2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲导数与函数的极值最值课件 45页

第 17 讲　导数与函数的极值、最值 课标要求 考情风向标 1. 能利用导数研究函数的单调性， 会求不超过三次的多项式函数的 单调区间 . 2. 会用导数求不超过三次的多项式 函数的极大值、极小值，以及闭区 间上不超过三次的多项式函数最 大值、最小值；体会导数方法在研 究函数性质中的一般性和有效性 . 3. 体会导数在解决实际问题中的 作用 本节复习时，要特别注意三次函 数、指数函数与对数函数 ( 以 e 为 底 ) 的综合题 . 要深入体会导数应 用中蕴含的数学思想方 法 . 分类讨 论思想 ( 如参数问题的讨论 ) ；数形 结合思想 ( 如通过从导函数图象 特征解读函数图象的特征或求两 曲线交点个数 ) ；等价转化思想 ( 如 将证明的不等式问题等价转化为 研究相应问题的最值等 ) 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 (1) 分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数 学模型，写出相应的函数关系式 y ＝ f ( x ) 并确定定义域； (2) 求导数 f ′( x ) ，解方程 f ′( x ) ＝ 0 ； (3) 判断使 f ′( x ) ＝ 0 的点是极大值点还是极小值点； (4) 确定函数的最大值或最小值，还原到实际 问题中作答， 即获得优化问题的答案 . 1. (2016 年四川 ) 已知 a 是函数 f ( x ) ＝ x 3 － 12 x 的极小值点， ) 则 a ＝ ( A. － 4 C.4 B. － 2 D.2 在 ( t ， t ＋ 1) 上存在极值点，则实数 t 的取值范围为 ____________. D (0,1)∪(2,3) 3. (2019 年黑龙江模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ x e x ，则 ( 　　 ) D A. x ＝1 为 f ( x )的极大值点 B. x ＝1 为 f ( x )的极小值点 C. x ＝－1 为 f ( x )的极大值点 D. x ＝－1 为 f ( x )的极小值点 解析： f ′ ( x ) ＝ e x ＋ x e x ＝ (1 ＋ x )e x . 令 f ′ ( x )＝0，则 x ＝－1. 当 x <－1 时， f ′ ( x )<0，当 x >－1 时， f ′ ( x )>0， ∴ x ＝－1 为 f ( x )的极小值点. 4. (2018 年四川南充一诊 ) 若函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x 2 － ax － 4 在区间 ( － 1,1) 内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为 ( ) B A.(1,5) B.[1,5) C.(1,5] D.(－∞，1)∪(5，＋∞) 解析： 由题意知 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 x － a ＝ 0 在区间 ( － 1,1) 内恰 有一根( 且在根两侧 f ′ ( x ) 异号) ⇔ f ′ (1) f ′ (－1) ＝(5 － a )(1－ a )<0⇔1< a <5，故选 B. 考点 1 函数的极值 ∴ 实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1)∪( － 1,0). 答案： (1) a > － 1 (2)5 (3)( － ∞ ，－ 1)∪( － 1,0) 【 规律方法 】 (1) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数 f ( x ) 的定义域； ② 求 f ′( x ) ，令 f ′( x ) ＝ 0 ，求出它在定义域内的一切实根； ③ 把函数 f ( x ) 的间断点 [ 即 f ( x ) 的无定义点 ] 的横坐标和上面 的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f ( x ) 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定 f ′( x ) 在各个开区间内的符号，根据 f ′( x ) 的符号判 定函数 f ( x ) 在每个相应小开区间内的增减性 . (2) 可导函数极值存在的条件： ① 可导函数的极值点 x 0 一定满足 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 ，但当 f ′ ( x 1 ) ＝ 0 时， x 1 不一定是极值点 . 如 f ( x ) ＝ x 3 ， f ′ (0) ＝ 0 ，但 x ＝ 0 不是极值点； ② 可导函数 y ＝ f ( x ) 在点 x 0 处取得极值的充要条件是 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 ，且在 x 0 左侧与右侧 f ′ ( x ) 的符号不同 . 考点 2 函数的最值 例 2 ： (20 19 年江苏 ) 设函数 f ( x ) ＝ ( x － a )( x － b )( x － c ) ， a ， b ， c ∈ R ， f ′( x ) 为 f ( x ) 的导函数 . (1) 若 a ＝ b ＝ c ， f (4) ＝ 8 ，求 a 的值； (2) 若 a ≠ b ， b ＝ c ，且 f ( x ) 和 f ′( x ) 零点均在集合 { － 3,1,3} 中，求 f ( x ) 的极小值； 思维点拨： (1) 由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值； (2) 由题意首先确定 a ， b ， c 的值从而确定函数的解析式， 然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值 . (3) 由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如 下方法证明题中的不等式： 方法一，由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可 证得题中的不等式 . 