2014年湖北省高考数学试卷（理科） 26页

‎2014年湖北省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）i为虚数单位，（）2=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i ‎2．（5分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（　　）‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0‎ ‎5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）‎ A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②‎ ‎6．（5分）若函数f（x），g（x）满足 f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：‎ ‎①f（x）=sinx，g（x）=cosx；‎ ‎②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；‎ ‎③f（x）=x，g（x）=x2，‎ 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．‎ ‎11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=　　．‎ ‎12．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=　　．‎ ‎13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．‎ ‎（1）当f（x）=　　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；‎ ‎（2）当f（x）=　　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；‎ ‎（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）‎ ‎15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=　　．‎ ‎16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为　　．‎ ‎17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：‎ f（t）=10﹣，t∈[0，24）‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；‎ ‎（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）‎ ‎（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；‎ ‎（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎2014年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i ‎【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．‎ ‎【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．‎ ‎【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，‎ 所以Tr+1==，‎ 令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，‎ 代入得：，‎ 解得a=1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（　　）‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．‎ ‎【解答】解：由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，‎ ‎∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0‎ ‎【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．‎ ‎【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）‎ A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②‎ ‎【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．‎ ‎【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：‎ ‎①f（x）=sinx，g（x）=cosx；‎ ‎②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；‎ ‎③f（x）=x，g（x）=x2，‎ 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于①：[sinx•cosx]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；‎ 对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；‎ 对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]‎ 上的一组正交函数，‎ ‎∴正交函数有2组，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，‎ 平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，‎ 其中C（0，1），‎ 由，解得，即D（，），‎ 则三角形ACD的面积S==，‎ 则四边形BDCO的面积S=，‎ 则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，‎ ‎∴=（2πr）2h，‎ ‎∴π=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1‎ ‎），半焦距为c，‎ 由椭圆和双曲线的定义可知，‎ 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，‎ 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2‎ ‎∵∠F1PF2=，‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①‎ 在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，‎ 即，②‎ 在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，‎ 即，③‎ 联立②③得，=4，‎ 由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，‎ 即（）=‎ 即，d当且仅当时取等号，‎ 法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，‎ 由椭圆和双曲线的定义可知，‎ 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，‎ 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2‎ ‎∵∠F1PF2=，‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，‎ 由，得，‎ ‎∴=，‎ 令m===，‎ 当时，m，‎ ‎∴，‎ 即的最大值为，‎ 法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则，‎ 则a1+a2=m，‎ 则=，‎ 由正弦定理得=，‎ 即=sin（120°﹣θ）≤=‎ 故选：A ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]‎ ‎【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．‎ ‎【解答】解：当x≥0时，‎ f（x）=，‎ 由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；‎ 当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；‎ 由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．‎ ‎∴当x＞0时，．‎ ‎∵函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴当x＜0时，．‎ ‎∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），‎ ‎∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．‎ 故实数a的取值范围是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．‎ ‎11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=　±3　．‎ ‎【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），‎ ‎∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，‎ 若（+λ）⊥（﹣λ），‎ 则（+λ）•（﹣λ）=，‎ 即18﹣2λ2=0，‎ 则λ2=9，‎ 解得λ=±3，‎ 故答案为：±3，‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=　2　．‎ ‎【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，‎ ‎∴==cos45°=，∴a2+b2=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=　495　．‎ ‎【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；‎ 第二次循环a=198，b=981﹣189=792；‎ 第三次循环a=792，b=972﹣279=693；‎ 第四次循环a=693，b=963﹣369=594；‎ 第五次循环a=594，b=954﹣459=495；‎ 第六次循环a=495，b=954﹣459=495，‎ 满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．‎ 故答案为：495．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．‎ ‎（1）当f（x）=　　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；‎ ‎（2）当f（x）=　x　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；‎ ‎（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）‎ ‎【分析】（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，‎ 从而得出结论．‎ ‎（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，‎ 令y=0，求得x=c=，‎ ‎∴当f（x）=，（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数，‎ 故答案为：．‎ ‎（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，‎ 令y=0，求得x=c=，‎ ‎∴当f（x）=x（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数，‎ 故答案为：x．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=　4　．‎ ‎【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．‎ ‎【解答】解：∵QA是⊙O的切线，‎ ‎∴QA2=QC•QD，‎ ‎∵QC=1，CD=3，‎ ‎∴QA2=4，‎ ‎∴QA=2，‎ ‎∴PA=4，‎ ‎∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴PB=PA=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是 ‎（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为　（，1）　．‎ ‎【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与C2交点的直角坐标．‎ ‎【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），‎ 消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 （x≥0，y≥0），即 y=x （x≥0）．‎ 曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．‎ 解方程组 ，再结合x＞0、y＞0，求得 ，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），‎ 故答案为：（，1）．‎ ‎　‎ ‎17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：‎ f（t）=10﹣，t∈[0，24）‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；‎ ‎（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ＜t+＜，解得t的范围，可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），‎ ‎∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，‎ 当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，‎ 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），‎ 由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ＜t+＜，‎ 解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），‎ 化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，‎ 当d=0时，an=2，‎ 当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．‎ ‎（Ⅱ）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，‎ 当an=4n﹣2时，Sn==2n2，‎ 令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，‎ 解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），‎ 此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，‎ 综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，‎ 当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）‎ ‎（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），‎ ‎∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）‎ λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），‎ ‎∴=2，‎ ‎∴BC1∥FP，‎ ‎∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，‎ ‎∴直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴取=（λ，﹣λ，1）．‎ 同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），‎ 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则 ‎•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．‎ ‎∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，‎ 由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为 ‎=‎ ‎（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）‎ ‎（1）安装1台发电机的情形，‎ 由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，‎ ‎（2）安装2台发电机的情形，‎ 依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，‎ 因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，‎ 当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎4200‎ ‎10000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．‎ ‎（3）安装3台发电机的情形，‎ 依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，‎ 因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，‎ 当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×‎ ‎2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，‎ 当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎3400‎ ‎9200‎ ‎15000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，‎ 化简得，y2=2|x|+2x．‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．‎ 依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．‎ 由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．‎ ‎①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．‎ 故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．‎ ‎②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．‎ 设直线l与x轴的交点为（x0，0），‎ 则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．‎ 若，解得k＜﹣1或k＞．‎ 即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，‎ 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．‎ 若或，解得k=﹣1或k=或．‎ 即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．‎ 当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．‎ 故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．‎ 若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．‎ 即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．‎ 此时直线l与C恰有三个公共点．‎ 综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；‎ 当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；‎ 当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；‎ ‎（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；‎ ‎（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∵f（x）=，∴f′（x）=，‎ 当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；‎ 当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．‎ 故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）∵e＜3＜π，‎ ‎∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．‎ 于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，‎ 故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．‎ 由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，‎ 由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；‎ 由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．‎ 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，‎ 又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，‎ 故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．‎ 由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．‎ 在上式中，令x=，又，则ln＜，‎ 从而2﹣lnπ，即得lnπ．①‎ 由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，‎ ‎∴e3＜πe．‎ 又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，‎ ‎∴eπ＜π3．‎ 综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；qiss；刘长柏；maths；sxs123；清风慕竹；caoqz；wsj1012；whgcn；wyz123（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日