高中数学必修1教案第一章 1_3_1 第2课时函数的最值 9页

第2课时　函数的最值 ‎[学习目标]　1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值．‎ ‎[知识链接]‎ 以下说法中：‎ ‎①函数y＝2x在R上为增函数；‎ ‎②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；‎ ‎③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)．‎ 正确的有________．‎ 答案　①‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．最大值 ‎(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：‎ ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.‎ 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．‎ ‎(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．‎ ‎2．最小值 ‎(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：‎ ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.‎ 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．‎ ‎(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．‎ 要点一　利用图象求函数的最值 例1　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．‎ 解　作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，‎ 故f(x)的最大值为1，最小值为0.‎ 规律方法　1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值．‎ ‎2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．‎ 跟踪演练1　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：‎ ‎(1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．‎ 解　 f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.‎ ‎(1)当x∈R时，‎ f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，‎ 当x＝2时，等号成立．‎ 即函数f(x)的最小值为－7，无最大值．‎ ‎(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f(x)在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时，取得最小值，最小值为－7.‎ ‎(3)由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4.‎ 要点二　利用单调性求函数的最值 例2　求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．‎ 解　任取2≤x10，x1－1>0，‎ ‎∴f(x2)－f(x1)<0.‎ ‎∴f(x2)0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；‎ a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，∴a＝－2.‎ 综上，a＝±2.‎ ‎5.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)‎ A．9 B. C．3 D. 答案　B 解析　＝ ‎＝ ‎＝ ，‎ 由于－6≤a≤3，‎ 所以当a＝－时，有最大值.‎ ‎ 6.函数y＝，x∈[3,4]的最大值为________．‎ 答案　1‎ 解析　函数y＝在[3,4]上是单调减函数，故y的最大值为＝1.‎ ‎7．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1,2]上的值域．‎ 解　∵f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝＝－2，即m＝－16.‎ 又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．‎ ‎∴f(x)在[1,2]上递增，‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；‎ 当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.‎ ‎∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．‎ 二、能力提升 ‎8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)‎ A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 答案　C 解析　设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)‎ ‎＝－x2＋19x＋30＝－(x－)2＋30＋，‎ ‎∴当x＝9或10时，L最大为120万元．‎ ‎9．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1] B．(－∞，0]‎ C．(－∞，0) D．(0，＋∞)‎ 答案　C 解析　令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)‎ ‎＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1‎ 图象如下：‎ ‎∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.‎ 而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是________．‎ 答案　(1,3]‎ 解析　由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，‎ 又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，‎ ‎∴11时，f(x)在[－1,1]上单调递减，‎ 故f(x)min＝f(1)＝3－2a；‎ ‎②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，‎ 故f(x)min＝f(a)＝2－a2；‎ ‎③当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，‎ 故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.‎ 综上可知f(x)的最小值为 f(x)min＝ ‎13．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，‎ ‎∴f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ ‎∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，‎ ‎∴∴∴f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)由题意知x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，‎ 即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．‎ 令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，‎ 其对称轴为x＝，‎ ‎∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.‎