方法二，由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值 x ( － ∞ ，－ 3) － 3 ( － 3,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 此时 f ( x ) ＝ ( x － 3)( x ＋ 3) 2 ， f ′ ( x ) ＝ 3( x ＋ 3)( x － 1). 令 f ′ ( x )＝0，得 x ＝－3 或 x ＝1.列表如下： ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝ (1 － 3)(1 ＋ 3) 2 ＝－ 32. x ( － ∞ ， x 1 ) x 1 ( x 1 ， x 2 ) x 2 ( x 2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 【 规律方法 】 求函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值、最小值的步骤： (1) 求函数在 ( a ， b ) 内的极值； (2) 求函数在区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) ； (3) 将函数 f ( x ) 的极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的为最大 值，最小的为最小值 . 【 跟踪训练 】 1. (2019 年新课标 Ⅲ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － ax 2 ＋ 2. (1)讨论 f ( x )的单调性； (2) 当 0< a <3 时，记 f ( x ) 在区间 [0,1] 的最大值为 M ，最小值 为 m ，求 M － m 的取值范围 . 考点 3 利用导数解决生活中的优化问题 例 3 ： (20 16 年江苏 ) 现需要设计一个仓库，它由上下两部 分组成，上部分的形状是正四棱锥 P A 1 B 1 C 1 D 1 ，下部分的形状 是正四棱柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 ( 如图 2171) ，并要求正四棱柱的 高 O 1 O 是正四棱锥的高 PO 1 的 4 倍. (1)若 AB ＝6 m， PO 1 ＝2 m，则仓库的容积 是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO 1 为多少时，仓库的容积最大？ 图 2-17-1 【规律方法】 本题在利用导数求函数的单调性时要注意， 求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求 f ′ ( x )>0 和 f ′ ( x )<0 时要注意 .本题主要考查考生对基本概念的 掌握情况和基本运算能力. 【 跟踪训练 】 (1) 求 a ， b 的值 . (2) 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t . ① 请写出公路 l 长度的函数解析式 f ( t ) ，并写出其定义域； ② 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度 . 图 2-17-2 难点突破 ⊙运用分类讨论思想讨论函数中的参数问题 例题： 已知 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax － ln x ＋ e ， g ( x ) ＝ x 2 ＋ e. (1) 若 a ＝－ 1 ，判断是否存在 x 0 >0 ，使得 f ( x 0 )<0 ，并说明理 由； (2)设 h ( x )＝ f ( x )－ g ( x )，是否存在实数 a ，当 x ∈(0，e](e＝ 2.718 28 … 为自然常数)时，函数 h ( x )的最小值为 3，并说明理由. x (0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′( x ) － 0 ＋ f ( x ) ↘ 极小值 f (1) ↗ 解： (1) 不存在 x 0 >0 使得 f ( x 0 )<0. 理由如下： 当 a ＝－ 1 时， f ( x ) ＝ x 2 － x － ln x ＋ e ， x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表： 当 x ＝ 1 时，函数 f ( x ) 有极小值， f ( x ) 极小值 ＝ f (1) ＝ e ， 此极小值也是最小值，故不存在 x 0 >0 ，使得 f ( x 0 )<0. 【 跟踪训练 】 答案： A 1. 注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必 须在函数的定义域内进行 . 2. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函 数的变化情况，直观而且条理，减少失分 . 3. 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时， 要讨论参数的大小 . 4. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点， 要通过认真比较才能下结论 . 一个函数在其定义域内最值是唯 一的，可以在区间的端点处取得 . 5. “ f ′ ( x )>0[ 或 f ′ ( x )<0] ” 是 “ 函数 f ( x ) 在某区间上为增函 数 ( 或减函数 ) ” 的充分不必要条件； “ f ′ ( x 0 ) ＝ 0 ” 是 “ 函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处取得极值”的必要不充分条件. 6. 由不等式的恒成立 ( 存在性 ) 求参数问题 . 首先要构造函 数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而列出相应的 含参数不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构 造函数，直接把问题转化为函数最值问题 .