数据： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：   )db)(ca)(dc)(ba( bcadnK 2   2 ，其中 dcban  . 20．(12 分) 已知椭圆 145 22  yx 的右焦点为 F，设直线 l ： 5x 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 1l 与椭圆交于 A，B 两点，M 为线段 EF 的中点． (1)若直线 的倾斜角为π 4 ，求|AB|的值； (2)设直线 AM 交直线 l 于点 N，证明：直线 BN⊥ . 21．(12 分) 已知函数 ).1ln()(  xaxxf （1）当 a=2 时,求 ()fx的单调区间; （2）当 a=1 时，关于 x 的不等式 )(2 xfkx  在 ）， 0[ 上恒成立，求 k 的取值范围. (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 以直角坐标系原点O 为极点， x 轴正方向为极轴，已知曲线 1C 的方程为 1)1( 22  yx ， 2C 的方程 为 3 yx ， 3C 是一条经过原点且斜率大于 0 的直线. （1）求 1C 与 2C 的极坐标方程； （2）若 1C 与 3C 的一个公共点为 A （异于点 ）， 2C 与 3C 的一个公共点为 B ，求 OBOA 3 的取值范 围. 23．[选修 4－5：不等式选讲](10 分) （1） , , , 1,a b c a b c  已知 均为正实数 且 证明 ；9111  cba （2） , , , 1,a b c abc 已知 均为正实数 且 证明 cbacba 111  . - 5 - 2019 年哈三中第二次高考模拟考试 数学（文科）试题参考答案 一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A A B B C A D D C D 二.填空题： 13．2－sin1 14． 2lg 15． 16 ②③ 17 解：设{an}的公差为 d，则 11 11 ( 2 )( 6 ) 16, 3 5 0, a d a d a d a d          1 2 1 2 1 8 12 16, 4. a da d ad       即 118, 8, 2 2. aa dd       解得 或 （1）an = 2n-10， an= －2n+10. （2）Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9). 18 解析： (1)证明: 由已知得 AP＝2 3AB＝2. 如图，取 DS 的中点 T，连接 AT，TQ， 由 N 为 PC 中点知 TQ∥DC，TQ＝1 2DC＝2. 又 AB∥DC，故 TQ||=AP， ,,// SADATATMN 平面又   从而证得 PQ//平面 SAD ; (2)因为 SA⊥平面 ABCD，Q 为 SC 的中点， 所以 Q 到平面 ABCD 的距离为1 2SA. 如图，取 DC 的中点 E，连接 AE. 由 AD＝AC＝3 得 AE⊥DC，则 AE＝ 5. 故 S△DCP＝1 2×4× 5＝2 5. 所以四面体 C-DPQ 的体积 VC-DPQ＝4 5 3 . 19 解 (1)由茎叶图知 A 类工人中抽查人数为 25 名， ∴B 类工人中应抽查 100－25＝75(名)． 由频率分布直方图得 (0.008＋0.02＋0.048＋x)×10＝1，得 x＝0.024. S 球＝4πR2＝36π. - 6 - (2)由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数为 122. 由(1)及频率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数为 x－ B＝115×0.008×10＋125×0.020×10＋135×0.048×10＋145×0.024×10＝133.8. (3)由(1)及所给数据得能力与培训的 2×2 列联表， 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 8 54 62 能力不优秀 17 21 38 合计 25 75 100 由上表得 K2＝100×(8×21－17×54)2 25×75×38×62 ＝ 100×7502 25×75×38×62 ≈12.733>10.828. 因此，可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关． 椭圆中的综合问题 20．由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)． (1)∵直线 l1 的倾斜角为π 4 ，∴斜率 k＝1. ∴直线 l1 的方程为 y＝x－1. 代入椭圆方程，可得 9x2－10x－15＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝10 9 ，x1x2＝－5 3. ∴|AB|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ 2×    10 9 2＋4×5 3＝16 5 9 . (2)证明：设直线 l1 的方程为 y＝k(x－1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ 10k2 4＋5k2，x1x2＝5k2－20 4＋5k2 . 设 N(5，y0)，∵A，M，N 三点共线， ∴ －y1 3－x1 ＝y0 2，∴y0＝ 2y1 x1－3. 而 y0－y2＝ 2y1 x1－3－y2＝2k(x1－1) x1－3 －k(x2－1) ＝3k(x1＋x2)－kx1x2－5k x1－3 - 7 - ＝ 3k· 10k2 4＋5k2－k·5k2－20 4＋5k2 －5k x1－3 ＝0. ∴直线 BN∥x 轴，即 BN⊥l. 21. （ 1 ）当 2a 时， )0(ln21)(  xxxxf ， xxf 21)(  ，令 2,0)(  xxf ，令 20,0)(  xxf  )(xf 的递增区间为 ,2 ，递减区间为 )2,0( （2）当 1a 时， )()1( 2 xfxk  在  ,1 恒 成 立 ， 即 0ln1)12(2  xkxkkx ，令 xkxkkxxg ln1)12()( 2  ，   x kxxxg )12(1)(  ①当 0k 时， 12 1 k ， )(xg 在 ,1 单调递减， 0)1()(  gxg ，不合题意，舍 ②当 2 10  k 时， 12 1 k ， )(xg 在     k2 1,1 单调递减，在      ,2 1 k 单调递增，其中 0)1( g ， )(xg 在 为负，不合题意舍 ③当 2 1k 时， 12 1 k ， )(xg 在 ,1 单调递增， 0)1()(  gxg ，合题意 综上， 2 1k 22.解：（1）曲线 1C 的方程为 1)1( 22  yx ， 1C 的极坐标方程为  cos2 2C 的方程为 3 yx ，其极坐标方程为  sincos 3  （2） 3C 是一条过原点且斜率为正值的直线， 3C 的极坐标方程为    20  ，， 联立 与 3C 的极坐标方程        cos2 ，得  cos2 ，即 cos2OA 联立 与 2C 的极坐标方程      sincos 3 ，得  sincos 3 ，即  sincosOB 3 所以       4223 cossincoscosOBOA 又       20， ，所以 ),(OBOA 113  23. 证明： （1）因为  c cba b cba a cba cba 111 - 8 -  111 c b c a b c b a a c a b 时等号成立，当 cbaa c c a b c c b b a a b  93 （2）因为             bcacabcbcabacba 1212122 1111111 2 1111 又因为 ,abc 1 所以 cab 1 ， bac 1 ， abc 1  abccba  111 当 cba  时等号成立，即原不等式成立